华科大数理方程与特殊函数课件——弦振动方程的导出与定解条件解析
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弦的横振动问题
§8.1弦的横振动问题一、引言二、方程的导出三、定解条件1.定解条件的必要性2.初始条件3.边界条件4.定解问题四、例题一、引言(展示)数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。
解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。
本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。
导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。
返回页首二、方程的导出(展示1234)在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。
这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。
设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。
在弦上任取一小段x1x2(图8。
1)，设在t时刻成为弧长。
由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即(8.1-1)根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。
设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为，则段弦的横向运动方程为(8.1-2)式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x轴的夹角。
根据弦作微小振动的假定，有(8.1-3)(8.1-4)因此，有(8.1-5)将上式代入(8.1-2)式,可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程(8.1-6)讨论：1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即(8.1-7)即张力与x无关。
1方程导出01-弦振动方程
ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x
第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解
x at
(t x / a ) 1 2a
x at
x at x at
( )d
1 2a 1 2a 1 2a 1 2a
0
1 ( )d 2a 1 ( )d 2a
x at
0
( )d ( )d
x at
1 ( x) ( )d 2a
x
x x1
( x )
x
x1 x x2
x x2
1 1 ( )d 0d 2a 2a
x1
x
x
0
x
0 1 1 ( x ) ( )d 2a [ 0d 0 x 1d ] 2a ( x x1 ) 2a 1
u(0, t ) 0 ，作奇延拓：
( x ) ( x )
( x ) ( x ) ( x )
( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
( x ) ( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
1 1 u( x , t ) [( x at ) ( x at )] at ( )d 2 2a x
u 2u u ut u t ut a ( u u )
utt a 2 ( u 2u u )
2 代入方程 utt a uxx
得: u 0
u c( )
u( , ) c( )d f1 ( ) f 2 ( )
at x
0
c ( )d 2
固得：
u( x , t ) f 2 ( ( x at )) f 2 ( x at ) 1 1 [ (at x ) ( x at )] x ( )d 2 2a at
华中科技大学大学物理学课件振动te1xin,
0
dθ dv d 2θ 又 aτ = = l 2 （v = l ） dt dt d 2θ g d t d 2θ 即 dt 2 + l θ = 0 ∴ l 2 = − gθ dt
l g
θ m = θ 02 + ( 0 ) 2 = θ 0 角振幅 ω
O
C
2d
11
证明： 研究对象： 证明：建立坐标系如图， 研究对象：板 板受力： 板受力： mg N1 N2
f1 f2
∑ F y = N 1 + N 2 − mg = 0
∑Fx = f1 − f2 = µN1 − µN2 ≠ 0
N1
O
Y
x
f1 f 2
N2
X
N 1 − N 2 =?
c
选
mg
2d
0 点为转轴 ∑M = 0 N 2 d − N 1d − mgx = 0
第四篇 振动与波动
第十五章 振动
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 力学量（如位移） 力学量（如位移） 机械振动 电磁振动
电磁量（ 电磁量（如I 、V、 E、 B） 、 、
最基本、 最简单、 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。 1
l
F p
Mg = kL
F
( m + M )g = k( L + l )
x o 处分析受力： 任意 x 处分析受力： p x 7
m h L k M
l
F p
F x o p x
处分析受力： 任意 x处分析受力： P = ( M + m )g
F = k( L + l + x )
dθ dv d 2θ 又 aτ = = l 2 （v = l ） dt dt d 2θ g d t d 2θ 即 dt 2 + l θ = 0 ∴ l 2 = − gθ dt
l g
θ m = θ 02 + ( 0 ) 2 = θ 0 角振幅 ω
O
C
2d
11
证明： 研究对象： 证明：建立坐标系如图， 研究对象：板 板受力： 板受力： mg N1 N2
f1 f2
∑ F y = N 1 + N 2 − mg = 0
∑Fx = f1 − f2 = µN1 − µN2 ≠ 0
N1
O
Y
x
f1 f 2
N2
X
N 1 − N 2 =?
