苏教版九年级下册数学[《图形的相似》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版九年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

【学习目标】

1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；

2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；

3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；

4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小；

5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、比例线段及黄金分割

1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：

（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）

（2）若a :b=b :c ，则b 2=ac （b 称为a 、c 的比例中项）．

2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即AB

AP AP PB （此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

3. 黄金矩形与黄金三角形：

黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

要点二、相似图形

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

要点诠释：

(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.

2.相似多边形

各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

要点三、相似三角形

1. 相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.

要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.

要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点四、图形的位似及投影

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点诠释：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

4.平行投影

在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

5.中心投影

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

【典型例题】

类型一、比例线段及黄金分割

1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c 的值.

【答案与解析】

∵a:b:c=3:5:7

设a=3k, b=5k, c=7k

∵2a+3b-c=28

∴6k+15k-7k=28，∴k=2

∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【总结升华】题目中已知三个量a,b,c 的比例关系和有关a,b,c 的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k 的一元方程,求出k 后,使得问题得解.

举一反三

【变式】如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4， CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝（ ）