浅析光偏振态的矩阵表示法

浅析光偏振态的矩阵表示法****大学毕业论文题目: ******************学生姓名: ******指导老师: ******学院: ******专业班级: ******完成时间: ******浅析光偏振态的矩阵表示法摘要:介绍了光的偏振态，浅析描述光偏振态的物理量--琼斯矢量，讨论了光偏振态的矩阵表示，给出了典型偏振态的矩阵表达式，分析了偏振器件的琼斯矩阵表达式，阐明怎么利用琼斯矩阵来描述偏振器件的物理特性。

关键词:偏振光;偏振态;琼斯矢量;琼斯矩阵1引言我们学习过用光矢量来表示光波的性质，但是表示起来十分麻烦，所以我们引用了琼斯矢量矩阵来描述光波的性质。

在此之前已经有很多前辈对琼斯矢量矩阵进行了研究。

[1]在姚启钧的《光学教程》(第四版)中介绍了光的各种偏振态和各种偏振光的性质，用矩阵法讨论了偏振光的矢量矩阵和偏振器件的琼斯矩阵，对各种偏振态的矩阵和各种偏振[2]器件的琼斯矩阵得出了结论;陈海云的《偏振光和偏振器件的矩阵表示和运算》从各种偏振态的含义出发，结合高等光学的实质讨论了本文，但只对偏振光的斯托克斯矢量和琼斯矢量矩阵进行描述和范例应用，没有对各种偏振器件进行矩阵求解，也没有利用琼斯矩阵对光的偏振态进行求解，对琼斯矩阵的求法理解有难度;张玲芬的《偏振光与偏振器件的矩阵分[3][4]析》和刘健的《光偏振的矩阵与量子描述》浅析了偏振光的矩阵表示、偏振器件的矩阵表示以及他们的应用，但并没有推导出具体的求解过程，对偏振器件的矩阵表示只罗列出波片的总公式，对详细的过程没有注明，也没有推导偏振片的琼斯矩阵。

偏振是光学的一个重要概念，用琼斯矢量矩阵表示光的偏振态比用电矢量表达式更加清楚简洁，更方便计算，利用琼斯矩阵表示偏振器件的物理特性是一种非常有效也十分简洁的物理方法。

在他们研究的基础上我用投影法来描述了琼斯矩阵，对矩阵法所得出的各偏振器件的琼斯矩阵进行了验证，并用得到的琼斯矢量矩阵和琼斯矩阵来计算出射光的偏振态。

2 光的偏振分类由文献[1]能够了解，光偏振分类基本为椭圆偏振光、线偏振光、圆偏振光、部分偏振光、自然光，各种偏振态都各有自己的物理特性和图像，下面我们对这五种偏振态进行逐一分析，对光的这五种偏振态逐一了解。

2.1自然光我们知道在自然界中，自然光源和人造光源发出的光都是自然光。

所有自然光振动矢量满足三个条件:各方向出现概率相等;各方向振动时间大致相等;各方向振动间没有固定[1]aa的关系。

设自然光电矢量的振幅为，则某一方向的振幅总分量为在这个方向上的矢ii量和，即(1a) Aa,,xixi(1b) Aa,,yiyix(a) (b)图1 自然光的表示法(a)垂直光的传播方向上 (b)在光的传播方向 2.2 部分偏振光前面我们谈到自然光是出现频率相等的光，当出现频率不等时的光就是下面我们讨论的部分偏振光。

自然光射入两介质面时，根据光的反射和折射定律，以及电磁学的边界条件。

按照菲涅尔公式有'Aninitgiicoscos(),,p1211212 (2a) ,,Aninitgiicoscos()，，p1211212 'Aniniiicoscossin(),,s1112212 (2b) ,,Aniniiicoscossin()，，s1112212 A2cos2sincosniiip21121(2c) ,,coscossin()cos()Aniniiiii，，,p121121212A2cos2sincosniiis21121 (2d) ,,Aniniiicoscossin()，，s1112212''AAA其中，、、分别表示入射光、反射光、折射光在平行分量上的振幅，、、AAp1p1p2s1s1A分别表示入射光、反射光、折射光在垂直分量上的振幅，i、i表示入射角和反射角。

s212将(2a)和(2b)结合，不考虑方向得''AAtgiiiiiiii()sin()cos()cos(),,，，p1s112121212,,, (3)AtgiiiiiiAii()sin()cos()cos()，，,,1121212112ps:i,0当或时， i,9011''AAp1s1, (4) AAps11AA,已经知道自然光的频率相同，光在平行分量和垂直分量上的投影相等，即是，可ps11'':AA,i,0得到。