c
选
mg
2d
0 点为转轴 ∑M = 0 N 2 d − N 1d − mgx = 0
第四篇 振动与波动
第十五章 振动
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 力学量（如位移） 力学量（如位移） 机械振动 电磁振动
电磁量（ 电磁量（如I 、V、 E、 B） 、 、
最基本、 最简单、 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。 1
l
F p
Mg = kL
F
( m + M )g = k( L + l )
x o 处分析受力： 任意 x 处分析受力： p x 7
m h L k M
l
F p
F x o p x
处分析受力： 任意 x处分析受力： P = ( M + m )g
F = k( L + l + x )
华科数理方程课件第4章
教育教学
华科数理方程也是高校理工科 专业的重要教学内容，对于培 养学生的逻辑思维和科学素养 具有重要意义。
华科数理方程的发展历程
起源
华科数理方程起源于17世纪的科 学革命，当时的科学家们开始使 用数学方法描述物理现象。
发展
随着数学和物理学的发展，华科 数理方程不断完善和丰富，逐渐 形成了完整的理论体系。
THANK YOU
感谢聆听
华科数理方程课件第4章
目
CONTENCT
录
• 华科数理方程概述 • 华科数理方程的基本概念 • 华科数理方程的解法 • 华科数理方程的数值解法 • 华科数理方程的实例分析
01
华科数理方程概述
定义与特点
80%
定义
华科数理方程是一种基于数学物 理方法的方程式，用于描述物理 现象和过程。
100%
特点
分离变量法
总结词
将偏微分方程转化为常微分方程组，适用于具有分离变量形式的 解。
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法，通过假设解可以 表示为各个变量的函数乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方 程，从而简化求解过程。
有限差分法
总结词
将微分问题转化为差分问题，适用于 离散化的数值计算。
详细描述
通过分离变量法或傅里叶变换法，可以将方程化为可求解的形式。
二维热传导方程的解法
总结词
二维热传导方程是描述二维热传导现象 的基本方程，其解法通常采用有限差分 法或有限元法。
VS
详细描述
二维热传导方程的一般形式为 $frac{partial u}{partial t} = alpha left( frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} right)$， 其中 $u$ 是温度分布函数，$t$ 是时间， $x$ 和 $y$ 是空间位置，$alpha$ 是热扩 散率。通过有限差分法或有限元法，可以 将方程化为可求解的形式。
华科数理方程也是高校理工科 专业的重要教学内容，对于培 养学生的逻辑思维和科学素养 具有重要意义。
华科数理方程的发展历程
起源
华科数理方程起源于17世纪的科 学革命，当时的科学家们开始使 用数学方法描述物理现象。
发展
随着数学和物理学的发展，华科 数理方程不断完善和丰富，逐渐 形成了完整的理论体系。
THANK YOU
感谢聆听
华科数理方程课件第4章
目
CONTENCT
录
• 华科数理方程概述 • 华科数理方程的基本概念 • 华科数理方程的解法 • 华科数理方程的数值解法 • 华科数理方程的实例分析
01
华科数理方程概述
定义与特点
80%
定义
华科数理方程是一种基于数学物 理方法的方程式，用于描述物理 现象和过程。
100%
特点
分离变量法
总结词
将偏微分方程转化为常微分方程组，适用于具有分离变量形式的 解。
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法，通过假设解可以 表示为各个变量的函数乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方 程，从而简化求解过程。
有限差分法
总结词
将微分问题转化为差分问题，适用于 离散化的数值计算。
详细描述
通过分离变量法或傅里叶变换法，可以将方程化为可求解的形式。
二维热传导方程的解法
总结词
二维热传导方程是描述二维热传导现象 的基本方程，其解法通常采用有限差分 法或有限元法。
VS
详细描述
二维热传导方程的一般形式为 $frac{partial u}{partial t} = alpha left( frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} right)$， 其中 $u$ 是温度分布函数，$t$ 是时间， $x$ 和 $y$ 是空间位置，$alpha$ 是热扩 散率。通过有限差分法或有限元法，可以 将方程化为可求解的形式。
1方程的导出、定解条件
二、定解条件
1.初始条件： （） 1 .已知初始条件： u t =0 = ϕ ( x ),0 ≤ x ≤ l , (2).已知初始速度： ut
2 .边界条件： 已知边界位移 （1） .第一类边界条件： ( u
x =0
t =0
= ψ (x ),0 ≤ x ≤ l ,
)
)
= g1 (t ), t ≥ 0, u
= g 2 (t ).
