空间解析几何与向量代数教案

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空间解析几何与向量代数

第八章空间解析几何与向量代数一、教学要求1、了解空间直角坐标系、掌握点的表示方法。

2、了解向量的概念；掌握单位向量、向量的方向佘弦和向量的坐标表示法。

3、掌握向量的运算（加法运算、数乘运算、数量积、向量积）；掌握两个向量垂直、平行的充要条件；了解向量夹角的求法。

4、掌握平面的点法式方程、平面的一般方程；掌握直线的点向式方程、一般式方程；会根据所给条件求平面、直线方程。

5、了解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解母线平行于坐标轴的柱面方程、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。

6、了解空间曲线的参数方程的一般方程。

二、内容提要1．三阶行列式的计算公式333222111c b a c b a c b a =332213322133221b a b ac c a c a b c b c ba +- =312231123213132321cb ac b a c b a c b a c b a c b a ---++。

2．直角坐标系（1）坐标轴、坐标面上点的特征；（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 3．向量的概念：（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB 。

（2）向量的坐标表示：点),,(z y x P ,则向量k z j y i x z y x OP++==},,{。

其中i 、j 、k为三个坐标轴正向上的单位向量。

若),,(111z y x A 、),,(222z y x B ，则AB ={12x x -，12y y -，12z z -}。

（3）向量a的长度叫向量的模，记为||a ：设a ={}z y x a a a ,,，则||a=222z y x a a a ++。

当向量的模为1时，这个向量叫单位向量；与向量a 同方向的单位向量为0a =||a a。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。

设a={}z y x a a a ,,，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++==++==++==222222222||cos ||cos ||cos z y x zz zy x y y z y x xx a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα 且1cos cos cos 222=++γβα，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量{}γβαcos ,cos ,cos 是与a同方向的单位向量。

空间解析几何与向量代数教案

空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 坐标轴与坐标平面学习空间直角坐标系的定义与构成理解坐标轴与坐标平面的概念掌握坐标轴与坐标平面的表示方法1.2 坐标点与坐标表示学习坐标点的表示方法掌握坐标点的坐标表示规则理解坐标点在坐标平面上的位置关系第二章：向量代数2.1 向量的定义与表示学习向量的定义与性质掌握向量的表示方法理解向量的几何表示与坐标表示之间的关系2.2 向量的运算学习向量的加法、减法与数乘运算掌握向量加法、减法与数乘运算的规则与性质理解向量运算与几何意义之间的关系第三章：空间解析几何3.1 点、直线与平面方程学习点的坐标表示与几何性质掌握直线的点斜式、截距式与一般式方程理解直线方程的解析表示与几何意义3.2 空间解析几何的基本公式学习空间解析几何的基本公式掌握空间解析几何公式的推导与运用方法理解空间解析几何公式在解决实际问题中的应用第四章：向量空间与线性变换4.1 向量空间的基本概念学习向量空间、子空间与线性相关的概念掌握向量空间的基底与维数的计算方法理解向量空间的基本性质与运算规则4.2 线性变换与矩阵学习线性变换的定义与性质掌握线性变换的矩阵表示方法理解线性变换与矩阵之间的关系与应用第五章：空间解析几何的应用5.1 空间解析几何在几何图形分析中的应用学习利用空间解析几何分析几何图形的位置关系掌握利用空间解析几何解决几何图形问题的方法理解空间解析几何在几何图形分析中的重要性5.2 空间解析几何在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念与方法掌握利用空间解析几何进行坐标变换的规则与技巧理解坐标变换在实际问题中的应用与意义第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离学习空间两点间的距离公式掌握空间两点间距离的计算方法理解空间距离公式的几何意义6.2 空间角度的计算学习空间角度的定义与表示方法掌握空间角度的计算规则理解空间角度计算在几何中的应用第七章：向量的投影与叉积7.1 向量的投影学习向量在坐标轴上的投影方法掌握向量投影的计算规则理解向量投影的几何意义7.2 向量的叉积学习向量的叉积定义与计算方法掌握向量叉积的几何意义与运算规则理解向量叉积在空间几何中的应用第八章：空间曲线与曲面8.1 空间曲线的基本概念学习空间曲线的定义与表示方法掌握空间曲线的参数方程与普通方程理解空间曲线的几何性质与特征8.2 空间曲面的基本概念学习空间曲面的定义与表示方法掌握空间曲面的参数方程与普通方程理解空间曲面的几何性质与特征第九章：空间几何体的表面积与体积9.1 空间几何体的表面积学习空间几何体表面积的计算方法掌握空间几何体表面积的计算规则理解空间几何体表面积计算的几何意义9.2 空间几何体的体积学习空间几何体体积的计算方法掌握空间几何体体积的计算规则理解空间几何体体积计算的几何意义第十章：空间解析几何在实际问题中的应用10.1 空间解析几何在工程中的应用学习空间解析几何在工程领域中的应用案例掌握利用空间解析几何解决工程问题的方法理解空间解析几何在工程中的重要性10.2 空间解析几何在科学计算中的应用学习空间解析几何在科学计算领域中的应用案例掌握利用空间解析几何进行科学计算的方法理解空间解析几何在科学计算中的作用与意义重点和难点解析六、空间距离与角度：空间两点间的距离和角度计算是空间解析几何的基础，学生需要理解并掌握这些概念和计算方法。

向量代数与空间解析几何12077PPT学习教案

a = M1M2 = OM2 OM1
a
M2
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
o y
k) (x1 i + y1 j + z1
x
= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k (2)
即 a = {x2 x1 , y2 y1 , z2 z1} 为向量a的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z分1 别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.
oAe 1 B
u
AB ( AB)e .
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定理在u轴上取定一点o作为坐标原点．设 A,B,
是u轴上坐标依次为 u1, u2 的两个点，e 是与u轴
同方向的单位向量，证明 AB (u2 u1 )e.
证 OA u1,
e
A
o
1 u1
B
u2
u
故
OA
u1e ,
AB OB OA
向量代数与空间解析几何12077
会计学
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1为向起量点的，大M小2.为| a终| 或点|的M有1M向2线|段.
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1
M
0 2
零向量：模长为0的向量. 0
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2、向量的加减法与数乘
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
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空间解析几何与向量代数教案

空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系的定义与性质学习空间直角坐标系的定义与性质，理解坐标轴的相互关系。

通过实例演示空间直角坐标系的建立与表示方法。

1.2 点、向量与坐标学习点在空间直角坐标系中的表示方法，理解坐标与点的关系。

学习向量的定义与表示方法，掌握向量的坐标表示。

第二章：向量代数2.1 向量的基本运算学习向量的加法、减法、数乘运算，掌握运算规则与性质。

学习向量的点积与叉积运算，理解其几何意义与计算方法。

2.2 向量的数量积与角度学习向量的数量积（点积）的定义与性质，掌握计算方法。

学习向量的夹角（角度）的定义与计算方法，理解其几何意义。

第三章：空间解析几何3.1 直线与方程学习直线的解析几何表示方法，理解直线方程的定义与形式。

学习直线的点斜式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。

3.2 平面与方程学习平面的解析几何表示方法，理解平面方程的定义与形式。

学习平面的点法式、截距式、一般式方程，掌握方程的转换方法。

第四章：空间几何图形4.1 直线与平面的位置关系学习直线与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。

