第五章 统计分布特征的描述：集中趋势和离散趋势
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
《统计基础》教案 第5章 数据分布特征的描述
第5章数据分布特征的描述【学习目标】本章主要介绍了数据分布特征的描述的基本理论，包括平均指标和变异指标的基本概念、种类以及各种计算方法，计算和应用平均指标应注意的问题等。
通过学习，使学习者能够掌握数据分布的集中趋势和离散特征，为经济管理服务。
【学习要求】通过本章的学习，要求理解并掌握平均指标和变异指标的基本概念，熟练掌握各种计算方法，明确计算和运用平均指标应注意的问题等等。
【学习内容】统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度，如算术平均数；二是分布的离中趋势，反映各数据远离其中心值的程度，如标准差；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。
这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，第一、二方面是主要的。
本章重点讨论第一、第二两方面代表值的计算方法、特点及其应用场合。
5.1 集中趋势——数值平均数集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。
取得集中趋势代表值的方法通常有两种：一是从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量，这个量不是各个单位的具体变量值，但又要反映总体各单位的一般水平，这种平均数称为数值平均数。
数值平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等形式。
二是先将总体各单位的变量值按一定顺序排列，然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平，把这个特殊位置上的数值看作是平均数，称作位置平均数。
位置平均数有众数、中位数、四分位数等形式。
5.1.1算术平均数算术平均数，是集中趋势测度中最重要的一种，它是所有平均数中应用最广泛的平均数。
因为它的计算方法是与许多社会经济现象中个别现象与总体现象之间存在的客观数量关系相符合的。
例如，企业职工的工资总额就是各个职工工资额的总和，职工的平均工资必等于职工的工资总额与职工总人数之比。
所以，算术平均数的基本公式应该是：算术平均数=)()(变量值个数总体单位总量变量值总量总体标志总量算术平均数一般就称为平均数（mean ）。
数据分布特征的三个统计描述维度
数据分布特征的三个统计描述维度现如今生活处处有数据，而我们接触到的数据可以分为连续型数据或者离散型数据。
连续数据的取值范围是可以取连续值的区间，即连续值可以是区间内的任意值，一般都有度量单位。
离散数据的范围由有限数量的值或序列组成。
对数据集使用合适的描述性指标，可以帮助我们探索庞大无序的数据背后隐藏的事实。
描述数据集的三个维度是指对数据集中趋势的描述、对数据分散程度的描述和对数据分布形式的描述。
一、集中趋势描述1.算术平均数 Arithmetic Mean：所有数值的和除以数值的个数。
用于描述一组数据在数量上的平均水平。
计算公式：优缺点：算术平均数是能够充分运用已有信息的代表性数值，每个数值大小的改变都会引起其变化。
也因此容易受极值的影响，并且会掩盖数据的差异性。
示例：最近更新了2018年度深圳在岗职工的月平均工资，达到了9309元。
这就是一个算术平均值的实际应用。
还是要保持进步，争当排头兵而非吊车尾呀。
2.几何平均数 Geometric Mean：对各数值的连乘积开项数次方根。
一般用于当总成果为各个阶段（环节）的连乘积时，求各个阶段（环节）的一般成果。
计算公式：优缺点：几何平均数受极端值的影响比均值小。
但仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
示例：连续作业的车间求产品的平均次品率。
一个产品的生产由三个环节组成。
每个环节都会产生一定的次品。
次品率依次为5%、2%、6%，求这个产品的平均次品率。
因为每个环节都是依次发生的，需要完成上一个环节的合格产品才能进入下一个环节，所以每个环节的不良率是一个产品关系。
依照上式结果可知，该产品整个生产环节的平均次品率为3.91%。
3.中位数 Median：将数值从小到大依次排列，最中间的数值为中位数。
若数值个数为奇数个时，为中间位置的数值；若数值个数为偶数个时，为中间两个数的算术平均数。
优缺点:不受极值影响，通过丢失一些信息来换取指数的稳定性。
但对极值缺乏敏感性，样本量较小时中位数不稳定。
集中趋势和离散趋势计量资料统计描述
有8份抗体血清的抗体效价分别为1： 5，1：10，1：20，1：40，1：80， 1：160，1：320，1：640， 求平均 抗体效价。
16
2.几何均数
意义：N个数值的乘积开N次方即为这N 个数
的几何均数。
表示：G = n x1x2...xn = ㏒-1∑ ㏒X
n
计算：
应用：原始数据分布不对称，经对数转换后 呈对称分布的资料。例如抗体滴度。
布 D.任何分布
3.正态分布曲线下，从均数u 到u +1.96的面积为； A.95% B.45% C. 97.5% D.47.5%
41
P22
1976年美国8岁男孩的平均身高为146厘米，标 准差为8厘米，问95%的人身高在什么范围内。 估计在该研究中有%多少的男孩平均身高在138 与154之间？又有多少在130到162之间？
即（156.41 cm , 171.27 cm )
例题：某市1982年100名7岁男童的身高
已知：x = 119.95cm, s = 4.72cm.
