空间两点间距离公式评课
空间两点间的距离公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
所以 M2M3 = M3M1 ,
原结论成立.
【变式练习】
1.求下列两点旳距离
(1)A(2,3,5),B(3,1,4); (2)A(6,0,1),B(3,5,7).
答案： (1) 6
(2) 70
例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)
4.3.2 空间两点间旳距离公式
2023年3月俄罗斯空军特技飞行表演队在我 国著名风景区张家界市天门山进行特技表演．
为了确保安全飞行，飞行员及地面指挥员们 怎样精确拟定飞机之间旳距离？
1. 在平面直角坐标系中两点间旳距离公式是什么？ | P1P2 | (x1 - x2 )2 (y1 - y2 )2
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c旳长方体旳对角线，怎么求？
d c b
a
d a2 b2 c2
一、探究：空间两点间旳距离公式
在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面旳距
离，怎么z求？
垂线段 旳长
d xOy z
O
zP
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
P2（x2，y2，z2）
z
在xOy平面上旳射影分别为 M,N,那么M,N旳坐标为M （x1，y1，0）， N（x2，y2，
O
M1 N1
P2 P1
H
M M2
N2 y
N
0）.
x
在xOy平面上, MN = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
《空间两点间的距离公式》教学设计（优质课）一、课题：《空间两点间的距离公式》二、课型：新授课三、教材分析：空间两点间的距离公式是数学中重要的知识点，本课以《高中数学》第六册为教学内容，其中包括空间两点间的距离公式的推导过程和实际应用。
四、教学目标与要求： 1. 知识目标：能够正确理解、掌握空间两点间的距离公式的推导过程及实际应用；2. 技能目标：能够运用空间两点间的距离公式解决实际问题；3. 情感态度目标：通过本节课的学习，使学生养成独立思考、勤奋学习的习惯，努力提高自己的数学水平。
五、教学重难点： 1. 教学重点：掌握空间两点间的距离公式的推导过程及实际应用； 2. 教学难点：解决实际问题时，如何正确运用空间两点间的距离公式。
六、教学准备： 1. 教学用书：《高中数学》第六册； 2. 教学辅助材料：彩色粉笔、白板笔、尺子； 3. 教学器材：投影仪、电脑等。
七、教学方法：任务型教学法八、教学过程：（一）导入： 1. 以游戏的形式，引入“空间两点间的距离公式”的概念，让学生能够体会到空间距离的含义； 2. 指出空间两点间的距离公式的重要性，引起学生的兴趣，为下文的学习做好铺垫。
（二）讲授： 1. 讲解空间两点间的距离公式的推导过程； 2. 举例说明空间两点间的距离公式的实际应用。
（三）操作： 1. 将空间两点间的距离公式在黑板上写出，让学生熟悉公式； 2. 结合实际例题，让学生练习计算空间两点间的距离。
（四）巩固： 1. 挑选部分学生来答题，检查学生掌握空间两点间的距离公式的程度； 2. 引导学生结合实际问题，利用空间两点间的距离公式解决问题。
（五）总结： 1. 总结本节课的学习内容； 2. 提醒学生要经常复习，加深印象，以便更好地理解和掌握空间两点间的距离公式。
《空间两点的距离公式》教案2新人教B版
《空间两点的距离公式》教案2（新人教
B版必修2）
空间两点间的距离公式
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4、情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于
空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答得出
问题
问题设计意图
师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学
生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，
得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让
学生有种回归感。
生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？
[2]人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：。
优质课两点间的距离公式的设计与课后反思
优质课“两点间的距离公式”的设计与课后反思
这节课是在学生学习完两直线的位置关系后的一节新课。
在复习数轴上两点间的距离是如何计算的指示后结合勾股定理的指示在平面直角坐标系中很自然地推出两点间距离公式。
公式的应用只是这节课的一部分内容，重点是放在结合前几节课的有关知识来多角度的解决问题，培养学生综合解题的能力。
如对例2提出利用两直线垂直的判定方法。
对例3提出用解析法证明，特别是例4，除用两点间的距离公式解决问题外，还可引导学生回顾初中几何解决问题的方法在相应的解析几何中该怎么处理？及时巩固前几节课所讲的两直线的位置关系。
强调知识间的相互渗透和有机联系。
“两点间的距离公式”这一个知识点的容量是比较小的，但通过这样的设计，课堂的容量及其丰富，对学生的思维进行了较高强度的训练。
整节课思路清晰，能较好的构建学生的知识网络，注重学生思维能力的培养。
采取学案的形式，让学生课上得思考延伸到课后，让课上和课后形成一个有机的学习整体。
空间两点间的距离公式 说课稿 教案 教学设计
