大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷

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复变函数模拟试题(一)含答案

复变函数模拟试题试题(一)一. 填空题（每空3分，共15分） 1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=, 则.___________=z2. 导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为________________.3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段, 则⎰=cdz z .______________24. 幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径为._____________=R5. 函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数.______________]),([Re =k z z f s二. 选择题（每题3分，共15分）1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2下列函数中为解析函数的是( )(A) xyi y x 222-- (B) xyi x +2(C) )2()1(222x x y i y x +-+- (D) 33iy x +3. 设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( ).(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i xu ∂∂-∂∂4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有m个, 那么 )(=m .(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 分式线性变换zz w --=212把圆周1||=z 映射为( )(A)1||=w (B)2||=w (C) 1|1|=-w (D) 2|1|=-w三. (10分) 对于映射⎪⎭⎫⎝⎛+=z z 12ω，求出圆周4=z 的像. 四.(10分) 设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数, 且已知0),(),(22=-+-yx y x yv y x xu , 求函数)(z f .五.(10分) 设)(z f 在)1(><R R z 内解析, 且2)0(',1)0(==f f , 试计算积分dzzz f z z 221)()1(⎰=+, 并由此得出⎰xd e f 202)(2cos θθθ之值.六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成罗朗级数.七. (10分) 求一分式线性变换, 它把偏心圆环域93:{>-z z 且}168<-z 映射为同心圆环域1<<ωR , 并求非负数R 的值. 八. (10分) 用留数计算积分 ⎰+∞∞-++=32)106(x x dxI .九. (10分) 由下式定义的)(z p n 称为勒让德(Legendrc)多项式:])1([!21)(2nnn nn zdzdn z p -=,试证明)(z p n 能表示为 ⎰+--=cn nn n d z iz p ξξξπ12)(2)1(21)(其中c 是绕z 点的任一正向简单闭曲线. 特别地, 若取c 为圆周12-=-z z ξ,便可推得Laplace 公式: θθπd zz z p nzn )cos 1(1)(02⎰-+=复变函数模拟试题试题(一)答案一. 填空题 (1).2 (2).xv x u ∂∂∂∂,可微且满足.,222222xv yx u yx v xu ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂(3). 2 (4).22 (5).2)2()1(ππ+-k k二. 选择题: 1. (B) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5.(A) 三. 解: 记,,iv u iy x z +=+=ω 则映射)1(2z z +=ω相当于),(222yx iy x iy x iv u +-++=+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=)(2)(22222y x yy v yx x x u (1) 对于圆周,4||=z 其参数方程为πθθθ20sin 4cos 4≤≤⎩⎨⎧==y x代入式(1)可得其像的参数方程为πθθθ20sin 215cos 217≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==v u这表示ω平面上的椭圆.12152172222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛vu四.解:由题设可知it s yu xv i yv xu iv u iy x z zf +≡++-=++=)())(()(是z 的解析函数,则有,,xt y s y t xs ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂再由022=-+-y x yv xu 得).(22y x s --=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂x x s yt y ys x t 22 )2()1(由式(1)得⎰+-=+-=)(2)()2(y xy y dx y t ϕϕ代入式(2)得,2)(,0)('2)('2c xy t c y y x y x +-=⇒==⇒-=+-ϕϕϕ所以,2c xy t +-=函数).0()(2)()(222≠+-=⇒+-=+---=+=z zic z z f ic z ic yxi y x it s z zf 将2222))(Im(,))(Re(yx cx y z f v yx cy x z f u ++-==++-==代入所给的等式022=-+-y x yv xu 可验证所求的函数cz zic z z f ,0(,)(≠+-=为实常数).五. 解: 由高阶导数公式021||22)]'()1[(2.)()1(==+=+⎰z z z f z i dz zz f z π.8))0(')0(2(2i f f i ππ=+= 又由复积分公式θθθθπθd ie ee f edz zz f z i i i i z 22021||22)()1()()1(⎰⎰+=+=θθπθd e f i i ⎰+=20)()cos 22(θθπθd ef i i ⎰=202)(2cos4即.2)(2cos 202πθθπθ=⎰d ef i六. 解: 由∑∞=--=-+=)1()1()1(111n nnz z z )1|1(|<-z∑∞=+-+-=--=-01)1(11)]1(1ln[)2ln(n n z n z z (|z-1|<1)可知当1|1|0<-<z 时∑∞=---=--=--0)1()1(11)2ln(111)1()2ln(n nnz z z zz z z z ∑∞=+-+-01)1(11n n z n=∑∞=+--01)1()1(n nn z ∑∞=-+0)1(11n nz n=∑∑=+∞=-+--nk nk n z k n 01)1)(1)1((.七. 解设21,z z 是关于圆周9|3|=-z 和16|8|=-z 都对称的一对点,那么圆心3, 21,z z 在同一直线上, 圆心8, 21,z z 在同一直线上, 从而 1z 与2z 在圆心3与圆心8的连线上,即21,z z 为实数. 可分别设为,,21x x 由对称点定义得⎩⎨⎧=--=--256)8)(8(81)3)(3(2121x x x x 解之,得.24,021-==x x 这样圆周9|3|=-z 可以写成,3124=+z z 圆周168=-z 可以写成2124=+z z . 分式线性变换24+=z z ρω把,,021∞↔↔x x 且把偏心圆周9|3|=-z 与16|8|=-z 分别映射为以原点0=ω为中心的同心圆周ρω31=与ρω21=, 让16|8|=-z 的像ρω21=对应圆周1=ω(区域的外边界互相对应), 只需取,2,2θρρi e == 从而242+=z z ei θω(θ为实数)将偏心圆环域{}16893:<->-z z z 且映射为同心圆环域,132<<ω 非负数32=R 即可.解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I八. 解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I九. 证令nnf )1(21)(2-=ξξ, 它在ξ平面上解析. 由高阶导数公式⎰+-=cn n d z f i z fn ξξξπ1)()()(21)(!1 即得⎰+--==-=cn nn n nnn nn d z iz fn z dz dn z p ξξξπ12)(2)(2)1(21)(!1])1[(!21)(再若c 为圆周),20(12πθξθ≤≤-+=iez z 由复积分计算公式, 并记i e z z α1122-=-, 得.)cos 1(1)2()cos 1(21)]2cos(1[21)121121(21)1(2)1121(21)(02220222)(2202022222θθπθπθθπθπθπππππαθθαππθθθd z z a t dt t z z d a ez z d e z z e z d e z e z e z zz z p nnnini i ni nni i n ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-+=--+=-++-=--+-+-=--这里用到θcos 是以π2为周期的偶函数.。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A答案