试问: (1) 估计该地7岁男童身高在110cm以下者 占该地7岁男童的百分比。
(2) 估计该地7岁男童身高在身高在130cm 以上者占该地7岁男童的百分比。
5
主要内容
频数表 集中趋势 离散趋势 正态分布 正常值范围估计
原始资料（变量与变量值，资料性质）
7
一. 频 数 表
频数：当汇总大量的原始数据时，把 数据按类型分组，其中每个组的数据个 数，称为该组的频数。
频数表（频数分布）：表示各组及它们 对应的组频数的表格称为频数表或频数 分布。
1998年100名18岁健康女大学生身高的频数分布
估计的方法： 1、正态分布法 2、百分位数法
集中趋势和离散趋势
集中趋势和离散趋势集中趋势和离散趋势是描述数据分布特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，一般用平均值、中位数和众数来表示；而离散趋势则用于量化数据的分散程度，常用的度量包括范围、方差和标准差等。
首先，集中趋势是指数据的中心位置，它反映了数据的一般水平。
平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数，它具有高可操作性和表达性，但对于含有极端值的数据可能会有较大的偏差。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于数列中间的数值，它对异常值不敏感，能够更好地展示数据整体分布情况。
众数是一组数据中出现频率最高的数值，常用于描述离散型数据的集中趋势。
其次，离散趋势是指数据的分散程度或分布的离散程度，它反映了数据的差异程度。
范围是数据的最大值和最小值之间的差异，它直观地反映了数据的波动范围。
方差是数据与平均值之间差异的平均值，它衡量了数据整体的离散程度，数值越大表示数据越分散。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的度量单位，常用于度量连续型数据的离散趋势。
集中趋势和离散趋势在统计学中有广泛的应用。
在描述数据特征时，通过集中趋势可以直观地了解数据的中心位置和一般水平，从而具有参考价值。
而离散趋势则帮助我们了解数据的变异程度，通过度量数据的分散程度可以判断数据的稳定性和可靠性。
这两个概念相辅相成，共同构成了对数据特征的全面描述。
当进行数据分析和决策时，我们需要同时考虑数据的集中趋势和离散趋势。
集中趋势能够帮助我们了解数据的普遍水平，为个体或群体的表现提供参考，而离散趋势可以帮助我们判断数据的稳定性和差异程度，进而做出更加准确的决策。
总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，离散趋势用于度量数据的分散程度。
它们互为补充，帮助我们全面了解数据的特征，从而更好地进行数据分析和决策。
第5章：数据分布的特征描述
*关于特殊分布情况下的众数：
案例：求兔子的平均速度 龟兔第一次赛跑中，兔子的平均速度是 V1 ，第二次在同样的跑道上，兔子的平均 速度是V2，求兔子两次赛跑的平均速度。
调和平均数的种类：
1）简单调和平均数
2）加权调和平均数
调和平均数的特点：
1 ）调和平均数易受极端值的影响，且受极小值得的 影响比受极大值的影响更大。
2）只要有一个变量为0，就不能计算调和平均数。 3 ）当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组 组据计算了，其假定性也很大，这时，调和平均数的 代表性就很不可靠。 4 ）调和平均数调和范围较小，在实际中，往往由于 缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数， 这时候需要用调和平均数法来求得平均数。
数据来源：世界银行集团网站
问题：
1）计算表中各国的平均人口数。 2）计算表中的人均GDP。
算术平均数的性质：
1）各变量值与算术平均数的离差之和等于0，即：
2）各变量值与其算术平均数的离差平方和为最小值， 即：
2.2 调和平均数
概念： 调和平均数是数值平均数的一种，他是总体 各单位数量标志值倒数的算术平均数的倒数。 由于它是根据标志值的倒数计算的，所有又 称倒数平均数，常用XH表示。
众数的特点：
1）对分布数列的代表性较强，不受极大值或极小值的 影响（马云和一般人的财富的均值）；
2）当分布数列没有任何一组的次数占多数，而是近似 于均匀分布时，则该次数分布数列没有众数； 3）如果与众数组相毗邻的上下两组的次数相等，则众 数组的组中值就是众数值，反之，偏上或偏下； 4）没有利用全部数据信息，缺乏敏感性。
案例2/3：卖草莓的老人A
校门口有 个卖草莓的 老人，草莓 价格1元1斤， 2元3斤， 3 元 4 斤， 4 元 5 斤，假如你 是一个喜欢 吃草莓的人， 你会选择哪 种购买方式？
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
