复变函数和解析函数

当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
C {z | z x iy, x, y R}称为为复数集
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 别相等.
设：z1=x1+i·y1 z2=x2+i·y2
z1=z2 x1 x2 , y1 y2
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时 等于0.
• 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国 数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾 这样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 上，他都是我们8的大师”
1.0问题的提出
负数有对数吗？
Bernoulli：负数的对数是实数 d(x)dx ln(x)lnx
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说:
复数不能比较大小!!!
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（2）复平面表示与复数三角式
复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或 一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚 轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。
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课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
Euler把 1 作为特 2020/10殊/20的数
cos x 1 e 1x e 1x 2
sin x 1 e 1x e 1x 2 1 9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式
考虑解方程： x2 1。 显然，此方程在实数集中是无解的。
为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单
复数的矢量表示法
y
y
P(x,y)
z
o
xx
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y
如图：
y
P(x,y)
x cos
x2 y2
z
y
sin
arctan
y x
o
那么复数（复矢量）可以表示为
xx
z= x iy= c o s isin . 复数的三角表示式
复矢量的长度称为复数的模或绝对值
z =ρ= x2 +y2 .
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z,
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y z,
z x y.
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y
y
z
P(x,y)
在 z 0的情况下, 以正实轴为始Fra Baidu bibliotek , 以o 表示 x x
z 的向量oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角,
记作 arg z .
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
(3)复数的指数函数表示
复数的三角函数表示式
z(cosisin)
利用欧拉公式 eicosisin,
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学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。
教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；
教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
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• 莱昂哈德·保罗·欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数 学家和物理学家，近代数学先驱 之一，他一生大部分时间在俄罗 斯帝国和普鲁士度过。
• 欧拉在数学的多个领域，包括 微积分和图论都做出过重大发现。 他引进的许多数学术语和书写格 式，例如函数的记法"f(x)"，一直 沿用至今。此外，他还在力学、 光学和天文学等学科有突出的贡 献。
如果 是其中一个幅角, 那么 z 的全部幅角为
arg z 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z 0时, z 0, 幅角不确定.
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幅角主值的定义:
在z(≠0)的幅角中，把位于０< <2π的 称 为arg z 的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系
arg z 2kπ (k为任意整数).
位.
对虚数单位的规定:
cos x 1 e ix e ix 2
i 1 i2=–1
sin x 1 eix e ix 2i
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定义
i-虚数单位 满足：i2=-1
对于" x, y R, 称 z x iy 为复数
.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
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教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京
大学出版社，2002年7月
二、主要的参考书： 于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2007年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70% 联系方式：zyx@jiangnan.edu.cn
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复变函数论（theory of complex functions）的目的： 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意
义。
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主要内容:
1 复变函数和解析函数 2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等（自学） 4 解析函数（自学） 5 定积分的计算（自学） 6 δ函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学） 7 傅立叶变换和色散 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
x x
Leibniz ：不可能有负数的对数
dx d ln x x
只对正数成立
Euler： 在1747年指出
ln(x), lnx 差一常数
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y2cosx 和 ye 1x e 1x 是同一个微分方程的解，因此应该相等
1743年，发表了Euler公式