2020年高考数学考前指导答案
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高考数学考前指导答案第一部分(选择题丿1•选C。
只须观察a+13能否取到特殊值0和仝即可。
附图如下:2.选B。
3.选A。
先分组：奇数:{1, 3, 5, 7, 9},偶数:{2, 4, 6, 8},只能从中取奇数个奇数，故(C；C：+C；C：)厅=1440 个。
4.选A。
应用特殊值法，注意到a旦不适合，排除B、C、D,故A止确。
25•选Do P(0, JI/2)即为极点，将其坐标更改为(0, H/4)就在曲线C上，Q(-2, 兀)更改为Q (2, 0)就在曲线C上。
6.选C。
依题意，C找8 9两边同除以x1 y = x6 -xy < 0得兀》4y = 4(1 -x)4贝f J x > —,贝0 = 1 - x < 0 ,・ \ x > 1 o7.选C。
应用数形结合的思想：由图可知，x=l, y=k8 选C。
/(x) = -[sinx-(a-l)]2+«2,故-l<a-l<l, a 的取值范围是[0, 2]。
9 选Do注意到P\(M血,P. (-V2-V2)为等轴双曲线y二丄的焦点，2a = 2V2 ,c = 2,由定义知①止确，乂应用①的结论，得\OO,\=-\MP2 l=-(l MP X \+2^2) = -\MP}I+A/2,②正确，同样由定义知直线y = ・x + b为该双曲线的一条准线儿附图：见上方。
10・选A。
应用复数的方法。
11・选D 。
先选好空车位(当一个元索看待)。
12. 选Co 若(x,y)是另一个函数的图象上的动点，应用复数的方法求得与之对 应的原/⑴图象上点的坐标为(-)")，则x = f(-刃，即y = -y 1(x)o13. 选C 。
应用异面直线上两点之间的距离公式，作BD 丄PA 于D , 乂 AAPC= 90° ,故由 BC 2 = BD 2 + PC 2 + PD 2 - 2BD - PC - cos^ 可以求得二面角B-PA-C 的平面角的余弦值为—o 417.选B 。
【精品】2020年全国高考数学考前模拟试卷含答案
A． 1 5
B． 2 3
C． 1 或 2 3
D． 1 或 1 5
6． [2020 ·海淀联考 ] 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1和平面 ACD1 分别截去三棱锥
B ACB1 和三棱锥 D ACD1 后，得到一个 n 面体，则这个 n 面体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
x2 ln x
为 _____．
14．[2020 ·青岛一模 ] 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形， 谢尔宾斯基三角形是一种分形，
由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，
将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余
3 个小三角形重复上述过程得到如
）
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
3．[2020 ·钟祥二模 ] 某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试， 先将 700 个零件进行
编号， 001， 002， L ， 699， 700．从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，
若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（
则双曲线的方程为 y 2 x 2 1 ，故选 A． 4
5．【答案】 C
【解析】 Q a x,1 ， b 2,3x 1 ，且 a∥b ，
x 3x 1 1 2 0 ，解得 x 6．【答案】 D
2 或 x 1 ，本题正确选项 C． 3
【解析】 由题意，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1 和平面 ACD1 分别截去三棱锥 B ACB1 和
）
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案(5)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：匸專題孤先将自已的魅名、准君证号.宮场号准确的填写在蓉期k上.并认奠核准条形妈上的姓名.准為祛号、君场号、座位号及科目，在规定位霍阳上条形码.L选捧翼的作答：琶小題迭出答案J&.请用用2B铅笙把答题卡上对应嚴目的答峯标号涂黑口如果需宴改说L用像攻拯擦干净后.勇选涂其他蓉案标号，写在本U<.L无效乜3. 斗选择觀的件容：屈黒色签宁笙直摟特血蓉題h上对应的蓉趣区域内、写赴本试卷上无效。
4. 本试題卷共23建，全雇满分150分，考试吋问为120分钟。
5話试结東后，将本试卷和管題牍一井收回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1 •抛物线C : y2 2x的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当VFPM 为等边三角形时，其周长为（）A. 2B. 2C. 3一2D. 62•我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为，如图是解决该问题的程序框图，贝U输出的结果为（）1, M N 为线段BC , CG 上的动点，过点A 1, M, N 的平 面截该正方体所得截面记为S ,贝U 下列命题正确的个数是（） ①当BM 0且0 CN 1时，S 为等腰梯形；②当M, N 分别为BC, CG 的中点时，几何体1AD 1MN 的体积为一；③当M N 分别为BC , CG 的中点时,异面直线 AC 与 MN 成角60°;12④无论M 在线段BC 任何位置，恒有平面 ADM 平面BCQ2x 3y 10 0 7.若存在(x,y)满足x 2y 9 0,且使得等式3x+a(2y-4ex)(ln y-ln x)=0成立，其中为3x y 6 0自然对数的底数，则实数的取值范围是（） 33B. [—，)C. ( —% ,0)D. (0, ]2e2e8.记数列｛%｝的前n 项和为S n .已知a 1 1 , (S n 1 S 间 2n (n N ),则()3.观察下列各式: 3125 , 56 15625 , 57 78125 , …,则52019的末四位数字为（） A. 3125 B. 5625C. 0625D. 81254.如果不等式组9x 8x a 0,c 的整数解有n ( n N )个,b 0那么适合这个不等式组的整数的有序数对（a,b ）共有 ()个 A. 17 个B. 64 个C. 81个D. 72 个5.设复数z 满足条件z 1，那么 A. 4B. 162.2 C.i 的最大值是 ()D. 2.26.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 A. 1B. 2C. 3D. 43A. (,0) U[—，)2eA. 121B. 81C. 74D. 4911.在Rt ABC 中，CA 4，CB 3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN 2，则 UUJU UHT ―，+,CM CN 的取值范围为（）数，则下列结论不可能的是（） A. {S}=1 且{T}=0 B. {S}=1 且{T}=1 C. {S}=2 且{T}=2 D. {S}=2 且{T}=3 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020最新全国各省市高考理科数学模拟冲刺卷答案
２ｘ＋
π ３
，将 ｆ（ｘ） 的图象向
[ ] 左平移 φ（φ＞０）个单位后得到 ｇ（ ｘ） ＝ ２ｓｉｎ
２（ｘ＋φ） ＋
π ３
＝
( ) ２ｓｉｎ
２ｘ＋２φ＋
π ３
的图象，因为 ｘ ＝
π ６
是
ｇ（ｘ） 的图象的对称
轴，所以 ２×
π ６
＋ ２φ＋
π ３
＝
２φ
＋
２π ３
＝
π ２
＋ｋπ（ ｋ∈Ｚ），解得 φ ＝
＝
８ ２４
＝
１ ３
，故选 Ｂ．
８．Ｂ
∵
ｆ（ －ｘ）＝
（ －ｘ） ３ ｅ－ｘ －ｅｘ
＝ ｘ３ ｅｘ －ｅ－ｘ
＝ ｆ（ｘ），∴
ｆ（ ｘ） 为偶函数，图象关
于 ｙ 轴对称，排除 Ａ，Ｄ，当 ｘ→＋∞ 时，ｆ（ ｘ） →０，排除 Ｃ，故选 Ｂ．
９．Ｂ 根据 ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ３ ，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，可得 ＡＣ ＝ ２ ３ ，△ＡＢＣ
得 ｔ ＝ ５．
[ ] １１
１５．答案
，１５ ４
( ) 解析
建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系， 则 Ａ
－ ３ ，０ ２
，
三、解答题
( ) １７．解析
（１） ｆ（ ｘ） ＝ ４ｓｉｎ ωｘｓｉｎ
ωｘ＋
π ６
( ) ＝ ４ｓｉｎ ωｘ
３ ２
ｓｉｎ
ωｘ＋
１ ２
ｃｏｓ
ωｘ
＝ ２ ３ ｓｉｎ２ ωｘ＋２ｓｉｎ ωｘｃｏｓ ωｘ ＝ ｓｉｎ ２ωｘ－ ３ ｃｏｓ ２ωｘ＋ ３
｜ ２ｅ－ｅ－４ ｜
＝
４－ｅ ，所以 ｜ ＡＢ ｜
2020年山东省新高考预测卷数学参考答案及解析
2020年山东省新高考预测卷数学 参考答案及解析参考答案：1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：22＋2 15：2 23 16：[25－4，25＋4]解析：1、z ＝(2＋i)(3－2i)＝8－i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选D.2、由题意得，A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选C.3、根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件，选B.4、∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故排除B ，D.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2＞1，∴排除C.故选A.5、法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t ＞0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2，t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.6、由题意知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C 28种，2卦中恰含4根阴线的取法为C 23＋C 13·1＝6种，所以所求概率P ＝6C 28＝314，故选B.7、由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22).又焦点F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.8、根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P －ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.9、因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，因此，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋3a 3＋2＝a 1＋14，故a 3＝4.又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得a 3⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝2(a 3＋1)，解得q ＝2或12.10、由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确.D 的占比最小，A 正确.11、g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.g (x )的最小正周期为π，选项A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有增有减，选项B 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故x ＝π12不是g (x )图象的一条对称轴，选项C 正确.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，且当2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，g (x )取最小值－12，D 正确.12、∵φ(x )＝e x·f (x )－g （x ）ex只有一个零点，∴2m (x 2＋1)－e x－（m ＋2）（x 2＋1）2e x＝0只有一个实数根，即(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1e x 2－2m ·x 2＋1e x ＋1＝0只有一个实数根.令t ＝x 2＋1e x ，则t ′＝（x 2＋1）′e x －（x 2＋1）e x （e x ）2＝－（x －1）2e x≤0，∴函数t ＝x 2＋1ex在R 上单调递减，且x →＋∞时，t →0，∴函数t ＝x 2＋1ex的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m ＋2)t 2－2mt ＋1＝0(*)有且只有一个正实根. ①当m ＝2时，方程(*)为4t 2－4t ＋1＝0，解得t ＝12，符合题意；②当m ＝3时，方程(*)为5t 2－6t ＋1＝0，解得t ＝15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝－3时，方程(*)为t 2－6t －1＝0，得t ＝3±10，只有3＋10>0，符合题意. ④当m ＝－4时，方程(*)为2t 2－8t －1＝0，得t ＝4±322，只有4＋322>0，符合题意.