集中趋势和离散趋势PPT教案
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离散趋势 (分散程度)
偏态和峰度 （形状）
第1页/共94页
数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
集中趋势
离散程度
分布的形状
众 数 Mode 中位数 Median 均 值 Mean
极差 四分位差 方差和标准差 离散系数
Range
偏态
Skewness
峰度
第31页/共94页
众数
(众数的不唯一性)
•无众数
原始数据:
8 一个众数 原始数据:
10 5 9 12 6 659855
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
第32页/共94页
定类数据的众数
X i Fi Fi
第12页/共94页
调和平均数
(算例)
【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三 种蔬菜该日的平均批发价格
表 某日三种蔬菜的批发成交数据
蔬菜 名称
甲 乙 丙
批发价格(元) Xi
1.20 0.50 0.80
成交额(元) XiFi 18000 12500 6400
成交量(公斤) Fi
第20页/共94页
中位数
(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一
2. 排序后处于中间位置上的值
50%
50%
3. 不受极端值的影响 Me
4. 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据
5. 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
n
X i M e min
i 1
第21页/共94页
中位数
未分组资料时，中位数位次＝ N 1
[5]第五章 集中与离散趋势测定指标.
![[5]第五章 集中与离散趋势测定指标.](https://img.taocdn.com/s3/m/810ab8b0b9d528ea81c77970.png)
表5-3
月收入（元）
3000～3500 3500～4000 4000～4500 4500～5000 5000～5500 5500～6000 6000～6500
∑
某单位职工月收入分组表
组中值（元）
xi
3250 3750 4250 4750 5250 5750 6250
第一，平均指标在时间上的差异的对比分析作用。 平均指标可以反映同一总体现象在不同时期的一般发 展变化水平，揭示现象的变动趋势和规律性。如：由 于不同时期同一研究总体的农民家庭人口结构会发生 变动，若要考察农民纯收人变化，只能用农民平均纯
收人指标来反映。
第二，平均指标在空间上的差异的对比分析作用。 利用平均指标比较在某一时期同类现象在不同地区、 不同单位的一般水平，用以评价总体各单位的工作质 量和效果。如：由于城乡每一户居民人口规模不同， 要用人均居住面积而不能用城乡每户居住总面积来考 察城乡居民居住状况的差异。
n
xi fi
x
i 1 n
fi
i 1
式中：xi 表示分布数列中第i
值；
组的变量值或组中
fi 表示分布数列中第i 组的单位个数。
上式还可以变形为:
x
n
xi
fi
n
Hale Waihona Puke i1fii 1
式中：fi 称为分布数列中第i 组的频数或权数；
fi
n
称为分布数列中第i 组的频率或权数
系数。
fi
1．简单算术平均数（Simple arithmetic mean）
简单算术平均数适用于未分组的分布数列，它是 将总体各单位同类标志值直接汇总，然后与总体单位 总数相除所求得。简单算术平均数的计算公式为：
统计学集中和离散
11
11
加权算术平均数计算表
月生活费（元）x 150 200 240 300 350 500 合 计 人数（人）f 3 5 7 24 16 1 56 资料栏 频率（%） xf 5.36 450 8.93 1000 12.50 1680 42.85 7200 28.57 5600 1.79 500 100.00 16430 x*频率 8.04 17.86 30.00 128.55 100.00 8.95 293.40
河 南 湖 北 湖 南 广 东 广 西 海 南 重 庆 四 川 贵 州 云 南 西 藏 陕 西 甘 肃 青 海 宁 夏 新 疆
24816 22739 24870 (6)33110 (18)25660 21864 (11)26985 25038 24602 24030 (3)47280 (15)25942 24017 (8)30983 (9)30719 24687
19
计算表