x=l
4、Cauchy问题（或初值问题） Cauchy问题（或初值问题） 问题 对于弦中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可忽略不计 时，可以认为弦长为无穷，此时问题化为
2 ∂ 2u 2 ∂ u = f ( x , t ), − ∞ < x < ∞ , t > 0, 2 −a ∂t ∂x 2 ∂u t = 0 : u = ϕ ( x ), = ψ ( x ), − ∞ < x < ∞ . ∂t
x + ∆x
ρ
∂u ( x, t ) dx. ∂t ∂ u (x , t + ∆ t ) dx . ∂t
∫
Байду номын сангаасx + ∆x
x
ρ
所以从时刻 t 到时刻 t + ∆ t ， 弦段 ( x , x + ∆ x )的动量增加量为
∫
∫
t + ∆t
x + ∆x
x
ρ
∂ u (x , t + ∆ t ) ∂ u (x , t ) − dx . ∂t ∂t
这一段的惯性离心力F=mω^2R 为
ρ dx ω 2 u ( x。t ) ,
ρ (l − x − dx) gux
方程的导出、定解条件
2
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t ),
uxx uyy uzz f ( x, y, z, t ).
（2）非线性方程：
（a）拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总 体来说是线性的方程。比如
ut buux uxxx ,
ut uxx f (u).
t
x x
x
[ utt ( x, t ) Tuxx ( x, t ) F ( x, t )]dxdt 0.
表示单位质量在每点处所受的外力
仍有 x, t 的任意性，知
utt auxx ( x, t ) f ( x, t ) : F ( x, t ) / .
进一步推广到高维情况：
*目标函数： 弦上质点相对于平衡位置的位移图
OL l
x
L
*物理守恒律（转化方程等式）：
牛顿第二定律：F ma.
或冲量定理：F t p mv.
教材采用
下面我们推导弦振动方程，先考虑无外力情况：
u
O
t 时刻示意图
OL l
x
x x x
*初始条件：设弦在初始时刻 t 0 时的位置和速度为
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), (0 x l ).
*边界条件（注意该提法的物理背景）： （a）第一类边界条件（狄利克雷边界条件）: 在前面的推导中，弦的两端被固定在 x 0 和 x l 两点，即 u(0, t ) u(l , t ) 0. （b）第二类边界条件（诺伊曼边界条件）: 设弦的一端 x 0 处于自由状态，即可以在垂直于 x 轴 的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在 边界右端的张力的垂直方向分量是 Tu x ，于是边界处应 有 ux x0 0 也可考虑更一般非零情况。
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t ),
uxx uyy uzz f ( x, y, z, t ).
（2）非线性方程：
（a）拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总 体来说是线性的方程。比如
ut buux uxxx ,
ut uxx f (u).
t
x x
x
[ utt ( x, t ) Tuxx ( x, t ) F ( x, t )]dxdt 0.
表示单位质量在每点处所受的外力
仍有 x, t 的任意性，知
utt auxx ( x, t ) f ( x, t ) : F ( x, t ) / .
进一步推广到高维情况：
*目标函数： 弦上质点相对于平衡位置的位移图
OL l
x
L
*物理守恒律（转化方程等式）：
牛顿第二定律：F ma.
或冲量定理：F t p mv.
教材采用
下面我们推导弦振动方程，先考虑无外力情况：
u
O
t 时刻示意图
OL l
x
x x x
*初始条件：设弦在初始时刻 t 0 时的位置和速度为
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), (0 x l ).
