材料力学第9章压杆稳定

F kl F kl F kl
干扰去除后能回到原始 平衡位置=稳定平衡 不稳定平衡 此时荷载称为 临界荷载Fcr 随遇平衡
9.1.2 受压构件的稳定性

稳定性
构件在外力作用下，保持其原始 平衡状态的能力。 压杆保持直线平衡的能力。


失稳

受力后构件突然由一种变形状态 变成另一种变形状态。 压杆由直线（压缩变形）平衡状 态突然变成曲线（微弯变形）平 衡状态。
2 2
格构式受 压构件之 应用案例

例9-1

压杆下端固定，上端与水平弹簧相联，如图所示。试 判断该杆长度系数的范围。
F
A >2
B < 0.5
C 0.5 < < 0.7
D 0.7 < < 2
解：
上端约束介于自由与铰支之间
所以长度系数介于0.7~2.0之间
答案 为D

例9-2
图示细长压杆，材料相同，直径相同，计算其欧拉临界 压力。已知E=200 GPa, D=160 mm。
l0=l ：压杆计算长度
支承形式 两端铰支 一端固定，另一端自由 一端固定，另一端铰支 一端固定，另一端定向支承（固定）

1 2 0.7 0.5
l0 l 2l 0.7l 0.5l
2 EI 2 EI F cr 2 2 l0 (l )
：压杆长度系数，与支座形式有关
l0=l ：压杆计算长度
9.2.3 提高压杆稳定性的措施

合理的截面形状，I ( )
空心截面比实心截面合理 格构式优于实腹式


减小压杆长度，
减小实际长度 增加中间支座

l ()
增强端部约束， ( ) 合理选用材料， E ( )

非细长压杆，材料强度 越高，临界压力越大
EI EI F cr 2 2 ( l ) l0
对应于直线状态 对应于微弯状态
x l, v 0 :
n v A sin x l 挠曲线为正弦曲 线，但A未知。
sin kl 0
kl n , (n 0,1,2,...)
n k l
n=0直线状态

临界压力
2
2 2 F n 2 2 n EI k 2 F EI l l2 2 EI F cr Fn1 2 l 欧拉临界压力：与材料有关 与截面形状和尺寸有关 Iy Iz时，绕临界 与杆件长度有关 压力小的轴失稳 与支承形式有关
若各个方向的约束情 况相同，则绕弱轴失 稳，I=min(Iy, Iz)
各个方向的约束情况不 相同时，可能绕弱轴失 稳，也可能绕强轴失稳
9.2.2 压杆临界压力的通用公式
对于其他支座形式，临界压力公式可以写成
2 EI 2 EI F cr 2 2 l0 (l )
：压杆长度系数，与支座形式有关
2645103 N
2645 kN
F
F
b杆临界压力 2 200103 32.17106 F cr 45002
3136
kN
N

例9-3
两端铰支的细长压杆，长度和材料相同，分别采用 直径为a的圆截面和边长为a的正方形截面，其临界 压力之比为（ ）。
A 3.14 C 0.59

解：
I
D 4
64 64 32.17106 mm4
mm mm

1604
F
F
l 0 a l 0.7 7000 4900
l 0b l 0.5 9000 4500
(a)
(b)
2 EI 2 EI F cr 2 2 ( l ) l0
a杆临界压力 2 200103 32.17106 F cr 49002
i I/A
有
或
I Ai2
cr
2 EAi2
2 l0 A
2E 2 2 (l0 / i)
2E
l0 l i i
称为杆件的长细比（柔度），拉压杆的刚度条件 由此参数控制，见9.5节 欧拉公式的适用条件
失稳构件类型
受压杆件 薄壁结构


结构失稳案例——魁北克大桥
1907年建造过程中悬臂结构下弦失稳坍塌 75名施工人员遇难 15000多吨金属结构成废铁

9.2.1 两端铰支压杆的临界压力

微弯状态
弯矩与挠度有关 求最小压力

M ( x) Fv
EIv M ( x) Fv


压杆稳定性与外力的关系
压力较小（F<Fcr）直线平衡，稳定平衡 压力较大（F>Fcr）微弯平衡，不稳定平衡 压力F=Fcr，直线、微弯均能平衡，随遇平衡


压杆的临界压力
临界压力Fcr 是直线平衡状态的最大值 临界压力Fcr是微弯平衡状态的最小值

9.1.3 受压构件的失稳破坏

9.1.1 刚体的稳定性

稳定平衡具有保持原 有平衡状态的能力
随遇平衡、不稳定平衡 不能保持原有平衡状态

刚性杆的稳定性
刚性杆是否稳定与外力有关 也与约束性质有关

F
F
刚性压杆，若两端铰支，则无 论压力多大，都是稳定的。 图示刚性压杆，B端为弹性支承，弹 簧系数为k，给微小水平干扰位移
kl F kl F kl F
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
稳定的基本概念 理想压杆欧拉临界压力 理想压杆临界应力 实际压杆稳定计算 拉杆与压杆的刚度条件
结构或构件受力后 保持原有平衡状态 的能力称为稳定性 刚体的平衡状态
稳定平衡（势能极小） 不稳定平衡（势能极大） 随遇平衡（临界平衡）

结构或构件受力后 不能保持原有平衡 状态则称为失稳
F v v0 EI
令Baidu Nhomakorabea
F k EI
2
则有 v k 2v 0
2 v k v 0 微分方程的通解为 v A sin kx B cos kx
边界条件定常数 x 0, v 0 :
0B 0 A sin kl B cos kl A sin kl A0

B 1.57 D 0.78
解：
本题临界压力之比，即惯性矩之比
a 4 3 0.59 临界压力比 64 12 16
a 4
答案：C
9.3.1 细长压杆的欧拉临界应 力 欧拉临界应力公式

Fcr 2 EI 2 cr A l0 A
F cr
2 EI
2 l0
引进惯性半径i