学习直线与平面交线的求法，理解交线的几何性质。

4.2 平面与平面的位置关系学习平面与平面的平行、相交、垂直位置关系的定义与判定方法。

学习平面与平面交线的求法，理解交线的几何性质。

第五章：空间解析几何的应用5.1 空间距离与角度学习空间两点间的距离公式，掌握距离的计算方法。

学习空间两点间的夹角公式，理解夹角的计算方法。

5.2 空间解析几何在几何中的应用学习空间几何问题的解析几何方法，解决线与线、线与面、面与面的交点问题。

学习空间几何图形的面积、体积的计算方法，应用解析几何知识解决实际问题。

第六章：空间向量与线性方程组6.1 向量组的线性组合学习向量组的线性组合的定义与性质，理解线性组合与向量加法的关系。

学习向量组的线性相关的概念，掌握线性相关的判定方法。

向量代数与空间解析几何教案

第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2．量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3．向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4．量的模：向量的大小，记为a。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

5．量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算1．加减法c b a =+：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。

设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。

高中数学教案向量与空间解析几何的应用

高中数学教案向量与空间解析几何的应用高中数学教案：向量与空间解析几何的应用第一部分：引言在高中数学的学习过程中，我们经常会遇到向量与空间解析几何的知识。

这些知识不仅在数学上具有重要的应用，还在物理、工程等领域有广泛的实际应用。

本教案旨在引导学生深入理解向量与空间解析几何的概念，并掌握其在实际问题中的运用。

第二部分：向量的基本概念与运算2.1 向量的基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。

在此部分，我们将介绍向量的定义、零向量、负向量以及向量的模长和方向角等概念。

2.2 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等。

通过练习和实际问题的分析，学生将掌握向量的运算法则和技巧。

第三部分：空间解析几何的基础知识3.1 空间直角坐标系在空间解析几何中，我们需要引入三维直角坐标系来描述点、向量和直线在空间中的位置关系。

我们将学习坐标轴的方向、坐标的表示方式以及直线方程的建立等内容。

3.2 点与直线的位置关系在三维空间中，点和直线是最基本的几何要素。

在此部分，我们将学习点到直线的距离、点与直线的关系以及平面与直线的交点等概念。

3.3 平面的方程与位置关系平面是空间解析几何中的重要概念，它可以由点和法向量确定。

我们将学习平面的一般方程、截距式方程以及平面与直线的位置关系等内容。

第四部分：向量与空间解析几何的应用4.1 向量的几何应用向量在解决几何问题中有着重要的应用。

我们将介绍向量共线、向量垂直以及向量和平面的夹角等内容，帮助学生灵活运用向量的性质解决几何问题。

4.2 空间解析几何的实际应用空间解析几何在实际生活与工作中有着广泛的应用。

本部分将引导学生探索空间几何在物理、工程和计算机图形学等领域的实际应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

第五部分：教学活动设计为了帮助学生更好地理解和应用向量与空间解析几何，我们设计了一系列教学活动。

这些活动包括示例分析、练习题讲解、实践探究以及小组合作等，以促进学生的主动学习和思维能力的培养。

向量代数与空间解析几何教案

向量代数与空间解析几何教案
一、矢量代数与空间解析几何教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握实数张量的基本概念及性质。

2.掌握空间解析几何的基本概念及定义，掌握空间解析几何的性质及关系。

3.理解空间解析几何的基本概念及定义，理解矢量代数的基本概念及定义。

4.掌握矢量代数的基本概念及定义，掌握矢量代数的基本算法及实例分析。

5.掌握常见的几何形状和曲线的推导运算，推导图形的两点之间的距离及角度等。

（二）过程与方法目标
1.掌握数学建模的基本要素，学习建模的方法及过程。

2.养成独立学习、自主思考的习惯，练习解题能力及应用能力。

3.加强个别学习，形成组织学习，自学，互学相结合的学习模式。

二、教学内容
（一）矢量代数
1.实数张量的定义及基本性质：实数张量是一种关系的概括，它描述了一组数字之间的关系，它的基本性质包括变换的对称性、可加性和逆变换。

2.矢量代数的定义及基本性质：矢量代数是由实数张量和实数矩阵组成的数学模型，它可以用来刻画几何物体的几何特征，矢量代数的基本性质包括平行性、正交性和判定性。

高等数学教案-向量代数与空间解析几何

空间解析几何与向量代数教案

空间解析几何与向量代数教案第一章：空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系的定义与性质学习空间直角坐标系的定义与性质，理解坐标轴的相互关系。

