函数项级数典型例题
函数项级数典型例题
的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠
数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数
审敛原理存在自然数N ，使得当 n N 时，对
于任意的自然数 p 都有
a a n1
n2
an p
.
2
由条件(1)，对任何 x I ，都有
un1 ( x) un2 ( x) un p ( x)
un1 ( x) un2 ( x) un p ( x)
an1 an2
an p
例3 研究级数
x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s( x) 0，
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数
n,
取 xn
1 ，于是 n2
sn ( xn )
xn n
1, 2
但 s( xn ) 0,
一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
一. 一致收敛函数列的解析性质
1 函数及限与序列极限交换定理
fn
x
f
x
lim
x x0
fn
x
an
lim
n
an
(即nlim
lim
xx0
lim xx0
fn x
f
x 存在
lim
xx0
lim
n
fn
x)
讨论单侧极限是, 只要把以上定理中的
n 1
在 D 上一致收敛的一个必要条件是：
函数列un (x)在 D 上一致收敛于 0.
3．若已知和函数 S(x) 可用下面的判别法
定理 13-4 函数项级数 un (x)在 D 上一致收 n 1
敛于 S(x)
lim sup
n xD
Rn (x)
第十一章函数项级数
§11.11．讨论下列级数是否在定义区间D 上一致收敛,并说明理由．(1)()(1,1)n f x D ==-; (2)22(),(,)1n xf x D n x==-∞∞+; (3) (),(0,1)nxn f x e D -==; (4) (),(0,)nx n f x xe D -==+∞;(5) ()(sin ),[0,]nn f x x D π==; (6) ()(1),(1,1)n n x f x D n=+=-;(7)21n x n∞∑n ＝,[0,1]D =; (8)1,[1,1](1)!nx D n ∞=--∑n ＝;(9)1,[2,)n nD x∞=∞∑n ＝; (10)[0,1]n D ∞=n ＝. 解（1）由于()()lim n n s x x s x →∞==，所以()()221111n n s x s x x n n -=-=≤=， 于是()()1sup n x Ds x s x n ∈-≤，()()lim sup 0n n x D s x s x →∞∈-=，因此()()1,1()n s x s x x -⇒=。
（2）由于对()+∞∞-∈∀,x ，有()()x S x n xx f n n n ==+=∞→∞→01limlim 22，又()()22112n x s x s x n x n-=≤+，故()()(),lim sup 0n n x s x s x →∞∈-∞+∞-=，于是()(),22()01n x s x s x n x -∞+∞=⇒=+。
（3）因为()()1lim lim lim0nxn nx n n n s x es x e-→∞→∞→∞====，所以01lim sup 010nxn x e -→∞<<-=≠，故()n s x 在()0,1上不一致收敛。
（4）()()()0,nxn s x xes x n -=→=→∞令(),nx f x xe -=()()()00110,0nx f x e nx x f x n-'''=-=⇒=<，故得0x 为唯一极大值，从而是最大值，()()10,11sup 00n nxnx xe e n n en--∈+∞-==→→∞，故()()0,0n s x +∞⇒。
考研数学基础班讲义-微积分第18讲_函数项级数(优选.)