空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法经历空间两点将距离公式的推导过程3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).例题精讲：【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.解：|AB|=6，∴，即，解得x=1或x=9.【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，在z轴上的射影与P 在z轴上的射影关于原点对称，∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离.解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y. 要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，∴P的坐标为(a-z, a-z, z)∴|PQ|==∴当时，|PQ|取得最小值，最小值为.∴异面直线间的距离为.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=P B=PC=a，求点P到平面ABC 的距离.解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）.过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心，可得H点的坐标为.∴|PH|=,∴点P到平面ABC的距离为点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式． 二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0，0，0)，A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，0，a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC ，∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x ， y ， z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z ， a-z ， z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线． 解：设点P 的坐标为(x ， y ， z)． 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1，2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组 第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0． 四．小结１．空间两点的距离公式的应用． 五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组 第3题课后记:。
高一数学 必修2教案：2.1空间两点间的距离公式 Word版含解析
空间两点间的距离公式【教学过程】导入新课我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面. 变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+-|BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=m m AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(1)教案 新人教A版必修2
课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r ，那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1， 0， -1)与P 2(4， 3， -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2，5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0，2，0)或B(0，8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4， 1， 7)和B(3， 5， -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1，-1，5)、B(3，4，4)和C(4，6，1)各点的距离相等．三．巩固练习：P练习 1、31．1382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业P练习第2，4题1．课本138P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题2．课本138课后记:。
空间两点间的距离公式 说课稿 教案 教学设计
空间两点间的距离公式【教学目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.【重点难点】教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x=1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3||||==33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案教案标题：空间两点间的距离公式教案教案目标：1. 理解空间中两点之间的距离概念；2. 学习并掌握空间两点间的距离公式；3. 运用距离公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、书籍、练习题；2. 学生准备：纸、铅笔、计算器。
教学过程：步骤一：导入新知识1. 利用投影仪或黑板绘制一个空间坐标系，引导学生回顾平面坐标系的概念和用法。
2. 引导学生思考，空间中两点之间的距离是否与平面上两点之间的距离有何不同。