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2011年8月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷答案考试形式：闭卷试卷类型：A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、A2、B3、C4、D5、A6、A7、A8、B9、A 10、A二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、i 8-2、)4sin 4(cos 22ππi +3、)34arctan (5ln -+πi 4、条件收敛 5、1 6、2 7、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥---<<-≤2],)2()1[(3221,)1(321,0333t t t t t t 8、)2(12s e s-+ 9、t t te e +-1 10、t三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、解：（1）根据柯西积分公式⎰⎰=+=++-=-21|1|21|1|2114sin 14sinz z dz z z z dz z z ππ（1分） 114sin2-=-=z z z iππ（1分） i i ππ22422=⋅=（1分）（2）根据柯西积分公式⎰⎰==-+=-21|1-|21|1-|2114sin 14sinz z dz z z z dz z z ππ（1分） 114sin2=+=z z z iππ（1分） i i ππ22422=⋅=（1分）（3）由复合闭路定理，得⎰⎰⎰==+=-+-=-21|1-|221|1|22||214sin 14sin 14sinz z z dz z z dz z z dz z z πππ（1分）有（1）（2）i dz z z z ππ2214sin21|1|2=-⎰=+，i dz z zz ππ2214sin 21|1-|2=-⎰=可知 i i i dz z zz ππππ2222214sin2||2=+=-⎰=（1分） 2、解：用待定系数法分解)(z f 为部分分式：1221)(2-+--=z z z z f （1）在1||0<<z 内展为洛朗级数z z zz f ----=11221)(2（2分） ]1[221322 ++++---=z z z z z +------=322222221z z z zz （2分）（2）在+∞<<||1z 内展为洛朗级数)/1(11221)(2z z z z z f -+--=（2分） ]1111[221322 +++++--=z z z zz z +++=432221zz z （2分）3、解法1：用求导数验证：记0)0(),1()(22=-=f e z z f z ，不难计算 0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z （2分）0)0(,2)2104()(224=''-++=''f e z z z f z （2分）0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z （2分） 24)0(,)2415611216()()4(246)4(2=+++=f e z z z z f z （2分）即0)0(,0)0()0()0()0()4(≠='''=''='=ff f f f 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点。