计划完成（%） 95——100 100——105 105——110 110以上 组中值x（%）计划任务数f（万元） 实际完成数xf（万元） 97.5 102.5 107.5 112.5 100 1200 100 60 97.5 1230.0 107.5 67.5
13
2、加权算术平均数（适用于分组资料）
（为什么由分组资料计算平均指标不能将各组的标志值简单平 均？）。 计算公式为：
x1 f1 x2 f 2 xn f n X f1 f 2 ... f n
x f f
i 1
n
i i
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
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集中趋势和离散趋势 课件
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CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
第五章统计分布特征的描述：集中趋势和离散趋势
(2)相对权数
X
n
Xi
fi
n
i1
fi
i 1
1.45 20% 1.55 30% 1.65 20% 1.75 20% 1.8510%
1.62(米)
例3：某班英语成绩整理如下,求学生英语平均成绩.
成绩 90以上 80~90 70~80 60~70 60以下
某某班学生基本情况调查表姓名性别民族年龄身高政治面貌张三男汉21152中共党员李四女汉21143中共党员王五男回23158团员贾六女汉23151团员刘七男汉22169团员杨小男回21175中共党员孙非男回20181团员王继男满23165团员赵可女汉23165中共党员武思男汉21176团员兰第女汉23148中共党员拉达女汉23143团员向乐男回22158中共党员项于女汉21161团员可人男汉23171团员梁草女回23152团员保安男汉20146中共党员马宝男汉20182团员姜清女满20158中共党员林可男满20173团员精品资料?班级平均年龄
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算术平均数和强度相对指标的区别：
(1)含义和作用不同：
强度相对指标表明现象程度发展的强度、密度或普遍程 度；
而平均指标则表明同类现象在一定时间、地点条件下所 达到的一般水平。
(2)计算方法不同。
强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体，一般 没有直接的依存关系，且有的强度相对指标分子分母可 以对换，即强度相对指标可以计算正指标或逆指标；
按年龄分组（岁） 人数（人）
比重（％）
20
5
25
21
5
25
22
2
10
23
8
40
第五章数据分布特征的描述习题参考答案
第五章数据分布特征的描述习题参考答案一、名词解释集中趋势指标：集中趋势指标是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势指标就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。
这个代表值或中心值就是集中趋势指标。
数值平均数：数值平均数是将总体各单位数量标志值通过一定的数学公式计算出来所得到的集中趋势指标。
具体有算术平均数、调和平均数和几何平均数三种。
位置平均数：位置平均数是通过查找位置，所找到位置对应的数值作为集中趋势指标。
具体有众数和中位数两种。
离中趋势指标：离中趋势指标又称标志变动度，是反映总体各单位数量标志值差异程度的综合指标，用来反映总体各单位数量标志值的变动范围和离散程度。
极差：极差也称全距，是总体各单位数量标志值的最大值与最小值之差，反映总体各单位数量标志值的变动范围，常用R表示。
平均差：平均差是总体各单位数量标志值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数。
常用“A.D”表示。
它综合反映了总体各单位数量标志值的变动程度。
方差：方差是总体各单位数量标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数，通常以2σ表示。
标准差：标准差是方差的平方根，也是测度数量标志值的差异程度的指标。
标准差又称均方差，一般用σ表示。
离散系数：离散系数通常指标准差系数，是一组数据的标准差与其相应的算术平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标。
偏态：偏态是指数据分布的偏斜方向和程度。
峰度：峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
