空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案

第七章空间解析几何

一、教学目的与要求

1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程

6、掌握平面方程和直线方程及其求法。

7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

8、会求点到直线以及点到平面的距离。

二、教学内容及学时分配：

第一节向量及其线性运算2学时

第二节数量积向量积和混合积2学时

第三节曲面及其方程2学时

第四节空间曲线及其方程2学时

第五节平面及其方程2学时

第六节空间直线及其方程2学时

三、教学内容的重点及难点：

重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程

难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题

四、教学内容的深化和拓宽：

1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。

2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，

五、教学方法与手段

启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

第一节 向量及其线性运算

一、内容要点

1、向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向。单位向量、零向量

2、向量的坐标表达式及其运算

1) 向量的加法、减法

满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。 2) 向量的数乘，满足：结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件：a b λ= 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算

1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。 6) 向量的模、方向角、投影 向量的模与两点间的距离公式。

2

22R O Q O P O M O

++==γ

AB =

r x oM x ==

αcos r

y =βc o s r z =γc o s 1cos cos cos 222=++γβα

二、教学要求和注意点

教学要求：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的线性运算

第二节 数量积 向量积和混合积

一、内容要点

x y z x y z a a i a j a k {a ,a ,a }=++=

x y z x y z b b i b j b k {b ,b ,b }=++=

1）数量积 (点积) a b a b cos(a,b)∧⋅= ()

()b

a a

b b a ==

2

z

2y 2x a a a a ++=

性质：z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅

应用：（i ） b a b

a arccos

b a ⋅-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅∧

（ii ） 2

a a a a =⋅= 2)向量积 c

b a

=⨯

()∧=⨯=b

,a sin b a b a c

c a,c b a b a,a b b,⊥⊥⨯⊥⨯⊥

即

右手定则

即()(

)

0b b a 0,

a b a =⋅⨯=⋅⨯

注意 a b b a

⨯-=⨯

z

y

x

z y x

b b b a a a k j i

b a

=⨯ 应用（i

）S ABC

Δ=

（ii ）0b a b //a =⨯↔

（iii ）如()

b a //

c 则,

c b ,

c a

⨯⊥⊥

即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。

（iv ）0b a b a =⋅↔⊥

3) 混合积 (1) []x

y z

x

y z x

y

z

a a a abc

b b b

c c c =

(2) 混合积的几何意义

(3) 三向量共面的充分必要条件为混合积等于零. 二、教学要求和注意点

教学要求： 掌握数量积、向量积、混合积了解两个向量垂直、平行的条件。 注意点： 本单元内容十分重要,应精讲多练。 例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）

2 填空题（3）（4）（5）

例2、

解： ()()

b 3a 2b 3a 2b 3a 22

-⋅-=-

76b 9b a 2a 422=+⋅-=

∴ 192b 3a 2=-

(2)向量积 c b a

=⨯

()∧=⨯=b

,a sin b a b a c

,b b a ,

a b a b c ,

a c

⊥⨯⊥⨯⊥⊥即

πa 5,b 2,a b ,2a 3b 3

∧⎛⎫==⋅=-= ⎪⎝⎭