*边界条件（注意该提法的物理背景）： （a）第一类边界条件（狄利克雷边界条件）: 在前面的推导中，弦的两端被固定在 x 0 和 x l 两点，即 u(0, t ) u(l , t ) 0. （b）第二类边界条件（诺伊曼边界条件）: 设弦的一端 x 0 处于自由状态，即可以在垂直于 x 轴 的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在 边界右端的张力的垂直方向分量是 Tu x ，于是边界处应 有 ux x0 0 也可考虑更一般非零情况。
数学物理方程与特殊函数PPT课件
2 E 1 2 同理可得： 2 E t
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
2 1
t2
t1
2 k udV dt V
数学物理方程与特殊函数
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
2 1
t2
t1
2 k udV dt V
数学物理方程与特殊函数
数理方程与特殊函数(钟尔杰)5齐次弦振动方程的分离变量法
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a 2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
T a 2T
X X
T a2T 0 X X 0
n1
u( x,0) Cn sin(n x) Cn sin(n x) ( x)
n1
n1
ut ( x,0) (n )Dn sin(n x) Dn = 0
n1
1
Cn
2
( x)sin(n
0
x)dx
4/7
[cos(7 n) x cos(7 n) x]dx 3/7
(1)通解:
X Ae x Be x
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
A B 0 Ae L Be L 0
A[e L e L ] 0
A=–B=0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
X X 0, 0 x L
u(x, t) = cos t sin x
2/16
齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, u xL 0
u t0 ( x),ut t0 ( x)
( x), ( x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
例3 设 a2=10000
uuttx
华中科技大学文华学院数学物理方程与特殊函数新大纲草案
华中科技大学文华学院《数学物理方程与特殊函数》课程教学大纲一、课程名称：数学物理方程与特殊函数Equations of Mathematical Physics with Special functions二、课程编码：三、学时与学分：48/3四、先修课程：微积分、线性代数、复变函数与积分变换五、课程性质：必修六、课程教学目标及要求开设本课程的主要目的，在于通过典型物理问题数学模型的建立、定解条件的给出以及对模型实施具体求解和分析检验的全过程，搭建起贯通数学理论到实际应用的桥梁，在“缩微”的科研活动中进一步发展学生分析问题与解决问题的能力，使学生既能获得运用数学方法求解实际工程物理和技术问题的初步经验，又能了解Bessel函数与Legendre多项式等特殊函数的概念和基本性质，掌握求解数学物理方程常见定解问题的主要解法，特别是明确所述特殊函数在数学物理方程求解中的作用，进而为其进入各相关专业的深入学习，和深化其数学知识的积累，奠定良好的必要基础。
七、适用学科专业光信息、通信、电子、电力及相关专业（本科）八、基本教学内容与学时安排第一章数学物理方程基本概念（4学时）【内容】偏微方程基本概念，二阶线性方程的特征线与分类，典型方程的推导。
【基本要求】（1）了解三个典型方程(弦振动、热传导和Laplace方程)的推导过程；（2）掌握定解问题归属于初值、边值和混合问题的判识方法；（3）掌握二阶线性偏微方程的特征方程与特征线的求法，能以其为线索，用合适的变元代换将其化为标准方程。
【重点与难点】重点：各类泛定方程与定解问题的判识与解的确认，特征方程与特征线的求法，二阶线性偏微方程化为标准方程。
难点：推导三个典型方程。
第二章分离变量法（12学时）【内容】函数的Fourier级数展开理论与二阶常微方程的特征值理论；两端固定的弦自由振动、有限长杆上的热传导以及矩形薄板与圆盘上稳恒状态的温度分布；两端固定的弦的强迫振动、有热源的有限长杆上的热传导与Poisson 方程的特征函数展开求解法；非齐次边界条件齐次化的辅助函数法。
华中科技大学《数理方程与特殊函数》课程——第二章
且同时满足齐次边界条件(47)的固有函数系为
{sin
nx
l
}n1
7
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
第一步：设所求的解为
(46) (47) (48)
u ( x, t )
n1
un
(t ) s in
Asint cosx
l
(0 x l, t 0),
ux (0,t) 0, ux (l,t) 0,
u(x,0) ut (x,0) 0.
