微专题九 应用三角函数解实际问题的四种常见问题.ppt
利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
新北师大版九年级数学下册阶段方法技巧专训：专训4 应用三角函数解实际问题的是四种常见问题 (共11张PPT)
解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°， BE＝20m，∴AE＝20m． 在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20m， ∴EF＝ BE = 20 = 20 3 (m)． tan 30° 3 3 ∴AF＝EF－AE＝20 3 －20≈20×1.732－20 ＝14.64≈15(m)． ∴AF的长度约是15m．
类型 3 测距问题
3．【2017·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B 两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小 山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟 40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气 球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据 求A，B两地的距离AB长．(结 果用含非特殊角的三角函数和 根式表示即可)
类型 1 定位问题
1. 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游 轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得 望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向 行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的 北偏东60°方向，求此时游轮与 望海楼之间的距离BC.
( 3 取1.73，结果保留整数)
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M.
由题意得，AC＝40×10＝400(m)．
在Rt△ACM中，∵∠A＝30°， ∴CM＝ 1 AC＝200 m，
2
AM＝
3 2
AC＝200
3 m.
在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.
∴BM＝CM·tan 20°.∴AB＝AM－BM＝200 3－
解：根据题意可知AB＝300 m.
如答图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，
三角函数的应用与问题解决
波动方程：描述波动的传播 和变化规律
驻波：描述波动在两端反射 后的叠加状态
简谐振动：描述物体在平衡 位置附近的往复运动
干涉：描述两列或两列以上 的波动叠加后的效果
三角函数在电磁学中的应用
电磁波的传播：使 用三角函数描述电 磁波的传播方向和 速度
电磁场的强度：使 用三角函数描述电 磁场的强度和方向
滤波器设计：三角 函数在滤波器设计 中用于设计各种滤 波器，如低通、高 通、带通和带阻滤 波器等。
信号分析：三角函 数在信号分析中用 于分析信号的频谱 、功率谱等特性。
控制系统设计：三 角函数在控制系统 设计中用于设计各 种控制系统，如 PID控制器、自适 应控制器等。
Part Five
三角函数在实际问 题解决中的应用
三角函数在土木工程中的应用
结构分析：利用 三角函数计算结 构受力、变形和 稳定性
材料科学：利用 三角函数分析材 料的力学性能和 物理特性
施工技术：利用 三角函数进行工 程测量和施工放 样
环境工程：利用 三角函数进行环 境评估和污染控 制
三角函数在电子工程中的应用
信号处理：三角函 数在信号处理中用 于描述信号的频率、 相位和振幅等特性。
医学：三角函数在医 学中的应用主要体现 在心电图的分析中， 如心电图的波形、心 率的计算等。
生物学：三角函数在 生物学中的应用还体 现在生态学中，如种 群密度、生态平衡等。
医学：三角函数在医 学中的应用还体现在 放射医学中，如X射 线的成像、放射治疗 的剂量计算等。
三角函数在环境科学中的应用
风向和风速的测量：利用三角 函数计算风向和风速
06 如 何 提 高 解 决 三 角 函数问题的能力
三角函数的应用三角函数ppt课件
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定解析:相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.答案:C
探究一
探究二
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
延伸探究 本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全检查,且检查工作必须在海浪高度低于 米时进行,试问:海滨浴场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12辨析
随堂演练
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,即12k-3<t<12k+3(k∈Z).①∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.
随堂演练
数据拟合三角函数模型问题例3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?分析:作出散点图→判断形状构建模型→求参数
课件：专训4 应用三角函数解实际问题的是四种常见问题
类型 3 测距问题
3．【2017·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B 两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小 山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟 40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气 球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据 求A，B两地的距离AB长．(结果用 含非特殊角的三角函数和根式表示 即可)
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M.
由题意得，AC＝40×10＝400(m)．
在Rt△ACM中，∵∠A＝30°， ∴CM＝ 1 AC＝200 m，2Fra bibliotekAM＝
3 AC＝200 2
3 m.
在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.
∴BM＝CM·tan 20°.∴AB＝AM－BM＝200 3－
答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.