故选A ，C ，D.13、根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4， 则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b ＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15、由已知可得(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2，∴(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，∴展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23.16、由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，因为OP ，OQ 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 21(8－x 20)＋2k 1x 0y 0＋8－y 20＝0，k 22(8－x 20)＋2k 2x 0y 0＋8－y 20＝0，所以k 1，k 2是方程k 2(8－x 20)＋2kx 0y 0＋8－y 2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝8－y 208－x 20.又k 1·k 2＝－1，所以8－y 208－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝16.又|TO |＝4＋16＝25，所以|TO |－4≤|TM |≤|TO |＋4，所以25－4≤|TM |≤25＋4. 答案 [25－4，25＋4]17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ， 由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ， 得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6. 法二 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，易知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得，3a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(2b －3c )×b 2＋c 2－a 22bc，整理得，3bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3. 19. (1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下： 连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF .∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ， 又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0，0，0)，C (1，1，0)，A (0，0，1)，PC →＝(1，1，0)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12.设平面MPC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝－1，∴n 1＝(－1，1，－2)为平面MPC 的一个法向量. 同理可得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－1，1，0). 设二面角M －PC －A 的平面角为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝26×2＝33.∴二面角M －PC －A 的余弦值为33. 20. (1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得t －＝ 1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝3＋5＋8＋11＋13＋146＝9，∑6i ＝1t i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，∑6i ＝1t 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^＝∑6i ＝1t i y i －6t － y－∑6i ＝1t 2i －6t－2＝230－6×3.5×991－6×3.52≈2.34，a ^＝y －－b ^ t －＝9－2.34×3.5＝0.81， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝2.34t ＋0.81.(3)由(2)可知，当t ＝1时，y ^1＝3.15；当t ＝2时，y ^2＝5.49；当t ＝3时，y ^3＝7.83；当t＝4时，y ^4＝10.17；当t ＝5时，y ^5＝12.51；当t ＝6时，y ^6＝14.85.与年利润数据y i 对比可知，满足y ^i －y i <0的数据有3个，所以X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15，X 的分布列为数学期望E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.21. (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)·(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1，∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.22.(1) ∵a ＝0时，∴f (x )＝e x －ln x ，f ′(x )＝e x－1x(x >0)，∴f (1)＝e ，f ′(1)＝e －1，∴函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)证明 ∵f ′(x )＝ex ＋a－1x(x >0)，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋a＋1x2>0，∴g (x )是增函数，∵ex ＋a>e a ，∴由e a >1x⇒x >e －a，∴当x >e －a时，f ′(x )>0； 若0<x <1⇒ex ＋a<ea ＋1，由ea ＋1<1x⇒x <e －a －1，∴当0<x <min{1，e －a －1}时，f ′(x )<0，故f ′(x )＝0仅有一解，记为x 0，则当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )递增；∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0＋a －ln x 0，而f ′(x 0)＝e x 0＋a －1x 0＝0⇒e x 0＋a ＝1x 0⇒a ＝－ln x 0－x 0，记h (x )＝ln x ＋x ， 则f (x 0)＝1x 0－ln x 0＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，a >1－1e ⇔－a <1e－1⇔h (x 0)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，而h (x )显然是增函数， ∴0<x 0<1e ⇔1x 0>e ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0>h (e)＝e ＋1. 综上，当a >1－1e时，f (x )>e ＋1.。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案(14)
1 2020的一个程序框图，判断框图内的条件是（）C. n 2020?D. n 2021?2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1 一暮題先将自己的姓名*准君证号、常场分准确的填写在蓉魏k 上”并认異核卑条形妈上 的姓名.准洛说号、璐场号、座位号及科目，在规定位霍阳上条形码口L 选捧翼的作答：每小題选出答案肯・请用用铅笙把答题卡上对应JS 目的答峯标号涂黑口如 果需星改动，用樣唆拯靈干净后.勇选涂其他琴案标号”写程本U<L 无效。
3. 斗逸择題的色签宁笙直摟特牡蓉題匸上对应的荐趣区域内，写社本试卷丄无效。
［本试題卷共23建，全鬆满分150分，考试吋问为120分《札5一君试结束后，将本试卷和薯題肩一井收回“、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1 1111 •下图是计算丄1丄丄丄2•数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此 题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明 •根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）4.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样 长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1〜9的一种方法.例如：137可表示为“一 ”， 26可表示为“ |「「」”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 1〜9这9个数字表示三位数的个数为（）—二三三亘丄丄』£[2 j 45 6 7 S 9A. 10B. 20C. 36D. 385 .复数乙a 2i ，Z 22 i ，如果乙Z 2，那么实数a 的取值范围是（）B.1,C. 0,D., 1 U 1,6.长方？堑堵？阳马？鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术•商功》，其中阳马和 鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼•取一长方，如图长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1，按平面 ABC 1D 1斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点 与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥 D 1 ABCD 称为阳马，余下的三棱锥D 1 BCC 1是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑， 已知长方体ABCDA.甲3.正方形ABCDB.乙C.丙D. 丁 uuuu A 1B 1C 1 D i 中，若 CM uujur2MC i ，P 在底面ABCD 内运动，且满足DP D 1PCP MP则点P 的轨迹为（）A.圆弧B.线段C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分A.1,1AA1B1C1D1中AB 2，BC 3，AA 4，按以上操作得到阳马，则阳马的A.2.5 B. 5C. ..29D. 4.27. 若ab 29b 20 ,则a 2b 的最小值为()abA. 2 2 B ・ C. 3D. 28. 已知数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1 2 , a n 1an41若数列｛｝的前n 项和an 1 a na n 1 an11.已知A(1, 1) , B(4,0) , C(2,2)，平面区域E 是由所有满足ADABuAC (1 2,1 3)的点D(x,y)组成的区域，则区域E 的面积是()A. 8B. 12C. 16D. 2012 .若集合M {0,1,2}, N {( x, y) | x2y 10 且 x 2y 10, x, y M ｝，则N 中兀素的个数为A. 9B. 6C. 4D. 2、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市2020届高三数学考前指导卷(二)含附加题 含答案解析
已知矩阵
A=
1 0 0 2
，
B
=
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
01
，若直线ｌ依次经过变换
TA , TB
后 得 到 直 线 ｌ ˊ:
2x + y − 2 = 0 ，求直线ｌ的方程．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
已知直线ｌ的参数方程为
x
=
2
+
1 2
t
（t 为参数），点 P(1，2)在直线ｌ上．
7．已知an 为等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 a2 + 5 = 2a5 ，则 S15 的值是________．
8．圆柱形容器的内壁底面半径是 10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁
1
球，测得容器的水面下降了 5 cm ，则这个铁球的表面积为________ cm2 ． 3
江苏省苏州市 2020 届高三考前指导卷（二）
数学Ⅰ试题
一、填空题：不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合 A = x x 1 ， B = 1, 2,3 ，则 A B = ________．
2．已知复数 z = 2 + i （其中 i 为虚数单位），若 z = a + bi (a,b R) ，则 ab 的值为________．
x
（1）求函数 f ( x) 的单调区间；
（2）若函数 f ( x) 在定义域内有两个零点，求 a 的取值范围；
( ) （3）若对任意 x (0, +) ，不等式 m( xln x +1) + (e −1) x≥ 2x − x2 ex 恒成立，求 m 的取值
2020年6月苏州大学2020届高三高考考前指导卷(一)数学答案(含附加题)
