高数11-3(幂级数的概念、性质与求和)
幂级数概念
§11 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{ u n(x)}, 由这函数列构成的表达式U i(x)+lb(X)+U3(X)+ x X XUn f X)+ X X X称为定义在区间I上的(函数项)级数，记为u n(x).n1收敛点与发散点:对于区间I内的一定点X0,若常数项级数U n(X o)收敛,则称n1点X0是级数U n(x)的收敛点•若常数项级数U n(X g)发散,则称n 1 n 1点X o是级数U n(X)的发散点•n1收敛域与发散域:函数项级数U n(X) 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所n1有发散点的全体称为它的发散域•和函数:在收敛域上，函数项级数U n(X)的和是X的函数S(X),n1S(X)称为函数项级数u n(x)的和函数，并写成S(X) u n (X).n1 n1刀U n(x)是U n(x)的简便记法，以下不再重述•n1在收敛域上，函数项级数刀lh(x)的和是X的函数S(X),S(X)称为函数项级数刀®(x)的和函数，并写成S(X)=刀®(x).这函数的定义就是级数的收敛域,部分和:函数项级数U n(x) 的前n 项的部分和记作s n(x),n1函数项级数刀U n(x)的前n项的部分和记作S n(x),即$(x)= U i(x)+ U2(x)+ U3(x)+ x X XUn+x).在收敛域上有lims n(x) Sx)或S n(x) s(x)(n ).n余项：函数项级数U n(X)的和函数S(X)与部分和S n(x)的差n 1r n (X)= S(X)-S n(X)叫做函数项级数U n(x)的余项.n 1函数项级数刀U n(X)的余项记为「n(X),它是和函数S(X)与部分和£(X)的差&(X)= S(X)-S n(X). 在收敛域上有,im r n(x) 0.二、幕级数及其收敛性幕级数：函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幕函数的函数项级数,这种形式的级数称为幕级数,它的形式是a o+ ax+ ax2+ x x x a+x n+ x x x其中常数st, a1, a2, x x x n ,, x x x叫做幕级数的系数幕级数的例子：2 31+x+x2+x3+ x x x x++ x x x ,1 x ix21 nX .2!n!注：幕级数的一般形式是a+a i(x-x o)+a2(x-x o)2+ x x x a+(x-x o)n+ x x x经变换t=x-x o就得3+期+駐2+ x x x a+n+ x x x幕级数1+x+x2+x3+ x x x x++ x x x可以看成是公比为X的几何级数.当|x|<1时它是收敛的；当|x| 1时，它是发散的.因此它的收敛域为(-1, 1),在收敛域内有1 x 1 X x2x3x na n x n当x=x o (X o1o)时收敛则适合不等式n o 定理1 (阿贝尔定理)如果级数| x|<| X o|的一切x使这幕级数绝对收敛•反之,如果级数a n x n当n 0X=X o时发散,则适合不等式|X| | X o|的一切X使这幕级数发散•定理1 (阿贝尔定理)如果级数刀a n X n当X=X o (X o1O)时收敛则适合不等式| x|<| X o|的一切X使这幕级数绝对收敛•反之,如果级数刀a n X n当X=X o时发散，则适合不等式|X| | X o|的一切X使这幕级数发散•提示：刀a n X n是a n X n的简记形式•n O证先设X o是幕级数a n X n的收敛点,即级数a n X n收敛•根据级数收敛的必要条件,有n O n Olim a n X o O,于是存在一个常数M,使n| a h X o n| 如(n=O, 1,2, x x x ).这样级数a n X n的的一般项的绝对值n O|a n X n| |a n X o 耳| M p^|n•X o X o X o因为当|X|<| X o|时，等比级数M 收敛，所以级数|a n X n|收敛，也就是级数a n X n绝n O X o n O n O对收敛•简要证明设刀a n X n在点X o收敛，则有a n X o n O(n ),于是数列｛a n X o n｝有界，即存在一个常数M,使| a n X o n| 血(n=O, 1,2, x x x )•因为|an X n| Xn| |anXO|^^|n M l|n,X oXOXO而当|X| |x o|时,等比级数M |^|n收敛，所以级数刀|a n X n|收敛，也就是级数刀&则绝对收敛n O x定理的第二部分可用反证法证明.倘若幕级数当X=X o时发散而有一点X1适合|X i|>| X o|使级数收敛，则根据本定理的第一部分，级数当X=X o时应收敛，这与所设矛盾•定理得证•推论如果级数a n X n不是仅在点x=0 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛，则必有一n 0个完全确定的正数R存在，使得当| x|< R时,幕级数绝对收敛；当|x| R时,幕级数发散；当x=R与x=-R时,幕级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做幕级数a n x n的收敛半径开区间（R R）叫做n 0幕级数a n X n的收敛区间再由幕级数在x R处的收敛性就可以决定它的收敛域幕级n 0数a n X n的收敛域是（-R, R）（或［-R, R）、（-R, R］、［-R R］之一.n 0规定：若幕级数a n X n只在x=0收敛，则规定收敛半径R=0 ,若幕级数a n X n对一切x都n 0 n 0收敛，则规定收敛半径R=+ ¥ ,这时收敛域为（-¥ , + ¥ ）.