通过实例熟悉坐标轴上的点与向量的表示方法。

1.2 点的坐标表示学习如何在空间直角坐标系中表示点的坐标。

掌握坐标的互换与坐标轴间的角度关系。

1.3 向量的坐标表示学习向量的坐标表示方法，理解向量的模与方向。

通过实例熟悉向量的加法、减法与数乘运算。

第二章：向量的运算2.1 向量的加法与减法学习向量的加法与减法运算，理解三角形法则与平行四边形法则。

通过实例熟练运用加法与减法运算。

2.2 向量的数乘学习向量的数乘运算，理解数乘对向量模与方向的影响。

通过实例熟练运用数乘运算。

2.3 向量的点积与叉积学习向量的点积与叉积运算，理解点积与叉积的定义与性质。

通过实例熟练运用点积与叉积运算。

第三章：空间解析几何3.1 点与向量的关系学习点与向量的关系，理解点在向量上的投影。

通过实例熟悉点与向量的运算与关系。

3.2 直线与平面的解析表示学习直线与平面的解析表示方法，理解直线的方向向量与平面的法向量。

通过实例熟练运用直线与平面的解析表示。

3.3 空间几何图形的位置关系学习空间几何图形的位置关系，理解平行、相交与包含的关系。

通过实例熟悉空间几何图形的位置关系判断。

第四章：空间向量的应用4.1 空间向量的投影学习空间向量的投影，理解投影的定义与性质。

通过实例熟练运用向量的投影。

4.2 空间向量的夹角学习空间向量的夹角，理解夹角的定义与性质。

通过实例熟练运用向量的夹角。

4.3 空间向量的距离学习空间向量的距离，理解距离的定义与性质。

通过实例熟练运用向量的距离。

第五章：空间解析几何的应用5.1 空间直线与平面的交点学习如何求空间直线与平面的交点，理解交点的求法。

通过实例熟练运用求交点的方法。

5.2 空间点到直线的距离学习如何求空间点到直线的距离，理解距离的求法。

通过实例熟练运用求距离的方法。

高等数学武大社教案09第九章向量代数与空间解析几何

第九章向量代数与空间解析几何一、教学目标1.熟悉向量、数量积、向量积的概念；2.掌握用向量解决空间问题的方法，特别是平面与直线的方程；3.了解曲面方程、空间曲线的方程及其建立的方法.二、课时分配本章节共6个小节，共安排12个学时.三、教学重点1.数量积；2.向量积；3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面；4.平面方程及直线方程的求法.四、教学难点母线平行于坐标轴的柱面方程和空间曲线在坐标平面上的投影方程.五、教学内容第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系通常过空间一点O作三条互相垂直的数轴,它们以O为原点,并取相同的长度单位.这三条数轴分别称为x轴(横轴)、y轴（纵轴）和z轴（竖轴），统称为数轴.它们的正方向符合右手规则：以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正方向逆时针旋转π/2角度到y轴正方向时，则大拇指所指的方向即为z轴的正方向.一般将x轴和y轴放在水平面上，z轴垂直于水平面.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记Oxyz坐标系.点O称为坐标原点，x轴、y轴和z轴统称为坐标轴.每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标面.由x轴和y轴所确定的平面称为xOy坐标面.类似有yOz坐标面和zOx坐标面.三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，其中第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限位于xOy面上方，含有x轴、y轴、z轴正方向的部分为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始逆时针依次为第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；第Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限位于xOy面下方，分别与第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限对应.在空间任取一点M，过点M分别作垂直于坐标轴的三个平面，分别交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R，设点P，Q，R在坐标轴的坐标分别为x,y,z.于是点M 就唯一确定了一组有序三元数组（x,y,z）.反之，给定一有序三元数组（x,y,z）,在x轴、y轴和z轴上分别确定以x,y,z为坐标的三个点P，Q，R.过这三个点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，这三个平面的交点M，便是由有序的三元数组（x,y,z）在空间确定的唯一的点.这样就建立了有序三元数组（x,y,z）与空间点M的一一对应关系，我们称有序三元数组（x,y,z）为点M的坐标，记作M（x,y,z）.并称x,y,z分别为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.特别地，坐标原点O的坐标为（0，0，0），x轴、y轴、z轴上的点的坐标分别为（x,0,0）,(0,y,0),(0,0,z),xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面上的点的坐标分别是（x,y,0）,(0,y,z),(x,0,z).设点M(x,y,z),则点M关于xOy面的对称点的坐标为（x,y,-z）,关于x轴的对称点的坐标为（x,-y,-z）,关于坐标原点的对称点的坐标为（-x,-y,-z）.类似地，可得到点M关于其他坐标面及坐标轴的对称点的坐标.二、空间两点间的距离公式给定空间两点M1（x1,y1,z1）,M2（x2,y2,z2）,过点M1，M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，这六个平面构成一个以M1M2为对角线的长方体.由初等几何和平面解析几何知识，求得空间两点间的距离公式为|M1M2|=√212212212如果点M2为坐标原点，即x2=0,y2=0,z2=0,则得点M1（x1,y1,z1）与坐标原点O的距离公式为|OM1|=√x12+y12+z12第二节向量的概念及基本运算一、向量的概念我们常常遇到一些既有大小又有方向的量，如力、速度、加速度等.我们称既有大小又有方向的量为向量.向量有两个要素:大小和方向.它可用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的指向表示向量的方向.二、向量的线性运算由力学上合力的平行四边形法则，我们来定义向量的加法运算.定义1以定点O为起点作向量a和b，以它们为邻边作平行四边形，则以O 为起点作平行四边形的对角线向量c称为a与b的和，记作a+b.向量相加也可以用三角形法则：以b的起点连接a的终点，则由a的起点到b的终点的向量c就是a与b的和.如果空间有多个向量相加，只要将它们依次由前一个向量的终点为起点作下一个向量，则由第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量即为所求的和向量.定义2实数m与向量a的乘积是一个向量，记作ma，其模为|m||a|，其方向为：当m＞0时，ma与a同向；当m＜0时，ma与a反向；当m=0时，ma=0，方向任意.这种运算也简称为向量的数乘.三、向量的坐标表示式设在空间直角坐标系中的一个向量a，将a平行移动使其起点为坐标原点O，终点为M（a1,a2,a3）,过M点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，交三坐标轴于点P，Q，R，根据向量的加法法则，有a =OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OR ⃗⃗⃗⃗⃗ 设i,j,k 分别为x 轴、y 轴、z 轴正向的单位向量，则有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1i,OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2j,OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 3k 从而向量a 可表示为a =a 1i +a 2j +a 3k 或记为a ={a 1,a 2,a 3}上式称为向量a 的坐标表示式（或坐标分解式），其中a 1,a 2,a 3称为向量a 的坐标.四、两向量的数量积定义3设任意两向量为a 与b ，它们的夹角为θ,称乘积|a ||b |cosθ为向量a 与b 的数量积，记作a ·b,即a ∙b =|a ||b |cosθ于是有W =F ∙AB ⃗⃗⃗⃗⃗向量的数量积有如下的运算规律.（1）交换律:a·b=b·a.（2）结合律:(λa)·(μb)=(λμ)(a·b).（3）分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.利用向量的数量积的坐标式，可得两向量夹角的余弦的坐标表达式及两向量互相垂直的充分必要条件的坐标表示式.【例3】设|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π/4,求（a-b）·(2a+b).