其中 A, 均是常数。
解
将
u(x,
t)
n0
un
(t)
cos
nx l
,
代入原方程化简得
n0
u'
'
n
na l
2
u
n
cos
nx l
Asint
cos x l
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
6
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
{sin
nx
l
}n1
7
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
第一步：设所求的解为
(46) (47) (48)
u ( x, t )
n1
un
(t ) s in
Asint cosx
l
(0 x l, t 0),
ux (0,t) 0, ux (l,t) 0,
u(x,0) ut (x,0) 0.
其中 A, 均是常数。
解
将
u(x,
t)
n0
un
(t)
cos
nx l
,
代入原方程化简得
n0
u'
'
n
na l
2
u
n
cos
nx l
Asint
cos x l
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
6
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
数理方程中典型方程和定解条件的推导ppt课件
P5 (1.5) ”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+
- v(x,t)
Ldx
i(x,t)
Cdx
P● ＋
－
i +di C L– L
GdxC v dv
x
●
图 12
x dx
iC
C
duC dt
di
u L
L
dt 19
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
x1d2x
3、忽略与近似
T cos Tcos 0
(1)
T sin T sin ds g ds utt
(2)
①对于小振动： 0; 0
cos 1 ; cos 1
sin
tg 1 tg2
tg u x
x
sin
tg 1 tg2
tg u x
x dx
于是（1）式变为：
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(utt g)
T u x
xdx T
u x
x
ds(ut t g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
Cdx
Gdx v dv
x
●
x dx
17
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
第一章 波动方程
数学物理方程
§1.2 定解条件
第一章 波动方程
1、初始条件——描述系统的初始状态
波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
数学物理方程
第一章 波动方程
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
波动方程的三类边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
x x[ u (x ,t t) u (x ,t)] dx
x
t
t
于是由冲量定理：
t t T [ u ( x x , t ) u ( x , t ) ] d x x t [ u ( x , t t ) u ( x , t ) ] d
t
x x x t t
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
数学物理方程
第一章 波动方程
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u ( x , 0 ) ( x ), u ( x , 0 ) ( x )( 0 x l ) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分 方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
华科大数理方程与特殊函数课件——有界弦的自由振动
utt a 2u xx u(0,t) 0,
(0 x l, t 0), u(l,t) 0,
(1) (2)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x),
(3)
18
存在性定理*
若(x) C 4[0,l](四次导数连续的函数)，
(x) C 3[0,l],并且 , '', 在 x 0, l 处取值
于是得
n
( n
l
)2
(n 1, 2 , ).
(10)
从而找到一族非零解
特征值
X
n
(x)
Bn
sin
nx
l
(n 1, 2, ). (11)
特征函数
10
现在考虑 T ''(t) a2T (t) 0,
(6)
将特征值
n
( n )2
l
代入方程(6)得
(n 1, 2 , ).
(10)
其通解为
T ''(t) ( na )2T (t) 0,
l
Tn
(t)
Cn
cos nat
l
Dn
sin
nat
l
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 un (x,t) X n (x)Tn (t)
11
un
( x, t )
(an
cos
nat
l
bn
sin
nat
l
) s in
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
第1讲_数学物理方程的导出和定解条件(2015)
2u 2u 2u k 2 2 2 xyzt xyz c u x y z
F (x,y,z,t)
（14）
2u 2u 2u k 2 2 2 xyzt F ( x, y, z, t )xyzt xyz c u （17） x y z
4、小结:
物理上：
反映波动过程的波动方程 反映扩散过程的热传导方程 反映稳定状态的Poisson方程和Laplace方程 波动方程，在数学上属于双曲型方程 热传导方程，在数学上属于抛物型方程 Poisson方程和Laplace方程，在数学上属于椭圆型方 程
数学上：
泛定方程
例题
t
T2 2
弦中任意一小段 dx 在振动过程中
的受力情况为： 纵向（水平方向）：
1 T1
o x
x dx
T2 cos 2 T1 cos 1
横向（竖直方向）：
x
u T2 sin 2 T1 sin 1 b dx t x ~ x dx
∵弦在作横振动，∴由牛顿第二定律有
边界条件续：
