第三章 扩散

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3. 杂质浓度梯度 如果杂质按余误差函数分布，可求得杂质浓度梯度为：
Cs x2 exp(− ) x ,t = − 4 Dt πDt 由上式可知，杂质浓度梯度大小与Cs，t和D(即温度T)有关， 可以改变其中某个量使杂质浓度分布的梯度满足要求。 在pn结处的梯度为：
∂C ( x, t ) ∂x
C (0, t ) = Cs
假定杂质在硅内的扩散深度远小于硅片的厚度，则另一个边界 条件为：
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C (∞, t ) = 0
在扩散开始时，初始条件应为：
C ( x,0) = 0,
x>0
根据上述的边界条件和初始条件，可求出恒定表面源扩散的杂 质分布情况：
x x C ( x, t ) = Cs 1 − erfc = Cs erfc 2 Dt 2 Dt
( )
Cs x j = 2 Dt ln C = A Dt B
A与比值Cs/CB有关，但因为杂质浓度Cs (t)随时间变化，所 以A也随时间变化，这与恒定源扩散情况（A是常数）不同。 对于有限源扩散来说，扩散时间较短时，结深xj将随(Dt)1/2 的增加而增加。 在杂质分布形式相同的情况下，CB越大，结深越浅。
∂C ( x, t ) ∂x
xj
2C s 1 −2 CB −1 C B × erfc =− exp − erfc Cs Cs π xj
由上式可以看出，在Cs和CB一定的情况下，pn结越深，在结 处的杂质浓度梯度就越小。
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3.3.2 有限表面源扩散
一、有限表面源扩散 扩散之前在硅片表面先沉积一层杂质，在整个扩散过程中 这层杂质作为扩散的杂质源，不再有新源补充，这种扩散方式 称为有限表面源扩散。 假设扩散之前在硅片表面沉积的杂质均匀地分布在薄层h 内，每单位面积上的杂质数量为Q，如下图所示。如果杂质在 硅内要扩散的深度远大于h，则预先淀积的杂质分布可按δ函数 考虑。初始条件为：
第三章 扩散
3.1 杂质扩散机构 3.2 扩散系数与扩散方程 3.3 扩散杂质的分布 3.4 影响杂质分布的其它因素 3.5 扩散工艺 3.6 扩散工艺的发展
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扩散是微观粒子(原子、分子等)运动的普遍的物理现象。扩 散的动力是浓度的梯度，粒子从高浓度区向低浓度区进行 热运动，使浓度分布趋于均匀； 集成电路制造中的固态扩散工艺，简称扩散 扩散，是将一定数 扩散 量的某种杂质掺入到硅晶体或其他半导体晶体中去，以改 变其电学性质，并使掺入的杂质数量、分布形式和深度等 都满足要求； 扩散是向半导体掺杂的重要方法之一，扩散方法首先由 Pfann在1952年提出来，目前已广泛应用于集成电路中，形 成晶体管的基极、发射极、集电极，电阻，MOS工艺中形 成源极、漏极、互连引线等。
假设体积元内的杂质不产生也不消失，可得：
∂C ( x, t ) ∂J ( x, t ) − = ∂x ∂t
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把菲克第一定律代入上式．则得一维扩散方程
∂C ( x, t ) ∂ ∂C ( x, t ) = D ∂t ∂x ∂x
此方程就是菲克第二定律的最普遍表达式。 如果假设扩散系数D为常数，这种假设在低杂质浓度情况 下是正确的，则得：
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2. 结深 如果扩散杂质与硅衬底原有杂质的导电类型不同，在两 种杂质浓度相等处会形成p-n结。 若CB为硅衬底原有的背景杂质浓度，根据C(xj, t)=CB，得 到结的位置xj：
CB x j = 2 Dt erfc = A Dt Cs
−1
其中A是仅与CS/CB有关的常数，二者的关系如下图所示。 xj与扩散系数D和扩散时间t的平方根成正比； D与温度T是指数关系，所以在扩散过程中，温度对扩散深 度和杂质分布的影响较大。
erfc为余误差函数。
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二、恒定表面源扩散的主要特点 1. 杂质分布形式 恒定表面源扩散的杂质分布形式如图所示。 在表面浓度Cs一定的情况下，扩散时间越长，杂质扩散的 就越深，扩到硅内的杂质数量也就越多。 如果扩散时间为t，那么通过单位表面积扩散到Si片内部的 杂质数量Q(t)为： ∞ ∞ 2 x Q(t ) = ∫ C ( x, t )dx = ∫ Cs erfc C s Dt dx = 0 0 π 2 Dt 恒定源扩散，其表面杂质浓度Cs基本上由该杂质在扩散温 度(900-1200℃)下的固溶度所决定，在900-1200℃范围内， 固溶度随温度变化不大，很难通过改变温度来达到控制表 面浓度Cs的目的，这是该扩散方法的不足之处。
