椭圆专项练习

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高二数学椭圆双曲线专项练习含答案

高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线 x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（）A ．( 1 a , 0) , ( －1 a , 0)B． ( 1 a , 0), (－1 a , 0)C．（－a1a1D． (－a1,0),(a 1a, 0）,（a, 0）a, 0)a2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1）x ,则该双曲线的离心率为（2A ．5B ．5/2C．5D．5/43．椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4（）A． 3 /2B．3C． 4了D． 7/24．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于（）A 2B2C1D2 3223 x2y2x 2y 25．已知椭圆3m25n2 和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ． x＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D． y＝± 3 x22446．设 F1和 F2为双曲线x2y2＝ 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1PF2的面积4是（） A．1 B ．5C． 2D．5 27．已知 F1、 F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1⊥PF2，e1和e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）2A ．e1e22B ．e12e224C．e1e2 2 2D．112 e12e228．已知方程x 2+y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）| m | 2 m1A ． m<2B ．1<m<2C． m< － 1 或 1<m<2 D ． m< － 1 或 1<m<32x 2y 2 x 2 y 29．已知双曲线 a 2－b 2=1和椭圆m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的点 :P 1 2 n n1 的10．椭圆3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于1004等差数列 , 则 n 的最大值是（） A ． 198 B ．199C ． 200D ．201一、填空题：11．对于曲线 C ∶x 2 y 2 C 不行能表示椭圆；②4 k=1 ，给出下边四个命题：①由线k 1当 1＜k ＜ 4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜ k ＜5此中全部正确命题的序号为_______ ______212．设圆过双曲线x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__916x 2 y 2 1 21 213．双曲线＝ 1 的两焦点为、，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥ PF，则点 P 到 x 轴的距离 ____9 1614．若 A （ 1， 1），又 F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则 |PA|＋|P F 1|的最小值 _______15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC= 3sinA, 则极点 A 的轨迹方程是5二、解答题：16、设椭圆方程为x 2 y 2 =1，求点 M （0，1）的直线l 交椭圆于点 A 、 B ， O 为坐标原点，点P 知足41 OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .OP(OA217、已知 F1、 F2为双曲线x 2y21（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直a 2b2于 x 轴的直线交双曲线于点P，且∠ PF1F2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．图18、已知椭圆x2y21( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰巧a2b2经过椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上随意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右极点为( 3,0)。

六年级数学上册椭圆的周长求阴影部分面积专项训练

六年级数学上册椭圆的周长求阴影部分面积专项训练介绍本次专项训练旨在帮助六年级学生掌握椭圆的周长求阴影部分面积的方法。

周长求解步骤1. 首先，了解椭圆的定义和性质。

椭圆是一个平面上的图形，其形状类似于拉伸的圆形。

它有两个焦点和一个长轴和短轴。

2. 掌握椭圆的周长计算公式。

椭圆的周长公式为：C = 2π * sqrt((a^2 + b^2) / 2)，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。

3. 根据给定的椭圆，确定要求解的阴影部分。

此部分可能是椭圆内的一段或多段弧。

4. 根据给定的弧段长度，使用比例关系来计算弧长所对应的椭圆的弧度。

5. 将弧长转化为角度，并利用角度和椭圆的周长公式来计算阴影部分的面积。

例题训练现在我们来做几个例题，以巩固对周长求解和阴影部分面积计算的理解。

例题1：已知椭圆的长轴长度为12cm，短轴长度为8cm，求椭圆内一段弧长为3π cm的阴影部分的面积。

解答：步骤一：根据椭圆的长轴长度和短轴长度，计算椭圆的周长：- 长轴a = 12cm- 短轴b = 8cm- 椭圆的周长C = 2π * sqrt((12^2 + 8^2) / 2) ≈ 31.83cm步骤二：根据弧长和周长的比例关系，计算对应的弧度：- 弧长L = 3π cm- 弧长L / 椭圆周长C = 弧度θ / 360°- 弧度θ ≈ (3π cm / 31.83cm) * 360° ≈ 107.46°步骤三：使用角度和周长公式计算阴影部分的面积：- 阴影部分的面积= (θ / 360°) * 椭圆的面积- 椭圆的面积= π * a * b = π * 12cm * 8cm ≈ 301.59cm²- 阴影部分的面积≈ (107.46° / 360°) * 301.59cm² ≈ 89.48cm²综上所述，椭圆内一段弧长为3π cm的阴影部分的面积约为89.48cm²。