【解】(a−b)∙(2a+b)=2|a|2+a∙b−2a∙b−|b|2=2×1−1×√2×cos π4=2−1−2=−1五、两向量的向量积定义4设有两个向量a，b，它们的夹角为θ，由a，b可确定一个向量c，其模为|c|=|a||b|sinθ，其方向垂直于向量a与向量b所确定的平面，它的指向按右手规则从a转向b来确定，则称这样所确定的向量c为向量a与b的向量积，记作a×b，即c=a×b.由此可见，|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积.向量积又称“叉积”或“外积”.由定义4可知，力F对支点O所产生的力矩M=OP×F.向量积的运算符合下列规律.(1) 反交换律:a×b=-b×a,表示交换律对向量积不成立.(2) 结合律:(λa)×b=λ(a×b)(λ为数).(3) 分配律:(a+b)×c=a×c+b×c.第三节空间平面及其方程一、平面的点法式方程在几何学中，通过一定点M0(x，y，z)，且与一非零向量n={A,B,C}垂直的平面是唯一确定的.若设平面上一动点M(x,y,z)，我们来建立动点所满足的轨迹方程，此即平面方程.A(x-x0)+B(y-y)+C(z-z)=0.由点M的任意性可知，平面上点的坐标都满足上述方程，而不在此平面上的点其坐标不满足该方程，因此，上述方程就是所求的平面方程，称它为平面的点法式方程，其中的非零向量n称为平面的法向量.一个平面的法向量并不是唯一的，任何一个与该平面垂直的非零向量都可以作为该平面的法向量.【例1】求过点M(1,-2,2)且法向量为{2,3,-1}的平面方程.【解】因n={2,3,-1}，于是由平面的点法式方程，得所求平面方程为2(x-1)+3(y+2)-(z-2)=0即2x+3y-z+6=0二、平面的一般式方程将平面的点法式方程中的括号去掉，并记D=-(Ax0+By+Cz)，则该方程可改写成Ax+By+Cz+D=0.所以，平面方程是关于x,y,z 的三元一次方程.反之，任何一个关于x,y,z 的三元一次方程Ax+by+Cz+D=0(A,B,C 不全为零)一定表示一平面，事实上，若假设M(x 0,y 0,z 0)是该方程的一组解，即Ax 0+By 0+Cz 0+D=0.解出D=-(Ax 0+By 0+Cz 0)，并代入方程Ax+By+Cz+D=0，整理得A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0.这正表示一个通过点M(x 0,y 0,z 0),以n={A,B,C}为法向量的平面方程. 我们称方程Ax+By+Cz+D=0为平面的一般式方程.【例2】求通过三点A(0,1,2),B(3,-1,2)，C(-1,3,4)的平面方程. 【解】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ={3,-2,0}，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ={-1,2,2}，而平面的法向量n ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则n =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AC⃗⃗⃗⃗⃗ =|i j k3−20−122|={−4,−6,4} 又因为平面过点A(0,1,2),于是所求平面方程为-4x-6(y-1)+4(z-2)=0即-4x-6y+4z-2=0化简，得-2x-3y+2z-1=0三、平面的截距式方程利用平面的一般式方程，我们来讨论平面在空间直角坐标系中的一些特殊位置.(1)若D=0，方程为Ax+By+Cz=0，平面过原点；(2)若C=0，方程为Ax+By+D=0，因为n={A,B,0}⊥k ，平面平行z 轴或垂直于xOy 面.特别地，当C=D=0时，方程为Ax+By=0，平面通过z 轴.(3)若A=B=0,方程为Cz+D=0，因n={0,0,C}∥k，所以，平面垂直于z轴或平行于xOy面.特别地，当A=B=D=0时，方程z=0，此为xOy面.(4)若A，B，C，D均不为零，方程可化为x/-D/A+y/-D/B+z/-D/C=1.设a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,方程为x/a+y/b+z/c=1，平面与x轴、y轴、z轴分别有交点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，此方程称为平面的截距式方程，数a,b,c分别称为平面在x轴、y轴、z轴上的截距.四、两平面的夹角设两平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0和π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，则平面π1和π2的法向量分别为n1={A1,B1,C1}和n2={A2,B2,C2}，称法向量之间的夹角θ或π-θ为平面π1与π2的夹角.由两向量垂直和平行的充要条件可得π1和π2垂直A1A2+B1B2+C1C2=0.π1和π2平行A1A2=B1B2=C1C2.【例4】求过点M0(1，4,3)且平行于平面π1:x+4y-z=0的平面π2的方程.【解】平面π1的法向量n=(1,4,-1).因为π1∥π2,所以可取n 为平面π2的法向量.根据平面的点法式方程有x-1+4(y-4)-(z-3)=0即x+4y-z-14=0五、点到平面的距离设平面π:Ax+By+Cz+D=0，现求平面外一点P(x 0,y 0,z 0)到该平面的距离. 在平面π上任取一点M(x,y,z),作向量PM={x-x 0，y-y 0，z-z 0}，它在π的法向量n={A,B,C}上的投影为(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )n=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n 0=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n |n |=A (x −x )+B (y −y )+C (z −z )√A 2+B 2+C 2=−(Ax +By +Cz )+Ax +By +Cz√A 2+B 2+C 2=−(Ax +By +Cz )−D √A 2+B 2+C2点到平面的距离为：d =|(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )n |=|Ax +By +Cz +D |√A 2+B 2+C 2第四节空间直线及其方程一、空间直线的一般式方程一般地，空间直线可以用不平行的两个平面的交线来表示.设有两个不平行的平面其方程为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0，A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0，则联立方程组{A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0(A 1,B 1,C 1与A 2,B 2,C 2不成比例)称此为直线的一般式方程. 二、空间直线的点向式方程设直线上任意一点M(x,y,z),作向量M0M={x-x，y-y，z-z}，那么有s∥MM,由两向量平行的条件，可得该直线的方程为x−x0l =y−y0m=z−z0n上述方程称为直线的点向式方程(或对称式方程)，其中s={l,m,n}称为直线的方向向量，而l,m,n称为方向数.若方向数l,m,n中有一个为零，如l=0，方程x-x0/0=y-y/m=z-z/n应理解为{y−y0m=z−z0nx=x0这时因s={0,m,n}⊥i，所以该直线垂直于x轴或平行于yOz面.若直线方程为x-x0/l=y-y/0=z-z/0，此即y=y，z=z，该直线平行于x轴或垂直于yOz面.三、空间直线的参数式方程在直线的点向式方程中，如果令比值为t，则有{x=x0+lty=y0+mtz=z0+ntt∈(−∞,+∞)其中，t为参数，称为直线的参数式方程.四、三种直线方程的相互转化1. 点向式转化成一般式设直线点向式方程中方向向量的坐标分量l,m,n都不等于0，分列两个等号为两个等式，得{n(y−y0)−m(z−z0)=0n(x−x0)−l(z−z0)=0或{ny−mz+(mz0−ny0)=0nx−lz+(lz0−nx0)=0所得到的两个方程表示过点M0(x，y，z),分别平行于x轴和y轴的平面.也就是说，以连续两个等号连接的等式组表示的直线，实际上表示了分列成两个等式后所表示的平面的交线.2. 一般式转化成点向式设相交成直线l的平面π1，π2的方程如前，则它们的法向量n 1={A1,B1,C1},n2={A2,B2,C2},因为n1⊥l，n2⊥l n1×n2∥l，所以可取s=n1×n2=(|B1C1B2C2|,−|A1C1A2C2|,|A1B1A2B2|)为l的方向向量.任取z=z，代入上式，解方程组{A1x+B1y=−(C1z0+D1)A2x+B2y=−(C2z0+D2)得解(x,y)，点M(x,y,z)为交线l上一点.于是交线l的点向式方程为x−x0|B1C1B2C2|=y−y0−|A1C1A2C2|=z−z0|A1B1A2B2|3. 点向式转化成参数式当点M在直线l上变动时，动向量M0M={x-x，y-y，z-z}与方向向量s={m,n,p}的坐标成比例.