案例4 局部脑血流量的测定

此式由于形式复杂，不能利用最小二乘拟合
算法1
将式模型离散化，记时间间隔为T，利用前插公式得
hn 1 hn hn pn T
hn 1 1 T hn Tpn
算法2
从线性控制系统的角度来考察模型并运用控制理论
中的一些工具帮助求解 对模型作拉普拉斯变换得
zh( z) e
T
hz (1 e T ) p( z )
得到采用零阶保持器离散化差分方程为
hn 1 e
T
hn (1 e T ) pn
一个含有T的所有高次项的高精度模型 注：
e T 1 T O(T )
hn 1 1 T hn Tpn
恰好是用一阶差分方法，离散微分方程后结果
保持器
e Ts (1 e Ts ) 2 H 2 ( s) Ts 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h
n 1
e
T
T hn 2 (e 1 T ) pn1 2 (Te T e T 1) pn T T
2)用最小二乘法实现模型参数估计 含有T的所有高次项的高精度模型，多个时刻的方程写 成
sh( s) h(0) h( s) p(s)
该系统的传递函数
G( s) h( s ) p( s) s
结构框图
p(t )


h(t )

h(t )
图1

p (s )

S
h(s )
图2
对P(s)进行采样，采样周期为T
由于采样得到是脉冲量，所以需要加入一个保持器。
h(t ) : 头部记数率
p (t ) : 呼出气体记数率
:
半衰期
:
脑血流系数
:
呼出气记数率系数
三、数学模型建立
微元分析法
t : [t , t t ]
h : [h, h h]
h 仅与三个因素有关
1)肺动脉血将肺部的放射性同位素送到大脑，使脑部记数率
增加 h1
2)脑血流将同位素带离，脑记数率下降 h2
hk 1 hk x pk y ek
,y (1 e T )
xe
T
估 计
x y
欲使残差平方和
J eT e ( H Φ ) T ( H Φ )
min
J 0

[ T ] 1 T H
的估计值
2. 脑部记数率下降只与该处脑血流有关，其下降速率正比 于脑记数率。这里忽略了放射性元素的衰变和其他因素。 3. 脑血流量在测量期间恒定。心脏搏动、被测试者大脑活 动、情感波动等带来的变化可忽略。
4. 每次仪器测量为相互独立事件，各测量值无记忆关联。
5. 放射性同位素在人体内传递从吸入气体(含有放射物) 开始，假定一次吸入，则认为瞬时在肺中达到最大浓度。 6. 吸入气体瞬时，脑中放射性记数率为零。 7. 脑血流量与脑血流系数成单值函数关系，求得后者， 即可确定前者。 记号
若使用零阶保持器
1 e Ts H1 ( s ) s
1 e Ts 整个系统的广义传递函数 G1 ( s) s S
p (s )
H 1 ( s)
保持器
S

h(s )
图3
对G1 ( s ) 作Z变换
h( z ) 1 e T Z (G1 ( s )) G1 ( z ) P ( z ) z e T

所以考虑时刻内头部放射性元素记数率变化，有
h(t ) h1 (t ) h2 (t ) h3 (t )


dh1 dh2 dh3 dh dt dt dt dt
dh ln 2 h p h dt
在测试时放射性同位素的半衰期一般很大

dh(t ) h(t ) p(t ) dt
四、模型求解
1.算法的建立和改进
在建立算法前对 p (t ) 作了预测，由最小二乘拟合得到
ln p(t ) 9.1648 1.4807 t
p (t ) 可以认为是负指数曲线
由h(0) 0
解得
p Ae
t t
A h e t e t
五、测试和结论
结果 算法 算法测试 结果 设定值 拟合值
直接前差分
1.0000
0.8848
0.4700
Z一变换法(零阶保持器)
1.0000
1.0000
0.5000
Z一变换法(三角保持器)
1.0000
1.0000
0.5001
六、模型的优缺点
上述的模型及算法是稳定的，递推得到的值也能够快速收 敛，采用递推算法，减少了运算规模，加快了运算速度； 使用样条扦值在一定程度上减小了截断误差。更主要的是 自控概念的引入和Z--变换方法的使用，使我们得到了比较 令人满意的差分方程，并以此获得了准确的结果。在上述 解法中，对另一参数的拟合却不太满意，但也未找到原因； 另外，也没有对算法中的误差作出估计，未对结果作一些 校正。
3)放射性元素自身有衰减，由此引起的记数率下降为 h3
由医学实验和假设有
dh1 p (t ), dt
以及
t
dh2 h(t ) dt
2 1 h3 h(t ) ln 2 t Ot 2
或
dh3 ln 2 h(t ) dt
其中 ln 2 相当于衰变常数
第二讲 局部脑血流量的测定
•问题提出
一、分析 建模目的：确定脑血流系数的数学模型，并计算上述受 试者的脑血流系数 实验表明，脑中放射性同位素增加的速率与当时呼出气 的记数率成正比；而脑中放射性同位素下降的速率与当 时脑局部的记数率成正比；其比例系数即为脑血流量系 数----待求量。
某些假定建立一个比较简单的微分方程模型，我们先用一 般差分公式离散微分方程，用最小二乘法拟合待求的脑血 流量系数，并通过对测验点进行三次样条插值以减小离散 化过程的截断误差。 二、假设 与记号 1. 脑部记数率上升只与脑部的放射性同位素有关， 率与呼出气的记数率成正比 。 上升速