∞
∞
∑ ∑ an 相应于 an (x − 1)n 在 x = 2 处的数项级数，
n=1
n=1
而 x = 2 ∈ (−1, 3) ，所以绝对收敛。
例 18.3 求幂级数 n∑∞=191n x 2n−1 的收敛域。
【解】此时不能套用收敛半径的计算公式，而应直接用比率法求其收敛半径。
lim
k →∞
1 9k +1
的全体。 (2)一般来说，收敛域可能是较为复杂的集合。
18．2 幂级数的概念 幂级数是一类简单的函数项级数。只有真正理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数
在其收敛区间内的性质，才能掌握好收敛半径的求法，并能处理将函数展开为指定点的幂级
数和求简单级数的和的问题。 18．2．1 幂级数的定义与收敛域
∞
∑ 定义 18.4 设 {an }(n = 0,1,2,3,L) 是一实数列，则称形如 an (x − x0 )n 的函数项级数为 n=0
x 2k +1
1 9k
x 2k −1
= lim x2 k→∞ 9
=
x2 9
,
所以
当 x2 9
< 1,
即 | x |< 3 时，级数 n∑∞=191n
x 2n−1 绝对收敛；
∑ 当 x 2 > 1, 即 | x |> 3 时， lim 1 x 2n−1 = +∞ ，所以级数 ∞ 1 x 2n−1 发散。
n=0
的收敛半径为 R
，并不能保证
lim an+1 a n→∞
n
=1 R
或
lim n
n→∞
an
= 1 成立。 R
∑∞
（2）对于级数 an x n
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
有关级数的典型例题
n > N 1 时， x n ↘． 现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少． 利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (
§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答
§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性(1) ()n f x =(,)x ∈-∞+∞； (2) ()sin ,n x f x n =(,)x l l ∈-； (3) (),1n nxf x nx =+ (0,1)x ∈；(4) 1(),1n f x nx=+ ① [,),0,x a a ∈+∞> ② (0,)x ∈+∞；(5) 2233(),1n n x f x n x=+ ① [,),0,x a a ∈+∞> ② (0,)x ∈+∞； (6) (),1n nxf x n x=++ [0,1]x ∈； (7) 2(),n n n f x x x =- [0,1]x ∈(8) 1(),n n n f x x x +=- [0,1]x ∈； (9) ()ln ,n x xf x n n= (0,1)x ∈；(10) 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,)x ∈-∞+∞；(11) 2()(),x n n f x e --=① [,],x l l ∈- ② (,)x ∈-∞+∞。
解 (1) x x f =)(，由于n x nx x f x f n 11)()(22≤-+=-，于是 )()(sup),(),(x f x f f f d n x n -=+∞-∞∈)(0∞→→n ，所以{})(x f n 在(,)-∞+∞上一致收敛。
(2) 对于()0sinlim )(lim ,,==-∈∀∞→∞→nxx f l l x n n n ， 所以极限函数()0≡x f []l l x n ,sup lim -∈∞→=-)()(x f x f n ()l l x n ,sup lim -∈∞→0sin-nx0=。
所以()sin ,n xf x n=在()l l ,-上一致收敛。
(3) 对于()1,0∈∀x 11lim)(lim ,=+=∞→∞→nx nxx f n n n ，所以极限函数()1≡x f ()1,0sup lim ∈∞→x n =-)()(x f x f n ()1,0suplim ∈∞→x n 11-+nxnx0≠。
5.函数项级数习题解答2010_903601917
4．设 u n ( x) ∈ C[ a, b], n ∈ N ，函数项级数
∞ ∞
∑ u n ( x) 在 (a, b) 内一致收敛，证明：
取 M = max{M 1 , M 2 ," , M N , L + 2} ，则 ∀n ∈ ， ∀x ∈ I 有
N
4
函数项级数习题解答
Page 5 of 5
f ( x) < M ，即 { f n ( x)} 在区间 I 上一致有界．
5
n =1
∞
1
1 n
n
= lim x +
n→∞
1 = x, n
所 以 x <1 时 级 数 收 敛 ， x >1 时 级 数 发 散 ， x =1 时 级 数 为
∞
∑ (1 + n ) n
n =1
∞
1
与
u n ≠ 0 知这两个级数发散，从而 f ( x) 的定义域为 ( −1,1) ． ∑ (−1) n (1 − n ) n ，由 nlim →∞
∞ ∞ 4 −2 ∞ 4e −2 S ( x) = ∑ n x 2 e −nx ≤ ∑ n e = ∑ 3/ 2 n2 n =1 n =1 n =1n
x ∈ [0,+∞)
4e −2 由 ∑ 3/ 2 n =1 n
∞
收敛可得函数 S ( x) =
n =1
∑ n x 2 e −nx
∞
在 [0,+∞ ) 上有界．
解：(1) 因为 ln(1 + 一致收敛．
数项级数经典例题大全
第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数项级数经典例题大全（1）
数项级数经典例题大全（1）第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--?-=+n n n ,) (∞→n . ? n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当2≥n 时,有∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-?>+- 9、判断级数()()+-+??-+??+++??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ?∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+?+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<="">∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ?∑+∞<. 13、判断级数∑??+21n n n 和∑??+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<="" p="" 判别法="" 时,="" 由leibniz=""> 收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛.证 ++??? ??-+=??+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=??--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数学分析 函数列与函数项级数 10.1-10.2一致收敛
1 1 1 而 n sup f n ( x ) f ( x ) f n ( ) 0 , n 11 2 x( 0 ,1 )
0,
故在(0,1)上不一致收敛.