即是，在或i,90时，自然光经过反射后合成的反射光依然是自然1ps111:i,0光。

当自然光不以或i,90入射时，有 11''AAp1s1, (5) AAps11像这种，反射光中电矢量的平行分量总是小于电矢量的垂直分量，从内部结构来看，这两个分量是方向不同、振幅大小不等的大量偏振光的电矢量在这两个方向投影的矢量和，是以这两个分量还是不相干的不能合为一个矢量，具这备种特质的光称为[1]部分偏振光。

图2 部分偏振光的图示2.3 椭圆偏振光前面我们简单讨论了自然光和部分偏振光的定义，了解了他们的图示，接下来我们看看什么是椭圆偏振光。

椭圆偏振光是指在光的传播方向上，任意一个场点的电矢量既改变它的大小，又以角速度(即光波的圆频率)均匀的转动它的方向;或者说电矢量的端点在垂直波传播方向,[1]的平面内描绘出一个椭圆。

在光波沿方向传播的情况下，便有 zEAtkz,,cos(),xxEAtkz,,，,cos(),, yy合成波的表达式EEeEeAtkzeAtkze,，,,，,，,cos()cos(),,, (6) xxyyxxyy,,3,,,,,,,当、或时，椭圆顺时针方向进行旋转，称为右旋椭圆,,,4425,3,7,,,,,,,偏振光，如图3中(b)、(c)、(d)，当、或时;椭圆逆,,,424 ,,,时针方向进行旋转，称为左旋椭圆偏振光，如图3中(f)、(g)、(h);特殊的当、,23,,,时，称为正偏振光也称为圆偏 ,2振光，如图3中(c)、(g)。

图3 各种形态的椭圆偏振光2.4 线偏振光在椭圆偏振光中也有些特例，例如或时其图像是一条直线，如图3(a)、,,,0,,,,(e)、(i)，根据(6)式得EEeEeAtkzeAtkze,，,,，,，cos()cos(0),,xxyyxxyy(7) EAtkz,,cos(),x则光在传播过程中电矢量的振动只限于某一确定平面内，它的电矢量在与传播方向垂直[1]的平面上的投影为一条直线，称为线偏振光。

其矢量表达式为(7)式。

图4(a) 电矢量垂直于图面图4(b) 电矢量平行于图面2.5 圆偏振光,3,,,,,在椭圆偏振光中，或时图像轨迹是一个正圆，为圆偏振光。

圆偏振,,22光是指在光的传播方向上，任意一个场点的电矢量以角速度均匀的转动它的方向，但大小不变;或者,[1]说电矢量的端点在垂直波传播方向的平面内描绘出一个圆。

圆偏振光是椭圆偏振光的一个特例，如图3中(c)、(g)。

,,,,EEeEeAtkzeAtkze,，,,，,，cos()cos()当时， ,,,xxyyxxyy22EAtkzeAtkze,,,,cos()sin(),, xxyyEAtkzetkze,,,,[cos()sin()],, (8a) xy(8a)式表示右旋圆偏振光。

3,3,,,EEeEeAtkzeAtkze,，,,，,，cos()cos()当,时， ,,xxyyxxyy22EAtkzeAtkze,,，,cos()sin(),, xxyyEAtkzetkze,,，,[cos()sin()],, (8b) xy(8b)式表示左旋圆偏振光。

合成(8a)和(8b)式，圆偏振光的电矢量表达式EAtkzetkze,,,[cos()sin()],,, (9) xxy3 琼斯矢量上面我们简单了解了光的各种偏振态，知道他们的矢量表达式。

我们所学习的光学问题都是用矢量表示，但是矢量表达式非常复杂并且不容易用于问题的解决。

所以在光学问题中用矩阵，能够更加简洁明了的解决问题。

线偏振光和圆偏振光是特殊的椭圆偏振光，我们所研究的的偏振光一般为椭圆偏振光。

看看什么是琼斯矢量，怎样用琼斯矢量表达偏振态, 3.1 什么是琼斯矢量[ 1 ]当振幅为的光沿方向传播时，光的电矢量表达式为 Az(10a) EAtkz,,cos(),xx(10b)EAtkz,,，,cos(),,yy[ 1 ] 光矢量在、上的投影为yxitkz(),,,，x (11a) EAe,xxitkz(),,,，y (11b) EAe,yy,iikz略去公因子，展开得 ee、,，iit,,,(),itikz,xx (12a) EAeeeAe,,xxx,，iit,,,(),itikz,yy (12b) EAeeeAe,,yyy[ 1 ]任意偏振光能由光矢量的两个分量组成的一列矩阵来表示，这列矩阵称为琼斯矢量。