本题也可过C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝ AC，则AD＝ 1 AB＝150 m，所以在Rt△ACD
2 中，AC＝ AD 150 ≈173(m)．
cos 30 3 所以BC＝AC≈173 m. 2
类型 2 坡坝问题
2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE ＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的 防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新 的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精 确到1米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)
解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°， ∠DEC＝90°，∴DE＝ 1 DC＝2(米)． 2
(2)如图，过点D做DF⊥AB，交AB于点F，
则∠BFD＝90°，∠BDF＝45°， ∴∠DBF＝45°，即△BFD为等腰直角三角形. 设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形， ∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米，
解三角形问题常见类型及解法PPT课件
正弦定理
应用
应用举例
余弦定理
应用
第1页/共27页
常见变式 推论
知识结构
正弦定理 应用举例 余弦定理
a b c 2R snA sin B sin C
常见变式
应用
已知两角和任一 边,求其它边和角
已知两边和其中一边的 对角,求其它边和角
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a 2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cos C
△ ABC （ ）
（A）一定是锐角三角形.
（B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形.
(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
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典例导悟
（2010·上海高考文科·Ｔ１8）.若△ ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C 5 :11:13 ，则
△ ABC （ ）
第23页/共27页
【解析】(Ⅰ)为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为
OT，小艇到达 T 位置时轮船的航行位移 s0 AT, 即
30t 10,t 1 ，vt 10 3 ，从而 v 10 3 30 3（海里/小时）；
3
t
(Ⅱ)若轮船与小艇在 H 处相遇时，在直角三角形 OHT 中运用勾
股定理有： (900 v2)t2 600t 400 0 ，等价于
又因为 △ABC 的面积等于 3 ，所以 1 ab sin C 2
联立方程组
a2
b2
ab
4 ,
ab 4
解得
a b
2 .
2
3 ，得 ab 4 ．
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（2）由题意得 sin(B A) sin(B A) 4sin Acos A， 即 sin B cos A 2 sin Acos A ，
第五章 第七节 解三角形的实际应用 课件(共43张PPT)
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
9数学人教版 -专训4 应用三角函数解实际问题的四种常见问题
专训4 应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．【中考·天津】某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(3取1.73，结果保留整数)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．【2017·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)(第3题)测高问题4．【2016·茂名】如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；(2)求旗杆CD的高度．(第4题)答案1．解：根据题意可知AB ＝300 m .如图所示，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D.在Rt △ADB 中，因为∠BAD ＝30°，所以BD ＝12AB ＝12×300＝150(m )．在Rt △CDB 中，因为sin ∠DCB ＝BD BC ，所以BC ＝BD sin ∠DCB ＝150sin 60°＝3003≈173(m )． (第1题)答：此时游轮与望海楼之间的距离BC 约为173 m .点拨：本题也可过C 作CD ⊥AB 于D ，由已知得BC ＝AC ，则AD ＝12AB ＝150 m ，所以在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos 30°＝15032≈173(m )．所以BC ＝AC ≈173 m . 2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米，∴AE ＝20米．在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米，∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)． ∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．即AF 的长度约是15米．3．解：如图，过点C 作CM ⊥AB 交AB 延长线于点M.(第3题)由题意得，AC ＝40×10＝400(m )．在Rt △ACM 中，∵∠A ＝30°，∴CM ＝12AC ＝200 m ，AM ＝32AC ＝200 3 m . 在Rt △BCM 中，∠CBM ＝70°，∴∠BCM ＝20°.∴BM ＝CM·tan 20°.∴AB ＝AM －BM ＝2003－200tan 20°＝200(3－tan 20°)m ，因此A ，B 两地的距离AB 长为200(3－tan 20°)m .4．解：(1)∵教学楼B 点处观测到旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°.在Rt △ABD 中，∠BAD＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4米，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离AD 是43米．(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝43米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．。