现以t表示比值，即x−x0 m =y−y0n=z−z0p=t转化为参数方程为{x=x0+mty=y0+ntz=z0+ptt∈(−∞,+∞)【例2】将{x−y+z=22x+3y−z=1化为直线的点向式方程和参数式方程.【解】先求直线上一点，不妨设y=0，代入直线一般式方程，有{x+z=22x−z=1，解得x=1，z=1，由此得直线上一点M(1,0,1).又直线为两平面的交线，其方向向量s必同时垂直于两平面的法向量n1={1,-1,1}，n2={2,3,-1}，可取s=n1×n2=|i j k1−1123−1|={−2,3,5}于是，直线的点向式方程为x−1−2=y3=z−15参数式方程为{x=1−2ty=3tz=1+tt∈(−∞,+∞)五、两直线的夹角设空间两直线L1,L2的方向向量分别为s1={l1,m1,n1},s2={l2,m2,n2},称它们的夹角θ或π-θ为该两直线的夹角.因而有L1与L2垂直⟺l1l2+m1m2+n1n2=0L1与L2平行⟺l12+m12+n12cosθ=|s1∙s2||1||2|=|l l+m m+n n|√l12+m12+n12∙√l22+m22+n22六、直线与平面的夹角设平面π的法向量n={A,B,C}和直线L的方向向量s={l,m,n},以及它们的夹角θ,称π/2-θ或θ-π/2为直线L与平面π的夹角.则有π与L垂直⟺A+B+Cπ与L平行⟺Al+Bm+Cn=0cosθ=|n∙s||n|∙|s|=|Al+Bm+Cn|√A2+B2+C2∙√l2+m2+n2【例4】求直线x−21=y−31=z−42与平面2x+y+z-6=0的交点.【解】直线的参数式方程为{x=2+ty=3+tz=4+2t，代入平面方程并解得t=-1，于是，求得直线与平面的交点为(1,2,2).【例5】一直线过点(3,-4,0),且同时平行于平面2x+3y-z+1=0和平面x-4y+2z=0,求此直线的点向式方程.【解】由题意,直线的方向向量s同时垂直于两平面的法向量n1={2,3,-1}和n2={1,-4,2},从而可取s=n1×n2=|i j k23−11−42|={2,−5,−11}于是求得直线的点向式方程为x−3 2=y+4−5=z−11第五节曲面及其方程一、曲面方程的概念一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹∑.在建立了坐标系后，以M （x,y,z）表示动点，以F（x,y,z）=0表示构成∑的约束条件，则称x,y,z的三元方程F(x,y,z)=0为曲面∑的方程.在坐标系中描出满足三元方程的点，得到的就是曲面∑的图像.空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面：①据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程；②已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质.二、球面球面是空间中到定点M（球心）的距离为常数R（半径）的动点M的轨迹∑.若已经建立了空间直角坐标系Oxyz,M0坐标为（x,y,z）,动点M的坐标为（x,y,z），则根据空间两点距离公式，有M(x,y,z)∈∑⇔(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2或∑={(x,y,z)|(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2}上式称为球面∑在给定坐标系中的方程，简称球面方程.特别地，当定点M是原点时，球面方程为x2+y2+z2=R2.【例1】方程x2+y2+z2-4x+2z=0表示怎样的曲面？【解】通过配方，把原方程写成（x-2）2+y2+(z+1)2=5,由此可知该方程表示球心为（2，0，-1）、半径为5的球面.三、柱面若动点在直线L上移动，同时直线L又沿给定曲线Γ平行移动（简称动直线L沿定曲线Γ平行移动），称这样的动点所形成的轨迹∑为柱面.定曲线Γ称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.【例2】指出下列方程所表示的曲面，并作出示意图.(1)(x−1)2+(z+2)2=9(2)x 2a2+y2b2=1(3)z2=−y+a(4)−x 2b2+z2a2=1【解】(1) 方程缺变量y，所以方程表示准线为xOz平面的圆{(x−1)2+(z+2)2=9y=0,母线平行y轴的圆柱面，其图像如图所示.(2) 方程缺变量z，所以方程表示准线为xOy平面的椭圆{x2a2+y2b2=1z=0,母线平行于z轴的椭圆柱面，其图像如图所示.（3）方程缺变量x，所以方程表示准线为yOz平面的抛物线{z2=−y+1x=0,母线平行于x轴的抛物柱面，其图像如图所示.(4) 方程缺变量y，所以方程表示准线为xOz平面的双曲线{−x2b2+z2a2=1y=0,母线平行于y轴的双曲柱面，其图像如图所示.四、旋转曲面若动点在曲线Γ上移动，同时曲线Γ又绕定直线l旋转（简称曲线Γ绕一条定直线l旋转一周），称这样的动点所形成的轨迹∑为旋转曲面，称曲线Γ为旋转曲面的母线，称定直线l为旋转曲面的轴.考虑用如下一类特殊的旋转面∑:母线Γ在某坐标平面上,旋转轴是该坐标面两坐标轴之一,通过类似的推导,∑的方程都可从母线方程按上述相同的规律得到.具体结果如下表所示:【例4】求出下列旋转曲面Σ的方程：（1）xOy平面上的椭圆x 2b2+y2a2=1绕x轴和y轴旋转；（2）xOz平面上的抛物线x2=az绕对称轴旋转；（3）yOz平面上的双曲线−y 2b2+z2a2=1绕实轴和虚轴旋转；（4）xOy平面上直线y=ax+b绕x轴和y轴旋转. 【解】(1) 绕x轴、y轴旋转所得旋转面的方程依次为x2 b2+y2+z2a2=1,x2+z2b2+y2a2=1称此曲面为旋转椭球面(见图（a）).（2）绕对称轴（z轴）旋转所得旋转面的方程为x2+y2=az 称此曲面为旋转抛物面(见图（b）).(3)绕实轴（z轴）旋转所得旋转面的方程为−x2+y2b2+z2a2=1称此曲面为双叶旋转双曲面(见图（c）)；绕虚轴（y轴）旋转所得旋转面的方程为−y2b2+x2+z2a2=1称此曲面为单叶旋转双曲面(见图（d）).(4)绕x轴旋转所得旋转面的方程为±√y2+z2=ax+b,即y2+z2=(ax+b)2是顶点在(−ba,0,0)的圆锥面(见图（e）)绕y轴旋转所得旋转面的方程为y=±a√x2+z2+b，即(y−b)2=a2(x2+z2)它是顶点在（0,b,0）的圆锥面.特别地，若b=0，母线为经过原点的直线y=ax,则绕x或y轴旋转而成的圆锥面的顶点都在原点(见图（f）)，则以x轴为旋转轴所得旋转面方程为a2x2=y2+z2以y轴为旋转轴所得旋转面方程为y2=a2(x2+z2)五、二次曲面若其方程为x,y,z的二次方程，则称它为二次曲面.可以证明，所有的二次曲面如果有意义，那么它的图像只有五类：椭球面、抛物面、双曲面（单叶或双叶）、锥面以及我们还没有学过的双曲抛物面（标准的方程形式为x2a2-y2b2=±z,只是曲面的位置不那样规范）.第六节空间曲线及其方程一、空间曲线的概念及其方程空间曲线可以看作两个相交曲面的交线.设两曲面的方程分别为F（x,y,z）=0和G（x,y,z）=0,它们的交线为Γ，则曲线上的点的坐标必同时满足这两个曲面方程，而不在曲线Γ上的点一定不能同时满足这两个方程，因此联立方程组{F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0就是空间曲线的方程，称为空间曲线的一般方程.【例1】考查方程组{x2+y2+z2=25z=3表示的曲线Γ.【解】第一个方程表示球心在原点,半径为5的球面，第二个方程表示平行于xOy面的平面，Γ为球面与平面的交线.若将z=3代入球面方程，该方程组也可等价地表示为{x2+y2=16z=3其中，第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，方程组表示柱面与平面的交线，是一个圆心在点（0，0，3）、半径为4的圆周.二、空间曲线在坐标面上的投影1. 空间曲线在坐标面上的投影曲线对一般的空间曲线Γ，以Γ为准线，作母线平行于z轴的柱面∑z ，称∑z与xOy坐标面的交线Lz 为Γ在xOy坐标面上的投影曲线（简称投影），称柱面∑z为Γ关于xOy坐标面上的投影柱面.类似地，若柱面的母线平行于x轴或y轴，得到的是Γ在yOz坐标面或xOz坐标面上的投影Lx ,Ly及相应的投影柱面∑x，∑y.2. 从曲线的一般方程求投影曲线的方程为了求出空间曲线Γ在xOy坐标面上的投影Lz的方程，只要能把Γ表示成方程{f(x,y)=0 g(x,y,z)=0即可.因为方程f(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面∑z，这样就把Γ表示成了∑z 与另一个曲面g(x,y,z)=0的交线，∑z正好是Γ关于坐标面xOy的投影柱面，因此{f(x,y)=0z=0即为Γ在xOy坐标面上的投影Lz的方程.【例4】求球面x2+y2+z2=2z与旋转抛物面3z=2(x2+y2)的交线Γ在xOy 坐标面上的投影.【解】应该在两个方程之一中消去z.即在方程组{x 2+y 2+z 2=2z 3z =2(x 2+y 2)中，第一个方程乘以2减去第二个方程，得2z 2=4z-3z化简并解此方程，得z=1/2,z=0(舍去).将z=1/2代入方程组中的第二个方程（或第一个方程）中，这样就求得x 2+y 2=34.所以交线Γ的方程可写为{x 2+y 2+z 2=2z x 2+y 2=34或{x 2+y 2=343z =2(x 2+y 2) 所以交线Γ在xOy 坐标面上的投影曲线的方程为{x 2+y 2=34z =0.这是xOy 坐标面上的一个圆.。

