材料力学第9章压杆稳定

合集下载

材料力学第四版课件第九章压杆稳定

µl —相当长度 µ —长度因数
5.说明 5.说明（1）相当长度 µ l 的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就压杆失稳时，是压杆的相当长度是压杆的相当长度µ l . µ l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，是各种支承条件下，细长压杆失稳时失稳时，挠曲线中相当于半个波长的正曲线的一段长相当于半个波长的正弦挠曲线中相当于半个波长的正弦曲线的一段长度. （2）惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球若杆端在各个方向的约束情况相同（应取最小的形心主惯性矩，铰）， I 应取最小的形心主惯性矩，即在 Iy 、 Iz 中选取较小的一个计算临界力. 中选取较小的一个计算临界力.
x x
880 1000
y y z
z
880
x
x
F
880 1000
880 z F
l
y y z
分析：分析： 1）杆件在两个方向的约束情况不同；杆件在两个方向的约束情况不同；（（2）计算出两个方向的临界压力；最计算出两个方向的临界压力；后取较小的一个作为压杆的临界压力. 后取较小的一个作为压杆的临界压力.
① 强度构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件具有足够的强度、刚度, 的强度、刚度, 却不一定能安全可靠地工作. 全可靠地工作.

二、工程实例
三、失稳破坏案例案例1 20世纪初世纪初，案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库 Cooper）柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge)1907年 29日比克大桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡位工人死亡，稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一. 工程惨剧之一.

材料力学第9章压杆稳定

第9章压杆稳定图9－6
第9章压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章压杆稳定
图9－7
第9章压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章压杆稳定
图9－8
第9章压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆，在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为

材料力学_压杆稳定

π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或压杆的柔度或长细比欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆中柔度压杆中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2

材料力学第九章压杆稳定

cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1

l
i
大柔度杆—发生弹性失稳中柔度杆—发生非弹性失稳小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定稳定强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s

l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件讨论：

π 2 EI Fcr ( l )2

材料力学第九章压杆稳定

02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时，压杆保持稳定平衡状态；当压力大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章压杆稳定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望

材料力学课件——压杆稳定计算

第九章压杆稳定计算
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度外力—内力—应力—强度条件塑性屈服或脆断
②刚度外力—变形—刚度条件变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面为八角形。经历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论：（1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关；（2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关；（3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下，存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4

材料力学第九章压杆稳定分析

我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或细长杆），其临界力用欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其临界力不能用欧拉公式求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定另端铰支
两端固定
一端固定另端自由
两端固定但可沿横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳时
B
B
B
挠
D
曲
线形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡

材料力学：压杆稳定

坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏，大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳，造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr

2E 2

p

2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl

l
coskl

0
2020年2月3日星期一
19
第九章压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。

材料力学第九章压杆稳定

点名
二、欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。
cr
2E 2
P
或
2E
P
令1
E
P
点名
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。 1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206GPa，P=200MPa，得
构件的承载能力
①强度 ②刚度 ③稳定性
点名
工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。
点名
二、工程实例（Example problem）
点名
点名
内燃机、空气压缩机的连杆
点名
点名
点名
点名
三、失稳破坏案例 (bucking examples)
案例1、上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳定性破坏,85位工人死亡,成为上世纪十大工程惨剧之一.
A杆先失稳
点名
例题2 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长
l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。
求压杆的临界应力。
z
解： 1
E 99
P
y
30mm
iy
Iy A
1 (0.03 0.023 )
Mechanics of Materials

材料力学：第九章压杆稳定问题

绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力，得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D

材料力学第9章压杆稳定(土木)