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3. 杂质浓度梯度 任意位置x处的杂质浓度梯度：
∂C ( x, t ) ∂ C ( x, t ) =D 2 ∂t ∂x
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3.3 扩散杂质的分布
根据实际情况下的边界条件和初始条件，求解扩散方程， 就可以得到扩散杂质的分布C(x,t)。扩散方式有两种：恒定表 面源扩散和有限表面源扩散。
3.3.1 恒定表面源扩散
一、恒定表面源扩散 整个扩散过程中，硅片表面的杂质浓度始终不变。 在恒定表面源扩散过程中，表面浓度Cs始终保持恒定，边界条 件为：
C ( x − a , t ) Pv a 2
由(x+a/2)处单位面积上跳到(x-a/2)处的粒子数目为
C ( x + a , t ) Pv a 2
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则t时刻通过x处单位面积的净粒子数（粒子流密度）为：
J ( x, t ) = C ( x − a , t ) Pv a − C ( x + a , t ) Pv a 2 2 ∂C ( x, t ) 2 = − a pv ∂x ∂C ( x, t ) = −D ∂x
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假设在小体积元∆v=∆x∆s内的杂质分布是均匀的。 在t时刻，体积元内的杂质浓度为C(x, t)，在t+∆t时刻杂质浓 度为C(x, t+∆t) 。经过∆t时间，该体积元内杂质变化量为
C ( x, t )∆s∆x − C ( x, t + ∆t )∆s∆x = −[C ( x, t + ∆t ) − C ( x, t )]∆s∆x
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对间隙杂质来说，间隙位置是势能极小位置，相邻的两个 间隙之间是势能极大位置。间隙杂质要从一个间隙位置运 动到相邻的间隙位置上，必须要越过一个势垒，势垒高度 Wi一般为0.6 ~ 1.2eV。 间隙杂质只能依靠热涨落才能获得大于Wi的能量，越过势 垒跳到近邻的间隙位置。 间隙杂质的热振动频率为ν0，根据玻尔兹曼统计分布，热 涨落获得能量大于Wi的几率正比于exp(-Wi/kT)，则得到间 隙杂质的跳跃率（每秒的跳跃次数）为：
Q , C ( x,0) = Cs (0) = h C ( x,0) = 0, x>h
0≤ x≤h
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假设杂质不蒸发，硅片厚度远大于杂质要扩散的深度。则边 界条件为：
C (∞ , t ) = 0
在上面的初始条件和边界条件下，求解扩散方程，得到有限 表面源扩散的杂质分布情况：
C ( x, t ) =
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3.2.2 扩散系数
扩散系数的推导： 首先在替位原子的势能曲线和一维扩散模型的基础上， 来推导扩散粒子流密度J(x, t)的表达式。 晶格常数为a，t时刻在(x-a/2)和(x+a/2)位置处，单位面积 上替位原子数分别为C(x-a/2, t)*a和C(x+a/2, t) *a。单位时间 内，替位原子由(x-a/2)处跳到(x+a/2处)的粒子数目为
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对替位杂质来说，在晶格位置上势能相对最低，而间隙处 是势能最高位置。 与间隙杂质相同，替位杂质要从一个格点位置运动到近邻 格点上，必须要越过一个势垒。势垒高度为Ws，如下图所 示。 替位杂质的运动比间隙杂质更为困难，首先要在近邻出现 空位，同时还要依靠热涨落获得大于势垒高度Ws的能量才 能实现替位运动。 替位杂质的跳跃率： 平衡时单位体积的空位数为：
设杂质在x和x+∆x处的扩散流密度分别为J(x,t) 和J(x+∆x,t)， x x+∆x J(x,t) J(x+∆x,t) 则在∆t时间内，通过x处和x+∆x处的杂质流量差为
J ( x + ∆x, t )∆s∆t − J ( x, t )∆s∆t = [J ( x + ∆x, t ) − J ( x, t )]∆s∆t
