高一数学几何数学经典试题
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O
S
D
C
B
A
P
1. 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证： (1) FD ∥平面ABC;
(2) AF ⊥平面EDB.
解；(1)取AB 的中点M,连FM,MC,
∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点 ∴ FM ∥EA, FM= EA
∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ∴ CD ∥EA ∴ CD ∥FM
又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD 是平行四边形
∴ FD ∥MC
FD ∥平面ABC
(2) 因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 CM ⊥AE,所以CM ⊥面EAB, CM ⊥AF, FD ⊥AF, 因F 是BE 的中点, EA=AB 所以AF ⊥EB.
2、已知四棱锥P-ABCD (如图所示)的底面为正方形，点A 是点P 在底面AC 上的射影，PA=AB=a ，S 是PC 上一个动点． １）求证：PC BD ⊥；（4分）
２）当SBD ∆的面积取得最小值时,求平面SBD 与平面PCD 所成二面角的大小．（10分）
S
D
C
B
A
P
1）证明：连接AC ．
∵点A 是点P 在底面AC 上的射影,(1分) ∴PA ⊥面AC.(2分)
PC 在面AC 上的射影是AC. 正方形ABCD 中,BD ⊥AC,(3分) ∴BD ⊥PC.(4分) 2)解:连接OS. ∵BD ⊥AC,BD ⊥PC,
又AC 、PC 是面PAC 上的两相交直线, ∴BD ⊥面PAC. (6分) ∵OS ⊂面PAC, ∴BD ⊥OS.(7分)
正方形ABCD 的边长为a ，
，（8分）
O
S
D
C
B A
P
∴∆BSD 的面积222
BSD BD OS OS a
S ∆=
=．（9分） OS 的两个端点中，O 是定点，S 是动点．
∴当BSD S ∆取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OS ⊥PC ．（10分） ∵PC ⊥BD ， OS 、BD 是面BSD 中两相交直线，
∴PC ⊥面BSD ．（12分）
又PC ⊂面PCD ，∴面BSD ⊥面PCD ．（13分） ∴面BSD 与面PCD 所成二面角的大小为90°．（14分）
4、在三棱锥P －ABC 中，AB AC ⊥,0
60ACB ∠=,P A = PB = PC ,点P 到平面ABC 的距离为 3
2
AC ． (1) 求二面角P －AC －B 的大小；
(2) 若AC a =，求点B 到平面P AC 的距离．
.
解 ：(1) 由条件知△ABC 为直角三角形，且∠BAC = 90︒，
∵ P A = PB = PC ，
∴ 点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，
即斜边BC 的中点E ． 取AC 中点D ，连PD , DE , PE ．
∵ PE ⊥平面ABC ，DE ⊥AC (∵ DE ∥AB ), ∵ AC ⊥PD ． ∴ ∠PDE 为二面角P －AC －B 的平面角．
又PE = 32 AC ，DE = 3
2
AC ，（
060ACB ∠=）
∴ tan
∠PDE = PE
DE
3
2
=
∴ ∠PDE = 60︒．
故二面角P －AC －B 的大小为60︒．
5. 如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，
M 为BC 的中点.
(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离.
A
C
P
B
A
C D
P
B
z x
y
O
P
P
A 1
B 1
C 1
解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC ⊥CD
∵平面PCD ⊥平面ABCD
∴BC ⊥平面PCD ……………………………2分 而PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC 同理AD ⊥PD
在Rt △PCM 中，PM=62)2(2
22
2
=+=+PC MC
同理可求PA=32，AM=6
∴222PA PM AM =+…………………………5分 ∴∠PMA=90°
即PM ⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD 的中点E ，连结PE 、EM ∵△PCD 为正三角形
∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3
∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD 由(Ⅰ) 可知PM ⊥AM ∴EM ⊥AM
∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME=
22
6
3=
=PM PE ∴∠PME=45°
∴二面角P －AM －D 为45° 7、（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=a ，AA 1
（I ）求AB 1与侧面CB 1所成的角；（4分）
（II ）若点P 为侧棱AA 1的中点，求二面角P －BC －A 的大小；(5分) （Ⅲ）在（II ）的条件下，求点A 到平面PBC 的距离. 解：（I ）取BC 中点D,连结AD,B 1D ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直棱柱
∴侧面CB 1⊥底面ABC,且交线为BC ………………1分 ∵△ABC 为等边三角形∴AD ⊥BC,
∴AD ⊥面CB 1 ∴∠AB 1D 为AB 1与侧面CB 1所成的角………2分
E
Ａ
B
D
P
M