基本不等式教案第二课时

基本不等式教案第二课

时

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）

课题: §3.4

2

a b +

第2课时

授课类型：新授课

【学习目标】

1

2

a b

+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

2

2

a b

+≤

，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

2

a b

+≤

的应用 【教学难点】

2

a b

+≤

求最大值、最小值。 【板书设计】

【教学过程】

1.课题导入（知识点回扣与补偿）

1．重要不等式：

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 3.我们称

b a b

a ,2

为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数.

ab b a ab b a ≥+≥+2

222和

成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都

是实数，而后者要求a,b 都是正数。

2.讲授新课

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。

由

2

x y

+≥

可得 x y +≥2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜

2

1，其面积S ＝x （36－2x ）＝

2

1

·2x （36－2x ）≤

2

12

2236236()28x x +-=

当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,

矩形菜园的面积为xy m 218

922

x y +≤==，可得 81xy ≤

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2

归纳：（知识点的归纳应尽量引导学生大胆主动地去思考、并学会组织语言，用自己的话阐述规律性的东西）

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且

a ＋

b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4

2

M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且

ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

注意：引导、点拨、鼓动学生去尝试分析问题。

解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得

)1600

(720240000x

x l +

+= 297600

4027202400001600

2720240000=⨯⨯+=⋅

⨯+≥x

x 当.2976000,40,1600

有最小值时即l x x

x ==

因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。（评析部分的内容可以让学生来完成） 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（知识点的归纳应尽量引导学生大胆主动地去思考、并学会组织语言，用自己的话阐述规律性的东西）

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小

值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值

或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.

3.随堂练习

1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2

＋2

81

x 的值最小最小值是多少