二、单项选择题1~5：D C D C C 6~10：B C C D A三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1~5:√××××6~10:√√×四、简答题1、计算和应用集中趋势指标时应注意哪些问题？答：众数是一种位置代表值，易理解，不受极端值的影响。
任何类型的数据资料都可以计算，但主要适合于作为定类数据的集中趋势测度值，即使资料有开口组仍然能够使用众数。
集中和离散趋势的描述
集中和离散趋势的描述
集中趋势描述了数据集中在哪个位置，而离散趋势描述了数据在这个位置周围是如何分布的。
集中趋势主要有以下几种描述方法：
1. 均值：均值是数据集中趋势最常用的描述方法，它是所有数据值的总和除以数据个数。
2. 中位数：中位数是将数据按照大小排序后，居于中间位置的数值。
它不受极端值的影响，更能准确地描述数据的集中趋势。
3. 众数：众数是数据集中出现最频繁的数值。
它在描述离散数据时特别有用。
离散趋势主要有以下几种描述方法：
1. 极差：极差是数据的最大值与最小值之间的差异，反映了数据的全局离散情况。
2. 方差：方差是每个数据值与均值之差的平方的平均值。
它用来度量数据集中的每个数据与均值的离散程度。
3. 标准差：标准差是方差的平方根。
它提供了数据分布的平均偏离程度，可以帮助评估数据的离散性。
4. 四分位数：四分位数是将数据按大小排序后分成四个等份，每个等份包含25%的数据。
第二个等份即为中位数，而第一个和第三个等份则为上下四分位数。
四分位数能够提供更详细的数据分布信息。
以上这些描述方法都可以帮助人们更好地理解数据的集中和离散趋势，从而做出更准确的分析和决策。
集中趋势和离散趋势的描述
对某医院120 120名细菌性痢疾治愈者的住院天数 例 对某医院120名细菌性痢疾治愈者的住院天数 统计，试求第5百分位数和第99百分位数。 统计，试求第5百分位数和第99百分位数。 99百分位数 住院天数： 住院天数： 2 2 2 3 3 4 4 5 ⋯ 40 1 序
40 42 45 号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ 117 118 119 120
2.35 + 4.78 + ⋯ + 3.91 X= = 4.03(mmol/L) 101
（2）加权法(利用频数表） 加权法(利用频数表）
f1 X 1 + f 2 X 2 + f3 X 3 + ⋯ + f k X k X= = f1 + f 2 + f3 + ⋯ + f k
∑ ∑
409.75 X = fX 101 = 4f06(mmol / L) .
百分数： 为整数： （1）第5百分数：n=120， ×5% = 6，为整数： ） 百分数 ， 120
1 1 P5 = X ( 6 ) + X ( 7 ) = (3 + 4) = 3.5( 天 ) 2 2
住院天数： 住院天数： 2 2 2 3 3 4 4 5 ⋯ 40 1 序 （2）第99百分位数： 99百分位数： 百分位数
G = lg
−1
f )= ∑ f lg X ) =−1 (150.2778lglgX(2.1779) = 150.6 ( lg G = lg ( 69 ) ∑f
−1 −1
∑ ∑f
三、中位数与百分位数 例：大鼠存活天数： 大鼠存活天数： 4，10，7，50，3，15，2，9，13，>60，>60 10， 50， 15， 13，>60， 平均存活天数? 平均存活天数? （一）中位数（median） 中位数（median） 是将n个变量值从小到大排列， 是将n个变量值从小到大排列，位置居于 中间的那个变量值。 中间的那个变量值。
第五章数据分布特征的描述
某公司下属18个企业，计划完成相对数如下
产值计划完 成程度 （%） 80—90 90—100 100—110 110—120 合计 组中值 （%） 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 计划产值 (万元） 800 2500 17200 4400 24900 实际产值 （万元）xf 680 2375 18060 5060 26175
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
14 8 M0 5 123 ( 个 ) 120 (14 8 ) (14 10 )
按成绩分 组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计
只有在总体单位充分多，且又有明显的集中趋 势时才可能确定众数。在较小的总体范围内， 确定众数没有意义。 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值 型数据
无众数 原始数据: 8
一个众数 原始数据: 6
10
5
9 12
6
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适用条件:分组资料,且已知各组的代表变量值(x)和 标志总量(xf).