《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A及答案

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （）A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（） A 、zzsin B 、2)1(1-z zC 、ze 1D 、11-z e 10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、=-i33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。

大工《复变函数与积分变换》模拟试卷B

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2015年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（B ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、复数)2)(3()2)(3(i i i i z +--+=的模为（ A ）A 、1B 、2C 、21 D 、32、设zie i =，则=z Re （ B ）A 、2π B 、2π-C 、πD 、π-3、函数z z f 5sin )(=的周期是（ C ）A 、2π B 、5π C 、52πD 、π24、对函数2)(z z z f ⋅=可导与解析的描述以下正确的是（ D ） A 、2)(z z z f ⋅=处处可导，处处解析 B 、2)(z z z f ⋅=处处不可导，处处不解析 C 、2)(z z z f ⋅=仅在0=z 处可导，处处解析D 、2)(z z z f ⋅=仅在0=z 处可导，处处不解析5、⎰==-+-2||2112z dz z z z （ A ）A 、i π4B 、i π2C 、i πD 、06、函数21z 在点10=z 处的泰勒展式为（ A ） A 、1|1z |)1)(1()1(0<--+-∑∞=，nn nz nB 、1|1z |)1)(1(0<--+∑∞=，n nz n C 、1|1z |)1()1(0<---∑∞=，nn nz nD 、1|1-z |)1)(1()1(0<---∑∞=，n n nz n7、设zz z f 1sin)(2=，则=]0),([Re z f s （ A ） A 、!31- B 、!31 C 、31-D 、318、利用留数计算积分⎰=nz n dz z ||()tan(π为正整数)的值为（ B ）A 、i n 4B 、i n 4-C 、n 4D 、n 4-9、已知t t t f sin cos )(=，则F =)]([t f （ A ） A 、)]2()2([2--+ωδωδπiB 、)]2()2([2-++ωδωδπiC 、)]2()2([--+ωδωδπiD 、)]2()2([-++ωδωδπi10、在区间],0[+∞上的卷积=≠*)0(sin sin k t k t k （ B ）A 、k t k t k t 2sin cos 21+ B 、kt k t k t 2sin cos 21+-C 、kt k t k t 2sin cos 21-- D 、kt k t k t 2sin cos 21-二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、6)1(i +的值为i 8-。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A

2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试（A ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ C ）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ C ） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ A ） A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ D ） A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ D ） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（ B ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ C ） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin z z的极点，其阶数为（ B ） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（ C ）A 、zzsin B 、2)1(1-z z C 、ze 1D 、11-ze 10、设)(zf 的罗朗展开式为 +-++-+-+----n z n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ B ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、=-i 33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。

大工13秋《复变函数与积分变换》在线作业1 ,2,3

满分：6 分 3. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 4. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 5. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 6. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 7. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 8. 题目见图片
A. B. C. D.
请同学及时保存作业,如您在20分钟内不作操作,系统将自动退出。作业三：选择 ACDDC AABBB 判断 BBBBA BBBBA
大工13秋《复变函数与积分变换》在线作业2
试卷总分：100
测试时间：--
单选题判断题
二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。） V
1.
题目见图片
A. 错误 B. 正确
A. B. C. D.
满分：6 分 6. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分
7. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 8. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 9. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 10. 题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分
作业一：选择1-5ADABC 6--10DCAAA 判断 BBAABBBBBB
大工13秋《复变函数与积分变换》在线作业1
试卷总分：100
测试时间：--
单选题判断题
一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。） V
1.
题目见图片
A. B. C. D.
满分：6 分 2. 题目见图片
A. B. C. D.