定理2如果lim |也|其中Oi、昂+1疋幂级数O n X n的相邻两项的系数，则这幕级数的收敛半n 0n a n径R10定理2如果幕级数a n X n系数满足lim宀，则这幕级数的收敛半径n 0n a nR10定理2a如果lim 口 |,则幕级数a n x n 的收敛半径 R 为na nn 0当 0时R — 当 0时R 当 时R 0简要证明：lim |an lX n | lim |旦^| |x||x|.na n Xna n(1)如果0< r <+ ,贝U 只当r | x |<1时幕级数收敛故R —.1x n n!X的收敛域.例2求幕级数1X n 的收敛域. n 0n!⑵如果r =0,则幕级数总是收敛的,故 R =+⑶如果r =+ 则只当x0时幕级数收敛，故 R =0. 例1求幕级数1)n1 x 2nn(1)n X的收敛半径与收敛域例1求幕级数1)n 1—的收敛半径与收敛域•n解因为lim|nan 1a nlim n 1 n 1 1 1 ，n所以收敛半径为 R — 1.当X =1时, 幕级数成为1)n 11,是收敛的；n当x =-1时，幕级数成为(丄)，是发散的•因此，收敛域为(-1, 1]. n 1n例2求幕级数丄x no n!例5求幕级数(x 1)n n1 2n n的收敛域.解令t= x-1,上述级数变为t n n12n n因为lim|anJ|n a n2n n 2 (n 1)1解因为lim 0,n a n n 丄n (n 1)!n!所以收敛半径为R=+ ¥ ,从而收敛域为(-¥ , + ¥ ).例3求幕级数n!x n的收敛半径.n 0解因为所以收敛半径为R=0,即级数仅在x=0处收敛.例4求幂级数no洋/的收敛半径解级数缺少奇次幕的项，定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径因为n im 4|x|2,11 1 当4| x| 2<1即|x| 2时级数收敛；当4|x|21即|x| 1时级数发散，所以收敛半径为R -.所以收敛半径R=2.nlim'a V l limn(n 1)!n!幕级数的一般项记为U n(X)(2n)!x2n(n!)2提示U n1(X)U(x)[2(n 1)]!x2(n 1)[(n 1)!]2(2n)!x2n2x(2n 2)(2n 1) x2(n 1)2当t=2时,级数成为1，此级数发散；当t=-2时,级数成为(卫，此级数收敛.因此级n i n n i nt n数--的收敛域为-2 £<2 因为-2 &-1<2,即-1盘<3,所以原级数的收敛域为［-1,3).n i2 n三、幕级数的运算设幕级数a n X n及bnXn 分别在区间(-R, R)及(-R C R C )内收敛则在(-R, R)与(-R C R C )中较n0n 0小的区间内有加法：a n x n b^(a n b n)x n,n 0n 0n 0减法：a n x n bnX n(a n bn)x n,n 0n 0n 0设幕级数刀a n X0及刀b n X n分别在区间(-R, R)及(-R C R C )内收敛则在(-R, R)与(-R C,C )中较小的区间内有加法：刀a n X n+刀b n X0=刀(a n+ ,减法：刀a n x n-E b n x n=刀(a n-b n)x n.乘法：(a n x n) ( b n X1"1) = a o b o+(a b i+a i b o)x+(a o b2+a i b i+&b o)x2+ x x xn 0 n 0+(a)b n+ a(b n-i+ x x x a+b o)x n+ x x x性质i幕级数a n x n的和函数sx)在其收敛域I上连续.n 0如果幕级数在x= R (或x=- R)也收敛，则和函数s(x)在(-R, R］(或［-R, R))连续.性质2幕级数a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式n 00s(x)dx 0( a n x n)dx ^a^dx -a^x n 1(x I )n 0 n 0 n 0n 1逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径性质3幕级数a n X n的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导并且有逐项求导公式n 0s (x) ( a n x n) (a n x n) na* 1(| x| R)n 0 n 0 n 1在xs(x)亠;x n 1的两边求导得n 0n 1逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径 性质1幕级数刀&X 1的和函数s (x )在其收敛域I 上连续. 性质2幕级数刀&X 1的和函数s (x )在其收敛域I 上可积 并且有逐项积分公式3处 0(n o a n X n )dXno'M dX “缶"以 1 ) 逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径 性质3幕级数刀&X 1的和函数s (x )在其收敛区间(R R )内可导 并且有逐项求导公式 s(x) ( a n X n ) (a n X n ) na ・x n 1(| x | n 0 n 0 n 0 逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径 R )1 例6求幕级数 —x n 的和函数• n 0n 1解求得幕级数的收敛域为 [1 1) 设和函数为s (x ),即s(x)1 %nn 0n 11)显然 s (0)=1.