高考数学定点问题专项练习讲解

高考数学定点问题专项练习讲解一、解答题1．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，且离心率等于2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0P 作直线,PA PB 交椭圆于,A B 两点，且满足PA PB ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）将点⎛ ⎝⎭代入椭圆标准方程，结合222,c e c a b a ==+列方程组，解这个方程组求得224,2a b ==，椭圆方程为22142x y +=；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用0PA PB ⋅=，解得22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，此直线过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 试题解析：（1）22142x y +=（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222212122424124240,,1212km m k x kmx m x x x x k k −+++−=+=−=++，，由()()()()1212220x x kx m kx m −−+++=得224830k km m ++=，2m k =−（舍去），22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，所以过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆的标准方程，除了222a b c +这一条件，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量积等于零来求解.2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=，又椭圆离心率为12，即12c a =，解得2a =，1c =，又2223b a c =−=，所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨−=−⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++−+−−=，由题意，>0∆，设()()1122,,,A x y B x y ，则()122834−+=−+k t k x x k ，因为PA PB =，所以P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234−−=+k t k k ， 340kt += ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k−，直线l 的方程为()11y t x k−=−− ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–12），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】(1) 2214x y +=.(2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=−列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，.则121k k +==−，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++−=由题设可知()22=16410k m ∆−+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k −+，x 1x 2=224441m k −+. 而12121211y y k k x x −−+=+ 121211kx m kx m x x +−+−=+ ()()12121221kx x m x x x x +−+=.由题设121k k +=−，故()()()12122110k x x m x x ++−+=.即()()22244821104141m km k m k k −−+⋅+−⋅=++. 解得12m k +=−. 当且仅当1m >−时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=−+，即()1122m y x ++=−−，所以l 过定点（2，1−）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.4．已知点P 3(1,)2−是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)−，．证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,)2−即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点. 【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =，又312P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b +=，解得b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y −，， 11121332211y y k k x −−−+==+，解得14x =−，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx mx y =+⎧⎨+−=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++−=， 122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+，22430k m ∆=−+>．由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫−++−++−= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k −−−=．当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当4m k =时， 22430k m ∆=−+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)−，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶点，点B 为上顶点，|AB |且|AF 1|+|AF 2|＝4. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2作直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）310x y +−= 【分析】（1）依题意得到关于a 、b 的方程组，解得即可；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线l 的方程为1x my =+，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由123k k +=，即1212322y yx x +=++，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得()()4a c a c ⎧++−=⎪=解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩23143x y +=（2）由（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程得231143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++−=，所以122634m y y m −+=+，122934y y m −=+ 因为111x my =+，221x my =+，所以122834x x m +=+，212212434m x x m −+=+ 因为123k k +=，即1212322y y x x +=++，所以()()121212122336120my y y y x x x x ++−−+−=代入得22222961248233612034343434m m m m m m m −−−+⨯+⨯−⨯−⨯−=++++ 解得3m =− 即l ：310x y +−= 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.6．已知⊙M 过点A ，且与⊙N ：22(16x y +=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14−，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点．【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过A ，且与圆N 相切所以||,||4R AM MN R ==−，即4MN MA +=，由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c ==所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=，可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==−+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，因为直线BQ 的斜率为14k−，所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k−=）所以直线l 过定点(0,0) 【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题． 7．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：y ＝kx+b 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）如果k+b ＝﹣14，求动直线l 所过的定点；（2）记椭圆C 的上顶点为D ，如果∠ADB ＝2π，证明动直线l 过定点P （0，﹣13）；（3）如果b ＝﹣12，点B 关于y 轴的对称点为B '，向直线AB '是过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．【答案】（1）定点（1，﹣14）；（2）见解析；（3）定点（0，﹣2）．【分析】（1）把b ＝﹣k ﹣14代入直线方程可得定点坐标；（2）根据∠ADB ＝2π，可得AD BD ⊥,结合韦达定理可得,k b 关系；（3）结合对称性求出直线AB 的方程，结合韦达定理，从而可得定点坐标. 【详解】（1）∵k+b ＝﹣14，∴b ＝﹣k ﹣14，∴y ＝kx ﹣k ﹣14＝k （x ﹣1）﹣14，所以动直线l 过定点（1，﹣14）．（2）联立2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得（1+2k 2）x 2+4kbx+2b 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣212224kb 2b 2,x x 12k 12k−=++ ， ∵∠ADB ＝2π，又D （0，1）， ∴（x 1，y 1﹣1）•（x 2，y 2﹣1）＝x 1x 2+（y 1﹣1）（y 2﹣1）＝x 1x 2+（kx 1+b ﹣1）（kx 2+b ﹣1）＝x 1x 2+k 2x 1x 2+（b ﹣1）2+k （b ﹣1）（x 1+x 2）＝（1+k 2）x 1x 2+k （b ﹣1）（x 1+x 2）+（b ﹣1）2＝（1+k 2）×222212b k−++k （b ﹣1）×2412kb k −++（b ﹣1）2＝23112b k ++（b ﹣1），∴23112b k ++（b ﹣1）＝0，又b≠1（否则直线l 过D ）， ∴b ＝﹣13，所以动直线l 过定点（0，﹣13）.（3）b ＝﹣12，直线l 为：y ＝kx ﹣12，由（2）知x 1+x 2＝1222322,1212k x x k k −=++，经过A （x 1，y 1），B′（﹣x 2，y 2）的直线方程为：112121y-y x x y y x x −=−−− ，∴112121121122y kx x x x x kx kx ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭=−−⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，令x ＝0得y ﹣()112121x 1kx k x x 2x x −⎛⎫−=−⋅ ⎪−−⎝⎭ ， ∴y ＝kx 1﹣()2111221122113122222x x x kx x k x x x x −+⋅=−=−−=−++ ，所以直线AB′是过定点（0，﹣2）．【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，直线恒过定点问题，一般是求解直线的方程中,k b 关系式，从而得到定点，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知椭圆C ：22x 143y +=，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】证明见解析；2,07⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消元，然后韦达定理可得x 1＋x 2＝－2834mkk +，x 1·x 2＝()224334m k−+，然后算出()221223434m k y y k−=+，然后由条件可得0AD BD ⋅=，即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，代入化简可得k 和m 的关系，然后可得答案. 【详解】由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ ，消去y 并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴x 1＋x 2＝－2834mkk +，x 1·x 2＝()224334m k−+ ∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝()2223434m k k−+.∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2，0)，即0AD BD ⋅=，即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以()2223434m k k −+＋()224334m k −+＋21634mkk+＋4＝0，整理得：7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝27k−，且满足3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m ＝27k −时，l ：y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(27，0) 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.9．已知点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，且直线220x y +−=过椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）不经过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=−，直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．【答案】（1）2215x y +=；（2）()1,1− 【分析】（1）根据题意，可得2c =，再将点(0,1)P 代入椭圆方程可得1b =，结合222a b c =+即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程y kx m =+，将直线与椭圆方程联立，消y 可得()2221510550k xkmx m +++−=，由题意利用韦达定理整理可得10k m ++=，进而可求解.【详解】（1）点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，则211b=，解得1b =，直线220x y +−=过椭圆C 的一个焦点，令0y =，可得2x =，即2c =，所以222145a b c =+=+=，所以椭圆C 的方程为2215x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，设()00,A x y ，()00,B x y −，（0x <且00x ≠），则001200112y y k k x x −−−+=+=−，解得01x =，直线恒过点()1,1−；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，直线与椭圆的交点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2215y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2221510550k x kmx m +++−=，则1221015km x x k −+=+，21225515m x x k−=+，所以()()12211212121211112kx m x kx m x y y k k x x x x +−++−−−+=+==−，整理可得()()()12122210k x x m x x ++−+=，所以()()2221111515km m m k k k −−+⋅=++，即()()110m k m −++=，因为直线l 不过点(0,1)P ，所以1m ≠，所以10k m ++=，即1m k =−−，直线()111y kx m kx k k x =+=−−=−−，当1x =时，则1y =−，所以直线恒过定点()1,1− 【点睛】本题考查了求圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查了分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.10．椭圆C 的焦点为()11,0F −，()21,0F，椭圆上一点2P ⎫⎪⎪⎭.直线l 的斜率存在，且不经过点2F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且22180AF O BF O ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的定义及两点间距离公式可得24a ==,即可求得a ,由焦点可得1c =,进而求解；（2）设直线l 方程为y kx m =+,与椭圆方程联立可得()2223484120kxkmx m +++−=,即可得到122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+,且>0∆,再由22180AF O BF O ∠+∠=︒可得220AF BF k k +=,利用斜率公式可得4m k =−,即可得证. 【详解】（1）解:由题,1c =,122a PF PF =+,24a ==,所以2a =,则2223b a c =−=, 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）证明:设直线l 方程为y kx m =+,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点, 联立2234120y kx m x y =+⎧⎨+−=⎩,可得()2223484120k x kmx m +++−=, ()()()22284344120km k m ∆=−⨯+−>,即22430k m −+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+, 因为22180AF O BF O ∠+∠=︒,所以220AF BF k k +=,则1212011y y x x +=−−,得()()1221110y x y x −+−=,即()()1212220kx x m k x x m +−+−=, 代入可得4m k =−,把4m k =−代入22430k m −+>,解得1122k −<<，又直线不过点()21,0F ,所以0k ≠, 即1122k −<<且0k ≠, 所以直线():4l y k x =−过定点()4,0 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线恒过定点问题,考查运算能力.11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1B （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线BM 与直线BN 的斜率之积为12，证明直线l 过定点并求出该定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）答案见解析，直线过定点()0,3−. 【分析】（1）首先根据顶点为()0,1B 得到1b =得到2a =，从而得到椭圆C 的方程. （2）设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，与椭圆联立得到()222148440k xkmx m +++−=，利用直线BM 与直线BN 的斜率之积为12和根系关系得到3m =−，从而得到直线恒过的定点. 【详解】（1）一个顶点为()0,1，故1b =，又2e ==2a =．故椭圆的方程为2214x y +=．（2）若直线l 的斜率不存在，设(,)M m n ，(,)N m n −，此时22221141114BM BNn n n k k m m mm m −−−−⋅=⨯===，与题设矛盾，故直线l 斜率必存在．设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++−=， ∴122814km x x k −+=+，21224414m x x k−=+． ∵()121212*********BM BNy y y y y y k k x x x x −++−−⋅=⋅==，即()()()121212112kx m kx m kx m kx m x x ++−++++=∴()2212121(1)(1)02k x x k m x x m ⎛⎫−+−++−= ⎪⎝⎭，化为2230m m +−=，解得3m =−或1m =（舍去），即直线过定点()0,3−．【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握：（1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关；（2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点.12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭.（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310k xktx t +++−=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t 值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫−⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得3c e a ==，222a c b −=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++−=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613ktx x k −+=+，()21223113t x x k−=+，()* 由()()222(6)413310kt kt∆=−+⨯−>，得2231k t >−，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=−⋅−()()2212121(1)(1)0k x xk t x x t =++−++−=，将()*代入，得12t =−，所以直线l 过定点10,2⎛⎫−⎪⎝⎭.本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．13．如图，已知椭圆222:1x C y a+=上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +−−+=相切，其中1a >.（1）求椭圆的方程；（2）不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ ⊥，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y +=；（2）102⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）确定圆M 的圆心与半径，利用直线AF 与圆M 相切关系，根据点到直线的距离公式构建方程，求得a ，即可表示方程；（2）设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11y x k=−+，分别于椭圆联立方程求得交点P 、Q 的坐标，即可表示直线l 的方程，得答案. 【详解】（1）由题可知，()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为1xy c+=，即0x cy c +−= 因为直线AF 与圆22:6270M x y x y +−−+=相切，该圆的圆心为()3,1,r =3a a==⇒=故椭圆的标准方程为2213x y +=（2）因为不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ ⊥，即直线AP 与坐标轴不垂直也不平行由()0,1A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11y x k=−+ 联立22131x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得()221360k x kx ++=，解得0x =或2613k k −+，因此点P 的坐标为22266,11313k k k k ⎛⎫−−+ ⎪++⎝⎭，即222613,1313k k k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭ 将上式中的k 换成1k −，得点Q 22263,33k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭所以直线l 的斜率为22222223131313664313k k k k k k k k k k −−−−++=+++，即直线l 的方程为2222163433k k k y x k k k −−⎛⎫=−+⎪++⎝⎭，化简并整理得21142k y x k −=−，故直线l 恒过定点102⎛⎫− ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查椭圆中的过定点问题，还考查了求椭圆的标准方程，属于较难题.14．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫− ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =.（1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AFk c ⎛⎫−− ⎪⎝⎭==−，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =所以椭圆E 的方程为22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q . 理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =−，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组2229154y kx x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22201600(45)0981k k x x +−−=，所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =−+，所以12122416()99(45)y y k x x k +=+−=−+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k −=−++=+，以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y −+++−++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++−=++，解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=−+，所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B −，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=. 显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A −，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，已知12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0)【分析】（1）由条件直接算出即可（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++−=，122834km x x k −+=+，212241234m x x k −=+，由AM AE k k =可得13162y y x =+，同理24262y y x =+，然后由12341111y y y y +=+推出m k =−即可【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =−=. ∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++−=()()22222264434412043k m k m m k ∆=−+−>⇒<+122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+.又AM AE k k= ∴3113110062422y y y y x x −−=⇒=+++，同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+ ∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= ∴1212214()y y x y x y +=+∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++ ∴1212(4)()280k m x x kx x m −+−+=∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k−−+−−+=⇒=+++ ∴m k =−，此时满足2243m k <+ ∴(1)y kx m k x =+=− ∴直线MN 恒过定点(1,0) 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点．【答案】（1）2；（2）见解析【分析】（1）设出直线方程为()0y kx t k =+>，联立直线的方程和椭圆的方程，化简为一元二次方程的形式.根据直线和椭圆有两个交点得出判别式大于零，写出韦达定理，根据中点坐标公式求得E 点的坐标，由此求得直线OE 的斜率和方程，根据D 点坐标求得,m k 的关系式，结合基本不等式求得22m k +的最小值.（2）将直线OD 的方程代入椭圆方程，求得G 点坐标，结合,E D 两点坐标以及两点间的距离公式，求得,,OG OD OE ，代入2OG OD OE =⋅列方程，解方程求得,k t 的关系，由此判断出直线过定点.【详解】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=−+，所以1222ty y 3k 1+=+，由于E 为线段AB 的中点，因此E E 223kt tx y 3k 13k 1，=−=++，此时E OE E y 1k x 3k ==−，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=−，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1，所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2．（2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k =−，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎛⎫ ⎝，又1E D 3k ，，⎛⎫⎛⎫− ⎪⎝⎭⎝，由距离公式及t ＞0得222229k 1|OG |(3k 1+=+=+，OD ==，2OE 3k 1==+，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查根于系数关系，考查直线和直线交点坐标、直线和椭圆交点坐标的求法，考查两点间的距离公式，考查直线过定点的问题，综合性较强，属于中档题.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，且过点．（1）求C 的方程；（2）设点M 为C 上的动点，求12w MF MF =⋅的取值范围；（3）设椭圆C 的左顶点为A ，不过点A 的直线:l y kx m =+（0k ≠，m ∈R ）与C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为E ，若||2||PQ AE =，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）22142x y +=；（2）[0,2]；（3）证明见解析，2,03⎛⎫− ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆离心率可得222ab =，再将点代入椭圆方程得22211a b+=，可出a ,b ，从而得到椭圆方程；（2）设M 点的坐标为()00,x y ，利用向量的坐标运算可知21202w MF MF y =⋅=−uuu r uuu u r ，再由椭圆性质可知20[0,2]y ∈，即可求得结果；（3）由||2||PQ AE =，直角三角形斜边中点等于斜边一半，可知0AP AQ ⋅=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124240k x kmx m +++−=，由韦达定理结合0AP AQ ⋅=即可得到m 与k 的关系，从而得结果. 【详解】（1）离心率222112b e a =−=，222a b ∴=①，将点代入椭圆方程得22211a b+=②，联立①②解得24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=（2）设M 点的坐标为()00,x y ，则2200142x y +=，即22024x y +=由（1）可知1(F ，2F ，())222120000000,,22w MF MF x y x y x y y ∴=⋅=−⋅−=+−=−uuu r uuu u r，又20[0,2]y ∈，12[0,2]w MF MF ∴=⋅∈，（3）||2||PQ AE =，且直角三角形斜边中点等于斜边一半，AP AQ ∴⊥，0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r，设()11,P x y ，()22,Q x y ，又(2,0)A −，由2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124240k x kmx m +++−=， ()()()22222(4)41224842km k m k m ∆=−+−=−+， 122412km x x k ∴+=−+，21222412m x x k−=+， ()22222222221212122222444121212k m k k m m k y y k x x km x x m m k k k−−=+++=−+=+++， ()()()11221212122,2,24AP AQ x y x y x x x x y y ∴⋅=+⋅+=++++uu u r uuu r22222222224843484012121212m km m k m k km k k k k−−+−=−++==++++， 223480m k km ∴+−=，即23m k =或2m k = 因为直线l 不过点A ，2m k ∴≠，23m k ∴=且满足0∆>， ∴直线l 的方程为23y kx k =+，即23y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴直线l 过定点2,03⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，求直线过定点，求直线过定点的思路：（1）设直线的点斜式，找到斜率与截距的关系，确定定点；（2）根据题目中的信息求出直线（如两点），确定定点；（3）根据圆锥曲线的性质确定直线定点的性质，然后由性质确定准确的定点.18．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>过()2,0A −、()0,1B 两点.（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点.【答案】（1；（2）证明见解析. 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入椭圆M 的方程，求出a 、b 的值，可得出c 的值，进而可求得椭圆M 的离心率；（2）设直线PC 的方程为()2y k x =−，求出点P 、Q 的坐标，求出直线BP 的方程，求出点S 的坐标，进一步可求得直线SQ 的方程，由此可得出直线SQ 所过定点的坐标. 【详解】（1）将点A 的坐标代入椭圆M 的方程可得241a =，0a >，2a ∴=，同理1b =，c ∴==因此，椭圆M的离心率为c e a ==（2）如下图所示：直线AB 的方程为12x y +=−，即112y x =+，易知直线PC 的斜率存在，设直线PC 的方程为()2y k x =−，联立()22214y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222241161640k x k x k +−+−=，由韦达定理可得22164241P k x k −=+，228241P k x k −∴=+，则()24241P P k y k x k =−=−+，所以，点P 的坐标为222824,4141k k k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，联立()2112y k x y x ⎧=−⎪⎨=+⎪⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，即点424,2121k k Q k k +⎛⎫ ⎪−−⎝⎭，所以，直线BP 的斜率为222412141824241PB kk k k k k k +++==−−−−+，所以，直线BP 的方程为21142k y x k +=−+−，在直线BP 的方程中，令0y =，可得4221k x k −=+，即点42,021k S k −⎛⎫⎪+⎝⎭，所以，直线SQ 的斜率为42121424242121SQkk k k k k k k +−==+−−−+，所以，直线SQ 的方程为2142421k k y x k +−⎛⎫=− ⎪+⎝⎭，即212142k k y x +−=−，整理可得()22420k x x y −+−+=，由20420x x y −=⎧⎨−+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线SQ 过定点()2,1.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点)M在椭圆上，椭圆E 上存在点N 与左焦点F 关于直线y x =对称（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ､B 为椭圆的左､右顶点，过点(4,)(0)≠T m m 的直线TA ，TB 与椭圆相交于点P ､Q 两点，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析，定点坐标(1,0). 【分析】（1）先写出N 的坐标，得b c =，再联立方程22222211a b a b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩，解方程即可；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，设 TA 方程和TB 方程分别为(2)6m y x =+、 (2)2my x =−，将它们分别与椭圆方程22142x y +=联立，得到 PQ 方程，进而求出定点.【详解】（1）由题意可得：左焦点(,0)F c −关于直线y x =对称点()0,N c −；22222211a ba b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程：22142x y +=；（2）由题意可知(2,0)A −，(2,0)B 同时直线,TA TB 斜率存在且不为零，:(2)6ATm l y x =+与椭圆22142x y +=交于A ，设11(,)P x y ，可得222222(1)401899m m m x x +++−=212472218m x m −∴−⋅=+， 21122362121818m mx y m m −∴==++，， :(2)2BT m l y x =−与椭圆22142x y +=交于B ，设22(,)Q x y ，可得2222122402m x m x m ⎛⎫+++−= ⎪⎝⎭，2224822m x m −∴⋅=+， 2222224422m mx y m m−−∴==++，，当12x x ≠时，直线122112:()y y PQ y y x x x x −−=−−，22224424()262m m m y x m m m −+=−+−+，令0y =时，1x =，当12x x =时，222236-224182m m m m −=++，26m =，121x x ==， ∴直线PQ 恒过点()1,0.【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

椭圆形画高专项练习

椭圆形画高专项练习介绍本文档旨在为研究者提供椭圆形画高专项练的指导。

通过练，研究者可以提高绘制椭圆形的技巧和水平。

练步骤以下是练椭圆形画的步骤：1. 准备材料：纸张、铅笔和橡皮擦。

2. 绘制基础：在纸张上使用铅笔轻轻勾勒出椭圆形的大致形状。

3. 调整比例：根据需要，调整椭圆形的比例，使其更符合实际要绘制的图像。

4. 完善形状：使用铅笔逐渐加深轮廓线，同时注意保持整个形状的对称性和流畅性。

5. 擦除不需要的线条：使用橡皮擦去不需要的轮廓线，使椭圆形更加清晰。

6. 着色和阴影：根据需要，使用铅笔或其他绘画工具为椭圆形添加颜色和阴影效果。

注意事项在进行椭圆形画高专项练时，需要注意以下事项：- 练频率：保持一定的练频率，持续进行椭圆形画的训练，以提高技巧和熟练度。

- 观察实物：观察真实的椭圆形物体，并尝试将其绘制出来。

反复观察和练可以提高对椭圆形的感知和理解。

- 自由发挥：在练中可以适当地发挥创意，尝试不同的绘画风格和表现手法，以提升个人的艺术表达能力。

练效果通过持续的椭圆形画高专项练，研究者可以获得以下效果：- 技巧提升：熟练掌握椭圆形的绘制技巧，准确绘制出所需的图像。

- 视觉感知能力：提高对椭圆形的感知能力，更加准确地观察和理解真实的物体形状。

- 创作表达能力：通过练和创作，提升个人的艺术表达能力，展现独特的绘画风格。

总结椭圆形画高专项练习是提高椭圆形绘制技巧和艺术表达能力的重要方法。

通过持续的练习，并结合观察实物和发挥创意，学习者能够提高对椭圆形的感知和理解，创作出独特而精美的椭圆形画作。

六年级数学上册椭圆的面积求阴影部分面积专项训练

六年级数学上册椭圆的面积求阴影部分面积专项训练概述这份专项训练旨在帮助六年级学生练椭圆的面积求解，特别是求解阴影部分的面积。

椭圆是一种重要的几何图形，通过研究和练椭圆的面积求解，学生可以提高对椭圆性质的理解并增强数学计算能力。

专项训练内容1. 了解椭圆的定义和性质：学生将研究椭圆的定义以及相关性质，包括焦点、半长轴、半短轴等。

他们需要了解椭圆的形状特点，并掌握如何确定椭圆的方程。

2. 掌握椭圆的面积公式：学生需要掌握椭圆的面积公式，即A = π * a * b，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

