课时跟踪检测 (三十) 函数模型的应用

课时跟踪检测（三十）函数模型的应用层级(一)“四基”落实练

1．有一组实验数据如表所示：

下列所给函数模型较适合的是()

A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)

C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)

解析：选C由表中数据可知：s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．故选C.

2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究．已知2019年“双11”期间某商品原价为a元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价10%，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格a元相比()

A．相等B．略有提高

C．略有降低D．无法确定

解析：选C设现价为b，则b＝a(1＋10%)2(1－10%)2＝(1－0.01)2a，则b＜a，则该商品的价格与原来价格相比略有降低，故选C.

3．(多选)为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)()

A．2023年B．2024年

C．2025年D．2026年

解析：选CD设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，

则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n，

由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n＞12 800，

即1.2n ＞2.56，

∴n lg 1.2＞lg 2.56＝lg 28－2， ∴n ＞lg 28－2lg 1.2≈8×0.301－20.079≈5.16，

∵n ∈Z ，∴n ≥6，

即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28 亿元，故选C 、D.

4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )

A ．2020年

B ．2021年

C ．2022年

D ．2023年

解析：选C 设2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元， 由1 300×1.12n ＞2 000可得1.3×1.12n ＞2， 所以lg 1.3＋n lg 1.12＞lg 2，

所以n ×0.05＞0.19，得n ＞3.8，则正整数n 的最小值为4，

所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C.

5．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2010年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( )

A ．y ＝0.95

50

x

·m

B ．y ＝50

10.05x

⎛⎫ ⎪⎝⎭

－·m

C ．y ＝0.9550－

x ·m

D ．y ＝(1－0.0550－

x )·m

解析：选A 设每年减少的百分比为a ，由在50年内减少5%，得(1－a )50＝1－5%＝95%，即a ＝1－(95%)150

.所以经过x 年后，y 与x 的函数关系式为y ＝m ·(1－a )x ＝m ·(95%)

50

x

＝0.95

50

x

·m .故选A.

6．燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 与耗氧量x 之间满足函数关系v ＝a log 2

x

10

.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v ＝10 m /s ，则两岁燕子飞行速度为25 m/s 时，耗氧量达到__________单位．

解析：因为10＝a log 240

10＝2a ，所以a ＝5，

因此25＝5log 2x

10⇒x ＝10×25＝320.

答案：320

7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)

解析：设经过n 小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n .根据题意，有0.3(1－0.25)n ≤0.09，即(1－0.25)n ≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有n lg 3

4＝n (lg 3－2lg 2)≤lg

0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n (0.48－0.6)≤0.48－1，解得n ≥133＝41

3，故至少经过5

小时才能开车．

答案：5

8．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T 12

.现测得某种放射性元素的剩余质

量A 随时间t 变化的6次数据如下：

衰变公式为A (t )＝________.

解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间

t 的剩余质量为A (t )＝A 0·⎝⎛⎭

⎫124t ＝320·2－4t

(t ≥0)． 答案：4 320·2

－

t

4

(t ≥0) 9．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S ，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S 1，刹车距离为S 2，则S ＝S 1＋S 2.而S 1与反应时间t 有关，S 1＝10ln(t ＋1)，S 2与车速v 有关，S 2＝b v 2.某人刹车反应时间为e －1秒，当车速为60 km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h 的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)