步骤二：引入距离公式1. 通过教学PPT或书籍，向学生介绍空间两点间的距离公式：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
2. 解释公式中各符号的含义：(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两点的坐标，d 表示两点之间的距离。
3. 指导学生通过几个示例计算实际距离，加深对公式的理解。
步骤三：练习与巩固1. 分发练习题，让学生独立或合作完成。
2. 鼓励学生在计算过程中使用计算器，但同时要提醒他们理解公式的原理和计算步骤。
3. 收集学生的答案，进行讲评，解答学生可能存在的疑惑。
步骤四：拓展应用1. 引导学生思考，如何应用距离公式解决实际问题，例如计算两个建筑物之间的距离、飞机的飞行距离等。
2. 提供一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。
3. 鼓励学生在解决问题的过程中运用创造性思维，提出自己的解决方案。
步骤五：总结与评价1. 总结本节课所学的内容，强调空间两点间距离公式的重要性和应用价值。
2. 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续巩固和拓展所学知识。
教学延伸：1. 鼓励学生通过实际测量与计算，验证空间两点间的距离公式的准确性。
2. 引导学生探索其他空间几何问题，如点到平面的距离、线段长度等，并引入相关公式。
教学反思：本节课通过引入空间两点间的距离公式，帮助学生理解和应用该公式解决实际问题。
高中数学《空间向量的应用—距离》评课稿
《空间向量的应用—距离》评课稿
1．引课部分注重数学与生活的联系，从一幅生活场景入手引导学生从实际问题出发抽象出数学模型进行研究，培养学生数学抽象和数学建模等学科核心素养。
2．逻辑思维严谨，从物理数学两个视角为学生解释如何定义图形间距离，例子使用恰到好处，形象直观。
3．对向量基本定理的分析有深度，引导学生深入理解基本定理的本质，感悟“基”的思想，注重学科间融合，并通过类比思想开发学生想象力，培养他们探索未知领域的兴趣。
4．信息技术和课程整合恰到好处，有深度，不花哨。
其中使用Geogebra（简称GGB）展示平行六面体，极大程度帮助学生建立了几何直观。
5．课程中对几何法和向量法的比较，突出了向量法的优势所在，提炼解决问题的通性通法，注重引导学生建立解决一类问题的程序思想方法。
6．对点到点间距离，点到面的距离定义和向量法得出的过程中，充分渗透了“四基”“四能”，尤其注重对学生基本操作经验的积累，通过几何模型求距离的过程中，动手操作，自制辅助线，开发学生想象能力。
7．对点到平面距离的向量方法的得出铺垫到位，形象直观，便于学生独立发现和提炼公式。
8．该课在概念得出和方法获得上注重培养学生的化归思想，例题呼应本节课的核心。
人教B版必修二《空间两点的距离公式》教案及教学反思
人教B版必修二《空间两点的距离公式》教案及教学反思一、教学背景教材版本：人教B版必修二课时：2知识点：空间两点的距离公式教学目标：1. 了解空间两点的距离公式及其应用场景；2. 掌握计算空间两点的距离公式的方法；3. 培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容设计1. 教学重难点重点：1. 空间直角坐标系的建立；2. 空间两点的距离公式及其推导。
难点：1. 空间两点的距离公式的应用。
2. 教学过程安排1.导入环节（5分钟）老师提问：已知三维空间中两点A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)，请问这两点之间的距离用什么公式表示？有哪些应用场景？2.学习环节（30分钟）1.空间直角坐标系的建立（10分钟）（1）向学生介绍如何建立空间直角坐标系；（2）通过一个实例让学生掌握建立空间直角坐标系的方法。
2.空间两点的距离公式及其推导（20分钟）（1）让学生通过简单的公式推导，了解空间两点的距离公式的概念和意义；（2）通过例题让学生掌握计算空间两点的距离公式的方法。
3.拓展环节（15分钟）1.练习题讲解（10分钟）讲解几道相关的练习题，加深学生对空间两点的距离公式的理解和记忆。
2.应用拓展（5分钟）让学生思考一些有关空间两点的距离公式的应用场景，并提出自己的见解和思考。
4.总结环节（5分钟）老师对今天所学的知识点进行总结，并与学生共同反思。
3. 教学资源准备1.空间直角坐标系绘图工具；2.相关的例题和练习题。
三、教学反思与改进本节课面对的是空间两点的距离公式及其应用场景这一知识点，为培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力，需要让学生掌握空间直角坐标系的建立和空间两点的距离公式的计算方法。
因此，我采用了让学生亲自参与绘制空间直角坐标系和通过实例来推导和计算空间两点的距离公式的方法，能够切实提高学生的学习兴趣和课堂参与度。
在教学过程中，我发现学生对于空间直角坐标系的建立和空间点坐标的表示方法掌握不足，基础薄弱，导致后续的计算和应用难度加大，因此我在课后对学生进行了一下练习和巩固，反哺了他们的学习。
高中数学北师大版必修2 2.3 教学设计 《空间两点间的距离公式》(北师大版)
《空间两点间的距离公式》本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。
【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。
【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。
【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。
(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长.注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。
(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
