工程测试技术王艳颖版课后习题答案第2章

2.3答:傅里叶级数展开式。根据具体情况可选择傅里叶级数三角函数展开式和傅里叶级数复指数函数级数展开式两种形式。周期信号不可以直接进行傅里叶变换，因为周期信号不具备收敛可积的条件，其频域描述只能运用傅里叶级数展开式来描述。

2.4解：傅立叶级数的复指数形式表达式：

⋅⋅⋅±±±==

∑+∞

-∞

=,3,2,1,0;)(0n e

C t x n t

jn n

ω

式中：

所以：

幅值频谱：

相位频谱：

[]()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅

⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦

⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰⎰⎰,6,4,2;

0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12

0000

2

002002

02200

n n n A j n n A

j

e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T

t jn T t jn T

t

jn T t jn T T t jn n πππ

ππωωππωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞-∞=,7,5,3,1;2)(0

n e

n A j t x t jn n ωπ⋅

⋅⋅±±±==+=,5,3,1;22

2n n A C C C nI nR n π⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,5,3,1;2

,5,3,1;202n n n A arctg C C

arctg nR nI n πππϕ

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 2.5

令:

2)单位阶跃函数的频谱:

2.6解：方法一、

按傅氏变换的定义求解。因为x （t ）是偶函数，傅氏变换为：

20

22

222

00

2()()cos 222()cos 22

4[cos 2cos 2]

241[sin 2sin 2sin 2]2441

(cos 2(2)X f x t ftdt

A

t ftdt

A

t ftdt t ftdt A

ft ftdt ft f

f A

ft f τ

τ

ττ

τ

τ

πτ

πττ

ππτ

τπππτ

πππτπ∞

-∞=⋅ =-

- =--

=-∣-

-∣ =-

⋅

⋅⎰⎰⎰⎰

⎰

22

1)

241

(12sin 1)(2)sin ()

2

A f f c τ

τπτπτ

- =-⋅--A =2 f

j dt e e dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t

ft j t ft j t

ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(022002110

1=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-===⎰⎰⎰∞+---∞--→--→f

j dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t

ft j t ππααπαα21

lim )()(;)(lim )(0202220

2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛===⎰⎰∞+--→--→

x （t ）的幅值频谱如图(b)所示。 方法二、 利用卷积定理求解。

三角脉冲x （t ）可以看成两个等宽矩形脉冲()1x t 和()2x t 的卷积。如下图所示。

因为

()()12sin ()

22

2sin ()

22

f X f c A f X f c τπτ

τπτ

τ==⋅⋅

根据时域两函数的卷积对应频域函数的乘积：

()()()

()12122()()()

sin ()2

2X f X f X f x t x t x t A f X f c τπτ=⋅=*=

所以()2sin ()22

A

f X f c τπτ=

2.7求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |

和均方根值x rms

解：

2.8解：已知幅值X=2，频率0220.54T ππωπ

===，而在t=0时，

ω

π

πωμ2;2sin 1)(lim 000

0000=

===⎰⎰∞→T x tdt x T dt t x T

T T x 式中：()2

sin 1)(1002

00200

x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰⎰ω

x=-1，则将上述参数代入一般表达式00()sin()x t X t ωϕ=⋅+ 得012sin(0.5)t ϕ-=+

030o ϕ=-

所以()2sin(0.530)x t t =- 2.9

2.10解：(1)求采样序列

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，… (2)由计算结果及采样脉冲图形可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，产生了频率混迭，这个脉冲序列反映不出三个信号的频率特征。原因是对于

，不符合采样定理。脉冲图见下

图。