1 绝密★启用前江苏省苏州大学2020届高三高考考前指导卷(一)数学试题参考答案解析2020年6月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{|12}x x <≤ 2．23．280 4．1(0]2， 5．2 6．527．56 8．π2- 9．13 10．12- 11．5306612．4 13．4[1]33-， 14解答与提示：1．{|12}A B x x =<≤．2． 2i (2i)(1i)22i 1i 222a a a a z +++-+===+-．因为z 为纯虚数,所以2020a a -=⎧⎨+≠⎩，，解得2a =． 3．由图可知,时速在区间[8090)[110120)，，，的频率为(0.010.02)100.3+⨯=,所以时速在区间[90110)，的频率为10.3-,所以时速在区间[90,110)的车辆约为4000.7280⨯=辆． 4．由1200x x -⎧⎨>⎩≥，，解得102x <≤,即函数()f x 的定义域为1(0]2，． 5．离心率c e a =所以2λ=． 6．执行第一次循环105S i ==，；执行第二次循环207S i ==，；执行第三次循环349S i ==，；执行第四次循环5211S i ==，,终止循环． 所以52S =．7．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1,P 2,三辆车的出车顺序可能为：123,132,213,231,312,321．方案一坐“3号”车可能：132,213,231,所以136P =；方案二坐“3号”车可能：312,321,所以226P =．则该嘉宾坐到“3号”车的概率1256P P P =+=． 8．()cos sin f x x x x '=-,所以在π2x =处的切线的斜率为ππ()22k f '==-．。
江苏省苏州大学2020届高考考前指导卷数学试题 含解析
8．已知函数 f (x) = xcos x ，则 f (x) 在点 ( ，f ()) 处的切线的斜率为 ▲ ．
22
9．已知
Sn
是等比数列{an} 前
n
项的和，若公比
q
=
2
，则
a1
+
a3 S6
+
a5
的值是
▲
．
开始
S←4
i←3
S←S+2i i←i＋2
i≤10 Y N
输出 S 结束 （第 6 题图）
10．已知 2 sin = cos( + ) ，则 tan( − ) 的值是 ▲ ．
△ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b，c ，且 a = 1， 3 cosC = csin A ．
（1）求 C ； （2）若 b = 3 ， D 是 AB 上的点， CD 平分 ACB ，求 △ACD 的面积．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点 P ，C ），平面 ABE 与棱 PD 交于
14．已知 D 是 △ABC 边 AC 上一点，且 CD = 3AD ，BD = 2 ，cos ABC = 1 ，则 3AB + BC 的最大值为
4
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案(3)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事琐：L答題谊■先将自己的魅名、准君证号、常场牛准确的填写在蓉總1＜匕并认異核卑条形娼上的姓名.准弟说号、璐场号、座位号及科目，在规定位霍贴上条形码口L选搾题的作答：哲小疑选出答案后.请用用2B铅笙把答题卡上对应愿目的答峯标号涂黑。
如果需宴改动，用像皮拯擦干净后.勇选涂其他響案标号”写在本U^.L无效乜3. 斗选择題的作磐：用照色签宁笙直按特柱蓉題东上对应的苕趣区域內,写和本试卷丄无效。
4. 本试題卷共23题，全屣满分150分，考试吋问为120分《札5一君试结束后，将本试卷和薯鎚和一井收回。
、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）2 21•己知椭圆C:笃爲1（a b 0）的左、右焦点分别为Fl, F2，点P X」，Q为，在a b椭圆C上，其中为＞0，y i 0,若|PQ| 2OF? , |至|丿3，则椭圆C的离心率的取值范围PF〔 3为（）6 1A. 0, 2B. （0, 6 2]C.严八3 1]D. （0, G 1]2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,贝U输出T的值为3. 对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示:13123 3 533 7 9 1134 13 15 17 19根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（）A. 71B. 75C. 83D. 884. 设i是虚数单位，若复数a1°a R是纯虚数，则a的值为（）3 iA.-3B. -1C. 1D. 3A. C. 3 D. 45.在四面体ABCD中,的取值范围是（）BCD为等边三角形，ADB -，二面角B AD C的大小为，则C. c n°，3D.66 •设函数f x ax 2 2x 2，对于满足1 x 4的一切x 值都有f x 0，则实数a 的取值范围为（）A ^_5.38.有两个等差数列2, 6, 10,-, 190和2, 8, 14,-, 200,由这两个等差数列的公共项 按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）12. 如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、1 27.如图所示，隔河可以看到对岸两目标 A. a 1B.C. 1 1 aD. a -22B,但不能到达，现在岸边取相距 4km 的C, D 两 点，测得/ ACB= 75°,/ BCD= 45°, 内），则两目标A , B 间的距离为（）/ ADG 30/ ADB= 45° (A , B , C, D 在同一平面D. 2.5A. 15B. 16C. 17D. 18 9.已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R, f x 2x ，当0 x 1, f x x 2，若直线y x a 与函数f x 的图像在0,2 内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ()A. 01 B. 0或2C.D. AB BC, AD2DC . 若 AB亠 1 0或—4V uuuv vuuv uuv 八 a, AD b ，则 AC BD ()B. D. bV 2 v v a ba 211.设U 为全集，MP 是U 的两个子集，且 (C U M) P P ，则 M PA. MB. PC. C U PD.ABCD 中, C . V2b 2黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A. 120 种B. 240 种C. 144 种D. 288 种二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国高考数学最新考前模拟试题含答案(理)
2020年全国高考数学最新考前模拟试题含答案（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤2．[2020·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．123．[2020·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为（ ） A ．9B ．12C ．18D ．244．[2020·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．23B ．6C ．0D ．25．[2020·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤6．[2020·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2437．[2020·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a bB ．a aC ．b aD ．b b8．[2020·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．52B ．102C ．)521+D ．)5219．[2020·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A 33B 3C 3D 3 10．[2020·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z11．[2020·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线2y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+L 对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．[2020·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2020·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．14．[2020·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．15．[2020·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______．16．[2020·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2020·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．（1）求角C ；（2）若23c =，求ABC △周长的最大值．18．（12分）[2020·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率； （3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．19．（12分）[2020·全国大联考]如图，在四棱锥S ABCD-中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，点O是AC的中点，点S在底面ABCD上的射影为点O，点P在棱SD上，且四棱锥S ABCD-的体积为23．（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）若SP SDλ=u u r u u u r，且二面角P AC D--的余弦值为1010，求λ的值．20．（12分）[2020·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F、2F，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有114AF BF+=，且12F AF∠的最大值π3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A'是A关于x轴的对称点，设点()4,0N-，连接NA与椭圆C相交于点E，直线A E'与x轴相交于点M，试求12NF MF⋅的值．21．（12分）[2020·石室中学]已知函数()22224lnx a af x xx a+-=-+，a∈R．（1）当1a=，函数()y f x=图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（2）讨论函数()y f x=的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2020·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ． （）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程．（）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2020·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+．绝密 ★ 启用前数学答案 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵{}1B x x =≥R ð，∴(){}12A B x x =≤≤R I ð，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵()()()()2i 1i 2121i a a a ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上， ∴210a -=，即12a =．故选D ． 3．【答案】C【解析】根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为3618⨯=种；故选C ． 4．【答案】D【解析】∵()2,0=a ，∴2=a ，∴πcos 13⋅==a b a b ， ∴222444442-=-⋅+=-+=a b a a b b ．故选D ．5．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =， 执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，∴9k ≤．故选D ． 6．【答案】D【解析】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P ABCD -，底面是边长为9的正方形， 高9PA =，∴几何体的体积为2199=2433V =⋅⋅．故选D ．7．【答案】C【解析】∵01b a <<<，∴x y a =和x y b =均为减函数，∴b a a a >，a b b b <，又∵b y x =在()0,+∞为增函数，∴b b a b >，即在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是b a ，故选C ． 8．【答案】A【解析】以()0,1M 为圆心，半径为5的圆的方程为()2215x y +-=，联立()2236015x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得()2,0A ，()1,3B ，∴AB 中点为33,22⎛⎫⎪⎝⎭，而直线2l ：22330kx y k +--=恒过定点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，要使四边形的面积最大，只需直线2l 过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，()()22210310AB =-+-=，∴四边形ACBD 的面积最大值为1110255222S AB CD =⨯⨯=⨯⨯=．故选A ．9．【答案】C【解析】设正三棱锥底面中心为O ，连接OP ，延长CO 交AB 于D ，则32CD OC =．∵O 是三棱锥P ABC -的外接球球心，∴1OP OC ==，∴32CD =，∴3BC =． ∴()211333133P ABCABC V S OP -⋅=⨯⨯⨯==△．故选C ． 10．