（2）两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离（）（）（）注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。
（①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；（②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A(x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB|=221212()()x x y y-+-，那么对于空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成（2）空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式会是怎样呢？勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出|OP|=222x y z++.概念深化（3）如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2+ y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P1(x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：|P1P2| =222121212()()()x x y y z z-+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；教师引导学生作答1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解（2）A (6，0，1)，B(3，5，7)2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =2|CN|，|BM| =2|MC′|.求MN的长.22(01)0(2)z-++-=222(01)(03)(1)z-+++-.解得z = –3.所求点M的坐标是(0，0，–3). 3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(104)(11)(69)7AB=-+--+-=222||(42)(14)(93)7BC=-+-+-=，222||(102)(14)(63)98 AC=-+--+-=. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．解：由已知，得点N的坐标为2(,,0)33a a，点M的坐标为2(,,)33a aa，于是22222||()()(0)33335.3a a a aMN aa=-+-+-=课外练习布置作业见习案4.3的第二课时学生独立完成巩固深化所学知识备选例题例1 已知点A在y轴，点B(0，1，2)且||5AB=，则点A的坐标为.【解析】由题意设A(0，y，0)，则2(1)45y-+=，解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A(3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.【解析】由题意设P(0，y，z)，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩ 解得：11y z =⎧⎨=⎩故点P 的坐标为(0，1，1)例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩所以==即4607310y z y z --=⎧⎨+-=⎩，所以12y z =⎧⎨=-⎩，所以P 的坐标是(0，1，–2).。
4.3.2空间两点间的距离公式
《空间两点间的距离公式》教学反思空间两点间的距离公式这节课，在教学过程当中，基本有三条主线，第一条是知识的发展线，然后是老师的引导线，以及学生的应用能力培养。
因此在本节课的设计当中，以发展学生的思维为主线，引导学生自己制作学具，长方体和正方体。
尽可能体现出教师的引导作用，学生的课堂主体作用，但最终的目的是要落实到学生能运用所学过的知识来探求未学过的知识，通过自己制作学具，动手探索轻松的走出二维空间，自由的走进三维空间，头脑当中能建立起三维空间模型，建立起三维空间中的坐标系，能用学过的平面上两点间的距离公式，通过动手探索类比出三维空间中两点间的距离公式，构造出勾股定理，会求长方体、正方体的体对角对角线-----把体对角线转化到直角三角形中利用勾股定理来求。
利用两点间的距离公式来解决相关计算，进而解决实际问题。
学生在学习空间两点间的距离公式的时候，我们可以看到了他们对三维空间的的直观认识相对而言比较难了，所以他们可能碰到的第一个困难，就是引导学生用自己制造的学具通过观察类比，探索出空间两点间的距离公式，这一形成过程必须呈现出来，体现由平面到空间，由几何体再回到平面图形这一化曲为直的认知形成过程。
他们遇到的第二个困难，如何利用公式进行合理计算，并用公式解决相应实际问题。
所以在教学设计的时候，对计算题的难度要循序渐进。
因此，教学重点，我认为重点是学生能够理解和运用空间两点间距离公式进行计算，次重点是建立起三维空间，把三维空间中的问题通过转化变为二维空间中的问题，进而利用勾股定理进行计算。
相对应的难点是引导学生自己制作学具，动手探索轻松的走出二维空间，自由的走进三维空间，培养起三维空间的想象能力。
重难点突破方面，我主要是通过老师引导学生自己制作学具，通过自己制作学具，动手探索轻松的走出二维空间，自由的走进三维空间，能用学过平面上两点间的距离公式类比出空间上两点间的距离公式进而进行相关计算和解决一些实际问题。
清泉州阳光实验学校甘谷一中高一数学《《空间两点间的距离公式》教案