[xs(x)] (1x n 1n 0n 1对上式从0到x 积分，得x nn 01 r_xxs(x)x 10^dxln(1 x).曰当x 10时,有 s(x)ln(1 xx).从而 s(x)」ln(1x 1x) 0 |x| 1 因为xs(x)0冷n 0nx ndxx 1DEln(1 x),所以，当x 10时，有s(x)xln(1 x)，从而 s(x) xln(1 x) 0 |x| 11t x 提示应用公式0 F (x)dx F(x)7求级数n—x n ，此级数在［-1, 1)上收敛，设其和n 0n 1由和函数在收敛域上的连续性 S( 1) xlim 1 S(x) ln2 综合起来得s(x) 2ln(1 1 x) 1,0) (0,1) x x 2 x 3 x n从而s(x) 1ln(1 x) 0 |x| 1 x 1 x 0例6求幕级数n 0n 1x n解求得幕级数的收敛域为 的和函数. [1 1)设幕级数的和函数为 s (x ), 即 s(x)n =x n 0n 11 1) 显然S (0) 因为xs(x) 0岸 1]dx所以，当0 |x| x n dx0 x 01 —dx x ln(1 x)(1)， 1 时，有 s(x)~xln(x)F(0) x 即 F(x) F(0) 0 F (x)dx 考虑幕级数1 ( 1)n 1 在例 6 中已得到 xs (x )=l n(1-x ),于是-s (-1)=In 2, s( 1) ln1 ,即 In*.2 n o n 1 2 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！函数为s (x ),则s( 1) (1)nn 0 n 1。
幂级数
k −1
=
1 在 x < 2 上成立， x2 1− 2
所以： f ( x ) = f ( 0 ) +
∫
x
0
f ′ ( t ) dt = ∫
x
0
1 1 2+x ， x < 2， dt = ln 2 t 2 2−x 1− 2 1 2 +1 = 2 ln ln 2 2 −1
最后我们求得：
∑ 2 ( 2k − 1) = f (1) =
则在 ( x0 − R, x0 + R ) 上，函数 S ( x ) 可导，且有：
S ′ ( x ) = ∑ nan ( x − x0 )
n =1
∞
n −1
， ∫ S ( t ) dt = ∑
x x0
an n +1 ( x − x0 ) 。 n =0 n + 1
∞
此定理也是由于一致收敛级数之性质而来的。 例4. 由幂级数
高等微积分讲义
第9讲
幂级数的定义与性质
∑a (x − x )
n =0 n 0 ∞ n
幂级数是指形如
的函数项级数， 由于形式相对简单因而其性质也较容易
研究清楚，并且具有一些一般函数项级数所没有的特殊性质。
1
对于级数
收敛性与收敛半径
∑a (x − x )
n =0 n 0
∞
n
，令： lim n an x − x0
∑( x − x )
n=0
0
∞
n
级数的收敛半径为 1，当 x − x 0 = ±1 时，级数均发散，所以级数的收敛区间 为 ( x0 − 1, x0 + 1)
∞
例2. 考虑级数
幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数的收敛性与求和
幂级数的收敛性与求和幂级数是数学中重要的数列形式，它常用于描述函数的无限项展开。
在研究幂级数时，我们常关注它的收敛性以及如何求和。
本文将重点讨论幂级数的收敛性及求和方法，并且提供几个实例进行说明。
一、幂级数的概念与收敛性在数学中，幂级数是指以$x$为变量的形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数。
其中，$a_n$是系数序列，$x$是变量，$n$为指数。
判断幂级数的收敛性，我们可以使用根植、比值等各种方法。
其中，根植法适用于幂级数的绝对收敛性判断，比值法适用于幂级数的条件收敛性判断。
根植法的步骤如下：1. 计算收敛域的半径$R=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$；2. 若$x<R$时级数绝对收敛，$x>R$时级数发散，$x=\pm R$时需另行讨论。
比值法的步骤如下：1. 计算收敛域的半径$R=\lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$；2. 若$x<R$时级数绝对收敛，$x>R$时级数发散，$x=\pm R$时需另行讨论。
二、求和方法：直接求和与逐项积分幂级数的求和方法通常有两种：直接求和与逐项积分法。
1. 直接求和法：对于一些特殊的幂级数，可以通过变形和求导等方法直接求得幂级数的和函数。
例如，$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，柯西积分公式等。
2. 逐项积分法：逐项积分是幂级数求和的常见方法之一。
其基本思想是逐个对幂级数的每一项进行积分。
例如，对于形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的幂级数，我们可以对每一项进行积分得到$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$C$为常数。