定理2. (Cauchy收敛原理)
设 f n 定义于I ,
f n 在I上一致收敛
0, N ( ),当n N ( )时, x I , p N * ,
都有 f n p ( x ) f n ( x ) .
证明:
设f n在I上一致收敛于f ,
0, N ( ),当n N ( )时, 对x I , p N * ,
f n ( x ) f ( x ) , f n p ( x ) f ( x ) . 2 2
n
转化为函数列 S n ( x )的三个等价问题 :
可导 可积
反例见P392.
可导? 可积?
§10.2
一致收敛
一、函数列的一致收敛
⒈ f n 定义于[a , b], x0 [a , b], f n ( x0 )收敛
称 f n 在[a , b]上收敛或逐点收敛.
⒉ 设f n在[a , b]逐点收敛于f ,
即lim f n ( x0 ) f ( x0 ), x0 [a , b].
n
0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时,
f n ( x0 ) f ( x0 )
是否有公共的N , n N时对一切x0 [a , b],
都有 f n ( x0 ) f ( x0 ) ?
有公共的N ( ),与x无关.
⒊一致收敛
定义： f n 在点集I上逐点收敛于f , 若 0, 设
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
考研级数典型例题（完美版讲析）
考研级数典型例题（完美版讲析）常数项级数内容要点一，概念与性质(一)概念由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子=∑∞=1n nu++++n u u u 21称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑== ni in us 1称为级数的部分和.如果s s n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛，s 称为该级数的和.此时记=∑∞=1n nus .否则称级数发散.（二）性质 1, 若∑∞=1n nu收敛，则.11∑∑∞=∞==n n n nu k ku2, 若∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv收敛，则().111∑∑∑∞=∞=∞=±=±n n n n n n nv u v u3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若∑∞n nu收敛，则.0lim =∞→n n u注意：若.0lim ≠∞→n n u 则∑∞=1n nu必发散.而若∑∞=1n nu发散,则不一定.0lim ≠∞→n n u(三) 两个常用级数 1, 等比级数≥<-=∑∞=1,1,10q q qaaq n n2, -p 级数≤>=∑∞,1,11p p n n p二，正项级数敛散性判别法(一) 比较判别法设∑∑?=∞=11,n nn n vu 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则∑∞=1n nv收敛?∑∞=1n nu收敛；∑∞=1n nu发散?∑∞=1n nv(二) 极限判别法如果)0(lim +∞≤<=∞→l l nu n n ,则∑∞=1n nu发散；如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ,则∑∞=1n nu则收敛.(三) 比值判别法设∑∞=1n nu为正项级数，若>?=?<==+∞→fb cu u n n n 111lim1ρ 二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设())0(111=-n n n n u u 为交错级数，如果满足：1, ),2,1(1 =≥+n u u n n 2, 0lim =∞→n n u则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛（一）绝对收敛如果∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛.（二）条件收敛如果∑∞=1n nu收敛，但∑∞=1n nu发散,则称∑∞=1n nu条件收敛.（三）定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、主要内容 1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、函数列{()}n f x一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→（4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→（5）Dini -定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