9数学人教版-专训4应用三角函数解实际问题的四种常见问题
专训 4应用三角函数解实质问题的四种常有问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实质问题时，要学会将变化多端的实质问题转变为数学识题，要擅长将某些实质问题中的数目关系归纳为直角三角形中的元素 ( 边、角 ) 之间的关系，若不是直角三角形，应试试增添协助线，结构出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．此中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要娴熟掌握其解题思路，掌握解题重点．1．定位问题【中考·天津】某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点 A 与望海楼 B的距离为m，在 A 处测得望海楼 B 位于 A 的北偏东 30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后抵达在C处测得望海楼 B 位于 C的北偏东 60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(取1.73，结果保存整数)300C，3(第 1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角∠ BAE ＝45°，坝高 BE ＝20米．汛期到临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从 A 处向后水平延长到F处，使新的背水坡BF的坡角∠ F＝ 30°，求 AF 的长度 .(结果精准到 1米，参照数据：2≈ 1.414， 3≈ 1.732)(第 2题)测距问题3．【2017 ·呼和浩特】A ， B两地的距离，让一热气球从小山西如图，地面上小山的双侧有 A ， B两地，为了丈量AB 成 30°角的方向，以每分钟40侧A 地出发沿与m的速度直线飞翔，10分钟后抵达 C处，此时热气球上的人测得CB与 AB 成 70°角，请你用测得的数据求 A ， B两地的距离 AB 长． ( 结果用含非特别角的三角函数和根式表示即可)(第3题)测高问题4．【2016 ·茂名】如图，在数学活动课中，小敏为了丈量校园内旗杆CD的高度，先在教课楼的底端A 点处，观察到旗杆顶端C的仰角∠CAD ＝60°，而后爬到教课楼上的B处，观察到旗杆底端D 的俯角是 30°，已知教课楼AB 高 4米．(1)讨教课楼与旗杆的水平距离AD( 结果保存根号 )；(2)求旗杆 CD 的高度．(第4题)答案1．解：依据题意可知AB ＝ 300 m.如下图，过点B作 BD⊥ AC ，交 AC 的延长线于点 D.在 Rt△ ADB 中，由于∠ BAD ＝ 30°，所以 BD ＝1AB ＝1 22×300＝ 150(m)．在 Rt△ CDB 中，由于 sin∠ DCB ＝BD，所以 BC ＝BD＝ 150＝300 BC sin∠ DCB sin 60° 3≈173( m)．(第1题 )答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为 173 m.点拨：此题也可过C作CD⊥ AB于D，由已知得BC＝AC，则AD＝AD＝150≈ 173(m)．所以 BC＝ AC ≈173 m.m，所以在 Rt△ ACD 中， AC ＝cos 30°322．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，∴AE ＝ 20米．在 Rt△ BEF中，∠ BEF ＝90°，∠ F＝ 30°， BE ＝ 20米，∴EF＝BE＝20＝ 20 3(米 )． tan 30 °33∴AF＝ EF－ AE ＝ 20 3－20≈ 20×1.732－ 20＝ 14.64≈ 15(米 )．即 AF 的长度约是 15米．3．解：如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M.1AB ＝ 150 2(第3题)由题意得， AC ＝40× 10＝ 400(m)．在 Rt△ ACM 中，∵∠ A ＝ 30°，13∴ CM ＝ AC ＝ 200 m，AM ＝2AC ＝200 3 m.2在 Rt△ BCM 中，∠ CBM ＝ 70°，∴∠ BCM ＝ 20°.∴ BM ＝ CM·tan 20 °.∴ AB ＝AM－ BM ＝ 200 3－ 200tan 20 °＝ 200(3－ tan 20 °)m，所以 A ， B两地的距离AB 长为 200(3－ tan 20 °)m.4．解：(1)∵教课楼 B 点处观察到旗杆底端 D 的俯角是 30°，∴∠ ADB ＝ 30°.在 Rt△ ABD 中，∠ BAD＝90°，∠ ADB ＝ 30°， AB ＝4米，∴ AD ＝AB＝4＝ 43(米 )．tan∠ ADB tan 30°答：教课楼与旗杆的水平距离 AD 是 43米．(2)∵在 Rt△ ACD 中，∠ ADC ＝90°，∠ CAD ＝ 60°， AD ＝4 3 米，∴ CD ＝ AD·tan 60°＝ 4 3× 3＝ 12(米 )．答：旗杆 CD 的高度是 12米．。
三角函数的应用解析PPT优选版
实际应用问题 审 题
（设）
分析、联想、抽象、转化
还原 （答）
数学化 （列）
解答数学问题
寻找解题思路
构建数学模型
（解）
例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化
曲线近似满足函数 y A s in (x ) b , 0
（1）求这一时段的最大温差； yAsin(x)b.
（2）写出这段曲线的函数解析式. 来刻画水深与时间之间的对应关系.
⑴选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值；
三角函数可以作为描述现实世界
现象的数学模型.
T/度 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时米的速度减少，那么该船在什么时间必须停
⑶若船的吃水深度为4m，安全间隙为，该船在 2:00开始卸货，吃水深度以每小时的速度减少，那么该 船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函
数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到）
解:（1）以时间为横坐标， 水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图， 根据图象，可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应 关系. 从数据和图象可以得出：
A 利 =用 1 2Tf=x2m a x- ， f求 x得 m in ; b1 2fxmax+fxmin
利 用 最 低 点 或 最 高 点 在 图 象 上 ,
该 点 的 坐 标 满 足 函 数 解 析 式 可 求 得
也可以利用函数的零值点来求．
练习：由图象求解析式 yA sin (x ), 0
9:00