秩亏自由网平差的应用

秩亏自由网平差的应用
一、 问题及解决方案
水利工程布设控制网是为测量工作提供依据，在精度上起到控制作用。

平面、高程控制网的建立通常情况下需要起算基准。

按规划设计阶段的《水利水电工程测量规范》第2.1.4条要求，建立基本平面控制网时，在长度小于60km 的测区或任何长度的狭长带状测区时，可不进行高斯投影，采用任意平面直角坐标系统。

第3.1.1条要求，建立基本高程控制网时，对远离国家水准点的地区，引测有困难时，可采用独立高程系统[1]。

也有这种情况：由于时间紧急、未曾获得国家系统数据，而需要先进场开展测量工作。

此时，在没有起算数据的情况下，通常的做法是假设起算数据，但这样会导致观测精度相同而平差成果精度却不均匀：即离假设已知点越远，其精度越差。

解决方案：考虑使用秩亏自由网进行严密平差来建立基本平面、高程控制网，使精度均匀，误差按权分配。

二、秩亏自由网平差
1、秩亏自由网
我们知道，间接平差中观测误差方程为[2]：
nxl
V
=^uxl
nxu x B -nxl
l (1)
法方程表示为：
^
uxl
uxu x
N -uxl
f = 0 （2）
式中 uxu
N =B T PB ，f = B T P l 。

由于缺乏起算基准，误差方程系数矩阵B 非满秩：R （B ）= t < u ；法方程系数矩阵N 也非满秩：R （N ）= t < u 。

秩亏数d = u – t 等于控制网必要起算数据个数。

在常用网中，对于水准网 d = 1；对于边角网 d = 3；对于测角网 d = 4。

为改善奇异性，为平差参数
^uxl
x 附加d 个基准条件：
dxu
S T ^
uxl
x
= 0 （3）
且线性无关，与法方程也线性无关，即：
uxd
uxu S
N = 0，R （S ）=d 。

由此秩亏自由网平差模型为：
nxl
V
=
^
uxl
nxu x
B - nxl
l
dxu
S T
^
uxl
x
= 0 （4）
V T
PV = Min
法方程表示为：
^
000
bb e
T S x
k f N S ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ （5）
参数解为：
^
1
()T
bb e
e
x S Q f
f
N S -=+= （6）
单位权中误差为：
^
0σ=
2、秩亏网平差
多种取自由网基准条件中一般用重心基准条件。

水准网d=1时，经标准化处理后S ：
(1/T
lxu
S =
带入式（3）得
^/0x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
即改正数之和为0。

对于边角网d=3经标准化处理后S ：
300
01
1
1/0
1/0001/1/////T
u m m S y y x x
⎛⎫
⎪ ⎪= --⎝
带入式（3）得纵坐标、横坐标、方位角基准条件：
^^^
12^^^12^^^^0000
1211()/0
()/0(0m m m m m m x x x y y y x x x x y y x x ⎫+++=⎪
⎪+++=⎬⎪⎪
-++-+=⎭
三、工程实例
广西百色岂蒙水库除险加固工程建立控制网时，由于获取国家系统数据滞
后，必须采用秩亏自由网来进行严密平差，见图1。

1、已知数据
已知数据见表1、表2。

表2 测段高差观测数据
2、平差结果
平差结果见表3、表4。

表3 测段高差平差值
表4 水准点高程平差值
平差后高差观测中误差
^
09.58/10/
mm km mm km
σ=±<，符合四等精度要求。

在获取国家点之后, 我们用水准测量联测BM01、BM02、BM04、BM06等点进行校核, 发现该秩亏网成果整体精度均匀, 全部指标符合四等精度要求。

四、结论
在没有起算数据的时候, 或者建立独立基本平面、高程控制网时, 如果观测精度相同, 若按常规做法假设起算数据, 会导致平差成果精度不均匀。

秩亏自由网进行平差可以解决这个问题, 计算成果会更严谨、合理, 尤其适合应用在引测国家系统有困难的、或不必引测国家系统的独立水利工程中。

本文通过几个中小型水库除险加固工程控制测量证明, 秩亏自由网平差成果整体精度是均匀、可靠的。

参考文献
[1] SL 197——97，水利水电工程测量规范[S]。

[2] 於宗涛，香林成。

测量平差基础。

测绘出版社。