空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程6、掌握平面方程和直线方程及其求法。

7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

8、会求点到直线以及点到平面的距离。

二、教学内容及学时分配：第一节向量及其线性运算2学时第二节数量积向量积和混合积2学时第三节曲面及其方程2学时第四节空间曲线及其方程2学时第五节平面及其方程2学时第六节空间直线及其方程2学时三、教学内容的重点及难点：重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题四、教学内容的深化和拓宽：1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。

2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，五、教学方法与手段启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

第一节向量及其线性运算一、内容要点1、向量：有大小、方向的量。

向量相等：大小、方向。

单位向量、零向量2、向量的坐标表达式及其运算1)向量的加法、减法满足：交换律、结合律。

高等数学教案-向量代数与空间解析几何

高等数学教学教案第8章向量代数与空间解析几何授课序号01教学基本指标教学课题第8章第1节向量及其运算课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点两个向量垂直、平行的条件参考教材同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教学基本内容一．空间直角坐标系1.Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.2.在Oxyz 直角坐标系下，数轴Oz Oy Ox ,,统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为zOx yOz xOy ,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，其中z y x ,,分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z 为空间两点，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作a 或AB .3. 单位向量:模为1的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作b a =.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作-a ．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和，记作b a +．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则：(1)a +b =b +a (交换律)． (2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.向量的减法定义向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量.3.数乘向量定义实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向：当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有下列运算法则：(1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ． (3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记作a e ，即||a ae a =. 定理向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使得λa =b .五．向量的坐标设向量AB 的始点与终点在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号．注 (1) 向量在轴上投影是标量．（2）设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任意向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．x y z a =i +j +k ．我们把上式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的坐标，记为{, , }x y z a =，于是确定了向量．显然，式中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．六．向量的数量积和方向余弦1. 向量的数量积定义设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b 叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ．即cos ,⋅a b =a b a b ,其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =. 由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=⋅a a a ．(2) 对于两个非零向量a ,b ,a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a ，当且仅当0a=时，等号成立．(5) 数量积的坐标表示：设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则121212x x y y z z ⋅++a b =．（6）向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则222111a a x y z =⋅=++a ．cos ||||⋅=a ba,b a b 121212222222111122++=++++x x y y z z x y z x y z ⨯．⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=．2.方向余弦设空间向量=a 12M M 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量a 的方向角.因为向量a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此=⋅=αcos ||21M M a x ⋅||a αcos ,=⋅=βcos ||21M M a y ⋅||a βcos ,=⋅=γcos ||21M M a z ⋅||a γcos ,上式中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而向量a 的方向余弦为222222222cos ,cos ,cos ,y x z xyzxyzxyza a a a a aa a aa a aαβγ===++++++并且222cos cos cos 1αβγ++=.七．向量的向量积和混合积1.向量积定义设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ，其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系，如图8.15所示，则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)，记作⨯a b .注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ,b 为邻边的平行四边形的面积．(2)⨯0a a =.这是因为⨯0a a =.(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．即a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ,b 及任意实数λ，有（1）反交换律：⨯-⨯a b =b a ．（2）分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．（3）与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．（4）向量积的坐标表示111111222222y z x z xy y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ．注设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =⇔212121z z y y x x ==．若某个分母为零，则规定相应的分子为零．2.向量的混合积定义给定空间三个向量c b a ,,，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量c b a ,,的混合积，记作c b a ⋅⨯)(或][abc .注三个不共面向量c b a ,,的混合积的绝对值等于以c b a ,,为棱的平行六面体的体积V . 定理如果a 1x =i +1y j +1z k ，b 2x =i +2y j +2z k ，c 3x =i +3y j +3z k ，那么])(c b a ⋅⨯=333222111z y x z y x z y x .八．例题讲解例1设)1,1,1(A 与)4,3,2(B 为空间两点，求A 与B 两点间的距离．例2在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．例3在空间直角坐标系中设点)2,3,4(M ，)3,45(，N ，求向量MN 及NM 的坐标．例4 (定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标. 例5已知向量}2,1,3{--=a ，}1,2,1{-=b ，求b a ⋅，a 、b 的夹角的余弦值．例6已知两点1(2,2,2)M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 例7 已知向量}2,1,3{--=a ，}1,2,1{-=b ，求b a 2⨯.例8 已知三角形ABC 的顶点分别是(1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ，求三角形ABC 的面积.授课序号02教学基本指标教学课题第8章第2节空间平面和直线课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教学基本内容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量n 垂直于平面∏，则称向量n 为平面∏的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点0000(, , )M x y z ，法向量为{, , }A B C n =的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．（3）平面的三点式方程：过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点(, 0, 0)A a ，(0, , 0)B b ，(0, 0, )C c (0)abc ≠的平面的方程为000=---cab a z y a x ，化简整理得1=++czb y a x ．称为平面的截距式方程，如图8.16所示． 2.平面的一般式方程1.称方程0=+++D Cz By Ax 为平面的一般式方程, 其中{, , }A B C n =为该平面的一个法向量．2.当某些系数或常数项为零时的情况.（1）0D =，上式变为0Ax By Cz ++=，平面通过原点.（2）,,A B C 中有一个为0，例如0A =，上式就变为0By Cz D ++=，当0D ≠时，x 轴与平面平行；当0D =时，平面通过x 轴. （3）,,A B C 中有两个为0时，有当且仅当()0000，或D B C A C A B ≠======，平面平行于yOz 坐标面 (xOz 面或xOy 面)；当且仅当()0000，或D B C A C A B =======平面就是yOz 坐标面（xOz 面或xOy 面）.3.两平面间的位置关系空间两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交．设有两个平面1∏与2∏，它们的方程为1∏：01111=+++D z C y B x A (111, , A B C 不同时为零)，2∏：02222=+++D z C y B x A (222, , A B C 不同时为零)，则它们的法向量分别为1111{,,}A B C =n 和2222{,,}A B C =n ．(1) 两平面平行⇔1n ∥2n ⇔11112222A B C D A B C D ==≠． (2) 两平面重合⇔212121C C B B A A ==21D D =． (3) 两平面相交⇔111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．当两平面相交时，把它们的夹角θ定义为其法向量的夹角12,n n ，且规定02πθ≤≤．即121212||cos cos , ||||n n n n n n θ⋅==121212222222111222||A A B B C C A B C A B C ++=++⋅++.特别地，当12∏∏⊥时，12⊥n n ，则120⋅=n n ，即0212121=++C C B B A A ．反之亦然，所以12∏∏⊥⇔0212121=++C C B B A A ．4．点到平面的距离在空间直角坐标系中，设点000(, , )M x y z ，平面∏：0=+++D Cz By Ax (, , A B C 不全为零)，则点M 到平面∏的距离为1000010222n PP n |Ax By Cz D |d Prj PP nA B C⋅+++===++.二．空间的直线方程1.直线的点向式方程（1）如果一个非零向量s 与直线l 平行，则称向量s 是直线l 的一个方向向量．而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.（2）在空间直角坐标系中，若0000(, , )M x y z 是直线l 上的一个点，{, , }m n p s =为l 的一个方向向量，求直线l 的方程．设(, , )M x y z 为直线l 上的任一点，如图8.17所示，则0M M ∥s ，所以两向量对应坐标成比例．而0M M 的坐标为000{, , }x x y y z z ---，因此有pz z n y y m x x 000-=-=-，称为直线l 的点向式方程（或叫对称式方程）,其中000(, , )x y z 是直线l 上一点的坐标，(, , )m n p =s 为直线l 的一个方向向量．（3）直线的参数方程：设000x x y y z z t m n p ---===，则有000,,,x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩称为直线的参数方程. 2.直线的一般式方程设两个平面的方程为1∏：01111=+++D z C y B x A ，2∏：02222=+++D z C y B x A ，则111122220,A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩表示一条直线，其中111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．称上述方程组为直线的一般式方程．3．两直线的位置关系设两条直线1l 与2l 的方程为1l ：111111p z z n y y m x x -=-=-，2l ：222222p z z n y y m x x -=-=-，两相交直线1l 与2l 所形成的角中，把不大于2π的那对对顶角θ叫做这两条直线的夹角．若1l 与2l 的方向向量分别为1s ，2s ，则有121212121222222212111222||cos cos , .||||m m n n p p m n p m n p θ++⋅===++++s s s s s s注 (1) 若1l ∥2l ，相当于212121p pn n m m ==，规定1l 与2l 的夹角为0； (2) 对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角； (3) 若1l ⊥2l ⇔120⋅=s s ⇔0212121=++p p n n m m ．4.直线与平面的位置关系（1）直线与它在平面上的投影之间的夹角θ (02πθ≤≤)，称为直线与平面的夹角．（2）已知直线l ：pz z n y y m x x 000-=-=-，平面π：0=+++D Cz By Ax ，则直线l 的方向向量为{, , }m n p =s ，平面π的法向量为{, , }A B C n =，直线l 与平面π的法线之间的夹角为ϕ，则2πθϕ=-，所以，222222||||sin cos ||||s n s n Am Bn Cp m n p A B Cθϕ⋅++===⋅++⋅++．（3）l π⊥⇔s ∥n ⇔⨯0s n =⇔CpB n A m ==；l 在π内或l ∥π⇔0⋅s n =，即⊥s n 时. 三．例题讲解例1求通过点0(1,1,2)M 且垂直于向量}4,1,2{-=n 的平面方程．例2求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3的平面∏的方程．例3求过两点(3, 0, 2)A -，(1, 2, 4)B -且与x 轴平行的平面方程．例4求两平面260x y z -+-=和250x y z ++-=的夹角. 例5求点1(2, 0, )2P -到平面∏：017244=++-z y x 的距离．例6求过点)3,1,4(-且平行于直线31215x y z --==的直线方程. 例7求过点(1, 0, 2)M -且与两平面1∏：5=+z x 和2∏：1832=+-z y x 都平行的直线方程．例8将直线的一般式方程2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩化为点向式方程和参数方程．例9求直线113:141x y z l -+==-和220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩的夹角. 例10求直线30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面10x y z --+=的夹角.授课序号03教学基本指标教学课题第8章第3节空间曲面和曲线课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教学基本内容一．空间曲面定义如果曲面∑与方程(, , )0F x y z =满足如下关系： (1) 曲面∑上每一点的坐标都满足方程(, , )0F x y z =；(2) 以满足方程(, , )0F x y z =的解为坐标的点都在曲面∑上．则称方程(, , )0F x y z =为曲面∑的方程，而称曲面∑为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以R 为半径的球面方程为2222R z y x =++．（2）以000(,,)x y z 为球心，以R 为半径的球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=.（3）一般方程0222=++++++D Cz By Ax z y x . 球面方程具有下列两个特点：（1）它是z y x ,,之间的二次方程，且方程中缺zx yz xy ,,项；（2）222,,z y x 的系数相同且不为零.2.柱面（1）用直线L 沿空间一条曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面．动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线．（2）准线在坐标面上，母线平行于坐标轴的柱面方程.①方程中缺少z ，即0),(=y x f ，表示准线在xOy 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面； ②方程0),(=z y g ，表示准线在yOz 坐标面上，母线平行于x 轴的柱面；③方程0),(=x z h ，表示准线在zOx 坐标面上，母线平行于y 轴的柱面.（3）常见的柱面除了圆柱面：222R y x =+外,还有双曲柱面：12222=-a x b y ,抛物柱面：py x 22=．3.旋转曲面一条平面曲线C 绕同一平面内的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面．曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线L 称为旋转曲面的旋转轴，简称轴．（1）曲线C 的方程为(, )0,0,f y z x =⎧⎨=⎩曲线C 绕z 轴旋转所生成的旋转曲面方程为22(, )0f x y z ±+=．（2）曲线C 的方程为(, )0,0,f y z x =⎧⎨=⎩曲线C 绕y 轴旋转所生成的旋转曲面方程为22(, )0f y x z ±+=．（3）曲线C 的方程为(,)0,0,h z x y =⎧⎨=⎩曲线C 绕x 轴旋转的旋转曲面的方程为22(, )0h y z x ±+=．（4）曲线C 的方程为(,)0,0,h z x y =⎧⎨=⎩曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面的方程为22(, )0h z x y ±+=．如在yOz 平面内的椭圆12222=+c z b y 绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为122222=++c z b y x ，该曲面称为旋转椭球面．二．空间曲线1.空间曲线的一般方程空间曲线可看作两曲面的交线.设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是两曲面的方程，它们的交线为C .方程组(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩称作空间曲线的一般方程. 2.空间曲线的参数方程对于空间曲线C ，若C 上的动点的坐标x y z ,,可表示成为参数t 的函数⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x 随着t 的变动可得到曲线C 上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线C 的一般方程为(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩消去变量z 之后所得到的方程(,)0H x y =,表示一个母线平行于z 轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线C .以曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面叫做关于xoy 面的投影柱面.投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，该曲线的方程可写成(,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩ （2）消去方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩中的变量x 或y ，再分别与0x =或0y =联立，我们便得到了空间曲线C 在yoz 或xoz 面上的投影曲线方程：(,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩或(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩ （3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所确定的曲面称为椭圆锥面. 2.椭球面由方程1222222=++cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭球面，, , a b c 称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为单叶双曲面． 4.双叶双曲面由方程1222222-=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双叶双曲面．注方程1222222=+-cz b y a x 和1222222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面; 方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 也都是双叶双曲面． 5.椭圆抛物面由方程2222by a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面． 6.双曲抛物面由方程2222by a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解例1建立球面的中心是点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程.例2 方程024222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？例3 分析方程222R y x =+表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.图8.24 图8.25例5将yOz 坐标面上的双曲线12222=-by c z 分别绕z 轴和y 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程. 例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的顶点，两直线的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20παα叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面方程．例7 方程组221,236,x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示怎样的曲线？例8讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=,)2()2(,222222a y a x y x a z 表示的曲线. 例9 将空间曲线C ：2229,21,x y z x z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩表示成参数方程.例10 螺旋线是实际中常用的曲线，例如：平头螺丝钉的螺纹就是螺旋线.螺旋线的运动轨迹如下，如图8.32所示：空间一点M 在圆柱面222x y a +=以角速度ω绕z 轴旋转,同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升点M 构成螺旋线图形.试建立其数学模型.例11 已知222222216,0,x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩求它们的交线在xOy 面上的投影曲线方程. 例12 求上半球面222z x y =--和锥面22z x y =+所围成的空间立体Ω在xoy 面上的投影区域.。