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A答案

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷答案考试形式：闭卷试卷类型：A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、C4、D5、B6、D7、B8、A9、C10、A二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、)]5sin(ln )5[cos(ln 5ln i e +2、k ek (22ππ--为整数)3、3,2,1,0)]216sin()216[cos(28=+++k k i k ，ππππ4、2ln5、e i 2-和e i26、07、28、i π29、i π2 10、sin 2三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、先把括号中的两个复数化成三角式：)3sin 3(cos231ππi i +=+（1分） ))3sin()3(cos(231ππ-+-=-i i （1分）再由复数的除法和求乘幂的方法，得1010))3sin()3(cos(2)3sin 3(cos 23131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ππi i i i （2分）10)33sin()33cos(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=ππππi （2分）ππ320sin 320cos i +=i 2321+-=（2分） 2、22221211)1)(1()1(11n nin n ni ni ni ni ni z n +++-=+-+=-+=（2分）22212,11nn y n n x n n +=+-=（2分）而0lim ,1lim =-=∞→∞→n n n n y x （2分）因此1lim -=∞→n n z ，即复数列niniz n -+=11收敛于-1（2分） 3、因zz z1sin 1cos1cot =，在πk z =1处，即0),,2,1(1=±±==z k k z kπ处z 1cot 不解析（4分），且 0lim =∞→k k z ，故0不为z1cot 的孤立奇点。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（B ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设C 为正向圆周1||=z ，则=⎰dz z z C cos （ B ） A 、i π B 、i π2C 、0D 、1 2、=-+]2,)2([Re 2i i z z s （ D ） A 、i 2 B 、i 2- C 、-1 D 、13、设n n n z a z f ∑∞==0)(在R z <||内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k z z f s （ C ） A 、k aB 、k a k !C 、1-k aD 、1)!1(--k a k 4、映射i z i z +-=3ω在i z 20=处的旋转角为（ D ） A 、0B 、2π C 、π D 、2π- 5、若幂级数n n nz c ∑∞=0在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处（ A ）A 、绝对收敛B 、收敛C 、发散D 、不能确定 6、若iv u z f +=)(是复平面上的解析函数，则=')(z f （ B ）A 、yu i x u ∂∂+∂∂ B 、x v i y v ∂∂+∂∂ C 、x v i x u ∂∂-∂∂ D 、x v i y v ∂∂-∂∂ 7、设i e z -=1，则=z Im （ B ）A 、4π-B 、42ππ-k C 、4π D 、42ππ+k8、若等式i iy i x +=+-++135)3(1成立，则),(y x 的值是（ A ） A 、(1,11) B 、(0,11)C 、(1,10)D 、(0,10) 9、数列in e n na π)11(+=的极限为（ B ） A 、0B 、1C 、-1D 、2 10、当i i z -+=11，则=++5075100z z z （ B ） A 、iB 、i -C 、1D 、-1二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、已知iv u z f +=)(是解析函数，其中)ln(2122y x u +=，则=∂∂y v ______22y x x +____________。

复变函数与积分变换(开卷)模拟题

《复变函数与积分变换》模拟题（开卷）（补）一．判断题1. 若函数f (z )在区域D 内解析，则f (z )在区域D 内沿任意一条闭曲线C 的积分为0。

( × ) 2. zz z sin 0是=的一阶极点。

( × ) 3. 不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。

( ∨ )4．函数在某区域内的解析性与可导性等价。

( ∨ )5. 若函数f (z )=u (x,y )+i v (x,y )在区域D 内解析当且仅当yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,连续且满足柯西-黎曼方程。