三、实例分析接下来，我们将通过几个实例来说明幂级数的收敛性与求和方法。
大一高数幂级数知识点
大一高数幂级数知识点幂级数是数学分析中的一个重要概念，它在函数的分析和近似表示中扮演着重要的角色。
本文将介绍大一高数中与幂级数相关的知识点，包括幂级数的定义、收敛性判定、常见的幂级数函数以及求和方法等内容。
一、幂级数的定义和性质幂级数是一种形如∑(an*(x-a)^n)的级数，其中an为常数系数，x是变量，a是常数。
幂级数通常以x为自变量，可以展开为无穷项的多项式。
幂级数的定义如下：【数学公式】其中，an为幂级数的系数，x-a为幂级数的变量项，n为幂级数的指数。
幂级数的收敛区间是使得幂级数收敛的所有x值所构成的区间。
根据幂级数的性质，收敛区间的长度可以是0到正无穷大，也可以是无穷小到无穷大。
当x位于收敛区间时，幂级数才会收敛于一个确定的值。
二、收敛性判定对于给定的幂级数，我们需要判断其在某个特定点或区间是否收敛。
常用的收敛性判定方法有以下几种：1. 比值判别法：根据幂级数绝对值的比值是否小于1来判断其收敛性。
2. 根值判别法：根据幂级数绝对值的n次根是否小于1来判断其收敛性。
3. 阿贝尔定理：对于幂级数∑(anx^n)，当x=a时，如果∑(an*a^n)收敛，则对任意|x-a|<|a|，幂级数都收敛。
三、常见的幂级数函数1. 指数函数：幂级数形如∑(x^n/n!)，其收敛区间为(-∞, +∞)，用以近似表示自然指数函数。
2. 正弦函数和余弦函数：幂级数形如∑((-1)^n*(x^(2n)/((2n)!)))和∑((-1)^n*(x^(2n+1)/((2n+1)!)))，分别用以近似表示正弦函数和余弦函数。
3. 自然对数函数：幂级数形如∑((-1)^(n+1)*(x^n/n))，其收敛区间为(-1, 1]，用以近似表示自然对数函数。
四、求和方法1. 逐项求和：对于给定的幂级数，可以按照幂级数的定义逐项求和，得到幂级数的和函数。
2. 求导和积分：对于已知的函数，可以通过求导和积分的方式得到其对应的幂级数表示。
幂级数的求和
幂级数的求和级数求和是数学中一个重要的概念，它不仅包含着数学中复杂的概念、方法和技巧，而且在求解各种实际问题中也有着重要的应用。
那么在本文中，我们将介绍幂级数求和的基本概念和规律，以及其中的几种重要算法。
首先，让我们从一个最基本的概念开始：幂级数是指一种求和的数列，每个元素的系数都是指数函数的函数。
它可以用以下方式表示： S = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3 + ... + a_nx^n 其中，a_0、a_1、a_2、a_3 ... a_n是由指数函数给出的常系数，x是可变的参数。
除了这种最基本的模式外，幂级数还可以有不同的形式，比如，幂函数也可以表示成：S = a_0 + a_1x^m + a_2x^(2m) + a_3x^(3m) + ... + a_nx^(nm) 其中，m是常数。
不过，不管是哪种形式，都可以通过求和来求出幂级数。
这种求和有两种主要形式，一种是精确求和，另一种是逐步求和。
（1）精确求和精确求和是一种比较常用的求和方式，它可以通过在完整的求和方程中替换变量的方法来实现。
下面是一个普通的精确求和例子：S = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3 + ... + a_nx^n 替换变量后：S = a_0 + a_1(x-d)^1 + a_2(x-d)^2 + a_3(x-d)^3 + ... +a_n(x-d)^n此时，只要把变量d替换成x，就可以得到求和的公式。
（2）逐步求和逐步求和是求解幂级数的另一种方法，它的做法就是将求和的数列分解成不同的子数列，再将每一个子数列分别求和，最后再将求出的结果汇总，来求出总的结果。
综上所述，我们可以得出，幂级数求和是求解数学公式的有效方法，它能帮助我们简化复杂的计算，在计算机科学领域也有着重要的应用。
除此之外，幂级数求和还可以作为在多种概念和公式中的基本模型。
比如，它可以用来分析函数、求解微分方程和求解积分等。
高等数学：幂级数
n an
n n
所以幂级数的收敛半径为 R 1，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数 n, (1)nn 均发散，
n0 n1
故所求级数的收敛域为(-1,1).
典型例题讲解
（2）因为 lim an1 lim (1)n1 / (1)n lim n 1,
n an n n 1
n
n n 1
幂级数
幂级数
知识点讲解
1.幂级数的定义和性质 2.典型例题讲解
幂级数的定义和性质
定义1
由幂函数序列 {an (x x0 )n}所产生的函数项级数
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) an (x x0 )n
n0
称为幂级数.
其中 an (n 0,1,2,) 称为幂级数的系数.
当0 R 时，幂级数 an xn 在 (R, R) 上收敛， n0
在区间端点幂级数 an xn 可能收敛也可能发散. n0
称 (R, R)为幂级数的收敛区间.
幂级数的定义和性质
定理2
对于幂级数 an xn , n0
若
lim an1 n an
,
则
（1）当 0 时，幂级数 anxn n0
所以幂级数的收敛半径为 R 1 ，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数
(1)n
n1 n
收敛；
当 x 1时，级数
1
n1 n
发散.
故所求级数的收敛域为(-1,1].