3. 练椭圆面积求解：通过一系列练题，学生将应用所学的知识计算椭圆的面积。

练题将包括各种情况，如已知半长轴和半短轴、已知周长等等。

学生需要灵活运用椭圆的面积公式，解决实际问题。

4. 求解阴影部分的面积：在部分练题中，学生将需要求解椭圆的阴影部分的面积。

这将加深学生对椭圆面积求解的理解，并提高解决复杂问题的能力。

阴影部分的面积求解要求学生运用几何解题思维，结合椭圆的性质判断阴影部分的形状，并计算其面积。

使用建议- 学生可以根据自己的实际情况，制定合理的研究计划，每天坚持一定的时间进行专项训练。

- 学生可以配合教材中相关章节进行研究，结合理论和实践，提高研究效果。

- 在解答练题时，学生可以尝试多种方法，比较不同解题思路和计算结果，加深对椭圆的理解。

结语本专项训练旨在帮助六年级学生掌握椭圆的面积求解技巧，特别是求解阴影部分的面积。

通过坚持练习和不断思考，学生将能够熟练运用椭圆的面积公式，解决实际问题，并提高数学计算能力。

祝愿学生们在学习椭圆面积求解中取得良好的成绩！。

高中数学解析几何大题专项练习

高中数学解析几何大题专项练习1、已知椭圆G：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（x,y）到椭圆上的点最远距离为52.1）求此时椭圆G的方程；2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。

2、已知双曲线x-y=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆x+y=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)。

Ⅰ）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；Ⅱ）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1×k2是定值吗？证明你的结论。

3、已知抛物线C:y=ax^2的焦点为F，点K(-1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。

1）求抛物线C的方程。

2）证明：点F在直线BD上；3）设FA×FB=9，求△BDK的面积。

4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为1/2，中点T在直线OP上，且A、O、B三点不共线。

I)求椭圆的方程及直线AB的斜率；Ⅱ)求△PAB面积的最大值。

5、设椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，直线l:x=a(b^2/a)交x轴于点A，且AF1=2AF2.Ⅰ）试求椭圆的方程；Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E（如图所示），若四边形DMENE的面积为27，求DE 的直线方程。

6、已知抛物线P：x^2=2py(p>0)。

Ⅰ）若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3.ⅰ）求抛物线P的方程；ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C、D。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2，因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5，所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12，当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ，所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ，所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1）＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14，又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2，所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →，又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0），故得x 0＝3，y 0＝－2，即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1，以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1，得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立．设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

椭圆定义及标准方程专项练习含解析

定义及标准方程一、单选题（共28题；共56分）1.已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形2.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（）A. 4B. 6C. 7D. 143.已知椭圆的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 24.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）.A. B. C. D.5.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于( )A. 2B. 4C. 6D. 86.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（）A. B. 6 C. D. 127.已知椭圆的一个焦点坐标为，则k的值为（）A. 1B. 3C. 9D. 818.已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（）．A. B. C. D.9.椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（）A. B. 或C. D. 或10.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. 或 D. 以上答案都不对12.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.13.已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 且14.已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.15.P为椭圆上一点，、为左右焦点，若则△的面积为（）A. B. C. 1 D. 316.已知椭圆：（）的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点.若的周长为，则的方程为（）A. B. C. D.17.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B. C. D.18.椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.19.椭圆的焦距为2，则m的值等于A. 5或3B. 8C. 5D. 或20.焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.21.点A(a,1)在椭圆的内部，则a的取值范围是（）A. －<a<B. a<－或a>C. －2<a<2D. －1<a<122.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.23.椭圆的一个焦点坐标是（）A. B. C. D.24.已知F1F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.25.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件26.已知、为椭圆两个焦点，P为椭圆上一点且,则（）A. 3B. 9C. 4D. 527.已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则的值为（）A. B. C. D. 或28.方程2x2＋ky2＝1表示的是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A. (0，＋∞)B. (2，＋∞)C. (0,2)D. (0，1)二、填空题（共17题；共19分）29.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为________；其标准方程是________．30.已知椭圆的左、右两个焦点分别为,若经过的直线与椭圆相交于两点,则的周长等于________31.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.32.已知两定点、，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是________ .33.已知点，点B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________．34.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则________．35.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心作半经为1的圆，为椭圆上一点，为圆上一点，则的取值范围为________.36.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为________．37.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为________.38.P是椭圆上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是________。

(完整word版)圆锥曲线基础知识专项练习

圆锥曲线练习一、选择题（本大题共13小题,共65。

0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A。

k＞1 B.k＜—1C。

-1＜k＜1 D。

-1＜k＜0或0＜k＜12。

方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（—1，2）B。

m∈（-4,2)C。

m∈（-4，-1）∪（—1，2） D.m∈（—1，+∞)3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3 B。

1 C.3 D。

64。

已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1，0），点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为（)A. B.C。

D。

5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆”，那么（)A。

甲是乙成立的充分不必要条件B。

甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6。

“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A。

充要条件B。

充分非必要条件C.必要非充分条件D。

既不充分也不必要条件7。

方程+=10,化简的结果是（）A。

+=1 B。

+=1 C.+=1 D。

+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为,则|PF｜=（)A.B。

C.D。

9。

若点P到点F(4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A。

y2=-16x B.y2=—32x C.y2=16x D.y2=32x10。

抛物线y=ax2(a＜0）的准线方程是( ）A.y=—B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=—3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812。

已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A(0,2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( ）A。

2 B。

C.-1 D。

+113.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（) A。

高二数学椭圆专项练习题

高二数学椭圆专项练习题椭圆作为解析几何中的重要概念，具有广泛的应用。

通过专项练习题的训练，我们将更加深入地理解椭圆的特性，并能够熟练运用相关知识解决实际问题。

本文将为大家提供高二数学椭圆专项练习题，帮助大家巩固椭圆的掌握程度。

一、选择题1. 椭圆的离心率为ε，离心率定义为：A) ε = a/b,其中a为焦点到直径的距离，b为椭圆长轴长度。

B) ε = b/a,其中a为焦点到顶点的距离，b为椭圆短轴长度。

C) ε = a/b,其中a为焦点到椭圆上任意一点的距离，b为椭圆长轴长度。

D) ε = b/a,其中a为焦点到椭圆上任意一点的距离，b为椭圆短轴长度。

2. 椭圆的标准方程为：A) (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心点坐标。

B) (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a, b)为椭圆的长轴和短轴长度。

C) (x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心点坐标。

D) (x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1，其中(a, b)为椭圆的长轴和短轴长度。

3. 椭圆的焦距定义为：A) 2a，其中a为椭圆的长轴长度。

B) 2b，其中b为椭圆的短轴长度。

C) 2c，其中c为椭圆焦点到中心点的距离。

D) a+b，其中a为椭圆的长轴长度，b为椭圆的短轴长度。

4. 某椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，则该椭圆的焦距为：A) 2B) 4C) 6D) 8二、填空题1. 已知椭圆的焦距为6，离心率为2/3，则其长半轴的长度为_______。