高数第八章-空间解析几何与向量代数教案

《高等数学上》（总学时数： 80 学时）教案目录81419141016.. 111112....2第 8 章空间解析几何与向量代数（ 1学时）章节名称第 7 章微分方程计划学时12学习内容新课内容向量及其线性运算空间直角坐标系空间平面与直线曲面与空间曲线向量的坐标空间解系几何的产生是数学史上一个划时代的成就。

代数学的优越性至于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何的基本思想。

我们可以把数学学习者研究的两个基本对象数和形结合起来，于是既可以用代数方法来研究解决几何问题——分析这是解析几何的基本内容，也可以用几何方法来解决代数问题。

教学目标课程标准知识与技能过程与方法情感与态度该课程是必修课程，严格按照教学大纲进行教学。

掌握空间几何学的基本概念和空间图形的基本特征及性质讲解法、演示法、对比法、练习法培养学生解决数学空间问题的能力。

教学重点向量的运算（加法、剑法、数量积、向量积）、两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、教学重点熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程，及掌握平面和直线间的关系，解决措施解决措施由向量的概念引入向量的运算问题。

通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。

教学难点两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、教学难点熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程，及解决措施解决措施通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。

根据学生身心发展和高等数学课程学习的特点，积极营造和谐融洽的学习氛围，让学生在听课的过程中生趣，在乐趣中学习，在思考中提高。

同时组织有效地自主学习、合作学习形式，培养学生独立学习的能力，通过多种形式反复再现空间几何图像，巩固教学设计学习效果，提高学习效率；鼓励学生选择适合自己的方式阅读相关资料，让他们在主动思路积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，促进学生正确情感、态度、价值观的发展，从而真正成为学习的主人。

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《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程6、掌握平面方程和直线方程及其求法。

7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

8、会求点到直线以及点到平面的距离。

2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，五、教学方法与手段启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

第一节向量及其线性运算一、内容要点1、向量：有大小、方向的量。

向量相等：大小、方向。

单位向量、零向量2、向量的坐标表达式及其运算1) 向量的加法、减法满足：交换律、结合律。

平行四边形、三角形法。

2) 向量的数乘，满足：结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件：a b λ= 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。

