高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
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第一章 解三角形
1、正弦定理：
在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD
当无交点则B 无解、
当有一个交点则B 有一解、
当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 当bsinAb 时，B 有一解 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ∆AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ， 2 2 2 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222 a b c +=，则90C =； ②若222 a b c +>，则90C <； ③若222 a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 、 D 两点， 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , ∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 练习题 一、选择题 1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为 A ．52 B ． C ．16 D ．4 3、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A 0 90 B 0 60 C 0 120 D 0 150 4 、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ． 1：3：2 D ．3：1：2 6、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 二、填空题（每题5分,共25分） 7、在ABC ∆中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 8、在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b c A B C ++++= 9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2 7 = AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72 c =，且60C ︒ =，又ABC △的 ，则a b +=________________ 三．解答题（2小题，共40分） 13、在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB= 1 3 .（I ）求sinA 的值； (II)设∆ABC 的面积. 知识点巩固练习（一） 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60， 则底边长为（ ）A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 6030或 B ．0 6045或 C ．0 60120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）