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计算举例: 例3：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午 为0.4元/斤、晚上为0.25元/斤。现早、中、 晚各买2元、3元、4元，求平均价格。
23 4 9 X 0.33元 2 3 4 27.5 0.5 0.4 0.25
求该行业平均产值利润率。
产值利润率的其本公式 为: 实际利润 产值利润率 100% 实际产值 则: 一季度平均 产值利润率 xf f 0.075 5700 0.15 20500 0.25 22500 5700 20500 22500 9127.5 48700 18.47%
班级平均年龄：
X
X
i 1
N
i
N
21 21 23 20 20 21.65(岁) 20
班级平均身高：
X
X
i 1
N
i
N
1.52 1.43 1.58 1.58 1.73 1.6135 (米) 20
㈢加权算术平均数 计算公式:
适用条件:已知各组的 代表变量值x和标志总 量xf,且各组的标志总 量恰好相等.
式中： X H 为调和平均数; m为变量值 X i 为第 i 个变量值。 的个数；
计算举例1：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、 晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买1斤，求平均价格。 例2：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为 0.25元/斤。现早、中、晚各买1元，求平均价格。 在例1中，用简单算术平均数
(2)计算方法不同。
(3)计量单位表示不同。
（二）、算术平均数的计算 1.简单算术平均数 计算公式:
X 1 X 2 X N X N
X
i 1
N
i
N
适用条件:未分组的原始资料
例1：
某企业一生产班组共 5 人，他们在 2000 年 9 月的月工 资分别为1700元，1900元，1500元，1850元，2200 元。则他们的月平均工资为：
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
i
1.45 20% 1.55 30% 1.65 20% 1.75 20% 1.8510% 1.62(米)
例3：某班英语成绩整理如下,求学生英语平均成绩.
成绩 90以上 80~90 70~80 60~70 60以下 合计
X
i 1 m i 1 m i
X f X 2 f 2 X m f m X 1 1 f1 f 2 f m
fi
i
f
Xi
i 1
m
fi
f
i 1
m
i
式中：X为算术平均数; f i为第 i 组的次数； 为 m 组数； X i为第 i组的标志值或组中值。
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2、作用
（1）使范围不同的总体具有可比性。 （2）反映总体各单位的一般水平这一综合特征，抽 象掉了个体差异。 （3） 反映总体分布的集中趋势。 即如果以总体单位某一标志的平均数为中心线， 则总体各单位的标志值主要分布于中心线及其上下 附近，而远离中心线的标志值较少。
适用条件: 分组资料
例1：单项式数列
某班学生年龄情况表
人数（人） 5 5 2 8 20
频数
按年龄分组（岁） 20 21 22 23 合计
分组
比重（％） 25 25 10 40 100
频率
求学生的平均年龄 解:(1)绝对权数
X
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
20 5 21 5 22 2 23 8 21.65(岁) 55 28
分组 组中值
人数（人） 4 6 4 4 2 20
频数
比重（％） 20 30 20 20 10 100
频率
求学生的平均身高 解:(1)绝对权数
X
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
1.45 4 1.55 6 1.65 4 1.75 4 1.85 2 46442 1.62(米)
五、众数 六、中位数
七、各种平均数之间的相互关系
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一、平均指标的概念和作用
㈠概念：平均指标是指将同质总体内各 单位的数量差异抽象化，反映总体一般 水平或集中趋势的统计指标 所谓集中趋势，指一组数据向某一中心 值靠拢的倾向，测度集中趋势，也就是 寻找数据的一般水平的代表值或中心值。
例1,设有某行业150个企业一季度的有关产值和 利润资料如下表：