6) 向量的模、方向角、投影向量的模与两点间的距离公式。

222R O Q O P O M O++==γAB =r x oM x ==αcos ry =βc o s r z =γc o s 1cos cos cos 222=++γβα二、教学要求和注意点教学要求：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的线性运算第二节数量积向量积和混合积一、内容要点x y z x y z a a i a j a k {a ,a ,a }=++=x y z x y z b b i b j b k {b ,b ,b }=++=1）数量积 (点积) a b a b cos(a,b)∧⋅= ()()ba ab b a ==2z2y 2x a a a a ++=性质：z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅应用：（i ） b a ba arccosb a ⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∧（ii ） 2a a a a =⋅= 2)向量积 cb a=⨯()∧=⨯=b,a sin b a b a c c a,c b a b a,a b b,⊥⊥⨯⊥⨯⊥即右手定则即()()0b b a 0,a b a =⋅⨯=⋅⨯注意 a b b a⨯-=⨯zyxz y xb b b a a a k j ib a=⨯ 应用（i）S ABCΔ=（ii ）0b a b //a =⨯↔（iii ）如()b a //c 则,c b ,c a⨯⊥⊥即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。

（iv ）0b a b a =⋅↔⊥3) 混合积 (1) []xy zxy z xyza a a abcb b bc c c =(2) 混合积的几何意义(3) 三向量共面的充分必要条件为混合积等于零. 二、教学要求和注意点教学要求：掌握数量积、向量积、混合积了解两个向量垂直、平行的条件。

注意点：本单元内容十分重要,应精讲多练。

例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）2 填空题（3）（4）（5）例2、解： ()()b 3a 2b 3a 2b 3a 22-⋅-=-76b 9b a 2a 422=+⋅-=∴ 192b 3a 2=-(2)向量积 c b a=⨯()∧=⨯=b,a sin b a b a c ,b b a ,a b a b c ,a c⊥⨯⊥⨯⊥⊥即πa 5,b 2,a b ,2a 3b 3∧⎛⎫==⋅=-= ⎪⎝⎭右手定则即()()0b b a 0,a b a =⋅⨯=⋅⨯注意 a b b a⨯-=⨯例3、习题4，5，2(4)例1、设知量b ,a满足{}1,11,b a 3,b a -=⨯=⋅，则6πb ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧ 解：33b a b a b ,a tan =⋅⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧∴ ()6πb ,a =∧第三节曲面及其方程一、内容要点常用二次曲面的方程及其图形 1、球面：设()0000z ,y ,x P 是球心，R 是半径，()z y,x,P 是球面上任一点，R =，即()()()2202020R z z y y x x =-+-+-2222R z y x =++2、椭球面1cz b y a x 222222=++ 3、旋转曲面设L 是x0z 平面上一条曲线，L 绕z 旋转一周所得旋转曲面()0z ,y x f 22=+±()02220220z z ,y x z z y x x =+=-++=()0z x,f z z y x x 0220==+±=代入方程得()0z ,y x f22=+±()2222y x a z ,y x z +=+= 称为旋转抛物面旋转双曲面：1cz a y x 22222=-+，(单) 22222cz a y x z ++-= 4、椭圆抛物面 0ab byax z 22>+=5、单叶双曲面 1cz b y a x 222222=-+6、双叶双曲面 1cz b y a x 222222=+--()⎩⎨⎧==0y 0z x,f7、二次锥面 0cz b y a x 222222=-+圆锥面222222by ax z y x z +=+=8、柱面抛物柱面 ()0a ax y 2>=椭圆柱面1by a x 2222=+ 圆柱面222R y x =+二、教学要求和注意点教学要求：理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

注意点：本单元教师应在黑板做好图形,或者用多媒体课件. 应用旋转曲面讲好多数二次曲面.第四节空间曲线及其方程一、内容要点空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程一般式参数式: ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在三坐标面上投影方程在x0y 面上投影曲线方程：在()()⎩⎨⎧==0z y,x,F 0z y,x,F 21 中消去z ，再与z=0联立。

其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。

二、教学要求和注意点教学要求：理解空间曲线的参数方程和一般方程。

解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

例1、求两球面1222=++z y x ，1)1()1(222=-+-+z y x 的交线在xoy 面上的投影。

解：交线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 消去z 得2121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x ——椭圆柱面故投影方程为⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+02121222z y x ——椭圆例2、求由球面224y x z --=和锥面()223y x z +=所围成的立体在xoy 面上的投影。

()()⎩⎨⎧==0z y,x,F 0z y,x,F 21解：交线c 的方程为()⎪⎩⎪⎨⎧+=--=222234yx z yx z消去z 得122=+y x ——圆柱面故交线c 在xoy 面上的投影（曲线）方程为⎩⎨⎧==+0122z y x ——圆从而该立体在xoy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+0122z y x ——圆域第五节平面及其方程一、内容要点已知平面π过点M 0（x 0、y 0、z 0），n (,,)A B C =为π的法矢量。

1> 点法式：A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A 、B 、C 不全为零。

3> 截距式：1z cb y a x =++，a ，b ，C 分别为平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距。

1π⊥2π ↔ 1n ⊥2n1π∥2π ↔ 1n ∥2n点M 0(x 0、y 0、z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为222000CB A DCz By Ax d +++++=二、教学要求和注意点教学要求：本单元为重点,应多做习题注意点：本单元习题习题7-5 全作例1、求通过点P （2,-1,-1），Q （1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。

解： k 9j 3i 27532431kj i n 1+-=---=⨯ {}43,1,QP --=，已知平面的法矢量{}5,3,2n 1-=取{}3,1,9n --=所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0 例2、解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0 将点M 1(2,-1,0)，M 2(3,0,5)分别代入得∴平面方程为：x –y –3=0 解法二：k n⊥，21M M n ⊥j i 511100kj i M M k 21+-==⨯取{}1,1n -=-(x –2)+(y+1)=0得平面方程：x –y –3=0 (2)设平面方程为y+Cz+D=01CD z D y =-+-即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2CD5D ∴ 得5D 25C -==∴ 010-5z 2y 05z 25y =+=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=→=+-=→=+-3D 0D 31B 0D B 2第六节空间直线及其方程一、内容要点<1> 空间直线的一般方程L ：⎩⎨⎧=+++=+++0D z C y B x A 0D z C y B x A 22221111<2> 点向式（对称式）直线过点M 0(x 0、y 0、z 0)，{}p n,m,s =为L 方向向量则 L ：pz z n y y m x x 000-=-=- <3>参数式L ： ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptx z nt y y mtx x 000t 为参数L 1∥L 2 1s↔∥2s L 1⊥L 21s↔⊥2s直线与平面关系 <1> L ∥π s ↔⊥n 即0n s =⋅<2> L ⊥π s ↔∥npCn B m A == <3> 点P 到直线L 的距离，L 的方向向量{}p n,m,s =，M 0为L 上一点d <4>平面束方程直线L ：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A则0)D z C y B x A (D z C y B x A 22221111=+++++++λ为过直线L 的除平面0D z C y B x A 2222=+++外的平面束方程二、教学要求和注意点教学要求：本单元为重点, 与难点,有全章的综合题注意点：习题7-6 1. 3. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14.15. .16例一平面过直线L ：⎩⎨⎧=++-=+-+07205243z y x z y x ，且在z 轴有截距3-，求它的方程解：过直线L 的平面束方程为:0)7z y 2x (5z 2y 4x 3=++-++-+λ即057z )2(y )24(x )3(=++-+-++λλλλ据题意4113257-==-+λλλ 411-=λ代入平面束方程，得：057z 19y 38x =--+习题4 , 2 ,(9)例已知两直线方程130211:1--=-=-z y x L 11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是02z y 3x =++-解：⎩⎨⎧=-=-+0204:1y z x L {}1,0,1-=s过1L 的平面束方程：0)2y (4z x=-+-+λ即{}1,,1024λλλ==--++n z y x由平行2L ∴ 0n s =⋅得3-=λ所求方程为：02z y 3x =++-例已知平面02z 2y :=-+π 直线⎩⎨⎧=+-=--0223022:z y y x L（1）直线L 和平面π是否平行？（2）如直线L 与平面π平行，则求直线L 与平面π的距离，如不平行，则求L 与π的交点。