第四章第三节混料设计

• 按二分量混料，可使用的混料组合为 • x1xi， x1=b, xi=(1－b)/1 • x1=0面的标准{3，2}格子点6个
• 预测方程用二阶规范多项式拟合，例P89。
作业
• 名词解释
• 1因素 • 2空白对照 • 3析因设计 • 4完全随机化设计 • 5交互作用
图1 单纯形格子设计示意图
用类似方法,可做出其它各种格子点集。三 顶点正规单纯形的四阶格子点集记为{3, 4}，总 共有15 个点（P86）。 四顶点正规单纯形（d） 的二阶和三阶格子点集分别用{4, 2}和{4, 3}表 示，如图（e）和（f）所示。
• 一般地，单形格子 M{p, d}设计共有：
• 可根据该回归模型进行优化分析（DPS会自 动给出优化结果），优化结果表明，降低 该饮料余味的 4 种增甜剂的较好配方是 x2 占增甜剂的58.95%，x4占 41.05%。这时理 论上的余味值为 5.0963。
二、具有附加约束的混料设计
• 例如，在中药材水泛丸的生产中，水泛丸 的成分中要含有药粉（x1)、冷沸水（ x2） 、和盖面粉末（ x3）、为了缩短干燥时间 ，要求x2[0.05, 0.09]之内，这种混料问题， 称为有上、下界附加约束的混料问题。 • 附加约束条件： • 0≤ai ≤xi ≤bi ≤1 • ai 、bi、 分别为xi的上、下界
• 这是一种特殊的回归设计问题，试验指标，如 不锈钢的抗拉强度，仅与各种成分，如铁、镍 、铜和铬所占的百分比有关系，而与混料的总 数量没有关系。
一、无附加约束的混料设计
• 在q种成分的混料中，只满足：
是第i组分的百分比 称为无附加约束的混料问题
• 例：P86，4-11
混料设计的计划
例
单纯形重心设计
• 在 p 分量 d 阶的单纯形格子设计中，当 组分数 d 大于 2 时，某些配方实验的格子点 的非零坐标并不相等。这种非对称特性反映 到估计的反应函数的系数时，就会出现某些 观察值对回归方程的影响偏大，而另一些观 察值对回归方程的影响偏小。
• 为了改进此缺点， Scheffe （1958）提出来 只考虑配方有相等非零坐标的单纯形重心 （中心）设计（Simplec entered design）。 这时，设计的实验点为 p-1维的单纯形重心 。
• 本例中，我们的优化目标是取极小值，阶 次取“2”。计算得到的优化结果如下。
• 输出结果的分析，只有当 p 值小于 0.05 时， 回归模型在统计学上才有意义。这里的值等 于0.0014（p<0.01）。说明模型有意义，可 进一步分析。 • 模型拟合是否优良，可看决定系数，这里的 决定系数达 0.9777，拟合效果很好，故不需 要增加阶次继续拟合分析了。
第四节 混料设计
• Persistence is the common trait of anyone who has had a significant impact on the world. • 坚持是世界上每个有所建树的人共有 的品质。
• 混料设计问题，是工农业生产及科学试验中 经常遇到的、较特殊的多因素试验设计问题 。试验者要通过试验得出各种成分比例与指 标的关系。
• 在 DPS系统中进行 Scheffe多项式模型分析 ，其组分数 p 须在15 个以下，模型阶次d 不 超过5。
• 例 1 某种软饮料饮后的余味会降低该软饮 料的价值，现研究 4 种增甜剂配方试验降 低产品的余味。试验采用单纯形重心设计 。试验配方及其结果，在数据分析如下。
• 请问本试验的实验配方？ • X1：X2：X3：X4：=
• 在一个 p 因素的单纯形重心设计中，试验点 为单纯形顶点的一些重心点。这些点是：
• （1）单纯形一个顶点的重心点，即p 个顶 点（1, 0, ⋯, 0）, ⋯, （0, 0, ⋯, 1），共有 C1P个点； • （2）单纯形两个顶点的重心点（1/2, 1/2, 0, ⋯, 0），…, （0, 0, ⋯, 1/2, 1/2），共有 C2P 个点；
• 格子点概念与计算,如图1 所示。图 1 中高为 1 的等边三角形（a）三条边各二等分，则此三 角形（b）的三个顶点与三个边中点的总体称 为二阶格子点集，记为{3, 2}，3 表示正规单纯 形顶点个数，2 表示每边等分数。