2.1922年冬天下大雪，美国华盛 . 年冬天下大雪，年冬天下大雪顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超载失稳，造成构中的一根压杆超载失稳，一根压杆超载失稳剧院倒塌，余人。剧院倒塌，死98人，伤100余人。人余人
3.2000年10月25日 . 年月日上午10时分上午时30分，在南京电视台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土施工顶的浇筑混凝土施工中，因脚手架失稳，造脚手架失稳，成演播厅屋顶模板倒塌，成演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35人。人人
欧拉公式与精确解曲线精确解曲线
F =1.152F 时，
cr
δ ≈ 0.3l
理想受压直杆非理想受压直杆
y
适用条件：适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力与理想压杆（轴线为直线，理想压杆轴线重合，材料均匀）轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形线弹性，线弹性 •两端为铰支座两端为铰支座
hb3 Iz = = 32cm 4 12
µl
iz =
Iz 32 = = 1.155cm A 4× 6
x
h
µ z = 0.5,
0.5 × 2 λz = = = 86.6 −2 iz 1.155 ×10
A3钢的λs= 61.6， λs＜λ＜ λp，属于中钢的，长压杆稳定问题。长压杆稳定问题。由表9-2查得由表查得: 查得
挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程
d w M =− dx EI
2
2
d w Fw =− 2 dx EI
引入记号
2
F w′′ + w = 0 EI
F k = EI
2
w′′ + k w = 0

材料力学第9章压杆稳定

材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态，临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程及荷载值。用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑：（1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑；（2）假设压杆处在线弹性状态；（3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是，梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。（4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。

材料力学第九章4-6压杆稳定

P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
算例3
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm, P=100, S=61.4， [n]st=2.8。要求: 结构的许用载荷Pmax=？
P
A
C
3m D
B
1.8m
1m
解题思路
1 校核时，必须先按梁AB的强度估算一个许用载荷 Pmax 。 2 Pmax 。再按杆CD梁的稳定要求，估算第二个许用载荷
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆， d=24mm, P=100, S=61.4。求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
解题思路
由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都失稳时，才导致结构整体失稳。（ DF杆先失稳，此后杆内力保持不变为Pcr）因此，应当按照两压杆的临界载荷Pcr对A点取力矩平衡而求出结构的理论极限载荷Pmax。
思考：
如对于大柔度杆误用了经验公式，或对于中柔度杆误用了欧拉公式，所得临界应力比实际值大还是小？
算例1
分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大；
分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大：
Pcr= crA , cr
E
2

2
= l / i , i a=20/d ,
I A

d 4
b=18/d .
b d A h C 3m 1.8m
B
解题思路
由于CE和DF杆与结构是串联关系，只要两杆中有一根杆失稳，就导致结构整体失稳。先求出AC杆和CB杆的临界载荷Pcr，再按静不定杆方法，求出杆AC和杆CB的轴力。最后就可校核系统的稳定性。

材料力学-第9章压杆的稳定问题

0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。
第9章压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load），用FP表示。
第9章压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此工程设计中需要认真加以考虑。

《材料力学》第九章压杆稳定

第九章压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度）细长压杆——需考虑稳定性。

一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。

二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。

（它是稳定与不稳定的转折点）。

压杆的临界压力:Fcr （稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。

①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度）公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。

解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。

材料力学第九章-压杆稳定

Iy Iz
按照 Iy计算临界压力。
工程力学
例按照 Iy计算临界压力。
F b z
h l
π 2 EI π 2 200 10 3 48 10 4 Fcr N 2 2 ( l ) (2 2500 )
37860N 37.86kN
若
y
h b 60mm
bh3 60 4 Iy Iz mm 108 10 4 mm 12 12
工程力学
三、其它支承情况下细长压杆的临界力不同约束形式压杆的临界力，可以用类似的方法求解微分方程导出。但在已经导出两端铰支压杆的临界压力公式之后，便可以用比较简单的方法，得到其他约束条件下的临界力。
l
F
F
一端固定，一端自由，长为l 的的压杆的挠曲线和两端铰支，长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。则临界压力:
工程力学
二、稳定性问题的分类 1.压杆的稳定性。2.板壳的稳定性。本课程只讨论压杆的稳定性。
三、压杆的稳定与失稳 1．压杆的稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力
2．压杆的失稳：压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
工程力学
四、压杆失稳的原因 1)杆轴线本身不直(有初曲率)； 2)加载偏心； 3)压杆的材质不均匀；
4)外界干扰力。五、失稳现象的特点 1.多样性。（如扭转、弯曲失稳，板、壳、柱） 2.整体性。构件失稳引起受力重新分配。整体失效、整体分析。 3.破坏的突然性。应力在弹性范围，类似脆性破坏。
工程力学
• 1907年加拿大
魁北克大桥在剪彩前突然坍塌，600米长， 19000吨重的大
桥和86名建桥
3、中柔度杆的经验公式对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式已经不适用。