当 f＝0 时的边界条件称为齐次的。前面的三类 边界条 件分别为第一、第二、第三类齐次边界 条件。 边界条件的个数：
与初始条件的个数类似，等于方程中关于空间变量 偏导数的阶数。
边界条件的关键点：
只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整 个系统
§1.2 热传导方程与定解条件
三角函数系的正交性三角函数系的正交性1三角函数系kxkx上的积分等于零任意两个不同函数在正交cossinnxdxkx其中iiisinsinnxdxkxcoscosnxdxkx其中傅里叶系数sincos若有dxkxsincoscossincoscoskxdxnxkxdxnxsincos若有可得sinsinsincoskxdxnxkxdxnxsincos若有从而得到傅里叶系数把以上得到的系数代入三角级数该级数称为傅里叶级数sincos正弦级数和余弦级数一般说来一个函数的傅里叶级数既含有正弦项又含有余弦项
[理学]华科数理方程课件第3章
![[理学]华科数理方程课件第3章](https://img.taocdn.com/s3/m/fa84c10e6c175f0e7cd1372d.png)
2u 0
下午5时55分
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
F ( x) G ( x) ( x) 1 x C F ( x) G ( x) ( )d a x0 a F ( ) G ( ) 1 1 x C F ( x) ( x) ( )d u ( x, t ) F ( x at ) G( x at ) 2 2a x0 2a 此即为原方程的通解。 1 1 x C G ( x) ( x) ( )d 利用初值条件确定函数 F，G 2 2a x0 2a u( x,0) ( x) ( x at ) ( x at ) F ( x) G ( x) ( x) u ( x, t ) 2 ut ( x,0) ( x) a[ F ( x) G( x)] ( x) 1 x at
下午5时55分
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
达朗贝尔解 的物理意义
( x at ) ( x at ) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a x at
1 1 [ ( x at ) ( x at )] [ ( x at ) ( x at )] 2 2a
utt a 2u xx f ( x, t ), x , t 0 u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), x
无界弦的强迫振动问题（非齐次问题的齐次化原理)
qtt a 2 qxx f ( x, t ), x , t 0 q( x,0) 0, qt ( x,0) 0, x 怎么求解此
一起围成的三角形区域
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2
将实际问题归结为数学模型时，必须作 一些理想化的假设，以便抓住问题的最本 质的特征。
在考察弦振动问题时的基本假设为：
1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度
相比可以忽略，弦的线密度 是常数。
2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲， 弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一 致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克
6
u M2 M1
O x1 x2
lx
利用弧长公式可知：
s x2 x1
1 ux2 dx,
u ux x .
由假定，弦只作微小振动，
u
2 x
与1相比可以
忽略不计，从而 s x2 x1.
7
u M2 M1
O x1 x2
lx
这样我们可以认为这段弦在振动过程中 并未伸长，因此由胡克定律知道，
弦上每一点所受的张力在运动过程中保 持不变，即张力与时间无关。
|
( x1
x2 ).
当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1)
T0
2u x2
|
( x2
x1).
消去 x2 x1, 并令x2 x1,
2u t 2
T0
2u x 2
.
13
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
上式化为
2
lx
2u t 2
a2
2u x2
,
其中a2 T0 .
O x1 x2
2
lx
T2 cos2 T1 cos1 0.
由于小振动：
1 0,2 0, cos1 1, cos2 1.
于是上式可以写成 T1 T2.
这就是说，张力也不随地点而异，综上所
述，张力是常数，以下记作 T0 10
u
M2
T0
1
M1
T0
O x1 x2
2
lx
现在来导出弦的横振动方程. 张力在 u 轴方向
（Hooke）定律。（即指在弹性限度内， 物体的形变跟引起形变的外力成正比）
3
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
1
1.1 弦振动方程与定解条件
弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人 首先给予系统研究的。它是一大类偏微分 方程的典型代表。
一、下面先从物理问题出发来导出弦振动 方程。
给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软 的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位 置附近作微小的横振动，求弦上各点的运 动规律。
4
为此，选择坐标系如下
u
O
lx
弦的平衡位置为 x 轴，两端分别固定在
x 0 和 x l 处.
u(x,t) 表示弦上横坐标为 x 的点在时刻 t
时沿垂直于 x 轴方向的位移。
5
为了求弦上任意一点的运动规律，必须对
弦上任取一小弦弧
u M2 M1
M1M 2 进行考察。
O x1 x2
lx
我们首先证明张力为常数（即与位置与时间 无关）。假设小弦弧 M1M2 的弧长为s,
15
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
2
lx
同样应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1 )
T0
2u x2
|
( x2
x1)
F (
,t)( x2
x1 ).