9.2函数项级数
9.2 函数项级数一、函数项级数的收敛域设函数列{u n (x)}的每个函数都在数集A 上有定义，将它们依次用加号连接起来，即⋯⋯++⋯⋯++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x un n n，（1） 就是数集A 上的函数项级数。
函数项级数（1）的前n 项和 )()()()(21x u x u x u x S n n +⋯⋯++=就是函数项级数（1）的n 项部分和函数，简称部分和。
A ∈∀α，函数项级数（1）在α处对应一个数项级数⋯⋯++⋯⋯++=∑∞=)()()()(211ααααn n nu u u u.(2)它的敛散性可用9.1关于数项级数敛散性的判别法判别。
若级数（2）收敛，则称α是函数项级数（1）的收敛点；若级数（2）发散，则称α是函数项级数（1）的发散点。
定义 函数项级数（1）在收敛点的集合，称为函数项级数(1)的收敛域。
若收敛域是一个区间，则称此区间是函数项级数（1）的收敛区间。
显然，函数项级数（1）在收敛域的每个点都有和。
于是，函数项级数（1）的和是定义在收敛域的的函数，设此函数是S （x ）,即∞→n lim S n (x)=S(x)或 S （x ）=⋯⋯+⋯⋯++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x un n n,称S （x ）是函数项级数（1）的收敛域的和函数。
函数项级数(1)的和函数S （x ）与它的n 项部分和的差，记为R n (x)，即 R n （x ）=S(x)-S n (x)=u 1+n (x)+u 2+n (x)+……，称为函数项级数（1）的第n 项余和。
由（3）式知，对收敛域内任意x ，有∞→n lim R n (x)= ∞→n lim [S(x)-S n （x ）]=0.例1 讨论函数项级数∑∞=0n nx的收敛域.解 函数项级数∑∞=0n nx是几何级数，公比是x.当x ≥1时，函数项级数∑∞=0n nx发散；当x <1时，函数项级数∑∞=0n n x 收敛，和函数S （x ）=x-11，即 x-11=1+x+x 2+……x n ……. 于是，它的收敛域是收敛区间（-1,1）.例2 讨论函数项级数∑∞=12sin n n n x的收敛域. 解 R ∈∀x ,有2s n x in n ≤21n . 已知级数∑∞=121n n 收敛，根据9.1比较判别法，∈∀x R ，函数项级数∑∞=12sin n n n x 都收敛.于是，它的收敛域是实数集R.例3 讨论函数项级数∑∞=1cos n n nx的收敛域. 解 由9.1例14知，x ≠2k π(k Z ∈),级数∑∞=1co s n n nx收敛；x=2k π(k Z ∈)，级数∑∞=1co s n n nx =∑∞=11n n发散.于是，它的收敛域是R\{2k π/k ∈Z}.二、一致收敛概念设函数项级数∑∞=1)(n nx u在收敛区间I 的和函数是S(x),即S(x)=∑∞=1)(n nx u, x I ∈.我们将通过函数项级数的每一项所具有的连续性、可微性与可积性相应地讨论和函数的连续性、可微性与可积性. 一般来说，函数项级数∑∞=1)(n nx u的每一项u n (x) (n +∈N )都在区间I 连续，它的和函数I可能不连续.例如，函数项级数x x +1+2)1(x x ++……+nx x )1(++…… 的每一项nx x)1(+(n +∈N )都在区间[0,1]连续，而它的和函数S （x ）在区间[0,1]却不连续. 事实上，函数项级数∑∞=+1)1(n nx x 是首项为x x +1，公比为x +11的几何级数.x ∀>0, x+11<1，有 S （x ）=∑∞=+1)1(n nx x=xx x+-+1111=1, X=0,函数项级数每项都是0，有s （0）=0. 显然，和函数 S （x ）={10,10,0≤<=x x在区间[0,1]不连续. 一般来说，函数项级数∑∞=1)(n nx u的每一项u n (x)都在区间[a,b]可积，其和函数S （x ）在区间[a,b]不一定可积，即使和函数S （x ）在区间[a,b]可积，而每项积分之和也不一定等于和函数的积分，即⎰badx x )S(≠=dx x un ban∑⎰∞=1)(.对可微也有类似的情况.