孙训方材料力学09压杆稳定

B
11
材料力学 x
Fcr
Fcr M(x)=Fcr w m w B m x y
l m
m x
B y
m-m 截面的弯矩
M ( x) Fcr w
材料力学
杆的挠曲线近似微分方程
EIw M ( x) Fcr w （a)
''
Fcr M(x)=Fcr w m x m
令得
Fcr k EI
材料力学
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy 、Iz 中小的一个计算临界力。若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 x y z
界压力。 I 为其相应中性轴的惯性矩。
π 2 EI Fcr ( l )2
l—相当长度
—长度因数
材料力学
π 2 EI Fcr 2 ( l )
讨论（1）相当长度 l 的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 l 。
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当
于半波正弦曲线的一段长度。
材料力学
解：
E p π 100 σp
压杆 = 1
i
I A
π( D d ) 1 2 2 64 D d π( D 2 d 2 ) 4 4
4 4

lmin
l
i

4l D2 d 2
2
p 100
2
100 0.05 0.04 1.6m 41
y yl

第九章材料力学

压杆失稳可能有以下三种形式:
1.每根压杆两端固定分别失稳
Fcr1
I
d 4
64
2
0.5
2E d 4

EI Fcr1 2 L 2
2
64 0.5L 2
3 Ed 4
8L2
2.两杆下端固定上端自由，以 z 为中性轴弯曲失稳。
Fcr 2
Iz
d 4
64
2
2
Fcr 2
Fcr
A
2 EI
L
2
A
sin

L
x
挠曲线为半波正弦曲线
§3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式压杆的长度因数
F F F F F
L
L
L
Fcr
EI
2
1
L
2
Fcr
2 EI
2L
2
Fcr
0.7 L
2 EI
2
Fcr
0.5L 2
2 EI
l
BC Fcr
BC FBC Fcr tan AB cot 2 FAB Fcr
arctan cot 2
2 EI LBC 2
2 EI L sin 2
两根直径为 d 的圆杆，上下两端分别与刚性板固结，如图示。试分析在总压力作用下，压杆可能失稳的几种形式，并求出最小的临界荷载。(设满足欧拉公式的使用条件)
y
kL 2 cos 0 2
0
n 1,
kL cos 0 2
kL n 2 2
3,
5...
n k L
Fcr 又 k EI

材料力学第9章压杆稳定

材料力学第四版课件 第九章 压杆稳定

材料力学第9章 压杆稳定

材料力学_压杆稳定

材料力学 第九章 压杆稳定

材料力学第九章 压杆稳定

材料力学课件——压杆稳定计算

材料力学 第九章 压杆稳定分析

材料力学：压杆稳定

材料力学 第九章 压杆稳定

材料力学：第九章 压杆稳定问题

材料力学第9章 压杆稳定(土木)

材料力学 第9章 压杆稳定

材料力学第九章4-6压杆稳定

材料力学-第9章压杆的稳定问题

《材料力学》第九章 压杆稳定

材料力学第九章-压杆稳定

孙训方材料力学09压杆稳定

第九章材料力学

材料力学第四版课件第九章压杆稳定

材料力学第9章压杆稳定

材料力学第九章压杆稳定

材料力学第九章压杆稳定

材料力学第九章压杆稳定分析

材料力学第九章压杆稳定

材料力学：第九章压杆稳定问题

材料力学第9章压杆稳定(土木)

材料力学第9章压杆稳定

《材料力学》第九章压杆稳定