(完整版)绝对值的综合应用

绝对值的综合应用

【学习目标】

1．绝对值的代数意义和几何意义；

2．绝对值产考易错题型精选；

3．绝对值化简求值及“零点分段发”解决绝对值方程；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

【要点梳理】

要点一、相反数

1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．

（2）“ 0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“- ”号即可．

2．性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．

（2）互为相反数的两数和为0．

要点二、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“ - ”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-（-4）]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-（-4）]}=-4 ．

要点诠释：

（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－ 3 ）就是－ 3 的相

反数，因此，－（－3）＝3．

要点三、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|=2 ；-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3 ．

要点诠释：

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．即对于任何有理数 a 都有：

a （a 0）

|a| 0 （a 0）

a （a 0）

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点四、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a< b．

2．法则比较法：

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3．作差法：设a、b 为任意数，若a-b >0，则a>b；若a-b ＝0，则a＝b；若a-b <0，a

aaa

4．求商法：设a、b 为任意正数，若 1 ，则a b ；若1，则a b ；若1，则

bbb a b ；反之也成立．若a、b 为任意负数，则与上述结论相反．

5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

要点五、绝对值的 10 个性质

【易错题型精选】

题型一

绝对值的概念题

1. ( 2014? 常德一模)若m与n 互为相反数，则|m+n﹣2|=

3. 满足|x| ＝-x 的数有( ) ．

A ．1 个

B ．2个

C ．3 个

D ．无数个

4. 下列说法中，正确的是

A. 若，则

B. 若，则

C. 若为有理数，则

D. 若为有理数，则

5. 如果，那么；如果，那么；绝对值大于且小于的整数有．

6. 已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又z 2 ，则z x y= ．若，则的值为

A. B. C. D.

题型二

数轴上的有理数

1. 已知在数轴上，为原点，、两点的坐标分别为、．利用下列，，三点在数轴上的位置关系，判断哪一个选项中的

2. 有理数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

B. D.

4. 已知数轴上有 ， 两点， ， 之间的距离为 ，点 与原点 的距离为 ，则 所有满足条件的点

与原点 的距离的和为 ．

5.在数轴上， 和 是两个定点， 坐标分别是 和 ，点 到点 、

的距离的和等于 ，那么点 的坐标是 ．

6. 有理数 ， ， 在数轴上的位置如图：

（1）判断正 负，用 “ ”或“ ”填 空： ，

，．

（2）化简： ．

题型三

取未知数范围题

1. 如果 ，那么 的取值范围是 A. B. C. D.

2. 若 ，则 的取值范围是

A. B. C. D.

3. 若 ， ，且 ，那么 的值是 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

4. 如果 ， ，那么 的值等于

A. C.

5. 如果对于某一特定范围内恒为一常数，则此常数值为 A.的任意允许值，的值B. C. D.

题型四

a

1. 若ab≠0，则a

的取值不可能为( )

A．0．1．2．－

2 2. 如果

3. 若a、b

、

，试比

较

y与xy的大小.

a c 为有理数且

a

bc

abc

4.已知a、b、c 都不等于0，且a ，

求

abc

abc的值.

abc

abc

2005

abc的最大值为m，最小值为n，则(m n)