³ Ð Ò Ä µ ² ú Ö µ Í º À û È ó Ç é ¿ ö ± í » ¼ Ò ¾ ¶ È ú µ ² Ö À û È ó Â Ê £ ¨%© £ ×Ö é Ð Æ Ò ó µ Ê ý £ ¨· ö £ © Ê µ ¼ Ê ² ú Ö µ £ ¨Í ò ª Ô © £ 5~10 30 5700 10~20 70 20500 20~30 50 22500 Ï º ¼ Æ 150 48700 µ £ Ö ¨%© £ 7.5 15 25 ª ¡
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
i
20 25% 21 25% 22 10% 23 40% 21.65
例2：组距式数列（等距数列） 某班学生身高情况表
按身高分组（米） 组中值 1.45 1.4－1.5 1.55 1.5－1.6 1.65 1.6－1.7 1.75 1.7－1.8 1.85 1.8－1.9 —— 合计
h
说明
(1)社会经济统计中所应用的调和平均数通常是加权算术平均数的变形， 已知各组变量值 xi 和（xi fi）而缺乏 fi 时，加权算术平均数通常可变形为 调和平均数形式来计算。
在已知每种价格x、销售量f时，求平均价格用加权算术平均数。
在已知每种价格x、销售额m时，求平均价格用加权调和平均数。
平均工资=企业工资总额/工人数， 平均成绩=成绩总分/学生人数
注意区分算术平均数和强度相对数；
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算术平均数和强度相对指标的区别： (1)含义和作用不同：
强度相对指标表明现象程度发展的强度、密度或普遍程 度； 而平均指标则表明同类现象在一定时间、地点条件下所 达到的一般水平。 强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体，一般 没有直接的依存关系，且有的强度相对指标分子分母可 以对换，即强度相对指标可以计算正指标或逆指标； 而平均指标的分子是总体总量指标，分母则是同一总体 内的总体单位总量，两者具有密切的关系，且平均指标 的分子分母不能互换。 强度相对指标一般为复名数，有时为无名数；平均指标 则为单名数。
i 1 m i i
x f
m
实际上，例2是用下列公式计算：
m Xh 1 X
这就是简单调和平均数的公式。
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(三)加权调和平均数
计算公式:
XH
m m1 m2 mm mm 1 m1 m2 m X X1 X 2 Xm
mi 为第 i 式中：X i 为第 i 组的变量值； 组的标志总量。
某班英语成绩 人数f(人) 频率(%) 5 10 13 26 16 32 11 22 5 10 50 100
组中值 95 85 75 65 55 —
解(1)绝对权数
X
X
i 1 n
n
i
fi
i 1
7 5.4(分)
fi
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
75.4(分)
n 1700 1900 1500 1850 2200 5 1830(元)
x x
例2： 某某班学生基本情况调查表
姓名 张三 李四 王五 贾六 刘七 杨小 孙非 王继 赵可 武思 兰第 拉达 向乐 项于 可人 梁草 保安 马宝 姜清 林可 性别 男 女 男 女 男 男 男 男 女 男 女 女 男 女 男 女 男 男 女 男 民族 汉 汉 回 汉 汉 回 回 满 汉 汉 汉 汉 回 汉 汉 回 汉 汉 满 满 年龄 21 21 23 23 22 21 20 23 23 21 23 23 22 21 23 23 20 20 20 20 身高 1.52 1.43 1.58 1.51 1.69 1.75 1.81 1.65 1.65 1.76 1.48 1.43 1.58 1.61 1.71 1.52 1.46 1.82 1.58 1.73 政治面貌 中共党员 中共党员 团员 团员 团员 中共党员 团员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员 团员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员
（三）平均指标的种类 数值平均数：根据统计数列中的各项数据计 算出的平均数。主要有：算术平均数、 调 和平均数、几何平均数。 位置平均数：将各单位标志值排序后，取得 某一位置的标志值作为反映一般水平的代表 值。有:众数、中位数。
二、算术平均数（Arithmetic Mean）
㈠基本公式
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量 例如：