( × )6. 若),(),(y x v y x u 是的共轭调和函数，那么),(),(y x u y x v 是的共轭调和函数。

( × )二．填空题 1. ∑∞=0!n nn z 的收敛半径为 ∞ 。

2．函数142522++-z z z 的解析区域为为复数z i z ,2±≠。

3. 设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C 2dz )i 1z (1= 0 。

4. 4)11(ii +-= 1 。

5． dz z z ⎰=-2||11= i π2 。

6． 2)11(-+z z 的孤立奇点的类型为极点（可去奇点、极点、本性奇点）。

三．计算题1. 分别给出i z 43+-=的三角形式的指数形式。

解： 54)3(||22=+-=z ，34arctan 2)34arctan(-=++-=πππk Argz , 因此三角形式为))34tan sin()34arctan (cos(5acr i z -+-=ππ 指数形式为)34arctan (5-=πi e z .2. 判断下列函数在何处可导，何处解析？1）22)(iy x z f +=； 2）)3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=解：1）,2,0,0,2,),(,),(22y yv x v y u x x u y y x v x y x u =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂==四个偏导函数均连续，但柯西黎曼方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,仅在x=y 处成立，故函数在x=y 处可导，处处不解析. 2) ,6,33,3),(,3),(223223xy yu y x x u y y x y x v xy x y x u -=∂∂-=∂∂-=-= ,33,622y x yv xy x v -=∂∂=∂∂显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,处处成立，所以函数处处可导，处处解析. 3. 设C 为正向圆周|z|=3,计算积分I=⎰-C z dz z z e .)2(2 解：因为函数2)2(-z z e z的奇点为：z=0 和z=2,而圆周C 内包含了两个奇点. 首先由复合闭路定理有⎰⎰⎰==--+-=-=C z z zz z dz z z e dz z z e dz z z e I 1|||2|22221)2()2()2(，由柯西积分公式有：4)(2)2()2(4)2(2)2()2(22|2|2|2|21||021||222121i e z e i dz z z e dz z z e i z e i dz z z e dz z z e z z z zz z z z z z zz ππππ='=-=-=-=-=-==-=-===⎰⎰⎰⎰ 所以i e dz z z e dz z z e I z z z z π41)2()2(21||1|2|22+=-+-=⎰⎰==-。

大工《复变函数与积分变换》课程考试试卷A 2

大工《复变函数与积分变换》课程考试试卷（A ）试卷第 1 页共 2 页大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试试卷考试形式：闭卷试卷类型：（A ）☆ 注意事项：1、本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

2、所有客观题必须答到题目下方表格处。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （）A 、0B 、21-C 、23- D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（）A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+- D 、33iy x + 3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （）A 、3π B 、6πC 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（） A 、e 2 B 、e π2 C 、22e π D 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e Cz2)1(（）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（）A 、11-+=z z ωB 、z z -+=11ω C 、z z e i -+=112πω D 、112-+=z z e i πω8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 9、以0=z 为本性奇点的函数是（）A 、z z sinB 、2)1(1-z z C 、ze 1D 、11-z e10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、6)1(i +的值为________。

复变函数与积分变换考试试卷

复变函数与积分变换考试试卷一. 填空题(每空 5 分，共 25 分)1．设100i)(1z +=，则Imz ＝。

2.方程lnz=i 3π的解为。

3.)21(421lim z zi x +++→=_______________________________________。

4.导函数xv i x u x f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为_________。