2. 椭圆的焦点为F1、F2，准线为L，已知直线L过点(0,4)且与椭圆交于点A、B两处，则直线F1B的斜率为_______。

三、解答题1. 椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴长度，θ为参数。

高考数学圆过定点问题专项练习讲解

高考数学圆过定点问题专项练习讲解一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）由题意得1,{32c a a c =−=1,{3c a =⇒=.椭圆的方程为：221.98x y +=（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,,，020,3y k x =−2012209y k k x ∴=−.在椭圆上，所以，2k ⋅，设，则，.，又2k ⋅.1212864729y y y y ∴=−⇒=−. 因为GH 的中点为，12GH y y =−,所以，以GH 为直径的圆的方程为：.令，得，，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点(17,0),(1,0).【分析】(1)根据题意，列出方程组1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，求解即可得出结果；(2)先记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，()3,0A −，()3,0B ，表示出12k k ，，根据M 在椭圆上，得到2200819x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，进而可得1289k k =−，再设()19G y ，，()29H y ，可得1264y y =−，由GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =−，得到以GH 为直径的圆的方程，进而可得出结果. 【详解】（1）由题意得：1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩21,83c b a =⎧⇒⇒=⎨=⎩，椭圆C 的方程为：221.98x y +=（2）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，() 3,0A −，()3,0B ，所以0103y k x =+，020,3y k x =− 2012209y k k x ∴=−. 因为M 在椭圆上，所以2200198x y +=，所以2200819x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，1289k k =−，设()19G y ，，()29H y ，，则1112AM y k k ==，626BM y k k ==，所以121272y y k k =，又1289k k =−.1212864729y y y y ∴=−⇒=−. 因为GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =−，所以，以GH 为直径的圆的方程为：()()2221212924y y y y x y −+⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭. 令0y =，得()212964x y y −=−=，所以117x x ==，将两点()()17,0,1,0代入检验恒成立.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点()()17,0,1,0. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的性质等，即可求解，属于常考题型.2．已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x＝M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）MN为直径的圆恒过定点和．【分析】（1）根据ABF1求出a ＝2，即得解；（2）设直线PQ的方程为x ty =()()1122,,,P x y Q x y．求出112)2y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，222)2y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，设以MN 为直径的圆过定点P （m ，n ），则0PM PN →→⋅=，联立22142x y +=和PQ的方程为x ty =0PM PN →→⋅=即得解.【详解】解：（1）由题得 ABF的面积(11()122S a c b a =+⋅==，解得a ＝2，即椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）已知点A （－2，0），设直线PQ的方程为x ty =()()1122,,,P x y Q x y ．直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线AQ 的方程为22(2)2y y x x =++，将x =AP 、AQ 方程，可得112)2y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，222)2y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭．设以MN 为直径的圆过定点P （m ，n ），则0PM PN →→⋅=，即212)PM m n n PN →→⎫⋅=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212)m n n =−+⎝⎭22)m n n ⎛⎫=−+()()2121212222)2)222))y y n y ty ty y m n ⎡⎤−+=+()2121212222)2)22))y y n ty y y y m n ⎡⎤−++=+联立椭圆22142x y+=和直线PQ 的方程为x ty =可得22(240ty y +−=，化简得()22220t y ++−=，即1222y y t −+=+，12222y y t −=+．代入上式化简得22)m n =+22)20m n =−++=，由此可知，若上式与t 无关，则0n =，又2)20,m PM P m N →→⋅=−== 因此MN为直径的圆恒过定点和．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++−=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.【答案】(1)22143x y += ;(2) 以MN为直径的圆经过定点(6±【分析】(1) 利用SM SN =,//RQ SN ,可以推出RQ QM =,根据42QS QR SM SR +==>=可知: 动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而可以写出Q 点的轨迹方程.(2)设00(,)P x y ,求出,M N 的坐标后,再求出MN 的中点坐标,然后求出以MN 为直径的圆的方程,令0y =可求得6x =±为定值,所以圆过定点.【详解】 (1)如图:因为SM SN =,//RQ SN , 所以RQ QM =,所以42QS QR QS QM SM SR +=+==>=,根据椭圆的定义知:动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆, 这里224,413a b ==−=,所以Q 点的轨迹方程为:22143x y +=.(2)由题可知(2,0),(2,0)A B −,设00(,)P x y , 所以002AP y k x =+,则直线AM l 的方程为:00(2)2y y x x =++, 令6x =,则0082y y x =+,所以008(6,)2y M x + , 因为002BP y k x =−,则直线BP l 的方程为:00(2)2y y x x =−−, 令6x =,则0042y y x =− ,所以004(6,)2y N x −, 所以MN 的中点坐标为00202(32)(6,)4y x x −−,此时圆的方程为: 222000022002(32)2(6)(6)[][]44y x y x x y x x −−−+−=−−, 令0y =,得2202032(6)4y x x −=−,又2200143x y +=,所以2(6)24x −= , 解得:6x =±故以MN为直径的圆经过定点(6±. 【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求标准方程,圆过定点问题,属难题.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ，（l ）若121k k =− ①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1）(1,0)P −，定点为(3±；（2）直线过定点(3,0)．【解析】试题分析：第一问根据两斜率乘积等于1−，从而得到PQ 为直径，从而确定出点P 的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线PM 的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1）121,k k PM MQ =−∴⊥，又因为P 在圆上，所以PQ 为直径，故(1,0)P −,法一：设1:(1)PM l y k x =+，令3x =得1'(3,4)P k ，2:(1)QM l y k x =−，令3x =得2'(3,2)Q k ，且PM QM l l ⊥，故12k k 1=−，12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k −−+−−=22121269(42)80x x y k k y k k ⇒−++−++=，令0y =，则26980x x −+−=，故3x =±(3±．法二：:(1)1PM u l y x v =++，3x =，得4'(3,)1vP u +， :(1)1QMv l y x u =−−，3x =，得2'(3,)1v Q u −，故圆C 方程为：42(3)(3)()()011v v x x y y u u −−+−−=+−222242869()0111v v v x x y y u u u ⇒−++−++=+−−由221u v +=，令0y =，则26980x x −+−=，故3x =±(3±．（2）法一：解：设:(1)QM l y k x =−与圆22:1O x y +=联立得：2222222(1)210k x k x k +−+−=，由韦达定理：22122221k x x k +=+，由11x =得：2222211k x k −=+，22222212(,)11k M k k −−++，同理23223312(,)11k P k k −−++，再利用222232222442,(,)44k k k k P k k −−=++． 222222222222222222424141241PMk k k k k k k k k k k −+++==−−+−++，222222222212:()211PM k k k l y x k k k −−∴=−++++222232k x k k −=+，∴直线过定点(3,0)．法二：可以先猜后证，2320k k =>，所以23,k k 同号．不妨设21k =，则:1QM l y x =−，与圆联立得(0,1)M −，32k =，则:2(1)QP l y x =−，与圆联立得34(,)55P −，此时1:13MP l x y =+，同理由圆对称性，当(0,1)M 时，231,2k k =−=−，此时P 点坐标34(,)55，1:13MP l x y −=−，若直线MP 过定点，则联立上述直线MP 的方程，求出交点(3,0)，下面验证(3,0)是否为定点．设过(3,0)且与圆O 有交点的直线斜率为k ，则直线方程为(3)y k x =−，代入圆方程得：2222(1)6910k x k x k +−+−=两交点1122(,),(,)M x y P x y ．由韦达定理：，故2121223121212(3)(3)(1)(1)()1y y k x x k k x x x x x x −−==−−−++212121212[3()9]2()1k x x x x x x x x −++==−++， ∴MP 过定点(3,0)．考点：曲线过定点问题．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l：0x y +=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【分析】（1）根据相切得到b =2a =，得到椭圆方程.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到122634t y y t +=−+，122934y y t =−+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，圆的方程可化为()()244690x x y ty −−++−=，得到答案. 【详解】（1）根据题意：b ==2b a ==，所以2a =，所以椭圆T 的方程为22143x y +=.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到()2234690t y ty ++−=，所以122634t y y t +=−+，122934y y t =−+，所以()221212122412134t x x t y y t y y t −=+++=+，1212281134x x ty ty t +=+++=+，因为直线AB 的斜率112AB y k x =+，所以直线AB 的方程()1122y y x x =++，所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，又因为()()()121212121236363699222436y y y y x x x x x x ⨯==−=−+++++，()()12121212212121212121866666223339ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==−+++++++，所以圆的方程可化为()()244690x x y ty −−++−=，令0y =，则有()249x −=，所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P −时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）16π；（2）过定点，定点坐标是()032，和()0,32− 【解析】试题分析：由直线AP 方程6y x =+得()0,6M ，由2y x =−−得()0,2N −故所求面积为16π．（2）根据两直线互相垂直设出直线AP ，BP 的方程，写出以MN 为直径的圆的方程222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+k k k k y x ，令y=0得定点()032，和()0,32−． x试题解析：（1）解析：当()4,2P −时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =−−，所以()0,2N −，因此8MN =．所以以MN 为直径圆的面积是16π．（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+−=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛−k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−k k D 13,02．所以以MN 为直径的圆的方程为： 222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+k k k k y x ，展开后得()012132222=−−−+y k k y x ，令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32−．解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D ．所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+b a b a y x ，展开后得()022=++−+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒−=⇒−=⋅12126ab ba ()01222=−+−+yb a y x ，令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32−．考点：直线与圆的综合应用．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别是1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）(). 【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可得2a =，根据椭圆的离心率求得c ,进而求的b .(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线方程与椭圆方程可得,A B 两点坐标的关系，根据,A B 两点坐标可将直线AM 与直线BM 分别表示出来，进而可求其与y 轴交于点,P Q ，以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立，带点求解即可.【详解】（1）由题意知24a =，则2a =．又2c a =，222a c b −=，可得1b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由()221,{1,4y k x x y =−+=得()2222148440k x k x k +−+−=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k−=+．又点M 是椭圆C 的右顶点，∴点()2,0M ．由题意可知直线AM 的方程为()1122y y x x =−−，故点1120,2y P x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．直线BM 的方程为()2222y y x x =−−，故点2220,2y Q x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，()()22121200121222401222y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅+=−−−−恒成立．又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k−−−=−++=−+=+++， ()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫−⎡⎤=−−=−++=−+=− ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k −+∴+=+=−=−−+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点()．【点睛】本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为0PN QN ⋅=恒成立问题求解.8．已知椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)，其短轴长是2√3，原点O 到过点A(a,0)和B(0,−b)两点的直线的距离为2√217. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P,Q 是定直线x =4上的两个动点，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，证明：以PQ 为直径的圆过定点，并求定点的坐标. 【答案】（1）；（2），．【解析】试题分析：（1）由题意得，运用点到直线的距离公式，解得a =2，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得，写出直线和直线的方程，可得设，写出以PQ 为直径的圆的方程，令，即可求解求定点的坐标．试题解析：（1）由，得再由，得a =2，椭圆的方程．（2）由（1）知：设直线斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为：，令得：于是以PQ 为直径的圆的方程为：即：令，得或圆过定点，考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、圆的方程的应用，判定圆过定点，属于中档试题，着重考查了向量的数量积的坐标表示和圆的方程求法，同时考查了转化与化归思想和推理、运算能力，本题的解答中写出直线和直线的方程，得，写出以PQ 为直径的圆的方程是解答的关键．9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y −+=相外切，又与定直线1: 1l x =−相切. （1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点. 【答案】（1）22:8C y x =（2）证明见解析【分析】（1）易知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =−的距离相等，得到轨迹方程.（2），设直线l 方程为：2x my =+，联立方程得到12128,16y y m y y +=⋅=−，EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y −−+−−=，计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：根据题意知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =−的距离相等，所以M 的轨迹方程为：22:8C y x =.（2）显然直线l 不与x 轴重合，设直线l 方程为：2x my =+，与2:8C y x =联立消x 得：28160y my −−=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,16y y m y y +=⋅=−，直线OA 方程为：11y y x x =，所以112(2,)y E x ，即116(2,)E y ，同理216(2,)F y ，所以以EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y −−+−−=，令0y =得：212256440x x y y −++=，即24120,26x x x x −−==−=或，以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点1(2,0)G −和2(6,0)G .【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，且和直线12x =−相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q −的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点. （1）求曲线C 的方程；（2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22y x =（2）见解析【分析】（1）由抛物线定义确定P 的轨迹方程，（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n −−−=设存在定点()00,N x y ，由1NA NB K K ⋅=−，代入韦达定理整理得()2002440y n y −+−=，利用020240,40,y y −=⎧⎨−=⎩即可得002,2y x ==【详解】（1）设动圆圆心P 到直线12x =−的距离为d ，根据题意，d PF =∴动点P 形成的轨迹是以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，以直线12x =−为准线的抛物线，∴抛物线方程为22y x =.（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n −−−= ()()2241624480,n n n n ∆=++=++>12122,48y y n y y n +==−−若设抛物线上存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ，设()00,N x y ，则2002y x =101022011010222NA y y y y K y y x x y y −−===−+−，同理可得202NBK y y =+ 102022NA NB K K y y y y ⋅=⋅++ ()21212004y y y y y y =+++ 20041482n ny y ==−−−++ ()2002440,y n y ∴−+−= 020240,40,y y −=⎧∴⎨−=⎩解得002,2,y x ==∴在曲线C 上存在定点()2,2N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N .【点睛】本题考查由定义求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质的应用，考查计算能力，是中档题 11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B −．（1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213x y +=；（2）()()0,9,0,3−. 【分析】（1）根据题目椭圆过短轴端点，以及离心率3，可以求出椭圆方程为2213x y +=.（2）利用直线MA 的斜率以及直线MB 的斜率，3y =的方程，得出点P ,Q 的坐标，那么就可以设出圆的方程()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪+−⎝⎭⎝⎭，再进行转化变形，就可以求出定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆短轴的两个端点为(0,1),(0,1)A B −，所以b =1，且椭圆的离心率为3，所以3c a =，并且222a b c −=，得出23a =，所以椭圆方程为2213x y +=. （2）设点M 00(,x y ),则001MA y k x −=,所以过原点与MA 平行的直线方程为：001y y x x −=, 令3y =,得0031x x y =−,003P ,31x y ⎛⎫⎪−⎝⎭; 001MB y k x +=, 所以直线MB 方程为：0011y y x x +=−, 令3y =,得0041x x y =+,004Q ,31x y ⎛⎫⎪+⎝⎭; 设过点P ,Q 的圆的方程为()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪+−⎝⎭⎝⎭展开后得：220000002033446901x y x x y x x x y y y ++−−+−+=− 即：2220000220071269011x y x x x x y y y y −−++−+=−−;22002136270y x y y x x −+−−+= 令0x =,y =9或y =-3，故定点为()()0,9,0,3−.【点睛】（1）求椭圆的方程就是利用题目的信息求解,,a b c ;（2）要注意过两点()()1122P ,,,x y Q x y 的圆的方程可以设为:()()()()12120x x x x y y y y −−+−−=，这样求解比较方便，特别要明确圆过定点就是与点M 的位置无关，00213y x x −中，令x=0，即可得解. 12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程；（2）若12MP MN =，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）20x −=或20x −=；（2）过定点，(2,0) 【分析】（1）设出直线l 的方程2()x my m =+∈R ，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；（2）设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，()20022,2AP m x m y =+−−，()00,2AQ x m y =−−，利用0AP AQ ⋅=得()2220000042420x m y m x y x −−++−=，令00220004204020x y x y x −=⎧⎪=⎨⎪+−=⎩解方程组即可.【详解】（1）由题可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为2()x my m =+∈R ，将2x my =+代入24y x =，消去x 可得2480ymy −−=，显然216320m ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124y y m +=，128y y =−，所以12||MN y y =−==因为||MN =，所以=m =，所以直线l 的方程为20x−=或20x −=.（2）因为12MP MN =，所以P 是线段MN 的中点，设(),P P P x y ，则由（1）可得()2121242222P m y y x x x m +++===+，1222P y y y m +==，所以()222,2P m m +，又PQ y ⊥轴，垂足为Q ，所以(0,2)Q m ，设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，则()20022,2AP m x m y =+−−，()00,2AQ x m y =−−，所以0AP AQ ⋅=，即()()220002220x m x m y −+−+−=，化简可得()2220000042420x m y m x y x −−++−=①，令00220004204020x y x y x −=⎧⎪=⎨⎪+−=⎩，可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以当02x =，00y =时，对任意的m ∈R ，①式恒成立，所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0). 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F −，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF的周长最大值为4. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点为)和().【分析】（1）NMF 的三边有一边已经确定，问题转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边即可确定思路；（2）分直线BC 斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率k ，再联立椭圆方程，求出,P Q 坐标，最后求出以PQ 为直径的圆的方程，方程里面含有k ，再令0y =即可.【详解】（1）设右焦点为1F，则1F M FM ===max (||||)44MN NF ∴+=+= 1||2x NF a NF =−11||||||22NF MN NF a MF a MN ∴+=−+<+即N 点为1MF 与椭圆的交点时，周长最大1MF =所以242,1a a c +=⇒==b ∴==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知()2,0A −，设()00,B x y ，则()00,C x y −− 当直线BC 斜率存在时，设其方程为y kx =联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234x k =+00:2)x y AB y x ∴===+令0x =，得y P ⎛⎫ ⎪ =∴⎝同理得Q ⎛⎫⎪⎝||PQ∴==设PQ中点为S，则30,2Sk ⎛⎫−⎪⎝⎭所以以PQ为直径的圆得方程为22232x yk⎛⎫++=⎪⎝⎭⎪⎝⎭即2222699344x y yk k k+++=+即22630x y yk++−=令0y=，得x=所以过点)和()，且为定点.当直线BC斜率不存在时，容易知道(0,B C此时(0,P Q所以以PQ)和()综上，此圆过定点)和()【点睛】方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.14．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆上一动点，当12MF F∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，且||4AB=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过1F的直线与椭圆相交于点C，D（不与顶点重合），过右顶点B分别作直线BC，BD与直线4x=−相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−．【分析】（1）由||4AB =可得a 的值，12MF F 的面积最大时，由椭圆的性质可得当和三角形内切圆的性质可列方程，再结合,,a b c 的关系，从而得出答案.(2)设出直线CD 的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，由C 点坐标得出BC 的方程进而得出点N 坐标，同理得出M 坐标，写出以MN 为直径的圆的方程，从而得出圆过定点. 【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，化简得12c a =① 又||24AB a ==，所以2a =，1c =，b ==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F −，(2,0)B ，由题意，直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为1x my =−，代入椭圆E 的方程22143x y +=，整理得22(34)690m y my +−−=．设11(,)C x y ，()22,D x y ，则12y y +=2634m m + ，122934y y m =−+，② 直线11:(2)3y BC y x my =−−．令4x =−，得1164,3y N my ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭，同理可得2264,3y M my ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭，所以以MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，即22121212126636816033(3)(3)y y y y x x y y my my my my ⎛⎫++++++=⎪−−−−⎝⎭，③ 由②得：()()()121212121212186663333my y y y y y m my my my my −++==−−−−− ()1212212121236369(3)(3)39y y y y my my m y y m y y ==−−−−++代入③得圆的方程为228760x x y my +++−=．若圆过定点，则2870y x x =⎧⎨++=⎩ 解得10x y =−⎧⎨=⎩或70x y =−⎧⎨=⎩所以以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据直线与椭圆的为关系求圆过定点问题，解答本题的关键是先求出点N ，M 坐标，进一步得出MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，再由韦达定理化简方程，得出答案，属于中档题.15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =−，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）ST 为直径的圆过定点(1,0)±．【分析】（1）由条件可得24()()(2)a c a c b +=−又因为12c a =，解方程组即可得椭圆的标准方程；（2）依题意求得切线方程00143x x y y+=，分别联立2,2x x =−=，求得交点,S T ，从而求以ST 为直径的圆方程，进而判断是否过定点．【详解】解：（1）由条件可得()()()242a c a c b +=− 所以2131a c eb ac e++===−−，又12c a =，所以22134a a −=，解得24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，()02x ≠±，所以2200143x y +=，①对椭圆22143x y +=求导得，22043x y y +'=，所以0034x k y =−切，所以切线方程为()000034x y y x x y −=−−，将①代入上式，得切线方程00143x x y y+=，分别联立2,2x x =−=，得000063632,,2,22x x S T y y ⎛⎫⎛⎫+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以以ST 为直径的圆，圆心为030,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径||2ST r =，所以22222000200063639||4(22)1622x x x ST r y y y ⎛⎫−+==++−=+ ⎪⎝⎭，因为2200143x y +=，所以2200413y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以20222003613364164y r y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭=+=+，所以圆的方程为22200391x y y y ⎛⎫+−=+ ⎪⎝⎭，令21x =，得220039y y y ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，得1x =±时，0y =，所以ST 为直径的圆是过定点(1,0)±．【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅=(O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫− ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在()0,1M ，理由见解析.【分析】（1）利用||OP =，123·4PF PF =列出方程可得1c =，再由离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标. 【详解】(1)2OP =220074x y ∴+=，又123·4PF PF =，00003(,)(,)4c x y c x y ∴−−−⋅−−=，即2220034x c y −+=，则可得1c =，又2e =，1a b ∴==，故所求椭圆方程为2212x y +=；(2)设直线1:3l y kx =−，代入2212x y +=，有22416(21)039k x kx +−−=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k −+==++，若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =−，22(,)MB x y m =−，21212121212·()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+−−=+−++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+−−−−+−+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+−+++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k −++−=+，由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立，即22218(1)(9615)0m k m m −++−=对k ∈R 成立.221096150m m m ⎧−=∴⎨+−=⎩，解得1m =， ∴在y 轴上存在定点()0,1M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。