典型例题讲解
例2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
解
(1)
n1
1 n 2n
(x
1) n ;
(2)
n0
(1)n1 n 2n
幂级数概念
§ 11 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )} 由这函数列构成的表达式 u 1(x )u 2(x )u 3(x ) u n (x )称为定义在区间I 上的(函数项)级数 记为∑∞=1)(n n x u收敛点与发散点对于区间I 内的一定点x 0 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点收敛域与发散域函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散域 和函数在收敛域上 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x )s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数 并写成∑∞==1)()(n n x u x s∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法 以下不再重述在收敛域上 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x )s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数 并写成s (x )∑u n (x )这函数的定义就是级数的收敛域 部分和函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x )函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ) 即 s n (x ) u 1(x )u 2(x )u 3(x ) u n (x )在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )s (x )(n)余项函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )s (x )s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ) 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n(x )s (x )s n (x )在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n二、幂级数及其收敛性 幂级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是 a 0a 1x a 2x 2a n x n其中常数a 0 a 1 a 2a n叫做幂级数的系数幂级数的例子 1x x 2x 3 x n!1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x注 幂级数的一般形式是 a 0a 1(xx 0)a 2(x x 0)2 a n (x x 0)n经变换t x x 0就得a 0a 1t a 2t 2 a n t n幂级数1x x2x 3 x n可以看成是公比为x 的几何级数 当|x |1时它是收敛的 当|x |1时 它是发散的 因此它的收敛域为(1 1) 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x x 0 (x 00)时收敛 则适合不等式|x ||x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛 反之如果级数∑∞=0n n n x a 当x x 0时发散 则适合不等式|x ||x 0|的一切x 使这幂级数发散定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n当x x 0 (x 00)时收敛 则适合不等式|x ||x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数∑a n x n当x x 0时发散 则适合不等式|x ||x 0|的一切x 使这幂级数发散提示 ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式证 先设x 0是幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛点 即级数∑∞=0n n n x a 收敛 根据级数收敛的必要条件有0lim 0=∞→n n n x a 于是存在一个常数M 使| a n x 0n|M (n 0, 1, 2, )这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值nn n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=因为当|x ||x 0|时 等比级数n n x x M ||00⋅∑∞=收敛 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛简要证明 设∑a n x n在点x 0收敛 则有a n x 0n0(n ) 于是数列{a n x 0n}有界 即存在一个常数M 使| a n x 0n|M (n 0, 1, 2, ) 因为 nn n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=而当||||0x x <时 等比级数n n x x M ||⋅∑∞=收敛 所以级数∑|a n x n |收敛 也就是级数∑a nx n 绝对收敛定理的第二部分可用反证法证明 倘若幂级数当x x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛 则根据本定理的第一部分 级数当x x 0时应收敛 这与所设矛盾定理得证推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x 0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R 存在 使得 当|x |R 时 幂级数绝对收敛 当|x |R 时 幂级数发散当x R 与x R 时 幂级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径开区间(R R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间 再由幂级数在xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(R , R )(或[R , R )、(R , R ]、[R , R ]之一规定 若幂级数∑∞=0n n n x a 只在x0收敛 则规定收敛半径R 0 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛 则规定收敛半径R 这时收敛域为(, )定理2如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a其中a n 、a n 1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 0010 R定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 0010 R定理2如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为当0时ρ1=R 当0时R 当时R 0简要证明 || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a nn n n n n n n ρ=⋅=+∞→++∞→ (1)如果0 则只当|x |1时幂级数收敛 故ρ1=R(2)如果0 则幂级数总是收敛的 故R(3)如果 则只当x 0时幂级数收敛 故R 0例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑n x x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ所以收敛半径为11==ρR当x 1时 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n是收敛的 当x 1时幂级数成为∑∞=-1)1(n n是发散的 因此收敛域为(1, 1]例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域 例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ所以收敛半径为R从而收敛域为(, )例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ所以收敛半径为R 0 即级数仅在x 0处收敛例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径 解 级数缺少奇次幂的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→当4|x |21即21||<x 时级数收敛 当4|x |21即21||>x 时级数发散 所以收敛半径为21=R提示 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n xn n x u x u n n n n +++=++=++ 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域解 令t x 1 上述级数变为∑∞=12n n n n t因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ所以收敛半径R 2当t 2时 级数成为∑∞=11n n此级数发散 当t2时 级数成为∑∞=-1)1(n n此级数收敛 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为2t 