5.函数)Re()Im()(z z z x f -=仅在点z=____________________处可导。

二．选择题(每题 5 分，共 25 分)1．复数i 218-2116z =的辐角为（） A.arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 2. 方程|z+2-3i|=2所代表的曲线（）A.中心为2-3i ，半径为2的圆周B. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周C. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周D. 中心为2-3i ，半径为2的圆周3. 复数)2(tan πθπθ i z -=的三角表示式是（） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i C.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i D.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i 4. 若函数在复平面内处处解析，那么实常数a=（）A.0B.1C.2D. -25.设f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的是（）A. f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以 π2为周期C.2e f(z)iz ize --= D.|f(z)|是无界的三．计算题(每题10 分，共 50 分)1.设)22(2)(22xy x i y y x z f ++--=，写出f(z)关于z 的表达式。

大工复变函数与积分变换课程考试模拟试卷a答案

百度文库 - 让每个人平等地提升自我！机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷答案考试形式：闭卷试卷类型：A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、C2、C3、A4、D5、D6、B7、C8、B9、C 10、B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、k i e k )(3ln sin 3ln (cos 272-π为整数）2、1+i3、i π64、),2,1,0)(235(2ln ±±=++k k i ππ5、i 7213+6、07、+∞<++∞=∑||,)12(!1120z z n n n n 8、41 9、)Re (Re 1k s k s >- 10、t三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、出处：参考课件第一章复数与复变函数第三节复数的乘幂与方根。

步骤：1、先把括号中的两个复数化成三角式（2分）2、再由复数的除法和求乘幂的方法得出结论（6分）2、出处：参考课件第三章复变函数的积分第五节柯西积分公式步骤：1、利用柯西积分公式将原式代换（5分）2、得出结论（3分)3、出处：参考课件第五章留数第一节孤立奇点步骤：1、判断0),,2,1(1=±±==z k k z k π是函数z 1cot 的奇点（4分） 2、根据孤立奇点的定义，判断0=z 是否为函数z 1cot 的孤立奇点（4分）4、出处：参考课件第五章留数第一节孤立奇点步骤：1、根据孤立奇点的定义，判断有哪些是孤立奇点。

（4分）2、根据孤立奇点的分类，确定各类型。

（4分）5、出处：参考课件第八章拉普拉斯变换第三节拉氏逆变换步骤：1、根据常用的拉普拉斯变换L a s e at -=1][，得出逆变换L at e as =--]1[1，代入原式。

（5分） 2、得出结论（3分）四、证明题（本大题1小题，共10分）出处：参考课件第七章傅里叶变换第二节傅里叶变换步骤：1、根据傅里叶变换的定义，将原式代入（6分）2、根据欧拉公式)(cos 2)()(t e e t i t i ϕϕϕ=+-（2分） 3、得出结论（2分）。