椭圆形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案

椭圆形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案椭圆形中的折叠问题专项练题（自选）附答案问题一在给定的椭圆形纸张上，如何折叠以得到一个正方形？答案：1. 将椭圆形纸张对折，使得两个焦点对齐。

2. 将纸张按照对折线的方向再次对折，使得椭圆形的长轴与纸张的边缘重合。

3. 沿着纸张的边缘剪去多余的部分。

4. 打开剩下的部分，即可得到一个正方形。

问题二在给定的椭圆形纸张上，如何折叠以得到一个等腰三角形？答案：1. 将椭圆形纸张对折，使得两个焦点对齐。

2. 将纸张按照对折线的方向再次对折，使得椭圆形的长轴与纸张的边缘重合。

3. 沿着纸张的边缘剪去多余的部分。

4. 打开剩下的部分，即可得到一个等腰三角形。

问题三在给定的椭圆形纸张上，是否可能通过折叠得到一个完全相同的椭圆形？答案：从几何学的角度来看，不可能通过折叠得到一个完全相同的椭圆形。

因为折叠会改变原始纸张的形状和曲率，无法完全保留原始椭圆的特征。

问题四把一个椭圆形纸张沿着其中一条轴线折叠，能否得到一个长方形？答案：把一个椭圆形纸张沿着其中一条轴线折叠，可以得到一个长方形。

因为椭圆的两个轴线长度不同，所以沿着一个轴线折叠后，就可以得到一个长短边不相等的长方形。

问题五椭圆形的纸张能否折叠成一个正五边形？答案：从几何学的角度来看，椭圆形的纸张无法折叠成一个正五边形。

正五边形的内角是108度，而椭圆形的内角都大于180度，无法通过折叠达到正五边形的角度要求。

以上是关于椭圆形中的折叠问题一些专项练习题及其答案。

希望能对您的学习有所帮助！。

全等椭圆练习(SSS证明题专项训练)

全等椭圆练习(SSS证明题专项训练)全等椭圆练（SSS证明题专项训练）本文档旨在提供一些全等椭圆练题，以帮助读者提高在证明全等椭圆过程中的能力。

全等椭圆是一个重要的几何概念，在解决几何问题中经常会用到。

具备良好的全等椭圆证明技巧，可以帮助我们更好地理解和解决各种几何难题。

题目一已知△ABC 和△DEF 的三边分别相等，即 AB = DE，BC = EF，CA = FD。

证明△ABC ≌△DEF。

题目二在△ABC 中，点 D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点。

证明△ABC ≌△DEF。

题目三在△ABC 中，角 A 和角 B 的平分线交于点 O。

又已知 AO = BO。

证明△ABC ≌△CBO。

题目四在△ABC 中，角 A 和角 B 的平分线交于点 P。

另外， AE ⊥BC，BF ⊥ AC。

证明△APB ≌△EPF。

题目五在△PQR 中，角 Q 和角 R 的平分线交于点 O。

证明∠QPO = ∠RPO。

题目六在△ABC 中，AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，CF ⊥ AB。

证明 AD = BE = CF。

题目七在△ABC 中，通过点 D，E，F 作使△ABC ≌△DEF 的平移。

证明 AD = DE，BE = EF，CF = FD。

题目八在△ABC 中，点 D 和点 E 分别位于 AB 和 AC 上。

且 DE = BC。

证明△ADE ≌△ABC。

以上是一些全等椭圆的练题，希望能够帮助你巩固全等椭圆的证明能力。

请根据题目要求进行证明，并注明证明的步骤和规律。

祝愿你在几何学习中取得好成绩！。

椭圆的判定专项练习30题

椭圆的判定专项练习30题1. 在直角坐标系中，如果一个方程的x和y的二次项系数相等且符号相反，并且x和y的一次项系数都为0，那么这个方程表示一个（）。

A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 直线2. 下列椭圆的标准方程为（）。

A. (x+2)^2/9 + (y-3)^2/4 = 1B. (x-2)^2/16 + (y+3)^2/25 = 1C. (x+2)^2/4 + (y-3)^2/9 = 1D. (x-2)^2/25 + (y+3)^2/16 = 13. 椭圆的焦点到其准线的距离比较小的一边称为（）。

A. 长轴B. 短轴C. 焦距D. 顶点4. 下列关于椭圆的说法正确的是（）。

A. 椭圆的离心率大于1B. 椭圆的离心率等于1C. 椭圆的离心率小于1D. 椭圆没有离心率5. 对于椭圆的方程 (x-1)^2/9 + (y+2)^2/16 = 1，长轴的长度为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列关于椭圆的说法不正确的是（）。

A. 椭圆是一种闭合曲线B. 椭圆的离心率决定了其形状C. 椭圆的离心率始终小于1D. 椭圆的焦点到准线的距离相等7. 椭圆的离心率等于（）。

A. 0B. 1C. 大于1D. 无穷大8. 椭圆的方程 (x-3)^2/16 + (y+4)^2/9 = 1 的长轴长度为（）。

A. 2B. 4C. 6D. 89. 对于椭圆的方程 x^2/36 + y^2/64 = 1，短轴的长度为（）。

A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列关于椭圆的说法不正确的是（）。

A. 椭圆没有对称轴B. 椭圆的焦距有两个，分别在x轴和y轴上C. 椭圆的焦点到准线的距离相等D. 椭圆的离心率小于111. 在直角坐标系中，椭圆的离心率定义为（）。

A. 焦距除以长轴的一半B. 焦距除以短轴的一半C. 焦距除以准线的一半D. 焦距除以焦点到准线距离的和12. 下列椭圆的标准方程为（）。

A. (x-1)^2/4 + (y+2)^2/16 = 1B. (x+1)^2/16 + (y-2)^2/4 = 1C. (x+1)^2/9 + (y-2)^2/4 = 1D. (x-1)^2/16 + (y+2)^2/4 = 113. 在直角坐标系中，椭圆的长轴的两个端点称为其（）。

高二数学椭圆专项练习题及参考答案

高二数学椭圆专项练习题及参考答案代入e=a/c=a/(a/2)=2，即椭圆的离心率为2。

5. 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点为$F_1$、$F_2$，$P$是椭圆上的任一点，$M$为$PF_1$的中点，若$PF_1$的长度为$s$，那么$OM$的长度等于$\sqrt{a^2-s^2}$。

1. 在椭圆上，焦点F和弦AB的垂直平分线交于M，AB交x轴于N。

求2. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为2/3，长轴长为6。

求椭圆的方程。

3. 若x²/y² + 1 = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的值是多少？4. 已知方程25-m/16+m = 1表示椭圆。

求m的值。

5. 椭圆的两焦点将准线间的距离分成三等分。

求该椭圆的离心率。

6. 椭圆x²/4 + y²/9 = 1上一点P到右焦点F₁的距离为b，则P点到左准线的距离是多少？7. 椭圆x²/4 + y²/9 = 1在t ∈ [0, 2π)时，x = sec t，y = ___。

求该椭圆的焦点坐标。

8. 曲线x + (m-1)y - 3my + 2m = 0表示椭圆。

求m的取值。

9. 椭圆432x² + 169y² = 上的一点A到左焦点的距离为多少？10. 椭圆x²/16 + y²/25 = 1上一点P到焦点F₂的距离为b。

求P点到左准线的距离。

11. 方程-3x² + y²sin²(2α + π/2) = 1表示椭圆。

求sin²α的取值。

12. 若λ-6x+5λy-5λλ-6 = 0表示焦点在x轴上的椭圆，则λ的值为多少？13. 椭圆259x² + 432y² = 上的一点到左焦点的距离是到右焦点的距离的4倍。

求该点的坐标。

14. 椭圆中心在原点，焦点在x轴上，两准线的距离为5。

一轮复习函数问题专项练习

四函数问题1.（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F(2,0)，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△MOF 是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点（2,21--）．答案及解析：1.（1）由△MOF 是等腰直角三角形，得c 2＝b 2＝4, a 2＝8故椭圆方程为 22184x y += ……5分（2）①若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2±≠m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,14822m kx y y x 得 ()222124280k x kmx m +++-=． ……6分则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++． ……7分=②3.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过(2,2)(6,1)M N 、两点，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点A B 、且OA OB ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由. 答案及解析：3.（1）将M N 、两点，解之228,4a b ==，则椭圆的方程为：22184x y +=（2）当圆的切线斜率k 存在时，设切线方程为y kx b =+，圆的半径为r ，切线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，则圆心到直线的距离为21b d r k==+，即222(1)b r k =+又切线与椭圆相交于两点，则有：22184y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 即为222(21)4280k x kbx b +++-=，由韦达定理有：12221224212821kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩又OA OB ⊥，则2212121212(1)()x x y y k x x kb x x b +=++++222222222(28)(1)4(21)212121b k b k b k k k k -++=-++++ 22222223883(1)8(1)02121b k r k k k k --+-+===++ 283r ∴=当斜率k 不存在时，切线方程为x r =，由0OA OB ⋅= 可知283r =综上所述，存在这样的圆，且圆的方程为228=3x y +4.（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60 ，1F 到直线l 的距离为23. （Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果B F AF 222=,求椭圆C 的方程.答案及解析：4.（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l 的距离323, 2.c c ==故所以椭圆C 的焦距为4.（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线l 的方程为3(2).y x =-联立2222422223(2),(3)4330.1y x a b y b y b x y a b ⎧=-⎪++-=⎨+=⎪⎩得解得221222223(22)3(22),.33b a b a y y a b a b-+--==++ 因为22122,2.AF F B y y =-=所以即2222223(22)3(22)2.33b a b a a b a b+--=⋅++得223.4, 5.a a b b =-==而所以椭圆C 的方程为221.95x y += 5.（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点2(1,)2，离心率是22，12,A A 是椭圆E 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点。