合成琼斯矢量为it(),,，x,,AeE,,xx ,,E,, (13),,it()，,,y,,EAey,,y,,it,e略去公因子，可将琼斯矢量记为i,x,,AeE,,xx,,E,, ,,i,y,,EAey,,y,,(14) 3.2 琼斯矢量的矩阵表示,,,,,y由于光在x、轴的光程差，则 yxit(),,，xAA,,Ae,,,,xxxitit()()，，,,,,xx (15)=eEe,,,,,,,,i,it()，，,,,x,,AeAAeyyy,,,,,,22IAA,，由于偏振光的光强，进行归一化后可写成 xyA,,i,xxe,,22i,xAA，,,Aexx1,,xE,(16) ,,,,,i,y22A,,iyAeyAA，,y,,xy,,e22,,AA，xy,,Ay,,,,,A,根据光程差，且，则 yxAx1,,i,x (17) EAe,x,,i,Ae,,i,i,yx,,当光矢量和轴成，其中线偏振光的振幅为，，AAAe,sin,xAAe,cos,yx由于椭圆偏振光变为线偏振光时，两垂直光振动的相位差为零，即， ,,,xy 222则 AAA，,xy,当为时，归一化琼斯矢量(16)式可变为i,ii,,xxx,,cos,Aecos,,,,,coscosAee,,,,11Ai,x (18) Ee,,,,,,,,,,,,iii,,,xxy,,sinAAA,sinsinAee,,sinAe,,,,,,,,, i,x,略去公因子，得到光矢量与轴成的琼斯矢量 excos,,, (19) E,,,sin,,,,,当为，归一化琼斯矢量(8)式可变为i,ii,,xxx,,cos(),,Aecos,,,,,cos()cosAee,,,,,11Ai,x (20) Ee,,,,,,,,,,,,iii,,,xxy,,sin,AAA,sin()sin,,Aee,,sin()Ae,,,,,,,,,, i,x,,略去公因子e，得到光矢量与轴成的琼斯矢量为 xcos,,, (21) E,,,,sin,,,,,合(19)(21)式得到光矢量与轴成的琼斯矢量为 xcos,,, (22) E,,,,sin,,,yyx ,,, x,,x图5 光矢量与轴成3.3 典型偏振态的琼斯矢量x3.3.1 光矢量沿方向,=0x光矢量沿正方向，即是，代入(19)式可得coscos01,,,,,,, (23) E,==,,,,,,sinsin00,,,,,,,yx图6(a) 光矢量沿方向 x,3.3.2 光矢量与,轴成 x4,,=光矢量与轴成时，即是，代入(19)时可得 x,44,,,cos,,,,cos221,,,,,24 (24) E===,,,,,,,,,,,sin12,,22,,,,,,,,sin,,4,, y,4x,图6(b) 光矢量与x轴成 4,,,=,x光矢量与轴成时，即是,，代入(19)得 44,,,,,,cos()cos,,,,,cos1,,,,,244E,,,,(25) ,,,,,,,,sin1,2,,,,,,,,,,,sin()sin,,,,,,44,,,,,,x合成(24)(25)可知，光矢量与轴成时的琼斯矢量为 41,,2 (26) E,,,,12,,yx,, 4,,图6(c) 光矢量与轴成 x43.3.3 光矢量沿轴 y,=光矢量沿轴正方向时，即是，根据(19)得到琼斯矢量为 y,2,,,cos,,cos0,,,,,2E,,, (27) ,,,,,,sin1,,,,,,,,sin,,2,,,=,光矢量沿轴负方向时，即是，根据(20)得到琼斯矢量为 y,2,,,cos,,cos00,,,,,,,2E=,,,(28) ,,,,,,,,sin11,,,(),,,,,,,,,,sin,,(),,2,,y合成(27)(28)式，光矢量沿轴的琼斯矢量为0,, (29) E,,,1,,yx图6(d) 光矢量沿y轴3.3.4 左旋圆偏振光,i()，,xi,x～～2振幅为时，，;且 AAAe,AAe,yx222～～ (30) AAA，,2yx根据归一化的琼斯矢量(8)式可变为ii,,xx1,,,,Aee,,11Ai,x,,,,,, (31) Ee,,,,,,i()()，，ii2,,xx,,,,,,222A222AeAee,,,,,,i,x略去公因子，左旋偏振光的琼斯矢量为 e1,,1 (32) E,,,i2,,yx图6(e) 左旋偏振光 3.3.5 右旋圆偏振光,i(),,22xi,2x～～2～～A振幅为时，，;且 AAe,AAe,AAA，,2yxyx 根据归一化的琼斯矢量(8)式可变为ii,,xx1,,,,Aee,,11Ai,x,,,,,,Ee,,,(33) ,,,,i()(),,ii2,,xx,,,,,,222A222AeAee,,,,,,i,xe略去公因子，右旋偏振光的琼斯矢量为1,,1 (34) E,,,,i2,,yx图6(f) 右偏振光旋4 偏振器件琼斯矢量表示的了解是为我们下面学习琼斯矩阵作了铺垫，可以说琼斯矩阵式对琼斯表示法的运用。