过程能力指数的经济效益模型分析

2007年第7期

科技管理研究Science and T echno l ogy M anage m ent R esearch

2007N o 7

收稿日期:2006-06-14,修回日期:2006-09-18

文章编号:

1000-7695(2007)07-0088-03

过程能力指数的经济效益模型分析

*

王斌会,胡志萍

(暨南大学统计系,广东广州 510632)

摘要:传统的质量管理观认为,过高或过低的过程能力指数都不利于企业经济效益的提高,存在最优的过程能

力指数使企业获得最大的利润。文章基于传统的质量管理观,研究过程能力指数与产品不合格品率之间的关系,建立了过程能力指数与过程利润的计量模型;通过实例分析,对可变成本与过程能力指数的模型做了改进,提出用二次函数模型代替指数模型进行更精确的拟合和经济效益分析。关键词:过程能力指数;不合格品率;经济效益;计量模型

中图分类号:F403 8 文献标识码:A

1 过程能力指数及其计算

1 1 过程能力的概念

传统的质量管理学专注于生产制造业,研究的对象是有形的产品质量。产品是由一道道过程(旧称工序)加工制造出来的,每道工序质量的好坏将直接影响到成品的质量。所谓工序能力,是指工序在一定时间内处于受控状态下的实际加工能力,又叫做加工精度。在将服务业引入质量管理后,工序能力又称为过程能力。1 2 过程能力指数C p 的计算

C p 衡量的是过程无偏离时的过程能力指数,又分为双侧规范和单侧规范两种情况(本文面重点讨论双侧情况)。双侧规范是指技术规范存在规范下限(Low er Spec ificati on L i m it ,LSL )和规范上限(U pper Specificati on L i m it ,U SL ),而单侧规范只存在规范下限或者只有规范上限。

对于双侧情况,过程能力指数的计算公式如下:

C p =SSL 6 =USL -LSL 6 USL -LSL 6s

(1)

其中,SSL 为技术规范的公差,也叫容差,中文文献常用T 表示,为避免与目标值T 混淆,本文用"Spread o f the Spec ifi cation L i m its"的首字母SSL 表示,LSL 、USL 分别为规范下、上限; 为质量特性值分布的总体标准差,在实际计算中可用样本标准差s 来估计。注意到, 为总体参数,这就是过程能力指数的计算必须在稳态下进行的原因,否则过程能力指数就没有预测能力。

2 过程能力指数与不合格品率之间的关系

由图1可以看出,当过程无漂移时不同的过程能力指数对应,不同的不合格品率,过程能力指数与不合格品率的这种一一对应关系是一种函数关系。

在过程无漂移时,目标值T 与分布中心 重合,如图1所示。令p 1表示超出规范下限的不合格品率,p 2表示超出规范上限的不合格品率,则p 1=p 2,故总的不合格品率p =p 1+p 2=2p 2。

而P 2= +!USL f (x )dx =

+!USL 1

2

e -(x - )22 2dx

令t =x - ,t 1=

USL -

,则P 2=

+!

1

12 e -12

2d t =1-!(t 1)

(3)

其中!(t 1)=

1

+!12 e -12

2dt

图1 无偏移时的不合格品率

又由C p =

SSL 6 =USL -LSL 6

(4)且SSL =USL -LSL = -(SSL )/2,得USL = +SSL /2

= +3 C P ,所以t 1=USL - =3 C p

=3C p ,从而

p =2p 2=2(1-!(3C p ))(5)这样就得出了质量特性无漂移时的过程能力指数Cp 与不合格品率p 之间的函数关系式。3 过程能力指数与过程利润计量模型的建立

3 1 过程能力指数的经济分析

当计算出过程能力指数,就能通过过程能力指数与不合格品率的函数关系,计算出过程的不合格品率,而不合格品率的高低是直接影响企业利润大小的因素之一,因此过程能力指数便直接对企业的利润产生影响。那么,过程能力指数的取值应该多大才算合理呢?