消去x2 x1,并令x2 x1,则得弦的强迫横振动方程
2u t 2
a2
2u x 2
f
( x, t ),
其中a2 T0 , f (x,t) F (x,t) .
初始条件：表征某过程“初始”时刻状态的条件。 对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦
在“初始”时刻的位移和速度。
u |t0 (x), 初始位移
u t
|t 0
(x).
初始速度
18
边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上 所满足的物理条件。
对于弦振动问题而言，有三种基本类型： 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
16
弦振动方程中只含有两个自变量 x 和 t, 其中t 表示时间，x 表示位置。
由于它们描述的是弦的振动或波动现象， 因而又称它为一维波动方程。
类似地可导出二维波动方程（例如薄膜 振动）和三维波动方程（例如电磁波、 声波的传播），它们的形式分别为
2u a2 (2u 2u ) f (x, y,t),
u x
|x1 ] T0
2u x2
|
( x2
x1)( x1
x2 ).
另一方面，由于弦段 (x1, x2) 很小，其上每点的
加速度相差也不会太大， 因此可用其中一点
处的加速度2u t 2源自|代替，12
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
2
lx
于是该小段弦的质量与加速度的乘积为
( x2
x1 )
2u t 2
t 2
x2 y2
2u a2 ( 2u 2u 2u ) f (x, y, z, t).
t 2
x2 y2 z 2
17
二、定解条件
对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程
的物理量 u 所满足的方程还是不够的，还要附加
一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的
初始状态以及边界上的物理情况。
定解条件包括初始条件和边界条件。
弦的一端的运动规律已知， 以 x 0 为例，若以
1(t) 表示其运动规律，则边界条件可以表达为
接下来, 我们只须说明张力与位置 x 无关
8
u
M2
T2
1
M1
T1
O x1 x2
2
lx
我们分别把在点 M1, M2 处的张力记作 T1, T2, 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点
M1, M2 处的切线方向。
由假定，弦只作横向振动，因此张力在
x 轴方向分量的代数和为零，即有
9
u
M2
T2
1
M1
T1
分量的代数和为
T0 sin 2 T0 sin 1 T0 (sin 2 sin 1).
由于小振动：
u u T0[ x |x2 x |x1 ]
sin 2
tan2
u x
|x2 ,
sin 1
tan1
u x
| x1 ,
11
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
应用微分中值定理：
T0
[
u x
|x2
这个方程称为弦的自由横振动方程。
14
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于 x 轴，
设其力密度为 F(x,t), 由于弦段 (x1, x2 )很小， 其上各点处的外力近似相等，
因此作用在该段上的外力近似地等于
F( ,t)( x2 x1)( x1 x2 ).
将实际问题归结为数学模型时，必须作 一些理想化的假设，以便抓住问题的最本 质的特征。
在考察弦振动问题时的基本假设为：
1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度
相比可以忽略，弦的线密度 是常数。
2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲， 弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一 致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克
6
u M2 M1
O x1 x2
lx
利用弧长公式可知：
s x2 x1
1 ux2 dx,
u ux x .
由假定，弦只作微小振动，
u
2 x
与1相比可以
忽略不计，从而 s x2 x1.
7
u M2 M1
O x1 x2
lx
这样我们可以认为这段弦在振动过程中 并未伸长，因此由胡克定律知道，
弦上每一点所受的张力在运动过程中保 持不变，即张力与时间无关。
|
( x1
x2 ).
当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1)
T0
2u x2
|
( x2
x1).
消去 x2 x1, 并令x2 x1,
2u t 2
T0
2u x 2
.
13
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
上式化为
2
lx
2u t 2
a2
2u x2
,
其中a2 T0 .