【答案】B【解析】由()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，()f x 的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因其图象关于y 轴对称，∴πππ32k ϕ+=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，则π6ϕ=，∴()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ．即()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选B ．11．【答案】B【解析】圆心()0,0O 到直线22y x =-，即220x y --=的距离2222d -==，由22212n n d A B r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且214n n n S A B =，得2222n n S a =++，∴()1422n n n S S S -=-++，即()1222n n S S -+=+且2n ≥；∴{}2n S +是以12a +为首项，2为公比的等比数列． 由2222n n S a =++，取1n =，解得12a =， ∴()11222n n S a ++⋅﹣＝，则122n n S +=-；∴()11222222n n n n n n a S S n +-=-=--+=≥， 12a =适合上式，∴2n n a =；设()2311232322232122n n n n T a a a n a n n -=++++⋅=+⨯+⨯++-⋅+⋅L L ， ()2341222232122n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，∴()()1231111121222222222212212n n n n n n n n T n n n +++++--=++++-=-⋅=--⋅=-⋅--L ；∴()1122n n T n +=-⋅+，若2123232n n a a a na a λ++++<+L 对任意*n ∈N 恒成立， 即()()2112222n n n λ+-⋅+<+对任意*n ∈N 恒成立，即112n n λ-->对任意*n ∈N 恒成立． 设112n n n b --=，∵1112222n nn n n n n nb b +----=-=，∴12341n n b b b b b b +=>>>><>L L ， 故n b 的最大值为23b b =， ∵2312b b ==，∴1λ2>．故选B ． 12．【答案】B【解析】∵()()1xf x f x '>-，∴()()10xf x f x '-+>， 令()()1F x x f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又∵()f x 是在R 上的偶函数，∴()F x 是在R 上的奇函数， ∴()F x 是在R 上的单调递增函数，又∵()()e e e x x x f axf ax ax ->-，可化为()()e e 11x xf ax f ax ⎡⎤->-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()e x F F ax >，又∵()F x 是在R 上的单调递增函数，∴e 0x ax ->恒成立，令()e x g x ax =-，则()e x g x a '=-，∵0a >，∴()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， ∴()min ln 0g x a a a =->，则1ln 0a ->， ∴0e a <<，∴正整数a 的最大值为2．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】11-【解析】作出不等式组1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示．平移直线20x y +=，可知当直线过点C 时，z 有最小值， 联立223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得58x y =⎧⎨=-⎩，故()5,8C -，则z 的最小值为()52811+⨯-=-．故答案为11-． 14．【答案】10092【解析】根据等比数列的性质可得120182201732016100910102a a a a a a a a ===⋯==， ∴这个数列中所有项的乘积为10092，故答案为10092． 15．【答案】()2,+∞【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，0x -<， ∴()26f x x -=-，由奇函数可()26f x x =-+， ∴不等式()f x x <可化为206x x x >⎧⎨-+<⎩，解得2x >；∴0x >时，不等式()f x x <的解集为()2,+∞，故答案为()2,+∞． 16．【答案】2【解析】如图，由112cos cos F MN F F M ∠=∠可得112F MN F F M ∠=∠，∴1122F M F F c ==，1124F N F M c ==，由双曲线的定义可得222MF c a =-，242NF c a =-，∴64MN c a =-，在1F MN △中由余弦定理得()()()()()()2222212644362cos 226432c c a c c ac a F MN c c a c c a +---+∠==⨯⨯--，在12F F M △中由余弦定理得()()()()()222122222cos 22222c c a c c aF F M c c a c+---∠==⨯⨯-， ∵112cos cos F MN F F M ∠=∠，∴()22362322c ac a c ac c a c-+-=-，整理得223720c ac a -+=，∴23720e e -+=，解得2e =或13e =（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）2π3C =；（2）423+． 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=．根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-， ∵sin 0A >，故1cos 2C =-，又0πC <<，∴2π3C =． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=， 整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，∴周长的最大值为2223423++=+． 18．【答案】（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）()715P A =；（3）见解析． 【解析】（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天． ∴这10天中空气质量达到优良的概率为310P =， ∵330910⨯=，∴11月中平均有9天的空气质量达到优良． （2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A ，则()1228310C C 7C 15P A ⋅==，即恰好有一天空气质量良的概率715． （3）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，()0328310C C 70C 15P ξ⋅===；()1228310C C 71C 15P ξ⋅===；()2128310C C 12C 15P ξ⋅===． ∴ξ的分布列为：∴77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（2）14λ=．【解析】（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， 又四边形ABCDS ABCD -的体积为23，∴1233SO =，即1SO =，∴SC =又CD ，点P 是SD 的中点，∴CP SD ⊥，同理可得AP SD ⊥． 又AP CP P =I ，∴SD ⊥平面PAC ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ． （2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 互相垂直，分别以OB u u u r ，OC u u u r ，OS u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()0,0,1S ，()1,0,0D -，∵SP SD λ=u u r u u u r，点P 在棱SD 上，∴01λ≤≤，又()1,0,1SD =--u u u r ，∴(),0,SP λλ=--u u r，∴(),0,1P λλ--，设平面PAC 的法向量为(),,x y z =n ，则0AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ， ∵(),1,1AP λλ=--u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，令z λ=，可得1x λ=-，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0,λλ=-n ，又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =u u u r ，二面角P AC D --，∴,cos OS OS OS ⋅===⋅u u u r u u u r u u u rn n n 28210λλ+-=， 解得14λ=（负值舍去）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）126NF MF ⋅=． 【解析】（1）∵点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，∴12AF BF =， 又114AF BF +=，∴2124BF BF a +==，∴2a =，又12F AF ∠的最大值为π3，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， ∴2a c =，∴1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知直线NA 存在斜率，设直线NA 的方程为()4y k x =+， 由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +++-=．∵直线与椭圆交于两点，∴()()()22223244364120k k k ∆=-+->，解得1122k -<<．设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，且21223243k x x k -+=+，2122641243k x x k -=+，①直线A E '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，得()1212211112211121212248M x x x x x y x y x y x y x x y y y y x x ++-+=+==++++，② 由①②得()()222226412128132843M k k x k k --==--++．∴点M 为左焦点()11,0F -，因此13NF =，22MF =，∴126NF MF ⋅=． 21．【答案】（1）存在；（2）见解析． 【解析】（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+， 则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2+上单调递增，()2+∞上单调递减， ∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→，∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线． （2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+，()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内； 当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e af a =+>+，2224e 1e aa -<<<， ∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内．∴函数()f x 有三个不同零点．综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞U 函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）2a =，()()22134x y -+-=，340x y +-=；（2）43,83⎡⎤⎣⎦． 【解析】（）21ππ:4cos cos sin sin 33C ρρθρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22223x y x y +=+，化为直角坐标方程为()()22134x y -+-=．把2C 的方程化为直角坐标方程为320x y a +-=，∵1C 曲线关于曲线2C 对称，故直线320x y a +-=经过圆心()1,3，解得2a =， 故2C 的直角坐标方程为340x y +-=． （）当ππ63α≤≤时，ππ4cos 4sin 63OA αα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π4cos 3OB α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ4cos 4cos 33OC αα⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，πππ4cos 4sin 233OD αα⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()ππ16sin cos 16cos sin 33f OA OB OC OD ααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π8sin 28sin 212sin 243π83sin n 2263ααααα⎛⎛⎫=+⎫=-- ⎪⎝=+⎪⎝⎭⎭ ，当ππ63α≤≤时，ππ5π2626α≤+≤，π4383sin 2836α⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()f α的值域为43,83⎡⎣．23．【答案】（1）1a =或5-；（2）见解析．【解析】（1）∵()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+， （当且仅当()()20x a x +-≤时取=号） ∴23a +=，解得1a =或5-．（2）当2a =时，()2,2224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩， 当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-；又2x <-，∴不等式无实数解； 当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，∴22x -≤<； 当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x =； ∴()4f x ≤的解集为[]2,2A =-．()()()()2222224481642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++()()()()22222222221644416444m n m n m n m n m n =+--=-+-=--．∵m ，[]2,2n ∈-，∴()240m -≤，()240n -≤，∴()()22440mn m n +-+≥，即()()2244mn m n +≥+，∴42mn m n +≥+．。