清泉州阳光实验学校甘谷一中高一数学4.3.2空间两点间的间隔公式教案(1)学习目的：〔1〕掌握空间中两点间间隔公式；〔2〕会求出空间中的点关于特殊的线和点的对称点； 〔3〕能通过建立适当的空间直角坐标系，解决一些简单的问题. 学习重点：掌握空间中两点间间隔公式． 学习难点：空间两点间间隔公式的应用． 学习过程： 一、课前准备： 阅读课本136~138P P 的内容，记下疑惑之处并考虑以下问题：1．平面直角坐标系中任一点(,)P x y 到原点O 的间隔||OP=；两点111(,)P x y 、222(,)P x y 之间的间隔12||PP=．2．平面直角坐标系中，(1,2)A -、(3,1)B -之间的间隔||AB =5．3．空间直角坐标系中，点(2,3,4)P -到x 轴的间隔是5，到y轴的间隔是，到z 轴的间隔是，到坐标平面xOy 的间隔是4，到坐标平面xOz 的间隔是3，到坐标平面yOz 的间隔是2．二、新课导学： 〔一〕自主学习：〔1〕如下列图的空间直角坐标系中，长方体1111ABCD A B C D -的顶点1(,,)B x y z ，那么①1||OB=；②点1A 的坐标是(,0,)x z ，点C 的坐标是(0,,)y z ，1||A C=；〔2〕空间直角坐标系中，1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 之间的间隔12||PP=．〔3〕空间直角坐标系中，1(2,3,5)P 、2(3,1,4)P 之间的间隔12||PP=．〔二〕典型例题：【例1】三点(1,3,2)A 、(2,0,4)B -、(8,6,8)C --，试判断C B A ,,三点的位置关系．【分析】只要证明AC BC AB =+即可【解析】利用两点间间隔公式，得||AB =||BC =、||AC =，所以||||||AB BC AC +=，所以C B A ,,三点在同一直线上．【练习】：〔1〕空间中两点1(,2,3)P x 和2(5,4,7)P 的间隔为6，那么x =．答案：1x =或者者9x =．〔2〕(2,5,6)A ，点P 在y 轴上，使7PA =，那么点P 的坐标是．答案：(0,2,0)P 或者者(0,8,0)P ．【例2】如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a，||2||BN ND =，1||2||CM MD =，求线段||MN 的长．【分析】如图，建立空间直角坐标系，再求出各个点的坐标，用空间两点间间隔公式即可得解．【解析】如下列图的坐标系中，各个点的坐标为(,0,0)B a ，(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，1(0,,)D a a因为||2||BNND =，可得点N 的坐标为2(,,0)33a a，因为1||2||CMMD =，可得点M 坐标为2(,0,)33a a ，由空间两点间间隔公式得||MN ==，所以线段||MN ．【例3】空间直角坐标系中的几种特殊的对称关系：点(1,2,3)P ，那么点P 关于 〔1〕坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,3)-； 〔2〕坐标平面xOz 对称的点的坐标为(1,2,3)-； 〔3〕坐标平面yOz 对称的点的坐标为(1,2,3)-；〔4〕x 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； 〔5〕y 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； 〔6〕z 轴对称的点的坐标为(1,2,3)--； 〔7〕原点对称的点的坐标为(1,2,3)---．三、总结提升：1．空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)Px y z 之间的间隔公式：12||PP =2．坐标法解决立体几何问题的三个步骤：〔1〕在立体几何图形中建立适当的空间直角坐标系； 〔2〕依题意确定各点的坐标； 〔3〕通过坐标运算得到答案．3．对称问题，通常对称的定义求解．一般地，点(,,)P x y z 关于坐标平面xOy 、yOz 、xOz 、的对称点坐标分别为(,,)x y z -、(,,)x y z -、(,,)x y z -；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标分别为(,,)x y z --、(,,)x y z --、(,,)x y z --；关于原点的对称点坐标为(,,)x y z ---．可简记为：x 、y 、z 中出现者不变号，不出现者变号．四、反响练习：1．点(,2,1)P x 到(1,1,2)M ，(2,1,1)N 的间隔相等，那么x =〔B 〕A ．12B ．1C ．32D ．22．点(2,3,5)A -关于坐标平面xOy 的对称点是A '，那么||AA '=〔A 〕A ．10B．383．到点(1,1,1)A ---和点(1,1,1)B 的间隔相等的点(,,P x y z A ．10x y z +++=B ．10x y z ++-=C ．0x y z ++=D ．0x y z +-=4．点(2,3,4)A -，在y 轴上求一点B ，使得||7AB =A ．(0,3B ．(0,3-或者者(0,3+C ．(0,3+D ．(0,0,3或者者(0,0,3+5．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，M 、N 别为棱1CC 、AD 的中点，求线段MN ，1C N 的长．(,,)2a M a a ，1(,,)C a a a ，(0,,0)2a N ，由空间两点间间隔公式得||MN ==，13||2a C N ==．五、学后反思：。
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空间两点间距离公式评课
毛亦飞老师这节课特点，切入点精心选择，开始就让学生思维进入兴奋状态，在接下来的教学中让学生参与了学又参与了教，学生成为了课堂教学的主人，教师调控很流畅，通过设置难度适宜的问题和不时进行巧妙点拨，学生主动参与了整个学习过程，收获肯定是全面充分的，发展了学生的空间想象能力，空间位置感(特别是运用多媒体和几何画板让学生直观的体验)，独立探索能力，坐标运算能力，等等。
学会了方法，发展了思维，形成严谨的思维习惯，是非常好的一堂示范课。