那么，在什么条件之下，函数项级数每一对所有的分析性质，其和函数也同样具有，且函数项级数的每项积分(极限、导数)之和等于和函数的积分（极限、导数）呢？而极限函数的连续性、可积性、可微性都不只牵涉到一点的性质，而此必须进一步“加强”级数收敛的概念，引入一个新概念——一致收敛.设函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 收敛，和函数是S （x ），即x ∀∈I ，有 S （x ）=∑∞=1)(n nx u.如果∈αI ，则数项级数∑∞=1)(n nuα收敛，有S （α）=u 1(α)+u 2(α)+……u n (α)+……, (4)即ε∀>0，∃N α∈N +(N α取最小者)，n ∀>N α，有)()(ααn S S -=)(αn R <ε. (5) 如果∈βI ，且αβ≠，则数项级数∑∞=1)(n nuβ收敛，有S （β）=u 1(β)+u 2(β)+……+u n (β)+……， （6） 即对上述同样的ε>0，∃N β∈N +(N β取最小者)，∀n>N β,有 )()(ββn S S -=)(βn R <ε. （7）一般来说，数项级数（4）与（6）是不相同的，因此它们收敛的速度不同，在ε相等的情况下，使不等式（5）与（7）成立的正整数N 也是不相等的.使不等式（5）成立的N=N α，使不等式（7）成立的N=N β.由此可见，对任意给定的ε>0，对区间I 内不同的点x,各自存在相应的正整数N x （取最小者），n ∀>N x ，有)()(x S x S n -=)(x R n <ε. （8）区间I 有无限多个点x ，因此对应着无限多个正整数N x （n ∀>N x ，有)(x R n <ε），这无限多个正整数N x 中是否存在最大的呢？换句话说，对区间I 内所有的点x 是否存在一个“通用”的正整数N （n ∀>N,x ∀∈I,有)(x R n <ε）呢？事实上，有的函数项级数在区间I 存在着通用的正整数N ，有的函数项级数在区间I 不存在通用的正整数N.于是，有下面的一致收敛和非一致收敛概念：定义 设函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 收敛于和函数S(x).ε∀>0,∃N ∈N +n ∀>N （通用），x ∀∈I,有)()(x S x S n -=)(x R n <ε， （9） 则称函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛或一致收敛于和函数S （x ）.不等式（9）可改写成S （x ）-ε<S n (x)<S(x)+ε.若和函数S （x ）在区间I 的图像时一条连续曲线，则函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛于和函数S （x ）的几何意义是，不论给定的以曲线S （x ）+ε与S （x ）-ε为边界的带形区域怎样窄，总存在正整数N （通用的N ），n ∀>N,任意一个部分和S n 的图像都位于这个带形区域之内，如果9.1若函数项级数在某个区间不存在通用的N ，就是非一致收敛,现将一致收敛与非一致收敛列表对比如下:例4 证明：函数项级数∑∞=0n nx1） 在[-1+δ,1-δ]其中0<δ<1)一致收敛； 2） 在（-1,1）非一致收敛. 证明 ∀x ∈[0,1],有)()(x S x S n -= )(R x n = ⋯⋯+++1n n x x= x x n-1=xx n-1.1) ∀x ∈[-1+δ,1-δ],即x ∈[0,1-δ],ε∀>0,要使不等式)()(x S x S n -= )(R x n =xxn-1≤δδn)1(-<ε成立.从不等式δδn)1(-<ε解得n>）δεδ-1ln(ln .取N=[）δεδ-1ln(ln ].于是，ε∀>0,∃N=[）δεδ-1ln(ln ]∈N+，∀n>N ，∀x ∈[-1+δ,1-δ],有)()(x S x S n -<ε，则函数项级数∑∞=0n nx在[-1+δ,1-δ]一致收敛.2）∃0ε=1，∀N ∈N +,n ∃0>N ，∃x 0=1-1n ∈（-1,1），有 )()(000x S x S n -=)(R 00x n =01)11(0n n n -=n 0 (1-01n )0n ≥1(因为∞→n lim （1-n 1）n =e 1，所以∃n 0∈N +,使n 0 (1-01n )0n ≥1).即函数项级数∑∞=0n n x 在（-1 ，1）非一致收敛.请注意，这个函数项级数∑∞=0n nx在（-1,1）非一致收敛，而在它的任意一个闭子区间[-1+δ,1+δ]⊂(-1,1)都一致收敛.