复变函数积分变换模拟试卷及答案

复变函数积分变换模拟试卷及答案习题一一、填空题（每空3分，共30分） 1.1211,,2z i z i =+=+则12z z ?= ，12arg()z z ?= ． 2.3. ()exp(2/2z π'+=4. (2)Ln i = ，cos i =5．.沿圆周C 的正向积分:1211z C z ze dz z -=+=-?? ． 6. 级数(1)(1)nn n i z ∞=--∑的收敛半径R = ．7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为二、选择题（每题3分，共15分）1.方程52z -=所表示的曲线是（）（A ）椭圆（B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周2. 已知1()z e f z z-=，则]0),([Re z f s （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为4sin z zz-的( ) （A ）一级极点（B ）二级极点（C ）三级极点（D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0[()]tf t dt ?的值是（）（A ）()F s js （B ）()(0)F s f s- （C ）()F s s （D ）()F s5. w 1F()=F 1[()]f t ，w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（）（A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=?（C ）F 12121[()()]()()2f t f t F w F w π=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ?=* 三．1.（本题5分）24,12C dz z z i ??+ ?--?其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算221,1Cz dz C z +-??为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1sin z zdz ?.四．假设1. （本题8分）假设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.2.（本题8分）将函数2z ze e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.3.（本题8分）将函数21()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数2(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（） A 、),(),(y x iu y x v +B 、),(),(y x iu y x v -C 、),(),(y x iv y x u -D 、xvi x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4)1( =++-=n n in n n α，则n n α∞→lim （） A 、等于0B 、等于1C 、等于iD 、不存在3、下列级数中，条件收敛的级数为（）A 、∑∞=+1)231(n ni B 、∑∞=+1!)43(n nn iC 、∑∞=2ln n nniD 、∑∞=++-11)1(n n n i4、21)(-=z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞=+z z z n n nB 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞=z z z n n nC 、3|1|)1(31210<++=-∑∞=z z z n n nD 、3|1|)1(312101<++-=-∑∞=+z z z n n n5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（） A 、可去奇点B 、本性奇点C 、m 级极点D 、小于m 级的极点6、设幂级数1,-∞=∞=∑∑n n n nn n znc z c 和101+∞=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是（） A 、321R R R <<B 、321R R R >>C 、321R R R <=D 、321R R R ==7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（） A 、zzi w -+⋅=11 B 、zzi w +-⋅=11 C 、zzi w -+⋅=111D 、zzi w +-⋅=1118、设)0(0,0,0)(>⎩⎨⎧≥<=-ββt e t t f t，则F =)]([t f （） A 、22ωβωβ+-iB 、22ωβωβ++iC 、22ωβωβ--iD 、22ωβωβ-+i9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（） A 、1B 、se 2C 、se2-D 、不存在10、设k t k e t f t (sin )(2-=为实数)，则L =)]([t f （） A 、22)2(ks k++ B 、22)2(ks k+- C 、22)2(ks k-+ D 、22)2(ks k--二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、将幂函数i+15表示成三角形式为_______________________2、将幂函数ii 表示成指数形式为________________3、41i +的所有值表示成三角形式为_________________________________4、)2(-Ln 的主值为________________5、函数21)(ze zf iz +=在极点处的留数为________________6、=++⎰=dz z e z z z )cos 2(5||2________ 7、=⎰dz z i12________8、=-⎰=-4|1|1z z z________9、=⎰=dz z zz 2||cos ________ 10、假设C 是圆周1|1|=+z 的下半圆周，z 从-2到0，则积分=⎰dz C cosz ____________三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、计算103131⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+i i 的值2、判断复数列niniz n -+=11是否收敛，若收敛求出它的极限。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B答案

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷答案考试形式：闭卷试卷类型：B一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、A2、B3、C4、D5、A6、A7、A8、B9、A 10、B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、i 8-2、)4sin 4(cos 22ππi +3、)34arctan(5ln -+πi 4、1 5、条件收敛6、27、反演8、2 9、)2(12s es -+ 10、tt te e +-1 三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、解法1：设),(),()(y x iv y x u z f +=，那么),(),()(y x iv y x u z f -=。

（2分）由于)(z f 在点000iy x z +=处连续，则),(y x u 与),(y x v 在),(00y x 处必连续。

（3分）既然),(y x v 在),(00y x 处连续，那么),(y x v -在),(00y x 也连续，从而)(z f 在点0z 处连续。

（3分）解法2：因为|)()(||)()(||)()(|000z f z f z f z f z f z f -=-=-（2分）又因)(z f 在点0z 处连续，所以对于任意给定的0>ε，必存在一个正数)(εδ，当δ<-||0z z 时，ε<-|)()(|0z f z f ，（3分）从而当δ<-||0z z 时，有ε<-|)()(|0z f z f 。

所以)(z f 在点0z 处也连续。

（3分）2、解：函数)(z f 的奇点为0=z 和1=z ，故应在1||0<<z 内展开)(z f 为洛朗级数（2分）：)!1!2111()1(1)(221 +++++⋅+++++=-=nn zz n z z z z z z e z f （2分） ++++++=)!1!211(1n z （2分）即1)!1!211(]0),([Re 1-=++++==-e n C z f s （2分） 3、解：已知 ++-=+-=+∞=∑53120!51!31)!12()1(sin z z z z k z k k k，原式展开成幂级数的展开式形式为++-22!51!311z z （4分）所以0=z 为二阶极点。