导数在函数中的作用

导数在函数中的作用（复习）

学习目标:

知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性、极值、最值；

过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性，求极值、最值的方法； 情感、态度与价值观：通过实例探究函数与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.

学习重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性，求极值、最值； 学习难点：含参数问题的分类讨论

学习过程:

1.复习温故

1， 利用导数研究函数的单调性的基本步骤 2， 利用导数求函数的极值的基本步骤 3，利用导数求函数的最值的基本步骤 2.基础自测

1．函数3

2

()15336f x x x x =--+的单调减区间是________________。（09江苏高考） 2．使函数ax x y +=sin 为R 上增函数的实数a 的范围是 . 3．函数1()sin ,([0,2])2

f x x x x π=+

∈的最大值是 ，最小值是 .（选修2-2，31P 例2） 4．函数()1ln(1)(0)1x f x ax x x

-=++≥+，其中0a >，若函数()f x 在1x =处取得极值，则a 的

值为 .

5．已知函数3

128y x x =-+在区间[]3,3-上的最大值与最小值分别为M 与m ，则M-m 的值

为 .

3.典型例题： 一、单调性

例1、：已知a R ∈，函数()()2x f x x ax e =-+。 （1） 若2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；

（2） 若函数()f x 在()1,1-上单调递增，求a 的取值范围；

（3） 函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，说明理由。

变式题1:若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 . 变式题2:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 . 变式题3:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数m 的值是 .

变式题4：若函数123+++=mx x x y 在1

(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函

数，则整数m 的值是 .

变式题5：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4

[2,]3-，则则实数m 的值

是 .

变式：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间；

二、函数的极值和最值

例2、设1x =与2x =是函数x bx x a x f ++=2ln )(的两个极值点. （1）试确定常数a 和b 的值；（2）若方程()f x m =有三个相异实根，求m 的取值范围.

变式1：已知函数2

()(232)(0)x

f x ax ax a e a =-+-≥，其定义域为[0,)+∞.

（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在[0,)+∞的最小值为4，求a 的值.

变式2：函数()x f 的定义域为区间),(b a ，导函数)('

x f 在),(b a 内的

图象如图所示，则函数()x f 在),(b a 内的极小值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

变式3：已知函数()(),,23R b a bx x ax x f ∈++=其中常数 ()()()x f x f x g '+=是奇函数. (1) 求()x f 的表达式；

(2) 讨论()x f 的单调性，并求()x g 在区间[]2,1上的最大值与最小值。

4.反思感悟

（1）'()0f x >是函数为增函数的充分不必要条件

（2）'0()0f x =是函数在0x x =处取得极值的必要不充分条件

（3）利用导数研究带有参数函数的单调性与极值、最值时，注意分类讨论思想在解题中的运用 5.当堂训练

1．函数2()32ln f x x x =-的单调增区间是_________,单调减区间是_________

2．已知函数()f x 的导函数为'()(1)(),f x a x x a =+-若函数()f x 在x a =处取得极大值，则a 的取值范围是____________________

3．函数()ln f x x x =的极大值是_____,极小值是_____.（选修2-2 P 342） 4．函数1

cos ,,222y x x x ππ⎡⎤

=

-∈-⎢⎥⎣⎦

的最大值 （选修2-2P 344） 5．若函数()y f x =的值域是1[,3]2

，则函数1()()()

F x f x f x =+

的值域是

6．已知32

1()(2)13

f x ax bx b x =

-+-+,在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且

12012x x <<<<，若2z a b =+，则z 的取值范围是____________________

7．已知a 为实数，4=x 是函数x x x a x f 12ln )(2

-+=的一个极值点。

（1） 求a 的值

（2） 求函数()x f 的单调区间 （3） 若直线b y =与函数

()x f y =的图像有3个交点，求b 的取值范围

能力提高

1．设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．

（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．

2．已知函数f(x)=

b

x ax +2

，在x=1处取得极值为2.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围；

3．已知函数02

3)(x cx bx ax x f 点++=处的取得极小值－4，使其导函数0)('>x f 的x 的取值范围为（1，3），求：

（1）f （x ）的解析式 （2）f （x ）的极大值； （3）x ∈[2，3]，求x m x f x g )2(6)()('

-+=的最大值.