高数11-3(幂级数的概念、性质与求和)

n0 x0
an xn 收敛,即级数 an xn (| x || x0 |)绝对收敛;
n0
n0
(2) 假设当x x0时发散,
| x || x0 |
而有一点x1适合 | x1 || x0 | 使级数收敛,
由(1)结论, 则级数 当x x0 时应收敛, 这与所设矛盾.
11
幂级数
几何说明
收敛区域
13
幂级数
定理2 如果幂级数 an xn的所有系数 an 0
n0
设
lim an1 n an
(或 lim n
n an
）
(1) 当
0时,
R
1
;
(2) 当
0时,
R
;
(3) 当 时, R 0.
证 对级数 an xn , 由比值审敛法, n0
lim an1 x n1 n an x n
lim an1 n an
证 (1)
an x0n收敛
lim
n
an
x0n
0
n0
从而数列
{an
x
n 0
}
有界,
即有常数
M
>
0,
使得 | an x0n | M (n 0,1, 2, )
10
幂级数
| x || x0 |
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
n
x x0
当
x
1时, 等比级数
M
x
n
收敛,Байду номын сангаас
x0
显然
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
5
幂级数
例 求函数项级数的 (1)n1 x3n 收敛域.
n1
n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x 3n3
lim un1 u n
n
lim n
n1 x 3n
lim n x 3 x 3
n n 1
x
x
14
幂级数
(1)如果lim an1 ( 0)存在,
n an
比
值
当|
x
|
1
时,级数 |
n0
an xn
|
收敛,
审
敛
从而级数
an xn 绝对收敛.
法
n0
当|
x
|
1
时,
级数 |
n0
an xn
|
发散,
lim an1 | x |
n an
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
幂级数
(3) 当 x 1
即x 1, x 1时，
(1)n1 x 3n
n1
n
x
1时 ，级数为
n1
(1)n1
1 n
,
条件收敛
x 1时，级数为 1, 发散 n1 n
总之,所讨论的级数的收敛域为区间 (1,1].
第三节 幂 级 数
power series
函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算
1
第十一章 无穷级数
幂级数
一、函数项级数的概念
1.定义 定义1 设u1( x), u2( x), un( x)为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
在收敛域内和函数是 1 , 即有
1 x
xn
1
, x (1,1).
n1
1 x
4
幂级数
它的定义域是
s( x) u1( x) u2( x) un( x) 定义域 s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
函数项级数的部分和
sn ( x),
lim
n
sn
(
x
)
s( x)
余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
散域).
3
幂级数
3.和函数
定义3 设{sn( x)}为函数项级数 un( x)
n1
的前n项和序列,
若极限
lim
n
sn
(x)
s(
x),x
(a
,
b)
存在, 则s(x)称为函数项级数 un( x)的和函数.
n1
如, 等比级数 xn 1 x x2
n0
它的收敛域为 | x | 1, 发散域为 | x | 1.
n0
称为 ( x x0 ) 的幂级数.其中an为常数.
当x0 0时, an( x x0 )n an xn ,
n0
n0
称为 x 的幂级数.
8
幂级数
2.收敛半径和收敛域
级数 xn 1 x x2
n0
当 | x | 1时, 收敛; 当 | x | 1时, 发散; 收敛域 (1,1); 发散域 (,1][1,).
n1
称为定义在(a, b)内的函数项级数.
如 级数 xn 1 x x2
n0
2
幂级数
2.收敛点与收敛域
定义2 设x0 (a,b), 若数项级数 un(x0 )
n1
收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un( x)
n1
的收敛点(或发散点). 函数项级数 un( x)的
n1
所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发
•
发散区域 R O
R 发散区域 x
推论 如果幂级数 an xn 不是仅在x = 0一点收敛,
n1
也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确
定的正数R存在,它具有下列性质:
当 | x | R时,幂级数 绝对收敛;
当 | x | R时,幂级数 发散.
当x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
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幂级数
定义 正数R称为幂级数的 收敛半径. 幂级数的收敛域: (-R,R) ∪收敛的端点
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R]. 规定 (1)幂级数只在x = 0处收敛,
R 0, 收敛域 x 0; (2)幂级数对一切 x 都收敛,
R , 收敛域 (, ).
问:如何求幂级数的收敛半径?
9
幂级数
阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829
定理1 (阿贝尔(Abel)定理)
如果级数 an xn在x x0( x0 0)收敛,
n0
则它在满足不等式| x || x0 |的一切x处 绝对收敛;
如果级数 an xn在x x0处发散, 则它在满足 n0
不等式 | x || x0 |的一切x处 发散.
从而级数 an xn
n0
发散.
收敛半径
R
1
15
幂级数
(2)如果 0, x 0,
lim an1 | x |
n an
有 an1 xn1 an xn
0 (n ),
级数 | an xn |
n0
收敛,
从而级数 an xn绝对收敛. 收敛半径 R ;
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
7
幂级数
二、幂级数及其收敛性
1.定义
定义 如下形式的函数项级数
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n