苏州大学2020届高考考前指导卷(答案)
苏州大学2020届高考考前指导卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{|12}x x <≤ 2．2 3．280 4．1(0]2，5．2 6．52 7．56 8．π2- 9．1310．12-11．5306612．413．4[1]3-， 14解答与提示：1．{|12}A B x x =<I ≤． 2． 2i (2i)(1i)22i 1i 222a a a az +++-+===+-．因为z 为纯虚数，所以2020a a -=⎧⎨+≠⎩，，解得2a =． 3．由图可知，时速在区间[8090)[110120)，，，的频率为(0.010.02)100.3+⨯=，所以时速在区间[90110)，的频率为10.3-，所以时速在区间[90,110)的车辆约为4000.7280⨯=辆． 4．由1200x x -⎧⎨>⎩≥，，解得102x <≤，即函数()f x 的定义域为1(0]2，．5．离心率c e a ==2λ=． 6．执行第一次循环105S i ==，；执行第二次循环207S i ==，；执行第三次循环349S i ==，；执行第四次循环5211S i ==，，终止循环．所以52S =．7．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321．方案一坐“3号”车可能：132，213，231，所以136P =；方案二坐“3号”车可能：312，321，所以226P =．则该嘉宾坐到“3号”车的概率1256P P P =+=． 8．()cos sin f x x x x '=-，所以在π2x =处的切线的斜率为ππ()22k f '==-．9．2312135616[1()]111(1)131a q a a a q a q S q q-++-===-+-．10．因为π2sin cos()4αα=+，解得1tan 3α=，所以11π13tan()14213α--==-+． 11．如图，10AB =（寸），则5AD =（寸），1CD =（寸），设圆O的半径为x （寸），则(1)OD x =-（寸）．在Rt ADO △，由勾股定理可得2225(1)x x +-=，解得13x =（寸），则该木材的体积约为221001316900x 100π=π⨯=π≈53066（立方寸）． 12．函数()f x 的图象如右图所示，由题意，30()2f x <<，即319x <<，因为123()()()f x f x f x ==，所以3133()(3)x f x x x =-，令3(1,3)t x =∈，构造函数32()3g t t t =-+，2()36g t t t '=-+，所以当2t =时，max ()(2)4g t g ==，所以31()x f x 的最大值为4．13．设正方形ABCD 的边长为a ，以A 为原点，AB AD ，所在直线为分别为x y ，轴建立平面直角坐标系，则(00)(0)()(0)A B a C a a D a ，，，，，，，．设()P x y ，，因为0CP DP ⋅=u u u r u u u r，所以()()0x a y a x y a --⋅-=，，，即222()()24a a x y a -+-=，设cos 22sin 2a a x a y a θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，．又因为()()22a a E a F a ，，，，AP AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以()()()22a ax y a a λμ=+，，，，即22a x a a y a λμλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，所以2232()[(sin cos )]1sin()33224a a x y a a λμθθθπ+=+=++=++，由P 为正方形ABCD 内部一点（包含边界），可得[2]θ∈ππ，，所以[]444θπ5π9π+∈，，所以2241sin()[1]3433λμθπ+=++∈-，． 14．法一：设AD t =，则3CD t =，4AC t =，在ABD △中，222(2)cos 22t c ADB t +-∠=， 在BDC △中，222(3)(2)cos 223t a BDC t+-∠=⋅，又cos cos ADB BDC ∠=-∠，所以222222(2)(3)(2)22223t c t a tt+-+-=-⋅，解得2221238t c a =+-，①DCBA在ABC △中，2222(4)2cos AC t a c ac B ==+-，即2221162t a c ac =+-，②由①②可得2239322a c ac ++=．所以2222333532(3)(3)(3)()(3)2228a c a c a c a c a c +=+-+-⨯=+≥，即2832(3)5a c ⨯+≤，所以3a c +当且仅当3a c =，即a c =所以3AB BC +． 法二：因为3CD AD =，所以3CD DA =u u u r u u u r，即3()BD BC BA BD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得到3144BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯u uu r u u u r u u u r u u u r ，整理得到223329||||||||2BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u uu r u u u r ，设||||c BA a BC ==u u u r u u u r ，，所以22239329(3)22c a ac c a ac =++=+-， 因为293333()2222ac a c c a ⋅⋅+=≤，所以222293532(3)(3)(3)(3)288c a ac c a c a c a =+-+-+=+≥，3c a +a c所以3AB BC +． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为1a =sin C c A =cos sin C c A =， ······················ 2分在ABC △中，由正弦定理sin sin a cA C=，所以sin sin a C c A =，cos sin sin A C C A =． ·························································· 4分因为(0)A ∈π，，所以sin 0A ≠sin C C =，因为(0)C ∈π，，所以sin 0C ≠，所以cos 0C ≠，所以tan C = ············· 6分因为(0)C ∈π，，所以3C π=． ······························································ 8分 （2）由（1）知，3ACB π∠=，因为1a =，3b =，所以ABC △的面积13sin sin 223ABC S ab ACB π=∠==△， ························ 10分因为D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，所以1sin12613sin 26BCD ACD a CD S a S b b CD π⋅⋅===π⋅⋅△△， ···················································· 12分 因为ABC ACD BCD S S S =+△△△，所以3344ACD ABC S S ==△△． ············· 14分 16．（本小题满分14分）证：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD ∥． ································································· 2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB ∥平面PDC ， ··································· 5分 又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC EF =， 所以AB EF ∥． ············································ 7分 （2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ． 因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB EF ∥，所以AB ⊥AF ， ·················································································· 9分 因为AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上（异于点C ）， 所以F 点异于点D ，所以AF AD A =I ，又AF AD ，⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， ······································· 12分 又AB ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． ·································· 14分 17．（本小题满分14分） 解：（1）由题意AOC COD θ∠=∠=，设四边形OCDB 的面积为()S θ，因为四边形OCDB 可以分为OCD △和OBD △两部分，所以11()sin sin(2)22OCD OBD S S S OC OD OB OD θθθ=+=⋅+⋅π-△△， ··············· 3分因为1OB OC OD ===，所以1()(sin sin 2)2S θθθ=+．因为020θθ>π->，，所以02θπ<<．所以四边形OCDB 的面积1()(sin sin 2)(0)22S θθθθπ=+∈，，． ······················ 6分（2）由（1）1()(sin sin 2)(0)22S θθθθπ=+∈，，，所以2211()(sin )(sin cos )cos cos sin 22S θθθθθθθ'''=+=+-21(4cos cos 2)2θθ=+-，令()0S θ'=，即24cos cos 20θθ+-=，解得cos θ=或cos θ= 因为02θπ<<，所以存在唯一的0θ，使得0cos θ= ····················· 10分当00θθ<<时，()0S θ'>，()S θ在0(0)θ，单调递增；当02θθπ<<时，()0S θ'<，()S θ在0()2θπ，单调递减， 所以0θθ=时，max 0()()S S θθ=， ·························································· 12分 此时22202cos(2)BD OB OD OB OD θ=+-⋅π-22000112cos 222(2cos 1)4cos θθθ=++=+-=，从而02cos BD θ=（千米）． 答：当四边形OCDB 的面积最大时，BD·················· 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，短轴长为2，所以22222b a b c c a⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得1a b ==， 所以该椭圆的标准方程为2212x y +=． ···················································· 4分（2）因为点) (0)(0)M m m A >，， 所以直线AM的方程为y x =+，即(4y x =．由2212(4x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，消去y得2222(4)280m x x m +++-=． ··············· 7分 设00()C x y ，，则202284m m -=+，所以0x =，所以0244my m =+．连接OM ，取OM 的中点R，则)2mR ，， ········································· 10分 连接CR ，因为OC CM =，所以CR OM ⊥．又30OM CR m y k k -==31=-，即42280m m +-=， 因为0m >，所以m = ································································· 13分 所以四边形OBMC的面积114223ABM AOC S S S =-=⨯=△△． ····································································································· 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为2()2ln f x x ax x =-+，所以222() (0)x ax f x x x-+'=>． ··············· 2分 令2()22p x x ax =-+，216a ∆=-，当0∆≤即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥， 所以函数()f x 单调递增区间为(0)+∞，．