2 因为2x 12 即1x 3 所以原级数的收敛域为[1, 3)三、幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn xa 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(R , R )及(R , R )内收敛 则在(R , R )与(R , R )中较小的区间内有加法 ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b x a 减法 ∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n nn n n n n n n n x b a x b x a设幂级数∑a n x n及∑b n x n分别在区间(R , R )及(R, R )内收敛则在(R , R )与(R , R )中较小的区间内有加法 ∑a n x n∑b n x n ∑(a n b n )x n减法 ∑a n x n∑b n x n∑(a n b n )x n乘法 )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a a 0b 0(a 0b 1a 1b 0)x (a 0b 2a 1b 1a 2b 0)x 2(a 0b n a 1b n1a nb 0)xn性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续如果幂级数在x R (或xR )也收敛 则和函数s (x )在(R , R ](或[R , R ))连续性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===01001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x I ) 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(R R )内可导并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |R )逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质1 幂级数∑a n x n的和函数s (x )在其收敛域I 上连续性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积 并且有逐项积分公式 ∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===01001)()(n n n n xnn x n nn xx n a dx x a dx x a dx x s (x I ) 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质3 幂级数∑a n x n的和函数s (x )在其收敛区间(R R )内可导 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |R )逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数 解 求得幂级数的收敛域为[1 1) 设和函数为s (x ) 即∑∞=+=011)(n n x n x s x [1 1) 显然s (0)1在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001对上式从0到x 积分 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰于是 当x 0时 有)1ln(1)(x x x s --= 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x x x n n--=-==⎰⎰∑∞=所以 当x 0时 有)1ln(1)(x xx s --=从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数解 求得幂级数的收敛域为[1 1) 设幂级数的和函数为s (x ) 即∑∞=+=011)(n nx n x s x [1 1)显然S (0)1 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)()11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x x x n n所以 当1||0<<x 时有)1ln(1)(x xx s --=从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s由和函数在收敛域上的连续性 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x xx s提示 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰ 即⎰'+=xdxx F F x F 0)()0()(11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n 此级数在[1, 1)上收敛 设其和函数为s (x ) 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s在例6中已得到xs (x )ln(1x ) 于是s (1)ln2 21ln)1(=-s 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n。
幂级数知识点总结高数大一
幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。
其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。
在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。
一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。
一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，\(x\) 是变量，\(\{a_n\}\) 是一组常数系数。
在幂级数的展开形式中，\(a_n\) 表示第 \(n\) 项的系数，\(x^n\) 表示变量 \(x\) 的指数幂。
二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。
收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 \(R\)；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。
三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 \(|x| < 1\) 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 \(x_0\) 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。
数学幂级数知识点总结
数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。
其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。
换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。
具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。
收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。
3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。
如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。
4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。
二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。
根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。
2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。
为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。
3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。
4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。
一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。
三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。
幂级数
f1(z0 ) f2 (z0 ) fn (z0 )
如果
lim
n
Sn
(
z0
)
存在，则称点
z0
是复变函数项级数的收敛点，称
lim
n
Sn
(
z0
)
S
(
z0
)
为级数在点
z0
的和；否则称点
z0
是级数的发散点。
复变函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域。
在收敛域内，函数项级数的和是 z 的函数 S(z) ，通常称
n0
n0
n0
n0
n0
n0
性质 2.在收敛圆内，幂级数可以逐项积分或求导任意次， 而收敛半径不变。
定理 3：在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数。
例 6：求 (1 i)n zn 的收敛半径。 n0
例 7：求 (n 1)zn 的收敛半径和和函数。 n0