如果过程能力指数过高,虽然可以保证产品的高质量,但同时也意味着要聘用更多的高级技术工,或者使用更好的原材料,或者使用过于精密的机器设备,这无疑会大大增加企业的生产运作成本,造成不必要的经济损失,从而降低企

王斌会等:过程能力指数的经济效益模型分析*

业的利润。如果过程能力指数过低,则不能保证产品的质量,即意味着不合格品率过高,这不仅增加处理废品、返修品的成本,损害企业的声誉,并最终导致顾客流失,对企业的经济效益非常不利。

因此,传统的质量管理观认为,过高或者过低的过程能力指数都不利于企业经济效益的提高,必须对过程能力指数作一个取舍,使得企业在保证一定的质量标准下能够获得最大的利润。

3 2 可变成本与过程能力指数的关系式及参数估计

前面已经推导出过程能力指数与不合格品率之间的函数关系,而不合格品率又对生产成本产生直接的影响,那么,过程能力指数与过程成本之间是否也存在一种对应关系?有研究表明,产品的固定成本受过程能力指数变化的影响较小。为简明所见,我们作如下假设:产品的固定成本与过程能力指数无关,为一恒定常数,只有可变成本随过程能力指数的变化而变化。要建立过程能力指数与过程利润的计量模型,首先要考虑过程能力指数与可变成本的关系。

用y代表可变成本,为方便用z代表过程能力指数C

P

,则y与z的函数关系式为:y=f(z)。通过研究发现,可变成本随过程能力指数变化的一般规律为:

A y与z呈正比例变化;

B y的增长率与z呈正比例变化,即y的一阶导数随z的增减而增减;

C y有一最小值存在,如原材料费用等。

能反映上述y随z变化规律的数学模型有很多,银路、刘卫提出以下这种较简便实用的数学指数模型:

y=k e mz(6)其中,k,m为待估计的参数,且k>0,m>1。

3 3 生产能力不足时的利润表达

为了简化讨论,本文主要讨论生产能力处于不足时的利润表达式;以及为了更好地说明问题,这里所说的利润为税前利润。另外,假定过程是指单一过程,不合格产品不进行返修。

首先给出过程利润的基本计算公式:利润=收入-成本

显然,产品几乎不可能由单一过程生产出来,为了突出过程能力指数与过程利润的关系,对企业或过程的生产状况进行了一定的抽象,给出几个最主要的测量指标(见表1)。

在生产能力处于不足状态时,所有生产出来的合格产品都能销售出去,产品的销售收入随合格产品数量的增加而增加;而由于假设不合格产品不进行返修,所以此时每生产一件不合格产品就要损失一件产品的全部销售收入。也就是说,在生产能力处于不足时,产品的销售收入将随着不合格品率的上升而下降。根据利润的基本公式,得出生产能力不足时的利润表达式:

R=(1-p)QS-(yQ+F)(7)

表1 变量名称与含义一览表

变量名称变量含义变量名称变量含义R利润(Revenue)S单位产品的销售价格

p不合格品率F固定成本(Fixed Cost)

Q产量(Quanti ty)y单位可变成本

生产能力不足时,有以下的关系式:

p=2(1-∀(3z))

y=ke mz

R=(1-p)Q S-(yQ+F)

(8)

将上面一式和二式代入三式,得到:

R=[1-2(1-!(3z))]QS-(kQ em z+F)=[2!(3z) -1]Q S-(kQ e mz+F)

要使R最大,则R对过程能力指数z的一阶导数R'=0,即dR

dz

=0,而

R=[2

3z

-!

1

2

e-122dt-1]Q S-(kQ em z+F),

其中t=

x-

,#为质量特性,所以

dR

dz

Z=Z0

=[

2

2

e(3z)

2

2∀3Q S-kQ e mz∀m] Z=Z0= 6QS

2

e

9z20

2-kmQ e m z0=0,即

6Q S

2

e

9z02

2=km e mz0。对等式两边取自然对数,得Ih=

6S

2

-

9

2

z2

=In km-m z

,即

9

2

z2

+

m z

-In-

6S

k m2

=0。解关于z

的一元二次方程得: z0=

9

1

(-m+m2+18ln

6S

k m2

)(已舍去负根)(9)

z

即为利润最大时的过程能力指数

图2 z与y的散点图

3 4 模型的计算方法与实证分析

总的说来,要计算过程的经济效益,可分为三个步骤:一是挑选可变成本与过程能力指数拟合模型,并进行模型的参数估计;二是对模型进行统计显著性检验(利用相关系数法);三是计算最优过程能力指数和相应的最大利润值。

举例:某工序经过试验和调查统计,得出过程能力指数与单位产品可变成本y的30组数据(见表2)。已知该工序的生产能力处于不足状态并且工序没有漂移,单位合格产品的售价S为7 5元,日投产量Q为600件,该工序日固定成本F为1000元。求能使工序日利润取得最大值的过程能力指数z0及其对应的最大利润。

表2 过程能力指数z与单位产品可变成本y的30组数据

序号z y序号z y序号z y

10 5113 04110 7853 21211 0543 85

20 5453 05120 8013 24221 1434 03

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