当0∆>即4a <-或4a >时，12x x ==若4a <-，则120x x <<，所以()0p x >，即()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，．若4a >，则210x x >>，由()0f x '>即()0p x >，得10x x <<或2x x >； 由()0f x '<，即()0p x <得12x x x <<．所以函数()f x 的单调递增区间为12(0)()x x +∞，，，；单调递减区间为12()x x ，． 综上，当4a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为12(0)()x x +∞，，，，单调递减区间为12()x x ，． ····· 6分 （2）由（1）得222() (0)x ax f x x x-+'=>，若()f x 有两个极值点12x x ，，则12x x ，是方程2220x ax -+=的两个不等正实根， 由（1）知4a >．则1212212ax x x x +=>=，，故1201x x <<<， ···················· 8分 要使12()f x mx >恒成立，只需12()f x m x >恒成立．因为222311111111111221()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+， ········ 10分令3()22ln (01)h t t t t t t =--+<<，则2()32ln h t t t '=-+， ·························· 12分 当01t <<时，()0h t '<，()h t 为减函数，所以()(1)3h t h >=-． ·················· 14分 由题意，要使12()f x mx >恒成立，只需满足3m -≤．所以实数m 的取值范围(3]-∞-，． ······················································· 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）由32n n S =+，可知1123n n n n a S S ++=-=⨯，故1320n n n a S +-=->对一切正整数n 都成立，故{}n a 是P 数列． ················ 3分 （2）由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+， 由数列12310a a a a L ，，，，是P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >． 213(1)1022n n d S a n d n +-=-++<对满足19n ≤≤中的每一个正整数n 都成立， 即23(1)1022d n d n -++<对于19n ≤≤都成立． ······································· 6分 由2231(1)1022399(1)1022d d d d ⎧⋅-++<⎪⎪⎨⎪⋅-++<⎪⎩，，可得8027d <<，故d 的取值范围是8(0)27，． ····· 8分（3）若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，若0a >，则1q >，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立， 可知11n nq aq a q ->-，即12()n q q-<对一切正整数n 都成立，由1()0n q>，1()(01)n q ∈，，故20q -≤，可得2q ≥．若0a <，则1q <，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立， 可知11nnq aq a q->-，即(2)1n q q -<对一切正整数n 都成立，又当(1]q ∈-∞-，时，(2)1n q q -<当2n =时不成立，故有(01)(2)1q q q ∈⎧⎨-<⎩，，，或2(10)(2)1q q q ∈-⎧⎨-<⎩，，，解得0)(01)q ∈U ，． 所以{}n a 是P 数列时，a 与q 所满足的条件为02a q >⎧⎨⎩，≥，或0(01)0)a q <⎧⎪⎨∈⎪⎩U ，，．12分下面用反证法证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”． 假设{}n a 是P 数列，由0a >，可知2q ≥且{}n a 中每一项均为正数， 若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <， 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T >． 若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{}{}n n b c ''，是将{}{}n n b c ，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为12T T ''，， 不妨设{},{}n n b c ''中的最大项在{}n b '中，设为m a ，则2m ≥， 则21211m m T a a a a T -''+++<L ≤≤，故21T T ''<，所以21T T <，故总有12T T ≠，与12T T =矛盾．故{}n a 不是P 数列． ································· 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．A ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分） 解：依题意1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2y y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102320 x y x y +=-⎧⎨+=⎩，，解得4 8 x y =-⎧⎨=⎩，， ···················· 3分 由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ， ···················· 7分 所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 213122-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． ··············································· 10分 B ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：直线)l ρθθ=：， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． ············································· 3分曲线C 的普通方程为22(2) 1 (32)x y x ++=--≤≤， ································· 6分 2220(2) 1 (32)x y x y x -+=⎧⎨++=-⎩，≤≤-，消去y 整理得22870x x ++=，则22x =--，所以交点坐标为(2)22---． ································· 10分 C ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）解：由00x y >>，，2211274x y x y +++=， 得2215316127444x y x y x y -=+++-27327126444=+-=≥． ································· 6分当且仅当22818x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即122x y ==，时等号成立．故1534x y-的最小值为6． ··································································· 10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 解：设O 是AD 中点，PAD △为正三角形，则PO AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ABCD ⊥面．又因为2AD AE ==，60DAB ∠=︒， 所以ADE △为正三角形， 所以OE AD ⊥．建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(00(00)(20)(100)P E C D --，，，，，，，于是(2(0(10PC PE DP =-=-=u u u r u u u r u u u r，，，． ··················· 2分（1）设平面PEC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由110,0PC PE ⋅=⋅=u u u r u u u rn n ，得一个法向量为1(011)=，，n ，平面EDC 的一个法向量为2(001)=，，n ，所以12cos <>==，n n ， 又由图可得二面角P EC D --为锐角，所以二面角P EC D --． ················································ 4分 （2）设 (01)PM PC λλ=u u u u r u u u r ≤≤，则(2)PM λ=--u u u u r，，(12)DM DP PM λ=+=-u u u u r u u u r u u u u r，(0PE =-u u ， ················ 6分x所以|cos|||||||DM PEDM PEDM PE⋅<>===u u u u r u u u ru u u u r u u u ru u u u r u u u r，，·················8分解得13λ=或23，所以存在点M为线段PC的三等分点． ···························10分23．（本小题满分10分）解：（1）当2n=时，{0}{1}{2}{02}{012}M=，，，，，，，具有性质P，对应的k分别为01211，，，，，故(2)5f=． ··············································3分（2）设当n t=时，具有性质P的集合M的个数为()f t，则当1n t=+时，(1)()(1)f t f tg t+=++，其中(1)g t+表示1t M+∈时也具有性质P的集合M的个数，下面计算(1)g t+关于t的表达式，此时应有21k t+≥，即12tk+≥，故对n t=分奇偶讨论．①当t为偶数时，1t+为奇数，故应该有22tk+≥，则对每一个k，1t+和21k t--必然属于集合M，且t和2k t-，L，k和k共有1t k+-组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，故对每一个k，对应具有性质P的集合M的个数为01111112t k t kt k t k t kC C C+-+-+-+-+-+++=L，所以21222(1)2221221t t tg t-+=++++=⨯-L．·········································5分②当t为奇数时，1t+为偶数，故应该有12tk+≥，同理111222(1)222121t t tg t+-+=++++=-L， ····································7分综上，可得22()221(1)()21ttf t tf tf t t⎧+⨯-⎪+=⎨⎪+-⎩，为偶数，，为奇数，又(2)5f=，由累加法解得212625()425ttt tf tt t+⎧⨯--⎪=⎨⎪⨯--⎩，为偶数，，为奇数，即212625()425nnn nf nn n+⎧⨯--⎪=⎨⎪⨯--⎩，为偶数，，为奇数．·······················································10分。
2019-2020年高考数学考前指导试卷(一)含解析