例 8：求 (2n 1)zn1 的收敛半径和和函数。 n1
例
9：计算
( zn)dz ， c
c n1
为
z
1 2
的正向。
三、幂级数的运算和性质
运算：复变幂级数也能进行有理运算
性质 1.设 nzn 和 nzn 的收敛半径为 R1 和 R2 ，且
n0
n0
R0 minR1, R2，在开圆域 z R0 内，以下两级数绝对收敛：
， 。 n zn n zn (n n )zn ( n zn ) ( n zn ) n zn
那么对满足| z || z0 | 的 z ，级数发散。
幂级数和函数的求法
幂级数和函数的求法幂级数是一种特殊的无穷级数，在数学和物理学中有广泛的应用。
幂级数可以表示为一个多项式的无限级数，其中每一项都是多项式的某个次幂。
幂级数可以用来表示很多函数，比如指数函数、三角函数、对数函数等。
在本文中，我们将介绍幂级数和函数的求法。
第一部分：幂级数的定义和求和公式幂级数可以写成以下形式：f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...其中，a0、a1、a2、a3...是常数系数，x是变量。
幂级数可以表示为一个累加和的形式，即：f(x)=∑n=0∞anxn其中，an是幂级数的每一项系数，n是项数。
幂级数的求和公式如下：∑n=0∞x^n=1/(1-x)这个公式很有用，因为它可以用来推导其他幂级数的求和公式。
第二部分：幂级数的求导和积分对于幂级数f(x)，我们可以对其进行求导和积分，得到新的幂级数。
幂级数的求导公式如下：f'(x)=∑n=1∞nanxn-1其中，an是原幂级数的每一项系数，n是项数。
幂级数的积分公式如下：∫f(x)dx=∑n=0∞an+1/(n+1)xn+1+C其中，C是常数。
第三部分：常见的幂级数和函数许多常见的函数都可以表示为幂级数的形式，比如：指数函数：e^x=∑n=0∞x^n/n!三角函数：sin(x)=∑n=0∞(-1)nx^(2n+1)/(2n+1)!cos(x)=∑n=0∞(-1)nx^(2n)/(2n)!对数函数：ln(1+x)=∑n=1∞(-1)^(n+1)x^n/n以上是一些常见的幂级数和函数，它们的幂级数表达式可用于计算、分析和求解各种数学和物理问题。
本文介绍了幂级数和函数的求法，包括幂级数的定义和求和公式、幂级数的求导和积分、以及常见的幂级数和函数。
希望读者通过本文的学习，能够更好地理解幂级数和应用它们解决实际问题。
幂级数的概念和收敛性
幂级数的概念和收敛性幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关的性质和定理。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为变量，a为常数，n为正整数。
幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。
例如：f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）其中an为常数系数，可以是实数或复数。
二、幂级数的收敛性对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上收敛。
根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对收敛。
对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改变其和。
例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。
2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数条件收敛。
条件收敛级数的和依赖于项的次序。
例如幂级数∑(-1)n(x-1)n就是一个条件收敛的级数。
3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。
例如幂级数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。
三、幂级数的收敛半径对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数在该区间内收敛。
这个区间被称为收敛区间。
而收敛区间的两个端点分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。
幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup |an|^(1/n)其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。
收敛半径的求解对于判断幂级数在哪些点上收敛至关重要。
当x在幂级数的收敛半径内时，幂级数绝对收敛；当x在收敛半径的两个端点上时，需要分别讨论；当x超出收敛半径时，幂级数发散。
四、幂级数的性质和定理1. 幂级数具有线性性质：若幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n绝对收敛，则幂级数∑(an+bn)(x-a)n也绝对收敛，并且有∑(an+bn)(x-a)n = ∑an(x-a)n + ∑bn(x-a)n。
高数课件29幂级数
幂级数的收敛性：在收敛区间内， 幂级数可以表示为收敛函数
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幂级数的展开形式： f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx ^n+...
幂级数的应用：在数学、物理、 工程等领域有广泛应用
幂级数展开式的应用
解决微分方程： 幂级数展开式 可以用来求解
幂级数的求积
幂级数的求和与求积是幂级数理 论的重要内容
幂级数的求和与求积在数学、物 理、工程等领域有着广泛的应用
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幂级数的求和与求积可以通过积 分法、级数法等方法实现
幂级数的求和与求积是解决实际 问题的重要工具
幂级数求和与求积的应用
数值计算：用于求解复杂函数的数值解 微积分：用于求解微积分中的积分问题 概率论：用于求解概率论中的期望和方差问题 物理：用于求解物理中的微分方程问题
的值
幂级数的导数： 幂级数的导数 也是幂级数， 且其收敛半径 与原幂级数相
同
幂级数的几何意义
幂级数的系数可以表示为函 数在该点附近的导数
幂级数是函数在某点附近的 一种近似表示
幂级数的收敛半径可以表示 为函数在该点附近的最大导
数
幂级数的收敛半径可以表示 为函数在该点附近的最小导
数
幂级数的展开
幂级数的展开式
幂级数在微积 分中具有广泛 的应用，如泰 勒级数、傅里
叶级数等。
幂级数在微积 分中可以用来 近似计算函数 值，如泰勒级 数在数值分析
中的应用。
幂级数在微积 分中可以用来 研究函数的性 质，如傅里叶 级数在信号处 理中的应用。
幂级数知识点归纳总结
幂级数知识点归纳总结一、幂级数的基本概念幂级数是指一种无限级数，其中包含幂函数和指数函数的组合。
它的定义式为:a^x - b^x = sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - (b^n) * x^(n+1) 其中，a 和 b 是常数，x 是实数，sum 表示求和符号，∞表示无限项。
二、幂级数的性质幂级数有许多重要的性质，包括:1. 幂级数在 x=0 处取得最大值，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) = a^x2. 幂级数在 x=∞处取得最小值，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) = b^x3. 幂级数的和是无限项的，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - b^x = sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1)4. 幂级数是单调递增或单调递减的，即若 a > b，则幂级数在x=a 处递增，在 x=b 处递减;若 a < b，则幂级数在 x=a 处递减，在 x=b 处递增。
三、幂级数的求和公式幂级数的求和公式有很多种，其中最常见的是莱布尼茨公式和欧拉公式。
1. 莱布尼茨公式：若 a 和 b 是常数，则 sum(n=0 to ∞) (a^n)* x^(n+1) = ln(a) + ln(b) + C2. 欧拉公式：若 a 和 b 是常数，则 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - b^x = (a-b) * x + C其中，ln 表示自然对数，C 为常数，∞表示无限项。
四、幂级数的应用幂级数在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等等。
其中，幂级数在物理学中的应用最为广泛，如在热力学、流体力学、电磁学等领域中都有广泛的应用。
幂级数在经济学中的应用也非常多，如在投资学、金融学、市场营销学等领域中都有广泛的应用。
其中，幂级数在投资学中的应用最为广泛，它可以用来描述股票价格的涨跌幅度，从而帮助投资者预测未来的股票价格。
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power series
函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算
1
第十一章 无穷级数
幂级数
一、函数项级数的概念
1.定义 定义1 设u1( x), u2( x), un( x)为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
7
幂级数
二、幂级数及其收敛性
1.定义
定义 如下形式的函数项级数
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n
x
x
14
幂级数
(1)如果lim an1 ( 0)存在,
n an
比
值
当|
x
|
1
时,级数 |
n0
an xn
|
收敛,
审
敛
从而级数
an xn 绝对收敛.