一般来说，若函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 上非一致收敛，而在I 内任何一个闭子区间上都一致收敛，则称函数项级数∑∞=1)(n nx u在I 内闭一致收敛三、一致收敛判别法讨论和函数的分析性质经常要判别函数项级数的一致收敛性.如果函数项级数的和函数或余和易于求得，判别它的一致收敛性可应用上述的一致收敛定义.有时虽然知道函数项级数∑∞=0)(n nx u在区间I 收敛,但很难求得它的和函数或余和,这时要判别此函数项级数在区间I的一致收敛性就需要根据函数项级数自身的结构，找到判别一致收敛性的判别法.定理一(柯西一致收敛准则) 函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛⇔ε∀>0,∃N ∈N +,n ∀>N ,∀p ∈N +,∀x ∈I,有)()()(21x u x u x u p n n n +++⋯⋯++<ε.证明 （⇒）已知函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛,设其和函数是S （x ）,即ε∀>0,∃N ∈N +,n ∀>N ,∀p ∈N +,∀x ∈I,有)()(x S x S n -<ε.也有)()(x S x S p n +-<ε. 于是,)()()(21x u x u x u p n n n +++⋯⋯++ = )()(x S x S n p n -+= )()()()(x S x S x S x S n p n -+-+ ≤ε+ε=2ε. (⇐)已知ε∀>0,∃N ∈N+,n ∀>N ,∀p ∈N+,∀x ∈I,有)()()(21x u x u x u p n n n +++⋯⋯++=)()(x S x S n p n -+<ε.从而,函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 收敛,设其和函数是S(x).因为p 是任意正整数,所以当p ∞→时,上述不等式有 )()(x S x S n -≤ε, 即函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛.在上面定理1中,取P=1，即ε∀>0,∃N ∈N +,n ∀>N ,∀p ∈N +,∀x ∈I,有)(1x u n +<ε.就得到级数一致收敛的一个必要条件:函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 上一致收敛的必要条件是它的通项u n (x)在I 上一致收敛于0.这个必要条件常被用来判别函数项级数的非一致收敛,非常方便.例5 证明函数项级数∑∞=-1n nxne在(0,+∞)上非一致收敛.证明 只需证明它的通项在(0,+∞)上非一致收敛于0.即∃1>0, ∃N ∈N +,∃n 0>N,∃x 0=1n ∈(0,+∞),有 u 0n (01n )=n 0e 001n n -=n 0e 1-≥1.于是,函数项级数∑∞=-1n nxne在(0,+∞)上非一致收敛.定理1(M 判别法) 有函数项级数∑∞=1)(n nx u,I 是区间,若存在收敛的正项级数∑∞=1n na,n ∀∈N +,∀x ∈I,有)(x u n ≤a n , 则函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛.证明 已知正项级数∑∞=1n na收敛,根据柯西收敛准则(9.1定理1),即ε∀>0,∃N ∈N +,n ∀>N ,∀p ∈N +,有a 1+n + a 2+n +…..+a p n +<ε.由已知条件, ∀x ∈I,有)()()(21x u x u x u p n n n +++⋯⋯++≤)(1x u n ++)(2x u n ++…. )(x u p n + ≤a 1+n + a 2+n +…+a p n +<ε,即函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 一致收敛.满足不等式)(x u n ≤a n 的数项级数∑∞=1n na,称为函数项级数∑∞=1)(n nx u在区间I 上的优级数.定理2是说,若函数项级数在区间I 上存在收敛的优级数,则在区间I 上一致收敛.例6 讨论函数项级数)1n x (11n +-+∞=∑n x n n 在区间[-1,1]的一致收敛性.解 应用定理1. n ∀∈[-1,1],即x ≤1,ε∀>0,∀p ∈N +,要使不等式 )()(x S x S n p n -+=)1(.....)32()21(13221++-++++-+++-++++++++p n x p n x n x n x n x n x p n p n n n n n=1111++-++++p n x n x p n n ≤11++n x n +11++++p n x p n =11+n +11++p n <12+n <ε 即函数项级数)1nx (11n +-+∞=∑n x n n 在区间[-1,1]一致收敛.