2019-2020年高考数学考前指导试卷（一）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知集合A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，则实数a的值为______．2．i是虚数单位，复数z满足=i，则|z|=______．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．4．某学校高三有A，B两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为______．5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是______．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程______．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3S2=12，则数列{a n}的公差是______．8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为______．9．已知直线x+y=b是函数y=ax+的图象在点P（1，m）处的切线，则a+b﹣m=______．10．已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）=______．11．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|=，则•的取值范围是______．12．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，直线l：3x+4y﹣17=0．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为______．13．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为______．14．已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最小值是﹣2，其图象经过点M（，1）．（1）求f（x）的解析式；（2）已知α，β∈（0，），且f（α）=，f（β）=，求f（α﹣β）的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．证明：（1）AP∥平面BED；（2）平面APC⊥平面BED．17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=﹣3，OA=6km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r=3（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以18km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．18．椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．①求•的取值范围；②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*．（1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值．20．已知函数f（x）=e x（alnx++b），其中a，b∈R，e≈2.71828自然对数的底数．（1）若曲线y=f（x）在x=1的切线方程为y=e（x﹣1），求实数a，b的值；（2）①若a=﹣2时，函数y=f（x）既有极大值，又有极小值，求实数b的取值范围；②若a=2，b≥﹣2，若f（x）≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的最大值（用b表示）xx年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知集合A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，则实数a的值为3．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，∴1∈A且3∈A，则实数a的值为3．故答案为：32．i是虚数单位，复数z满足=i，则|z|=5．【考点】复数求模．【分析】由=i得z﹣3i=4i•i=﹣4，从而求模．【解答】解：∵=i，∴z﹣3i=4i•i=﹣4，∴z=﹣4+3i，∴|z|==5，故答案为：5．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为50．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品总数n=[1﹣（0，05+0.0375+0.0625）×5]×200=50．故答案为：50．4．某学校高三有A，B两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】某学校高三有A，B两个自习教室，则甲、乙、丙三名学生选择其中一个教室自习的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在教室A的概率，同理，可求出他们同在教室B的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择其中一个教室自习的概率均为，则他们同时选中A教室的概率为：=；他们同时选中B教室的概率也为：：=；故们在同一自习教室上自习的概率P==．故答案为：5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是30．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的A，N的值，即可得解输出一列数中的第3个数．【解答】解：模拟执行程序，可得A=3，N=1，输出3，N=2，满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3，满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4，满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5，不满足条件N≤4，结束．则这列数中的第3个数是30．故答案为：30．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．【解答】解：由题意得，，解得a2=5，b2=20，∴双曲线的方程是，故答案为：．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3S2=12，则数列{a n}的公差是4．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列递推关系式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d．由2S3﹣3S2=2（3a1+3d）﹣3（2a1+d）=3d=12，解得d=4．故答案为：4．8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．9．已知直线x+y=b是函数y=ax+的图象在点P（1，m）处的切线，则a+b﹣m=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】运用切点在切线上和曲线上，可得a，b，m的方程，求出函数的导数，可得切线的斜率，结合已知切线的方程，可得a=1，b=4，m=3，进而得到所求值．【解答】解：由于P（1，m）在函数y=ax+的图象和直线x+y=b上，则m=a+2，m+1=b，又由函数y=ax+的导函数y′=a﹣，可知切线的斜率k=﹣1=a﹣2，有a=1，m=3 和b=4，则a+b﹣m=2．故答案为：2．10．已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式得出cos（）=﹣cos（﹣α），sin2（α﹣）=1﹣cos2（﹣α），然后将已知条件代入即可求出结果．【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=∴cos（）﹣sin2（α﹣）=﹣﹣=﹣．故答案为：﹣11．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|=，则•的取值范围是[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出M，N坐标，利用坐标表示出，【解答】解：以等腰直角三角形的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图，则B（0，0），直线AC的方程为x+y=2．设M（a，2﹣a），则0≤a≤1，N（a+1，1﹣a），∴=（a，2﹣a），=（a+1，1﹣a）．∴•=a（a+1）+（2﹣a）（1﹣a）=2a2﹣2a+2=2（a﹣）2+．∵0≤a≤1，∴当a=时，•取得最小值，当a=0或1时，•取得最大值2．故答案为[，2]．12．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，直线l：3x+4y﹣17=0．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为6x﹣8y﹣19=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2，当最小时，最大，即CM 最小，由此能求出直线AB的方程．【解答】解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2，则由，知当最小时，最大，即CM 最小，那么CM⊥l，∴，设直线AB的方程为3x+4y=m．又由CM=2，知点C 到直线AB的距离为，即，解得或m=；经检验，则直线AB的方程为6x+8y﹣19=0．故答案为：6x+8y﹣19=0．13．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：14．已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为{﹣2，8}．【考点】函数恒成立问题．【分析】对b分类讨论，当b≤0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0，由一次函数的图象知不存在；当b＞0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，利用数学结合的思想得出a，b的整数解．【解答】解：当b≤0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则a不存在；当b＞0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，可设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，又g（x）的大致图象如下，那么由题意可知：再由a，b 是整数得到或因此a+b=8或﹣2．故答案为{﹣2，8}二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最小值是﹣2，其图象经过点M（，1）．（1）求f（x）的解析式；（2）已知α，β∈（0，），且f（α）=，f（β）=，求f（α﹣β）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知可求A，由，可得，结合范围0＜φ＜π，可求φ，进而可得f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）=2cosx，由已知可得，利用同角三角函数基本关系式及范围α，β∈（0，），可求sinα，sinβ，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）因为f（x）的最小值是﹣2，所以A=2．又由f（x）的图象经过点，可得，，所以或，又，所以，故，即f（x）=2cosx．（2）由（1）知f（x）=2cosx，又，，故，即，又因为，所以，所以f（α﹣β）=2cos（α﹣β）=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．证明：（1）AP∥平面BED；（2）平面APC⊥平面BED．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AC，BD的交点O，连结OE，根据中位线定理得出OE∥AP，故而AP∥平面BDE；（2）由平面PBC⊥平面ABCD得出PC⊥平面ABCD，故而PC⊥BD，由菱形性质得出BD ⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面APC⊥平面BED．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连结OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为BD中点．又E是PC的中点，∴AP∥OE．又AP⊄平面BED，OE⊂平面BED．∴AP∥平面BED．（2）平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，∴PC⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD．∵平面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PC=C，∴BD⊥平面APC．又BD⊂平面BED，∴平面PAC⊥平面BED．17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=﹣3，OA=6km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r=3（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以18km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由点到直线的距离，结合直线AQ的方程，即可求出AB的长；（2）强水波不会波及游轮的航行即，代入进行分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：A（6，0），直线ON 的方程为y=﹣3x，Q（x0，3）（x0＞0）．由，及x0＞0 得x0=3，∴Q（3，3）．∴直线AQ 的方程为y=﹣（x﹣6），即x+y﹣6=0，由得即B（﹣3，9），∴，即水上旅游线AB 的长为．（2）设试验产生的强水波圆P，由题意可得P（3，9），生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC=18t，0，∴C（6﹣18t，18t）．强水波不会波及游轮的航行即．PC2=（18t﹣3）2+（18t﹣9）2＞r2=9at，当t=0 时，上式恒成立，当，.，，当且仅当时等号成立，所以，在0＜a＜10 时r＜PC 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．①求•的取值范围；②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点P（0，2）关于直线y=﹣x 的对称点为（﹣2，0），且（﹣2，0）在椭圆M上，可得a=2．又，b2=a2﹣c2，解出即可得出．（2）①当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），即可得出．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），与椭圆方程联立消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△＞0，可得4k2＞3，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得：=﹣1+．利用函数的单调性即可得出．②由题意得，AD：，BC：，联立方程组，消去x得y，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）∵点P（0，2）关于直线y=﹣x 的对称点为（﹣2，0），且（﹣2，0）在椭圆M上，∴a=2．又，故，则b2=a2﹣c2=4﹣3=1．