图1
• 将等边三角形（c）各边三等分，对应分点连成 与一边平行直线，在等边三角形上形成许多格 子，则这些小等边三角形顶点，即这些格子的 顶点的总体称为三阶格子点集，记为{3, 3}。前 面的 3 系正规单纯形顶点个数，后面的 3 系每 边等分数。
个试验点。单纯形格子设计中，p 分量 d 阶格子点集 ｛p, d｝中有 N个点，正好与所采用的 d 阶完全型规 范多项式回归方程中待估计的回归系数的个数相等， 故单纯形格子设计是饱和设计，是在“试验次数最少 ” 意义下的最优设计。例3分量4阶格子点集有15个点。
单纯形格点分量求解
• 1. 把区间[0, 1]分割成d等分，分割点为点0 ，1/d， 2/d ，…，1； • 2取xi为上述分割点之一，i=1,2, …p,同时满 足x1+ x2+ …+ xp=1（ x1， x2，… xp） • 3单纯型格子点SLD{p,d}包括满足2条件中 的所有点。
1有下界约束混料问题 的设计与试验结果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ析
构建拟分量zi zi=(xi - ai )/R R=1－∑ ai 通过拟分量zi变为无下界约束的混料问题。 例P88，用单纯形-中心设计
• Even if you get no applause, you should accept a curtain call gracefully and appreciate your own efforts. • 即使没有人为你鼓掌，也要优雅的谢 幕，感谢自己的认真付出。
• （3）单纯形三个顶点的重心点（1/3, 1/3, 1/3, 0, …, 0），（1/3, 1/3, 0, 1/3, 0, ⋯, 0）， …，0, 0, ⋯, 0, 1/3, 1/3, 1/3），共有 C3P个点；
• （p）单纯形p 个顶点的重心点（1/p, 1/p, ⋯,
1/p），共有 CpP个点。
• 在单纯形重心设计中，试验点的总数目是2p-1 个。
• 例：P87，4-13
混料试验数据建模分析
• 在 DPS 系统中，我们可以很方便地直接用 混料设计表及试验结果建立 Scheffe 规范多 项式回归模型，以及带倒数项或对数项的回 归模型，而不需要去掉组分。同时，可以采 用 DPS系统提供的专用于混料试验数据分析 的“特殊”的逐步回归方法，筛选因子，建 立回归模型。
1有上界约束混料问题 的设计与试验结果分析
• 在某些混料试验中，由于工艺，成本等方 面的限制，要对一个或某些分量加以上界 约束，形成有上界约束的混料问题。 • 如四分量只有一个分量有上界约束，其余 分量没有附加约束， • 即：0 ＜xi ＜ b ≤1 xi ＞0,(i=2,3,4), • x1+ x2 + x3+ x4=1
• 例如，某种不锈钢由铁、镍、铜和铬四种元 素组成，我们想知道每种元素所占比例与抗 拉强度的数量关系。怎样的试验就可以得到 精度较好而且易于计算的回归方程？
• 混料回归设计就是要合理地选择少量的试 验点，通过一些不同百分比的组合试验， 得到试验指标成分与百分比的回归方程， 通过探索响应曲面来估计多分量系统的内 在规律。得 y的回归方程，以推断最佳混料 比。
• 第一种：单纯形格子设计 • 第二种： 单纯形重心设计
单纯形格子设计
单纯形格子设计是混料回归设计方案中最先 出现的，也是最基本的设计方案，很多其它 设计方案的构成要用到单纯形格子设计。对 于由约束条件
• 构成的正规单纯形因子空间，当采用完全 形规范多项回归模型时，试验点可以取在 正规单纯形格子点上，构成单纯形格子设 计。它可以保证试验点分布均匀，而且计 算简单、准确，回归系数只是相应格子点 的响应值的简单函数。
• 本例中，用户的优化目标是最小值，则在目 标函数后面选“最小值”。模型阶次选1～4 （不超过试验组分数 p）。建议自 2 阶开始 ，从低到高拟合。如果是单纯形重设计，当 阶次取值等于组分数 p值时，为饱和模型， 此时不能进行统计检验。
• 一般来说，需根据分析结果，从专业意义 上考察确定所需的优化模型。