例 7 证明:1) ∑∞=1!n nn x 在区间[-a,a](a 是正数)一致收敛;2)∑∞=+1241n xn x在R 一致收敛. 证明 1) ∈∀x [-a,a],即x ≤a,有!n x n =!n x n≤!n a n. 已知优级数∑∞=1!n n n a 收敛,根据定理2，函数项级数∑∞=1!n nn x 在区间[-a,a]一致收敛.2)∈∀x R,有241xxn +=2242211x 2n n x n ⋅+≤221n . 已知优先级∑∞=1221n n 收敛,根据定理2，函数项级数∑∞=+1241xn xn 在R 一致收敛. 注 定理2(M 判别法)是判别函数项级数一致收敛的很简便的判别法,但是这个方法有很大的局限性,凡是用M 判别法判别函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,那么就不能使用M 判别法.对于条件收敛的函数项级数,判别其一致收敛,有下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法. 首先给出几个概念:定义 设函数列{u n (x)}的每个函数u n (x)都在数集A 有定义.1)若∈∀x A,数列{u n (x)}单调增加(单调减少),则称函数列{u n (x)}在A 单调增加(单调减少).单调增加或单调减少,统称为单调.2) 若M ∃>0, n ∀∈N +,∀x ∈A,有(x) u n ≤M,则称函数列{u n (x)}在A 一致有界. 前面有判别变号级数条件收敛的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,完全类似地有判 别函数项级数一致收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法: 定理3(狄利克雷判别法) 若级数∑∞=1)()(n n nx b x a满足下面两个条件:1) 函数列{a n (x)}对每个x ∈I 是单调的,且在区间I 一致收敛于0; 2) 函数项级数∑∞=1)(n nx b的部分和函数列{B n (x)}在区间I 一致有界.则函数列级数∑∞=1)()(n n nx b x a在区间I 一致收敛.证明 已知函数列{a n (x)}一致收敛于0，即ε∀>0, ∃N ∈N +,n ∀>N, ∀x ∈I,有 )(1x a n +<ε 又已知函数项级数∑∞=1)(n nx b的部分和函数列{B n (x)}在区间I 一致有界,即M ∃>0,n ∀∈N +,∀x ∈I,有 (x ) B n ≤M.从而,有)()()(21x b x b x b p n n n +++⋯⋯++ = )()(x B x B n p n -+ ≤)(x B p n ++)(x B n ≤2M. 根据阿贝尔变换的2)(8.3引理), ∀x ∈I,有)()(...)()()()(2211x b x a x b x a x b x a p n p n n n n n +++++++++≤2Ma p n +(x).于是,ε∀>0,∃N ∈N +,n ∀>N ,∀p ∈N +,∀x ∈I,有)()(...)()()()(2211x b x a x b x a x b x a p n p n n n n n +++++++++≤2M ε, 即函数项级数∑∞=1)()(n n nx b x a在区间I 一致收敛.定理4(阿贝尔判别法) 若级数∑∞=1)()(n n nx b x a满足下面两个条件:1) 函数列{a n (x)}队每个x ∈I 是单调的,且在区间I 一致有界;2) 函数项级数∑∞=1)(n n x b 在区间I 一致收敛.则函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a在区间I 一致收敛.证明 不妨设函数列{a n (x)}在区间I 单调减少.已知它在区间I 一致有界,即M ∃>0, n ∀∈N +,∀x ∈I,有≤)(x a n M.有M ≥a 1(x)≥a 2(x)≥…≥ a n (x)≥…≥-M.从而, ∀x ∈I,有a 1(x)+M ≥a 2(x)+M ≥...≥ a n (x)+M ≥ 0又已知函数项级数∑∞=1)(n n x b在区间I 一致收敛,即ε∀>0，∃N ∈N +,n ∀>N,+∈∀N p∀x ∈I,有)()()(21x b x b x b p n n n +++⋯⋯++<ε由阿贝尔变换的2)(8.3引理)εεM M x a x b M x a x b M x a x b M x a n p n p n n n n n 2])([)(])([...)