高二数学椭圆专项练习题及参考答案

高二数学椭圆专项练习题及参考答案训练指要熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为A.16410022=+y xB.11006422=+y x C.1100641641002222=+=+y x y x 或 D.110818102222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)3.已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线二、填空题4.设椭圆1204522=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||＝_________.5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =_________. 三、解答题6.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥B ′F ,求椭圆的离心率.7.在面积为1的△PMN 中，tan M =21,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程.8.如图，从椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程.参考答案一、1.C 2.D 3.C 二、4.25,40||||100)2(||||562|||:|212222121=⋅⇒⎪⎭⎪⎬⎫==+==+PF PF c PF PF a PF PF 提示 ∴(|PF 1|－|PF 2|)2=100－2×40=20. ||PF 1|－|PF 2||=25. 5.1 三、6.215- 7.以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴建立坐标系，可得椭圆方程为.1315422=+y x 8.(1)22 (2)［0,2π］ (3)1255022=+y x 提示：(1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M =－c ,代入椭圆方程求得y M =ab 2,∴k OM =－,,2ab k ac b AB -= ∵OM ∥AB ,∴－c b abac b =⇒-=2 从而e =22. (2)设|QF 1|=r 1,|QF 2|=r 2,∠F 1QF 2=θ,则r 1+r 2=2a ,|F 1F 2|=2c.由余弦定理,得cos θ=212222124r r c r r -+1242)(21221221221-=--+=r r a r r c r r r r≥,01)2(2212=-+r r a 当且仅当r 1=r 2时，上式取等号. ∴0≤cos θ≤1,θ∈［0,2π］. (3)椭圆方程可化为122222=+cy c x ,又PQ ⊥AB ，∴k PQ =－.21==bak ABPQ :y =2(x －c )代入椭圆方程，得5x 2－8cx +2c 2=0.求得|PQ |=,526c F 1到PQ 的距离为d =,362c ∴.25320||2121=⇒=⋅=∆c d PQ S PQ F ∴椭圆方程为.1255022=+y x椭圆训练题：1. 椭圆19822=++y m x 的离心率21=e ，则m=__________ 2. 椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是_______________3. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，A 、B 为过F 1的直线与椭圆的两个交点，则△ABF 2的周长是____________4. 椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P 点的坐标是_______________5. 椭圆12222=+by a x 焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的任一点，M 为P F 1的中点，若P F 1的长为s ，那么OM 的长等于____________6. 过椭圆1273622=+y x 的一个焦点F 作与椭圆轴不垂直的弦AB ，AB 的垂直平分线交AB 于M ，交x 轴于N ，则FN ：AB =___________ 7. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率32=e ，长轴长是6，则椭圆的方程是____________ 8. 方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的值是______________ 9. 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________10. 椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点F 2的距离为b ，则P 点到左准线的距离是_______11. 椭圆⎪⎭⎫⎝⎛∈=+2,4,1csc sec 2222ππt t y t x ，这个椭圆的焦点坐标是__________ 12. 曲线()023122=+--+m my y m x 表示椭圆，那么m 的取值是______________13. 椭圆13422=+y x 上的一点()11,y x A ，A 点到左焦点的距离为25，则x 1=___________ 14. 椭圆()()19216122=-+-y x 的两个焦点坐标是______________15. 椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，两准线的距离是5518，焦距为52，其方程为______ 16. 椭圆上一点P 与两个焦点F 1、F 2所成的PF 1F 2中，βα=∠=∠1221,F PF F PF ，则它的离心率e=__________17. 方程142sin 322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-παy x 表示椭圆，则的取值是______________18. 若()()065562222=--+-λλλλy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则的值是________19. 椭圆192522=+y x 上不同的三点()()2211,,59,4,,y x C B y x A ⎪⎭⎫⎝⎛与焦点()0,4F 的距离成等差数列，则=+21x x ____________20. P 是椭圆192522=+y x 上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍，则P 点的坐标是_______________21. 中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过()6,2-的椭圆方程是______ 22. 在面积为1的△PMN 中，2tan ,21tan -==N M ，那么以M 、N 为焦点且过P 的椭圆方程是_____________23. 已知△ABC ，()()0,3,0,3-B A 且三边AC 、AB 、BC 的长成等差数列，则顶点C 的轨迹方程是_________24. 椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是__________ 25. 椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是____________ 26. 椭圆()112222=-+m y m x 的准线平行于x 轴，则m 的值是__________ 27. 中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是_______ 28. 椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶，则离心率等于___________29. 中心在原点，一焦点为()50,01F 的椭圆被直线23-=x y 截得的弦的中点横坐标为21，则此椭圆方程是_________ 30. 椭圆的中心为()0,0，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面积为12的三角形，两准线间的距离是225，则此椭圆方程是_____________ 31. 过点()2,3-且与椭圆369422=+y x 有相同焦点的椭圆方程是____________32. 将椭圆192522=+y x 绕其左焦点逆时针方向旋转90︒，所得椭圆方程是_______ 33. 椭圆192522=+y x 上一点M 到右准线的距离是7.5，那么M 点右焦半径是______ 34. AB 是椭圆14322=+y x 的长轴，F 1是一个焦点，过AB 的每一个十等分点作AB 的垂线，交椭圆同一侧于点P 1，P 2，P 3，，P 9，则11912111BF F P F P F P AF ++⋅⋅⋅+++的值是________35. 中心在原点，一焦点为F （0，1），长短轴长度比为t ，则此椭圆方程是__________ 36. 若方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，则k 的取值是__________37. 椭圆221123x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一点，若线段PF 1的中点在y 轴上，那么1PF ：2PF =___________ 38. 经过()()123,2,23,1M M --两点的椭圆方程是_____________39. 以椭圆的右焦点F 2（F 1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M 、N ，若直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率是___________40. 椭圆的两个焦点F 1、F 2及中心O 将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两个端点连线的夹角是__________41. 点A (),0a 到椭圆2212x y +=上的点之间的最短距离是___________ 42. 椭圆2214x y +=与圆()2221x y r -+=有公共点，则r 的取值是________ 43. 若k R ∈，直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的值是___________ 44. 设P 是椭圆上一点，两个焦点F 1、F 2，如果00211275,15PF F PF F ∠=∠=，则离心率等于__________45. P 是椭圆22143x y +=上任一点，两个焦点F 1、F 2，那么12F PF ∠的最大值是_______ 46. 椭圆2244x y +=长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积是__________47. 椭圆长轴长为6，焦距42，过焦点F 1作一倾角为的直线交椭圆于M 、N 两点，当MN 等于短轴长时，的值是_______48. 设椭圆22143x y +=的长轴两端点A 、B ，点P 在椭圆上，那么直线PA 与PB 的斜率之积是__________49. 倾斜角为4π的直线与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是______________50. 已知点A （0，1）是椭圆上的一点，P 是椭圆上任一点，当弦长AP 取最大值时，点P的坐标是_____________1. 544-或 2. 1y =± 3. 20 4. ()()0,0,b b -或 5. 2sa - 6. 1:4 7. 2222119559x y x y +=+=或 8.9252m <<9.10.11. (0, 12. ()1,+∞ 13. 114. ()()1,115.22194x y+= 16. cos2cos2αβαβ+- 17.()37,,88k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭18.)19. 820. 1515,44⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭或21.222211148371352x y x y +=+=或 22. 2241153x y += 23. 2213627x y += 24. 53或25. 26. 102m m <≠且 27. 22143x y +=28. 29.2212575x y += 30. 222211259925x y x y +=+=或 31.2211510x y += 32. ()()22441925x y +-+= 33. 634. 2035.222221111x y t t t +=-- 36. ()0,1 37. 7 38. 221155x y +=39.1 40.2π41. a a +42. 3⎤⎥⎣⎦ 43. m ≥1且m ≠544.3 45. 60︒ 46. 162547. 566ππ或 48. 34-49. 1,4y x x ⎛⎫⎛=-∈ ⎪⎝⎝⎭50. 133⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号填入题后的括号内．1．椭圆3m 2y mx 222++＝１的准线平行于x 轴，则实数m 的取值范围是（）A ．－１＜m ＜３B ．－23＜m ＜3且m ≠0C ．－１＜m ＜３且m ≠0D ．m ＜－1且m ≠02． a 、b 、c 、p 分别表示椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、焦点到相应准线的距离，则它们的关系是（）A ．p=22a bB ．p=ba 2C ．p=ca 2D ．p=cb 23．短轴长为5，离心率为32的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B两点，则ΔABF 2的周长为（）A ．24B ．12C ．6D ．34．下列命题是真命题的是（）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线x=ca 2和定F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(-c ，0)和定直线x=-ca 2的距离之比为ac(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线x=ca 2和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a>c>0)的点的轨迹是椭圆5．P 是椭圆4x 2+3y 2=1上任意一点，F 1、F 2是焦点，那么∠F 1PF 2的最大值是（）A ．600B ．300C ．1200D ．906．椭圆22b 4x +22b y =1上一点P 到右准线的距离是23b ，则该点到椭圆左焦点的距离是（）A ．bB ．23b C ．3b D ．2b 7．椭圆12x 2+3y 2=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段F 1P 的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍8．设椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)的两个焦点是F 1和F 2，长轴是A 1A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的点，考虑如下四个命题：①|PF 1|-|A 1F 1|=|A 1F 2|-|PF 2|； ②a-c<|PF 1|<a+c ； ③若b 越接近于a ，则离心率越接近于1； ④直线PA 1与PA 2的斜率之积等于-22a b ．其中正确的命题是（）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①④9．过点Ｍ（－２，０）的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于Ｐ１、Ｐ２两点，线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｐ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线ＯＰ的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（） A ．２B ．－２C ．21D ．－2110．已知椭圆22a x +22by =1(a>b>0)的两顶点A(a ，0)、B(0，b)，右焦点为F ，且F 到直线AB的距离等于F 到原点的距离，则椭圆的离心率e 满足（）A ．0<e<22B ．22<e<1C ． 0<e<2-1D ．2-1<e<111．设Ｆ１、Ｆ２是椭圆2222b y ax +＝１（a ＞b ＞0）的两个焦点，以Ｆ１为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为Ｍ，若直线Ｆ２Ｍ与圆Ｆ１相切，则该椭圆的离心率是（）A ．２－3B ．3－１C ．23 D ．2212．在椭圆4x 2+3y 2=1内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是` （）A ．25B ．27 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最简结果填入题中的横线上． 13．椭圆3x 2+ky 2=1的离心率是2x 2-11x+5=0的根，则k= ．14．如图，∠ＯＦＢ＝6π，ＳΔＡＢＦ＝２－3，则以ＯＡ为长半轴，ＯＢ为短半轴，Ｆ为一个焦点的椭圆的标准方程为．15．过椭圆3y 2x 22+＝１的下焦点，且与圆x 2＋y 2－3x ＋y ＋23＝0相切的直线的斜率是． 16．过椭圆9x 2+5y 2=1的左焦点作一条长为12的弦AB ，将椭圆绕其左准线旋转一周，则弦AB 扫过的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 17．（本小题满分12分）已知A 、B 为椭圆22a x +22a 9y 25=1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．18．（本小题满分12分）设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，并且椭圆与圆x 2+y 2-4x-2y+25=0交于A 、B 两点，若线段AB 的长等于圆的直径．（1）求直线AB 的方程；（2）求椭圆的方程． 19．（本小题满分12分）已知9x 2+5y 2=1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x+y-6=0上找一点M ，求以F 1、F 2为焦点，通过点M 且长轴最短的椭圆方程．20．（本小题满分12分）一条变动的直线l 与椭圆4x 2+2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是l 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线l 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．21．（本小题满分12分）设椭圆22a x +22by =1的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 1、A 2．（1） P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=600，求ΔF 1PF 2的面积；（2）若椭圆上存在一点Q ，使∠A 1QA 2=1200，求椭圆离心率e 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为３．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y ＝kx ＋m （k ≠0）相交于不同的两点Ｍ、Ｎ，当｜ＡＭ｜＝｜ＡＮ｜时，求m 的取值范围．椭圆训练试卷参考答案一、B D C D A A A A ＤC B C 二、13．4或4914．12y 8x 22=+15．5623±16．18π三、17．解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由焦点半径公式有a-ex 1+a-ex 2=58a ，∴x 1+x 2=21a(∵e=54)，即AB中点横坐标为41a ，又左准线方程为x=-45a ，∴41a+45a=23，即a=1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．18．解：（1）直线AB 的方程为y=-21x+2；（2）所求椭圆的方程为12x 2+3y 2=1． 19．解：由9x2+5y 2=1，得F 1（2，0），F 2（-2，0），F 1关于直线l 的对称点F 1/（6，4），连F 1/F 2交l 于一点，即为所求的点M ，∴2a=|MF 1|+|MF 2|=|F 1/F 2|=45，∴a=25，又c=2，∴b 2=16，故所求椭圆方程为20x 2+16y 2=1．20．解：设动点M(x ，y)，动直线l ：y=x+m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=04y 2x ,m x y 22的解，消去y ，得3x 2+4mx+2m 2-4=0，其Δ=16m 2-12(2m 2-4)>0，∴-6<m<6，x 1+x 2=-3m4， x 1x 2=34m 22-，故|MP|=2|x-x 1|，|MQ|=2|x-x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x-x 1||x-x 2|=1，也即|x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2|=1，于是有|x 2+3mx 4+34m 22-|=1．∵m=y -x ，∴|x 2+2y 2-4|=3．由x 2+2y 2-4=3，得椭圆7x 2+7y 22=1夹在直线y=x ±6间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2-4=-3，得椭圆x 2+2y 2=1．21．解：（1）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S 21F PF ∆=21r 1r 2sin∠F 1PF 2，由r 1+r 2=2a ， 4c 2=r 12+r 22-2cos∠F 1PF 2，得r 1r 2=212PF F cos 1b 2∠+．代入面积公式，得 S 21F PF ∆=2121PF F cos 1PF F sin ∠+∠b 2=b 2tg∠2PF F 21=33b 2．（2）设∠A 1QB=α，∠A 2QB=β，点Q(x 0，y 0)(0<y 0<b)．tgθ=tg(α+β)=βα-β+αtg tg 1tg tg =22020000y x a 1y x a y x a --++-=220200a y x ay 2-+．∵220a x +220b y =1，∴x 02=a 2-22ba -y 02．∴tgθ=202220y b b a ay 2-- =022y c ab 2-=-3．∴2ab 2≤3c 2y 0≤3c 2b ，即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0，∴3e 4+4e 2-4≥0，解之得e 2≥32，∴36≤e<1为所求．22．解：（1）用待定系数法．椭圆方程为22y 3x +＝１．（2）设Ｐ为弦ＭＮ的中点．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1y 3x ,m kx y 22得（3k 2＋1）x 2＋6kmx ＋3（m 2－1）＝0．由Δ＞０，得m 2＜3k2＋1 ①，∴x P ＝1k 3mk 32x x 2N M +-=+，从而，y P ＝kx p ＋m ＝1k 3m 2+．∴k AP ＝km 31k 3m 2++-．由ＭＮ⊥ＡＰ，得 km 31k 3m 2++-＝－k 1，即2m ＝3k 2＋1 ②．将②代入①，得2m ＞m 2，解得０＜m ＜2．由②得k 2＝31m 2-＞０．解得m ＞21．故所求m 的取值范围为（21，２）．。

椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

2.［链接苏教选必一P88—P89知识］椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，若，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用，，表示，利用，，自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或（舍去）.故选C.