O x1 x2
2
lx
T2 cos2 T1 cos1 0.
由于小振动：
1 0,2 0, cos1 1, cos2 1.
于是上式可以写成 T1 T2.
这就是说，张力也不随地点而异，综上所
述，张力是常数，以下记作 T0 10
u
M2
T0
1
M1
T0
O x1 x2
2
lx
现在来导出弦的横振动方程. 张力在 u 轴方向
（Hooke）定律。（即指在弹性限度内， 物体的形变跟引起形变的外力成正比）
3
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
1
1.1 弦振动方程与定解条件
弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人 首先给予系统研究的。它是一大类偏微分 方程的典型代表。
一、下面先从物理问题出发来导出弦振动 方程。
给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软 的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位 置附近作微小的横振动，求弦上各点的运 动规律。
4
为此，选择坐标系如下
u
O
lx
弦的平衡位置为 x 轴，两端分别固定在
x 0 和 x l 处.
u(x,t) 表示弦上横坐标为 x 的点在时刻 t
时沿垂直于 x 轴方向的位移。
5
为了求弦上任意一点的运动规律，必须对
弦上任取一小弦弧
u M2 M1
M1M 2 进行考察。
O x1 x2
lx
我们首先证明张力为常数（即与位置与时间 无关）。假设小弦弧 M1M2 的弧长为s,
15
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
2
lx
同样应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1 )
T0
2u x2
|
( x2
x1)
F (
,t)( x2
x1 ).
消去x2 x1,并令x2 x1,则得弦的强迫横振动方程
2u t 2
a2
2u x 2
f
( x, t ),
其中a2 T0 , f (x,t) F (x,t) .
初始条件：表征某过程“初始”时刻状态的条件。 对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦
在“初始”时刻的位移和速度。
u |t0 (x), 初始位移
u t
|t 0
(x).
初始速度
18
边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上 所满足的物理条件。
对于弦振动问题而言，有三种基本类型： 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
16
弦振动方程中只含有两个自变量 x 和 t, 其中t 表示时间，x 表示位置。
由于它们描述的是弦的振动或波动现象， 因而又称它为一维波动方程。
类似地可导出二维波动方程（例如薄膜 振动）和三维波动方程（例如电磁波、 声波的传播），它们的形式分别为
2u a2 (2u 2u ) f (x, y,t),
u x
|x1 ] T0
2u x2
|
( x2
x1)( x1
x2 ).
另一方面，由于弦段 (x1, x2) 很小，其上每点的
加速度相差也不会太大， 因此可用其中一点
处的加速度2u t 2源自|代替，12
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
2
lx
于是该小段弦的质量与加速度的乘积为
( x2
x1 )
2u t 2
t 2
x2 y2
2u a2 ( 2u 2u 2u ) f (x, y, z, t).
t 2
x2 y2 z 2
17
二、定解条件
对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程
的物理量 u 所满足的方程还是不够的，还要附加
一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的
初始状态以及边界上的物理情况。
定解条件包括初始条件和边界条件。
弦的一端的运动规律已知， 以 x 0 为例，若以
1(t) 表示其运动规律，则边界条件可以表达为
接下来, 我们只须说明张力与位置 x 无关
8
u
M2
T2
1
M1
T1
O x1 x2
2
lx
我们分别把在点 M1, M2 处的张力记作 T1, T2, 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点
M1, M2 处的切线方向。
由假定，弦只作横向振动，因此张力在
x 轴方向分量的代数和为零，即有
9
u
M2
T2
1
M1
T1
分量的代数和为
T0 sin 2 T0 sin 1 T0 (sin 2 sin 1).
由于小振动：
u u T0[ x |x2 x |x1 ]
sin 2
tan2
u x
|x2 ,
sin 1
tan1
u x
| x1 ,
11
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
应用微分中值定理：
T0
[
u x
|x2
这个方程称为弦的自由横振动方程。
14
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于 x 轴，
设其力密度为 F(x,t), 由于弦段 (x1, x2 )很小， 其上各点处的外力近似相等，
因此作用在该段上的外力近似地等于
F( ,t)( x2 x1)( x1 x2 ).