法
n0
当|
x
|
1
时,
级数 |
n0
an xn
|
发散,
lim an1 | x |
n an
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
13
幂级数
定理2 如果幂级数 an xn的所有系数 an 0
n0
设
lim an1 n an
(或 lim n
n an
）
(1) 当
0时,
R
1
;
(2) 当
0时,
R
;
(3) 当 时, R 0.
证 对级数 an xn , 由比值审敛法, n0
lim an1 x n1 n an x n
lim an1 n an
散域).
3
幂级数
3.和函数
定义3 设{sn( x)}为函数项级数 un( x)
n1
的前n项和序列,
若极限
lim
n
sn
(x)
s(
x),x
(a
,
b)
存在, 则s(x)称为函数项级数 un( x)的和函数.
n1
如, 等比级数 xn 1 x x2
n0
它的收敛域为 | x | 1, 发散域为 | x | 1.
n0 x0
an xn 收敛,即级数 an xn (| x || x0 |)绝对收敛;
n0
n0
(2) 假设当x x0时发散,
| x || x0 |
而有一点x1适合 | x1 || x0 | 使级数收敛,
由(1)结论, 则级数 当x x0 时应收敛, 这与所设矛盾.
11
幂级数
几何说明
收敛区域
n0
称为 ( x x0 ) 的幂级数.其中an为常数.
当x0 0时, an( x x0 )n an xn ,
n0
n0
称为 x 的幂级数.
8
幂级数
2.收敛半径和收敛域
级数 xn 1 x x2
n0
当 | x | 1时, 收敛; 当 | x | 1时, 发散; 收敛域 (1,1); 发散域 (,1][1,).
•
发散区域 R O
R 发散区域 x
推论 如果幂级数 an xn 不是仅在x = 0一点收敛,
n1
也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确
定的正数R存在,它具有下列性质:
当 | x | R时,幂级数 绝对收敛;
当 | x | R时,幂级数 发散.
当x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
在收敛域内和函数是 1 , 即有
1 x
xn
1
, x (1,1).
n1
1 x
4
幂级数
它的定义域是
s( x) u1( x) u2( x) un( x) 定义域 s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
函数项级数的部分和
sn ( x),
lim
n
sn
(
x
)
s( x)
余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
9
幂级数
阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829
定理1 (阿贝尔(Abel)定理)
如果级数 an xn在x x0( x0 0)收敛,
n0
则它在满足不等式| x || x0 |的一切x处 绝对收敛;
如果级数 an xn在x x0处发散, 则它在满足 n0
不等式 | x || x0 |的一切x处 发散.
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幂级数
定义 正数R称为幂级数的 收敛半径. 幂级数的收敛域: (-R,R) ∪收敛的端点
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R]. 规定 (1)幂级数只在x = 0处收敛,
R 0, 收敛域 x 0; (2)幂级数对一切 x 都收敛,
R , 收敛域 (, ).
问:如何求幂级数的收敛半径?
证 (1)
an x0n收敛
lim
n
an
x0n
0
n0
从而数列
{an
x
n 0
}
有界,
即有常数
M
>
0,
使得 | an x0n | M (n 0,1, 2, )
10
幂级数
| x || x0 |
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
n
x x0
当
x
1时, 等比级数
M
x
n
收敛,
x0
n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
幂级数
(3) 当 x 1
即x 1, x 1时，
(1)n1 x 3n
n1
n
x
1时 ，级数为
n1
(1)n1
1 n
,
条件收敛
x 1时，级数为 1, 发散 n1 n
总之,所讨论的级数的收敛域为区间 (1,1].
n1
称为定义在(a, b)内的函数项级数.
如 级数 xn 1 x x2
n0
2
幂级数
2.收敛点与收敛域
定义2 设x0 (a,b), 若数项级数 un(x0 )
n1
收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un( x)
n1
的收敛点(或发散点). 函数项级数 un( x)的
n1
所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发
显然
lim
n
rn
(
Hale Waihona Puke x)0(x在收敛域上)
注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
5
幂级数
例 求函数项级数的 (1)n1 x3n 收敛域.
n1
n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x 3n3
lim un1 u n
n
lim n
n1 x 3n
lim n x 3 x 3
n n 1
从而级数 an xn
n0
发散.
收敛半径
R
1
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幂级数
(2)如果 0, x 0,
lim an1 | x |
n an
有 an1 xn1 an xn
0 (n ),
级数 | an xn |
n0
收敛,
从而级数 an xn绝对收敛. 收敛半径 R ;