高二数学椭圆专项练习题及参考答案[001]

高考数学蒙日圆问题专项练习讲解

高考数学蒙日圆问题专项练习讲解一、解答题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为).（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）22194x y +=；（2）220013x y +=. 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =−，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =−+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =−以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知5533a a =⇒=，且有，即2235b −=，解得2b =，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x −=−，即()00y kx y kx =+−，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =−，将直线()00y kx y kx =+−的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++−+−−=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=−−⨯+−−=⎣⎦⎣⎦，化简得()2200940y kx k −−−=，即()()22200009240x k kx y y −−+−=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()2220009240x k kx y y −−+−=的两根，则201220419y k k x −==−−，化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上. 综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.2．给定椭圆C ：22221x y a b+= (a >b >0)，称圆心在原点OC 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F，0)，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）若点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交“准圆”于点M ，N .证明：l 1⊥l 2，且线段MN 的长为定值．【答案】（1）椭圆方程为2213x y +=，“准圆”方程为x 2＋y 2＝4；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知c a ==C 的方程和其“准圆”方程；（2）①当直线l 1，l 2中有一条斜率不存在时，分别求出l 1和l 2，验证命题成立；②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中22004x y +=，联立过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由Δ＝0化简整理，可证得l 1⊥l 2；进而得出线段MN 为“准圆”x 2＋y 2＝4的直径，即线段MN 的长为定值．【详解】（1）∵椭圆C的一个焦点为)F其短轴上的一个端点到F∴c a ==∴1b ==，∴椭圆方程为2213x y +=，∴“准圆”方程为x 2＋y 2＝4.（2）证明：①当直线l 1，l 2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l 1斜率不存在，则l 1：x ＝当l 1：xl 1与“准圆”交于点1)，1)，此时l 2为y ＝1(或y ＝－1)，显然直线l 1，l 2垂直；同理可证当l 1：xl 1，l 2垂直． ②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中22004x y +=. 设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为 y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由()002213y t x x y x y ⎧=−+⎪⎨+=⎪⎩得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0. 由Δ＝0化简整理，得(3－20x )t 2＋2x 0y 0t ＋1－20y ＝0， ∵22004x y +=，∴有(3－20x )t 2＋2x 0y 0t ＋(20x －3)＝0. 设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－20x )t 2＋2x 0y 0t ＋(20x －3)＝0， ∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1⊥l 2.∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆”于点M ，N ，且l 1，l 2垂直． ∴线段MN 为“准圆”x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4， ∴线段MN 的长为定值．【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下： 1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式；2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解；3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证；4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为0，也可先猜再证；5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解．3．给定椭圆 C : 22221x y a b+=(0)a b >> C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ，其短轴上的一个端点到 F 1 （1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l 1、l 2，使得 l 1、l 2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l 1、l 2的位置关系，并说明理由.【答案】（1）椭圆方程：2213x y +=；伴随圆方程： x 2+ y 2= 1 ；（2）（3）垂直，（斜率乘积为 −1 ，分斜率存在与否）【分析】（1）直接由椭圆C 的一个焦点为)1F ，其短轴上的一个端点到F 1C 的方程及其“伴随圆”方程；（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN 的长；（3）先对直线l 1，l 2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点进行求解即可证：l 1⊥l 2．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）．【详解】解：（1）因为c a ==b ＝1所以椭圆的方程为2213x y +=，伴随圆的方程为x 2+y 2＝4．（2）设直线l 的方程y ＝x +b ，由2213y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+6bx +3b 2﹣3＝0 由△＝（6b ）2﹣16（3b 2﹣3）＝0得b 2＝4 圆心到直线l的距离为d ==所以MN =（3）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x = 当l 1方程为x =l 1与伴随圆交于点))1−，此时经过点)1)−且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1（或y ＝﹣1），即l 2为y ＝1（或y ＝﹣1），显然直线l 1，l 2垂直；同理可证l 1方程为x =l 1，l 2垂直．②当l 1，l 2都有斜率时，设点P （x 0，y 0），其中x 02+y 02＝4，设经过点P （x 0，y 0），与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝k （x ﹣x 0）+y 0，由()002213y kx y kx x y ⎧=+−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到x 2+3（kx +（y 0﹣kx 0））2﹣3＝0，即（1+3k 2）x 2+6k （y 0﹣kx 0）x +3（y 0﹣kx 0）2﹣3＝0， △＝[6k （y 0﹣kx 0）]2﹣4•（1+3k 2）[3（y 0﹣kx 0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +1﹣y 02＝0，因为x 02+y 02＝4，所以有（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +（x 02﹣3）＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，因为l 1，l 2与椭圆都只有一个公共点，所以k 1，k 2满足方程（3﹣x 02）k 2+2x 0y 0k +（x 02﹣3）＝0，因而k 1•k 2＝﹣1，即l 1，l 2垂直．【点睛】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．4．已知抛物线1C ：22y px =（0p >），圆2C ：222(1)x y r −+=（0r >），抛物线1C 上的点到其准线的距离的最小值为14.（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）如图，点0(2,)P y 是抛物线1C 在第一象限内一点，过点P 作圆2C 的两条切线分别交抛物线1C 于点A ，B （A ，B 异于点P ），问是否存在圆2C 使AB 恰为其切线？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1C 的方程为2y x =，准线方程为14x =−.（2）存在，12r =【分析】（1）由124p =得到p 即可；（2）设()211,A y y ，利用点斜式得到P A的的方程为(110x y y −+=，由2(1,0)C 到P A 的距离为半径可得())22221121130ryr y r −+−+−=，同理())22222221130r y r y r −+−+−=，同理写出直线AB 的方程，利用点2(1,0)C 到直线AB 的距离为半径建立方程即可. 【详解】解：（1）由题意得124p =，解得12p =，所以抛物线1C 的方程为2y x =，准线方程为14x =−.（2）由（1）知，P .假设存在圆2C 使得AB 恰为其切线，设()211,A y y ，()222,B y y ，则直线P A的的方程为1(2)y x =−，即(110x y y −+=.由点2(1,0)C到P A的距离为rr =，化简，得())22221121130r y r y r−+−+−=，同理，得())22222221130r y r y r−+−+−=.所以1y，2y是方程的())222221130r y r y r−+−+−=两个不等实根，故)212212ry yr−+=−−，2122132ry yr−=−.易得直线AB的方程为()1212x y y y y y−++=，由点2(1,0)C到直线AB的距离为rr=，所以)22222222113122rrr rr r⎡⎤−⎛⎫−⎢⎥+=+−⎪−−⎢⎥⎝⎭⎣⎦，于是，()()()2222222234281r r r r r−=−+−，化简，得6424410r r r−+−=，即()()2421310r r r−−+=.经分析知，01r<<，因此r=.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想.5．已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>，点()1,e（e为椭圆C的离心率）在椭圆C上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，P 为直线2x =上任一点，过点P 椭圆C 上点处的切线为PA ，PB ，切点分别A ，B ，直线x a =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，求mn 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）3.【分析】（1）因为点()1,e 在椭圆C 上，所以22211e a b+=，然后，利用222c a b =−，c e a =，得出2222211a b a a b −+=，进而求解即可（2）设点P 的坐标为()2,t ，直线AP 的方程为()12y k x t =−+，直线BP 的方程为()22y k x t =−+，分别联立方程：()221122x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=−+⎩和12212212k k t t k k +=⎧⎪⎨−=⎪⎩，利用韦达定理，再利用)12m k t =+，)22n k t =+，即可求出mn 的值【详解】（1）由椭圆Ca =因为点()1,e 在椭圆C 上，所以22211e a b+=.又因为222c a b =−，c e a =，所以2222211a b a a b−+=，所以1b =−（舍）或1b =.故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设点P 的坐标为()2,t ，直线AP 的方程为()12y k x t =−+，直线BP 的方程为()22y k x t =−+.据()221122x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=−+⎩得()()()222111121422220k x k t k x t k ++−+−−=. 据题意，得()()()222211111624212220k t k k t k ⎡⎤−−+−−=⎣⎦，得22112410k tk t −+−=，同理，得22222410k tk t −+−=，所以12212212k k t t k k +=⎧⎪⎨−=⎪⎩.又可求，得)12m k t =+，)22n k t =+，所以))1222mn k t k t ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()2121262k k k k t t =−+++(())2223122t t t =−−++3=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题6．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线P A ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S △P AB ，S △PCD 分别是△P AB ，△PCD 的面积，试问：PAB PCDSS是否有最小值若有，求出最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1) 抛物线2C 的标准方程为24y x =,椭圆1C 的方程为:22143x y +=,(2)①证明见解析,②有,最小值为43【分析】 (1)利用12p=可得抛物线的标准方程,根据1c =和点P 在椭圆上列方程组可求得2a 和2b ,从而可得标准方程;(2)①利用△=0以及韦达定理可得结论;②先求出直线过定点(1,0),将问题转化为PAB PCD S S 1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,即求||||AB CD 得最小值,当直线AB 的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出||AB 和||CD ,然后求比值,此时大于43,当直线AB 的斜率不存在时,直接求出||AB 和||CD 可得比值为43.从而可得结论.【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t −,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x −=+,由2(1)4y t k x y x−=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k −++=, 由△=244()4(4)0tkk−−+=,得210k tk +−=, 则121k k =−.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x −−=−−,所以211222122(1)11k k y y x k k −−=−−, 即122(1)y x k k =−−+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =−, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=−⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k −++=, 0k ≠时,△0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +−+−=,△0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCDk S k k Sk+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43. 【点睛】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题.7．已知椭圆C 的方程为2212x y +=.（1）设(,)M M M x y 是椭圆C 上的点，证明：直线12M M x xy y +=与椭圆C 有且只有一个公共点；（2）过点N 作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A ､B ，点N 在直线AB 上的射影为点Q ，求点Q 的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l 与2l 相交于点P ，且1l ､2l 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）2(,33Q ；（3）223x y +=. 【分析】（1）当0M y =时，符合题意；当0My ≠时，联立直线与椭圆的方程，得判别式为0，从而方程组只有一组解，进而可得答案；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得出A ，B的坐标满足直线方程 21x +=，推出直线AB的方程为21x=，联立NQ 的方程解得Q 点坐标；（3）设()00,P x y ，分两种情况：当直线1l 与2l 有一条斜率不存在时，当直线1l 与2l 有一条斜率存在时，讨论点P 的轨迹，即可得出答案. 【详解】（1）当0M y =时，M x =12M M x xy y +=，即直线x =C 只有一个公共点.当0M y ≠时，由221212M M x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222211)1024M M M M Mx x x x y y y +−+−=（，2222422222114()(1)24M M M M M M M M x x y x y y y y −++∆=−+−=，又2212M M x y +=， ∴有0∆=，从而方程组只有一组解，直线12M M x xy y +=与椭圆C 的有且只有一个公共点. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y .由（1）知两条直线为1112x x y y +=，2212x xy y +=，又N 是它们的交点，∴1112x =，2212x =，从而有11(,)A x y ，22(,)B x y的坐标满足直线方程12x=，所以直线AB：12x+=. 直线NQ的方程为1)y x =−，由121)x y x ⎧=⎪⎨⎪=−⎩解得23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,33Q ，（3）设00(,)P x y .当直线1l 与2l有一条斜率不存在时，(1)P ±，22003x y +=. 当直线1l 与2l 的斜率都存在时，设为1k 和2k ，由0022()12y y k x x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222000000(12)4()2(21)0k x k y kx x k x y kx y ++−++−−=，由22222000000[4()]4(12)2(21)0k y kx k k x y kx y ∆=−−⋅+⋅⋅+−−=，整理得2220000(2)210x k x y k y −++−=，202x ≠，1k 和2k 是这个方程的两个根，∴有20122112y k k x −==−−，得22003x y +=，所以点P 的轨迹方程是223x y +=. 【点睛】关键点点睛：解决第一问主要是通过联立直线与椭圆所构成的方程组有一个解；解决第二问主要是通过第一问中的结论得出AB 的方程；解决第三问主要是依据两直线的关系得到2122112y k k x −==−−. 8．已知椭圆()2222:10x y O a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若PAB △面积的最大值为O 的离心率为12. （1）求椭圆O 的标准方程；（2）过B 点作圆E ：()2222x y r +−=，()02r <<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线CD 恒过定点()14,0. 【分析】（1）首先列出关于,,a b c 的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点()2,0B 的切线方程，利用d r =，得到关于斜率k 的一元二次方程，得到根与系数的关系121k k =，再与椭圆方程联立求得点,C D 的坐标，写出直线CD 的斜率，并写出直线CD 的方程，说明直线过定点.【详解】（1）由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，PABS最大，此时122PABS ab ab =⨯==△222122ab c a a a b c ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪−=⎪⎩，b =1c =， ∴椭圆O 的标准方程为22143x y +=.（2）设过点()2,0B 与圆E 相切的直线方程为()2y k x =−，即20kx y k −−=， ∵直线与圆E ：()2222x y r +−=相切，∴d r ==，即得()2224840r k k r −++−=.设两切线的斜率分别为1k ，()212k k k ≠，则121k k =，设()11,C x y ，()22,D x y ，由()()12222221112341616120143y k x k x k x k x y ⎧=−⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩， ∴211211612234k x k −=+，即211218634k x k −=+，∴11211234k y k −=+；同理：22212222186863443k k x k k −−==++，212222112123443k k y k k −−==++； ∴()112221111222112112211121243348686414334CDk k y y k k k k k k x x k k k −−−−++===−−−+−++， ∴直线CD 的方程为()21112221111286343441k k k y x k k k ⎛⎫−+=− ⎪ ⎪+++⎝⎭. 整理得()()()()111222111714412141k k k y x x k k k =−=−+++，∴直线CD 恒过定点()14,0. 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2：22x a＋22y b ＝1(a >b >0)，C 2与C 1∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值； ②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．【答案】(1)28x ＋22y ＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析【分析】(1)根据已知条件，求出a ，b 的值，得到椭圆C 2的标准方程．(2)①对直线OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，并与椭圆C 1的方程联立，解得点A 横坐标，同理求得点P 横坐标，再通过弦长公式，求出PAPB的表达式，化简整理得到定值．②设P (x 0，y 0)，写出直线l 1的方程，并与椭圆C 1联立，得到关于x 的一元二次方程，根据直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得2201(4)x k −－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理得到2202(4)x k −－2x 0y 0k 2＋20y －1＝0，从而说明k 1，k 2是关于k 的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．【详解】(1)设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝1b=b因此椭圆C 2的标准方程为28x ＋22y ＝1.(2)①1°当直线OP 斜率不存在时， P A1，PB1，则PA PB＝3－. 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4，所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．所以222P A x x =，由题意，x P 与x A 同号，所以x Px A ，从而PA PB ＝p A p B x x x x −−＝p A p A x x x x −+3－所以PAPB＝3－为定值． ②设P (x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0，记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(421k ＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t )2－4(421k ＋1)(4t 2－4)＝0，即421k －t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整理得，2201(4)x k −－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理可得，2202(4)x k −－2x 0y 0k 2＋20y －1＝0，所以k 1，k 2为关于k 的方程(20x－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 2－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝202014y x −−. 又点在P (x 0，y 0)椭圆C 2：28x ＋22y ＝1上，所以2200124y x =−，所以k 1·k 2＝20201211444x x −−=−−为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，椭圆中的定值问题，一种方法是直接计算，即由直线与椭圆相交求出交点坐标，求出直线斜率等，然后计算题中要证定值的量即可得，一种不直接计算，像本题（2）②中通过直线与椭圆相切，得出两直线斜率满足的关系式，从而确定这两个斜率是某个二次方程的根，由韦达定理直接得证，即建立参数之间的联系，然后推导出定值．10．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆()(222:30M x y rr −+=<≤的两条切线PA PB 、，切线PA PB 、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围. 【答案】（1）24y x =（2）见解析【分析】（1）由题意确定p 的值即可确定抛物线方程；（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得12,k k 是方程()2224840r k k r −−+−=的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点D 的横坐标()()201212223x k k k k =+−+− .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可. 【详解】（1）由抛物线定义,得02pPF x =+，由题意得： 00022240p x x px p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解得021p x =⎧⎨=⎩ 所以，抛物线的方程为24y x =.（2）由题意知，过P 引圆()2223(0x y r r −+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为()112y k x =−+，则圆心M 到切线PA的距离d r ==，整理得，()222114840r k k r −−+−=.设切线PB 的方程为()212y k x =−+,同理可得()222224840r k k r −−+−=.所以，12,k k 是方程()2224840r k k r −−+−=的两根，121228,14k k k k r +==−. 设()11,A x y ，()22,B x y 由()12124y k x y x ⎧=−+⎨=⎩得，2114480k y y k −−+=，由韦达定理知，111842k y k −=，所以11211424242k y k k k −==−=−，同理可得2142y k =−. 设点D 的横坐标为0x ，则()()22222112124242288k k x x y yx −+−++===()()()()22212121212221223k k k k k k k k =+−++=+−+− .设12t k k =+，则[)284,24t r =∈−−−，所以，20223x t t =−−，对称轴122t =>−，所以0937x <≤【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．如图，已知00(,)M x y 是椭圆C :13622=+y x 上的任一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y −+−=作两条切线，分别交椭圆于点P 、Q ．（1）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；（2）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）22OP OQ +为定值9．【解析】试题分析：（1）设直线OQ OP ,的直线方程分别为1y k x =、2y k x =，由圆心到直线的距离等于半径可以得到022)2(201002120=−+−−y k y x k x 、022)2(202002220=−+−−y k y x k x ，由此可得21k k 、是方程022)2(2000220=−+−−y k y x k x 的两个不相等的实数根,由违达定理可知22202021−−=x y k k ，由点M 在椭圆上可得201220111222x k k x −==−−；（2）分直线OP 与直线OQ 与椭圆方程联立，可得222111216(1)12k x y k ++=+，222222226(1)12k x y k ++=+，直接计算22OP OQ +，并将1212k k =−代入表达式即可得到22OP OQ +的和为定值．试题解析：（1）因为直线OP ：1y k x =以及OQ ：2y k x =与圆M 相切，所以21||21001=+−ky x k ,化简得：022)2(201002120=−+−−y k y x k x 同理：022)2(202002220=−+−−y k y x k x ，所以，20122022y k k x −∴⋅=−因为点00(,)M x y 在椭圆C 上，所以2200163x y +=，即2200132y x =−，所以21220111222x k k x −==−− ．（2）22OP OQ +是定值，定值为9．理由如下：法一：（i ）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时,设),(,),(2211y x Q y x P ,联立122,1,63y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得21212211216,126.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 所以222111216(1)12k x y k ++=+，同理，得222222226(1)12k x y k ++=+，由1212k k =−，所以2222221122OP OQ x y x y +=+++221222126(1)6(1)1212k k k k ++=+++2211221116(1())6(1)211212()2k k k k +−+=+++−212191812k k +=+9= （ii ）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时,显然有22OP OQ +9=，综上：22OP OQ +9=法二：（i ）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时,设),(,),(2211y x Q y x P , 因为1212k k =−，所以2222121214y y x x =，因为),(,),(2211y x Q y x P 在椭圆C 上，所以22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即 22112222132132y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，所以22221212111(3)(3)224x x x x −−=，整理得22126x x +=，所以222212121133322y y x x ⎛⎫⎛⎫+=−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22OP OQ +9=．（ii ）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时,显然有22OP OQ +9=，综上：22OP OQ +9=．考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与圆的位置关系；3．直线与椭圆的位置关系． 12．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +−=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点．（1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若直线MN的斜率为P 的坐标．【答案】（1）抛物线E 的方程为2x y =，焦点坐标为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y =−；（2)或13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）将点()1,1代入抛物线方程，可求出抛物线E 的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程；（2）设()211,M x x ，()222,N x x ，可表示出直线PM 及PN 的斜率的表达式，进而可表示出两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得1x ，2x 满足方程()2220001230x x x x x −++−=，从而得到0122021x x x x −+=−，又直线MN的斜率为12x x +=，可求出0x 的值，即可求出点P 的坐标. 【详解】（1）将点()1,1代入抛物线方程得，12p =，所以抛物线E 的方程为2x y =，焦点坐标为：10,4⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14y =−．（2）由题意知，200y x =，设()211,M x x ，()222,N x x ，则直线PM 的斜率为22010101PMx x k x x x x −==+−，同理，直线PN 的斜率为02x x +，直线MN 的斜率为22121212x x x x x x −=−+，故12x x +=，于是直线PM 的方程为()()20010y x x x x x −=+−，即()01100x x y x x x +−−=，1=，即()222010101230x x x x x −++−=，同理，直线PN 的方程为()02200x x x y x x +−−=，可得()222020201230x x x x x −++−=，故1x ，2x 是方程()2220001230x x x x x −++−=的两根．故0122021x x x x −+=−，即02021x x −=−20020x =−，解得0=x3−．当0=x 时，03y =；当03x =−时，13y =．故点P的坐标为)或13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。