∂C ( x, t ) J = −D ∂x
扩散流密度 J 定义为单位时间通过单位面积的杂质(粒子)数。 11
D是扩散系数，D的单位为cm2/s。 杂质的扩散方向是使杂质浓度梯度变小。如果扩散时间足 够长，则杂质分布逐渐变得均匀。 当浓度梯度变小时，扩散减缓。 D依赖于扩散温度、杂质的类型以及杂质浓度等。
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3.1 杂质扩散机构
杂质在硅晶体中的扩散机构主要有两种：间隙式扩散和 替位式扩散。
3.1.1 间隙式扩散
间隙式杂质：存在于晶格间隙的杂质。以间隙形式存在于 间隙式杂质 硅中的杂质，主要是那些半径较小、不容易和硅原子键合 的原子。 间隙式扩散：间隙式杂质从一个间隙位置到另一个间隙位 间隙式扩散 置的运动称为间隙式扩散。 间隙式杂质在硅晶体中的扩散运动主要是间隙式扩散。
则有：
D = −a 2 pv = a 2ν 0 exp[− (Ws + Wv ) / kT ] = D0 exp(− ∆E / kT )
D0为表观扩散系数，∆E为激活能。 扩散系数由D0、∆E及温度T决定。
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3.2.3 菲克第二定律（扩散方程）
扩散方程的推导（一维扩散） 如图，沿扩散方向，从x到x+∆x，面积为∆s的一个小体积元 内的杂质数量随时间的变化情况。
n = N exp(−Wv / kT )
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其中，N是单位体积内所含的晶格数，Wv代表形成一个空位所 需要的能量。则每个格点上出现空位的几率为：
n = exp(−Wv / kT ) N
根据玻尔兹曼统计规律，替位杂质依靠热涨落跳过势垒Ws的 几率为(v0为替位杂质的热振动频率)：
ν 0 exp(−Ws / kT )
Cs (t ) = C (0, t ) =
杂质分布为：
扩散温度相同时，扩散时间越长，杂质扩散的越深，表面 浓度越低。 扩散时间相同时，扩散温度越高，杂质扩散的越深，表面 浓度下降越多。 29
x2 C ( x, t ) = Cs (t ) exp(− ) 4 Dt
πDt
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2. 结深 如果衬底中原有杂质与扩散的杂质具有不同的导电类型， 则在两种杂质浓度相等处形成p-n结，结深可由下式求出： x2 j ) C B = C x j , t = Cs (t ) exp(− 4 Dt 则结深为：
Pi = ν0 exp(−Wi / kT )
温度越高，间隙杂质的跳跃率越高，间隙式扩散越容易。
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3.1.2 替位式扩散
替位杂质：占据晶格位置的外来原子称为替位杂质。 替位杂质 替位式扩散：替位杂质从一个晶格位置扩散到另一个晶格 替位式扩散 位置。 如果替位杂质的近邻没有空位，则替位杂质要运动到近邻 晶格位置上，就必须通过互相换位才能实现。这种换位会 引起周围晶格发生很大的畸变，需要相当大的能量，因此 只有当替位杂质的近邻晶格上出现空位，替位式扩散才比 较容易发生，如下图所示。
替位杂质的跳跃率为出现空位的几率乘以跳入该空位的几率， 即：
Pv = exp(−Wv / kT ) ν 0 exp(−Ws / kT ) =ν 0 exp[−(Ws + Wv ) / kT ]
对硅中的替位杂质来说，Wv+Ws约为3~4eV。
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3.2、扩散系数与扩散方程
3.2.1 菲克第一定律
1855年，菲克(Fick)提出描述物质扩散的第一定律。 菲克第一定律：如果在一个有限的基体中杂质浓度C(x, t)存在梯 度分布，则杂质将会产生扩散运动，杂质的扩散流密度 J 正比 于杂质浓度梯度∂C/∂ x ，比例系数D定义为杂质在基体中的扩 ∂ ∂ 散系数。 扩散流密度的一维表达式为：
Q x2 exp( − ) 4 Dt πDt
式中，exp(-x2/4Dt)为高斯函数。
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二、有限表面源扩散的主要特点 1. 杂质分布形式 温度相同时，杂质的分布情况随扩散时间的变化如图所 示，有限表面源扩散在整个扩散过程中杂质数量保持不变， 各条分析曲线下面所包围的面积相等。 有限源扩散的表面杂质浓度是可以控制的，任意时刻t的 Q 表面浓度：