∴椭圆M的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），∴=﹣1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），联立消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△＞0，可得4k2＞3，且，∴=，∴，综上．②由题意得，AD：，BC：，联立方程组，消去x得，又4kx1x2=﹣3（x1+x2），解得，故点Q的纵坐标为定值．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*．（1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】（1）设数列{a n} 的公差为d（d≠0），数列{b n} 的公差为q（q≠0，1），利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）不妨设，可得a+bn=pq n，即，令，问题转化为求关于n 的方程q n﹣tn﹣s=0 最多有多少个解．再利用分类讨论、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n} 的公差为d（d≠0），数列{b n} 的公差为q（q≠0，1），则，解得，∴，或﹣（﹣2）n．（2）不妨设，则a+bn=pq n，即，令，问题转化为求关于n 的方程q n﹣tn﹣s=0 （*）最多有多少个解．①当t＞0 时，∵q＞1，∴函数f'（x）单调递增，∴当x＜x0时，f'（x）x0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴方程（*）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上最多各有1个解．综上：当n∈N*时，方程（*）最多有3个解．②当t＜0 时，同理可知方程（*）最多有3个解．事实上，设时，有a1=b1，a2=b2，a4=b4，所以A的元素个数最大值为3．20．已知函数f（x）=e x（alnx++b），其中a，b∈R，e≈2.71828自然对数的底数．（1）若曲线y=f（x）在x=1的切线方程为y=e（x﹣1），求实数a，b的值；（2）①若a=﹣2时，函数y=f（x）既有极大值，又有极小值，求实数b的取值范围；②若a=2，b≥﹣2，若f（x）≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的最大值（用b表示）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）①a=﹣2时，求出f（x）的导数，得到b=2lnx+，设g（x）=2lnx+（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的范围即可；②取x=1得：k≤（2+b）e，只需证明e x（alnx++b）≥（2+b）ex对一切正实数x恒成立，首先证明e x≥ex，再证明lnx+≥1，从而求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由题意得：y=f（x）过（1，0），且f′（1）=e，∵f′（x）=e x（alnx﹣++b），则，解得：a=3，b=﹣2；（2）①a=﹣2时，f′（x）=e x（﹣2lnx﹣+b），令f′（x）=0，解得：b=2lnx+，设g（x）=2lnx+（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，g（x）∈（1+ln2，+∞），∴当且仅当b＞1+ln2时，b=g（x）有2个不同的实根，设为x1，x2，故此时f（x）既有极大值，又有极小值；②由题意得：e x（alnx++b）≥kx对一切正实数x恒成立，取x=1得：k≤（2+b）e，下面证明e x（alnx++b）≥（2+b）ex对一切正实数x恒成立，首先证明e x≥ex，设函数u（x）=e x﹣ex，则u′（x）=e x﹣e，x＞1时，u′（x）＞0，x＜1时，u′（x）＜0，得：e x﹣ex≥u（1）=0，即e x≥ex，当且仅当都在x=1处取得“=”，再证明lnx+≥1，设v（x）=lnx+﹣1，则v′（x）=，x＞1时，v′（x）＞0，x＜1时，v′（x）＜0，故v（x）≥v（1）=0，即lnx+≥1，当且仅当都在x=1处取得“=”，由以上可得：e x（alnx++b）≥（2+b）ex，∴=（2+b）e，故k的最大值是（2+b）e．xx年9月30日 .。
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2020年高考数学考前指导答案第一部分（选择题）1．选C 。
只须观察α+β能否取到特殊值0和2π即可。
附图如下： 2．选B 。
3．选A 。
先分组：奇数：{1，3，5，7，9}，偶数：{2，4，6，8}，只能从中取奇数个奇数，故1440)(4414353415=+P C C C C 个。
4．选A 。
应用特殊值法，注意到2πα=不适合，排除B 、C 、D ，故A 正确。
5．选D 。
P(0，π/2)即为极点，将其坐标更改为（0，π/4）就在曲线C 上，Q （-2，π）更 改为Q （2，0）就在曲线C 上。
6．选C 。
依题意，2729819y x C y x C ≤，两边同除以067<⋅=xy x y x 得)1(44x y x -=≥则54≥x ，则01<-=x y ，∴1>x 。
7．选C 。
应用数形结合的思想：由图可知，x=1，y=1。
第7题图8．选C 。
22)]1([sin )(a a x x f +---=，故111≤-≤-a ，a 的取值范围是[0，2]。
9．选D 。
注意到)2,2(1P ，)2,2(2--P 为等轴双曲线y =x 1的焦点，222=a ， 2=c ，由定义知①正确，又应用①的结论，得2||21)22|(|21||21||112+=+=='MP MP MP O O ，②正确，同样由定义知直线 y = - x + b 为该双曲线的一条准线l 。
附图：见上方。
第1页10．选A 。
应用复数的方法。
11．选D 。
先选好空车位（当一个元素看待）。
12．选C 。
若),(y x 是另一个函数的图象上的动点，应用复数的方法求得与之对应的原)(x f 图象上点的坐标为),(x y -，则)(y f x -=，即)(1x f y --=。
13．选C 。
应用异面直线上两点之间的距离公式，作PA BD ⊥于D ，又︒=∠90APC ，故由θcos 22222⋅⋅-++=PC BD PD PC BD BC 可以求得二面角C PA B --的平面角的余弦值为43。
14．选C 。
15．选B 。
16．选D 。
17．选B 。
在锐角三角形ABC 中由2π>+B A ，得A B cos sin >，1sin cos 0<<BA ， 且1cos 0<<C 。
故选B 。
18．选C 。
应用特殊值法，令1=a 、0=b 、1-=c 即可。
19．选B 。
20．选B 。
应用数形结合的思想：21．选A 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-∞→不存在11011lim n n n a a )1()1|(|)1|(|)1(-=><=a a a a 22．选B 。
，依题意有)(x f y =在)2,0(上为增函数，且周期4=T ，)(x f y =的图象的对 称轴为2=x ，结合图形研究可得。
23．选D 。
n r r n r x C T -+=41。
24．选C 。
2-=x ，1-，0，1，2，3对应的点依次为A 、B 、O 、C 、D 、E ，其中A 、D 关于原点O 对称，B 、C 关于原点O 对称，故结果是1111232326=+-+-C C C 。
第2页第二部分（填空题）1．28种。
应该严格分类： 1 2 3 4 5 6 7 8取的考题个数： 3 34 25 1故列式：28135523453335=++C C C C C C 。
2．满足这些条件的函数)(x f 可以是x x f )21()(=。
3．B 与D 之间的距离是5。
应用异面直线上两点之间的距离公式：5)2()26()26(222=++=d4．数列}{n a 的前30项中最大的项是99222-。
此题应该注意分析n a 的单调性， 5.10995.1015.1099--+=--=n n n a n ，取11=n 。
5．10≤<r 。
令抛物线y x 22= )200(≤≤y 上的动点),(y x 到),0(r 的距离为d ，12)]1([)(222-+--=-+=r r y r y x d )200(≤≤y ，依题意d 以坐标原点到 ),0(r 的距离为最小，故有01≤-r ，即10≤<r附图：6．②④。
第3页7．a 的值为21。
由3||||21=+x x 两边平方，得9||2||||212221=++x x x x ，即： 92212121=++x x x x x x ，9421=x x ，49)2(2=-a ，则a 的值为21（27=a 舍去）。
8．棱AD 的长的取值范围是(]1,0。
应用三垂线定理，只要底面矩形的AB 边上存在一点P`使得PC DP ⊥即可，故以CD 为直径的圆与AB 有交点，则AD CD ≥21，10≤<AD 。
第三部分（复数与三角）1．解：（1）、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=23cos 3sin 22222ωωωπB A B A ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====63313πϕϕπω取tg B A ，则)6sin(2)(ππ+=x x f （2）、存在)(x f 的对称轴316=x 。
2．解：（1）、经化简得B B f sin 21)(+=，由对任意的△ABC ，有2|)(|<-m B f 得：⎩⎨⎧<-<-<-<-2)(22)(2m B f B f m ⇒⎩⎨⎧≤<<<-3151m m ⇒31≤<m 。
（2）、当2)2(=-B f π时，⇒3π=B ，32π=+C A ，由||3||||231z z z =+得： b c a 3=+，⇒B C A sin 3sin sin =+⇒3||π=-C A ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=353arg 21ππz z )()(C A C A <>。
第4页第四部分（数列）1．解：（1）、依题意，当2≥n 时，021=⋅+-n n n S S a ，即0211=⋅+---n n n n S S S S ⇒2111=--n n S S ，则数列}1{n S 是等差数列，求得n S n 21=⇒nS n 21= （2）、由（1）⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)1(2121n n a n )2()1(≥=n n （3）、na nb n n 1)1(2=-= )2(≥n ⇒ 2222232213121n b b b n +++=+++ΛΛ 111)1(1321211<-=-++⨯+⨯<n n n Λ 2．解：当1＜a ＜23时，)1,0(1322∈+-a a 设等比数列{n X }的公比为q （0>q 且1≠q ），由⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=121121k y t y t k ⎪⎩⎪⎨⎧>+=+->+=+-0121)132(log 0121)132(log 22k a a t a a t k x x ，由于)1,0(1322∈+-a a ， 得：1,0<<t k x x ，∴1322121121+-==++a a x x k t t k， 即：121212)(+-++==t k t k t t k k q x x x ，化得：)12)(()(2+--=t k t t k kq x ， 不妨设k t >，∴122+-=t k q x ，11122>=+t k x q ，而当1>q 时，对于正项等比数列{n X }来说，一定存在自然数0N 使得n ＞0N 时， n X ＞1恒成立。
令111)(2)12()(22>⇒>⇒>=-+---k n t k n k k n k n q q q x q x x ∴21++>t k n ，令t k N +=0，则有当n ＞0N 时，n X ＞1恒成立。
第5页第五部分（立体几何）1．解：（1）、取BD 的中点E ，先证明⊥BD 平面PEQ ，得BD PQ ⊥；（2）、即求PEQ ∠，计算出33a PQ MN ==97cos =∠⇒PEQ ； （3）、应用体积法，BD S V PQE QBD P ⋅=∆-31962a h =⇒。
2．解 （1）、求B 、D 间的距离为a 2；（2）、点D 到直线AB 的距离为27a 。
第六部分（函数与不等式）1．解：依题意，对于任意的R x ∈，均有030242≥++-a ax x （R a ∈）， 则3250)302(4)4(2≤≤-⇒≤+-=∆a a a ， 原方程化为)3)(1|1(|++-=a a x⎪⎩⎪⎨⎧-+++-=49)23(425)21(22a a )31()125(≤<≤≤-a a 18442549≤<⇒≤≤⇒x x 则x 的范围是]18,49[∈x第6页2．解：（1）、由于012>+x 恒成立，∴R x ∈， 令0)2(12222=-+--⇒+++=c y bx x y x c bx x y ， 则0))(2(42≤---=∆c y y b 的解集是]3,1[， 故1和3是0))(2(42=---c y y b 的二根，应用韦达定理求得2-=b ， 2=c ；（2）、由（1）知，122)(2+-=x x x f ，应用函数单调性的定义去判断函数 )(lg )(x f x F =在]1,1[-∈x 上单调减；（3）应该注意到31|61||61|31≤+--≤-t t ，则应用（2）的结论， )31(|61||61|)31(-≤+--≤F t t F ，即：513lg |)61||61(|57lg ≤+--≤t t F 。
3．解：（1）、依题意，有0))((21=++y a y a ，则a y -=1或a y -=2，则方程a c bx ax x f -=++=2)(有实根，即方程02=+++c a bx ax 有实根， )(40)(422c a a b c a a b +≥⇒≥+-=∆， 又0)1(=++=c b a f 且c b a >>，则0>a 、0<c 、)(c a b +-=， 则0)3(0)4(42≥-⇒≥+⇒-≥c a b a b b ab b ， 由于03>-c a ，则0≥b ；（2）、依题意，0)1(=f ，即1是方程02=++c bx ax 的一个根，则另一个根为ac ， 且0<a c ，则有))(1()(ac x x a x f --=，不妨设a y -=1， 即：0))(1(11<-=--a a c x x a ，∴11<<x a c ，∴331+>+ac x （◆） 又由)(c a b +-=及c b a >>得212-<<-a c ， ∴132331=+->+>+a c x ， 第7页而函数)(x f 在),1(+∞上为增函数，∴0)1()3(1>>+f x f ， 同理，若a y -=2，则有0)3(2>+x f ，命题得证。