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1.已知方程22121x y m m +=-表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围为 ( )(A)(0,1) (B)1(,)2+∞(C) 1(0,)2 (D) 1(,1)22.设F 1，F 2是椭圆E ：2222=1x y a b + (a>b>0)的左、右焦点，P 为直线3x=2a 上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A 、25-B 、25C 、1-D 、1 4.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为(A)12(B)22 (C) 32 (D)33 5.已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 为C 上一点，若PF 1⊥PF 2，，则C 的离心率为 A 3B ．23 C 5D 6~6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(2,0)F -，离心率为63。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点， T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 。

当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积。

7.已知抛物线24y x =的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C 过点21,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点T )0,2(，过点F2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，且22F A F B λ=，若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值范围.8.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．、9.如图，椭圆C ：12222=+b y a x 的顶点为1A ,2A ,1B ,2B ,焦点为1F ，2F ，711=B A ，平行四边形A 1B 1A 2B 2的面积是平行四边形B 1F 1B 2F 2的面积2倍。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点，与椭圆相交于A ，B 两点的直线，1=OP ，是否存在上述直线l 使1=•PB AP 成立若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

第21题图10.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程； K]（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（-a ，0），点Q （0，0y ）在线段AB的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值.11.（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为，过点F ，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点M （0，2）作直线A B 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值；/（Ⅲ）设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．12.（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其右顶点A(2，0)，离心率e = (I)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点M,N(M,N 不与左、右顶点重合），且0MA NA ⋅=．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．13.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2H 在椭圆上。

（1）求椭圆方程；（2）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值如果是，求出定值，如不是，说明理由。

14.（本小题13分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)的距离之比为，并记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．15.（满分12分）已知椭圆22:14x G y +=，过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.16.（本题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，右焦点2(,0)F c 到上顶点的距离为2，若2a =.,（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，求证：向量PQ 与AM 共线.17.（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4(1)求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N两点，且MN =l 的方程.18.（本小题满分12分）已知圆(222:M x y r += (0)r >,若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M 的圆心，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于,A B 两点，与圆M 分别交于,G H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 的半径r 的取值范围．19.（本小题8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点E 在椭圆C 上，且11212414,,33EF F F EF EF ⊥==。

(I)求椭圆C 的方程；(II)直线l 过点P(-2,1)，交椭圆C 于A 、B 两点，且点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程 20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率为23,椭圆C 过点1(2． ,（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,P m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点,记(AOB O ∆为坐标原点)的面积为AOB S ∆,将AOB S ∆表示为m 的函数，并求AOB S ∆的最大值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:()l x m m R =∈,四点(3,1),(3,1),(---中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥.证明直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标．22.(本题满分12分) 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为 4=x . (1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA,PB,PM 的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得321k k k λ=+若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.23.设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 .￥24.已知斜率为1的直线l 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点和上顶点，则该椭圆的离心率为_________．25.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则___________.b =试卷答案'6.（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，]△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ 是平行四边形， ∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m ﹣y2）， ∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ 的面积S=═=2．略7.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，略 ~8.解：（Ⅰ）依题意，得2a =，3c e a ==1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ．（Ⅱ）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -，不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=．（*）由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=．（Ⅲ）设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(01010x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=，同理：101001y y y x y x x S ++=，`故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．略9.(1) 72211=+=b a B A又∵112211222A B A B B F B F SS=c a 2=⇒3,422==∴b a 134:22=+∴y x C 椭圆…………………………………………4分（2）假设存在①若直线l 的斜率存在，设m kx y l +=: ,1111222+=⇒=+∴=k m c m …………………………………………6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得()0124843222=-+++m kmx x k 设()()2211,,,y x B y x A ，则222122143124,438k m x x k km x x +-=+-=+11==•()()10012=-++=•+•+•+=+•+=•∴02121=+∴y y x x …………………………………………10分 ()()()()()0438124101222222221212=++--+⇒=++++∴k m m k m k m x x km x x k将122+=k m 代入化简得0)1(52=+-k 矛盾∴此时，直线l 不存在 …………………………………………12分②当l 垂直于x1=的直线为1±=x 当x=1时，()0,123-,123,1P B A ，，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛，149≠=•∴PB AP 当x=-1时，同理可得1≠•∴ ￥综上，不存在直线l 使1=•PB AP 成立 …………………………………………14分 10.（Ⅰ）解：由e c a ==， ……………… 1分得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b = ……………… 2分由题意可知，1224,22a b ab ⨯⨯==即 ……………… 3分解方程组22a bab =⎧⎨=⎩ 得：2,1a b ==所以椭圆的方程为：2214x y +=……………… 4分（Ⅱ）解：由（1）可知A （-2,0）．设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率显然所在，设为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =+, …………… 5分于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组消去y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-= ……………… 6分。