(])([)(])([12211≤+≤+++++++++++++即函数项级数∑∞=+1)(])([n n n x b M x a在区间I 一致收敛.已知函数项级数∑∞=1)(n nx Mb 在区间I 一致收敛(见练习题9.2(一)第四题);两个函数项级数在区间I 都一致收敛,它们的”差”在区间I 也一致收敛(见练习题9.2(一)第5题).因此,函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a=)]()()()([1x Mb x Mb x b x a n n n n n -+∑∞= =)(])([1x b M x a n n n ∑∞=+-)(1x Mb n n ∑∞= 在区间I 一致收敛.以上两个一致收敛的判别法(定理3于定理4)的条件互有强弱,与9.1的定理11与定理12非常类似.例8 证明: 函数项级数∑∞=1sin n n nx 在区间[δπδ-2,](0<πδ<)一致收敛. 证明 ∈∀x [δπδ-2,],n ∀∈N +,有(9.1，例14)∑=n k kx 1sin =x x n x 21sin 2)21cos(21cos +- x 21s i n 1≤≤δ21s i n 1=M. 即函数项级数∑∞=1sin n nx 的部分和函数列在[δπδ-2,]一致有界,而数列{n 1}单调减少趋近于0(当然在[δπδ-2,]也是一致收敛于0),根据狄利克雷判别法,函数项级数∑∞=1sin n n nx 在区别[δπδ-2,]一致收敛.。
10-习题课(函数项级数)
(三)、傅里叶级数
(1) 三角函数系 三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
正交性 任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
f (n) (0)x n称为 f ( x) 在点x 0 的麦克劳林级数.
n0 n!
(2) 充要条件
定理 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
)
内lim n
Rn
(
x)
0
.
(3) 唯一性
解 (n 1)(x 1)n 的收敛半径为 R 1, n0 收敛域为 1 x 1 1, 即 0 x 2,
设此级数的和函数为 s( x), 则有
s( x) (n 1)(x 1)n . n0
两边逐项积分
x
x
s( x)dx (n 1)(x 1)n dx
克劳林级数.
解 ln(1 x) x x2 x3 , 23
ln(1 x2 ) x2 x4 x6 (1)n1 x2n ,
23
n
又
x
arctan x
1
dx
0 1 x2
(1 x 1)
x
[1 x2 x4 x6 (1)n x2n ]dx 0
第10章 无穷级数(函数项级பைடு நூலகம்) 习题课
高数幂级数详解和习题
二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n 0
当x0 0时, an xn , 其中an为幂级数系数.
n0
2.收敛性:
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1] [1,);
n1
lim
an1
n an
lim
n
(n
1)n1 nn
lim n
1
1 n
n
(n
1)
R 0,
级数只在 处收敛, 收敛域为{0}.
(3) xn ;
n1 n! lim an1 lim 1 0, R ,
n an n n 1
收敛域为
.
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
如果级数 an x n 在x x0 处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
几何说明 收敛区域
• • •• • • ••• • •
(2)
(1)n
n0
x2n
1 1 x2
;
(3)
ax 2n
n0
a 1 x2
;
(4) xn e x;
n0 n!
(5) (1)n1
x 2n1
sin x;
n1
(2n 1)!
(6) (1)n xn1 ln(1 x);
n0
n1
四、小结
函数序列与函数项级数习题课(一)
(1) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛，所以收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 级数 (1)n收敛； n1 n
x
),
n1
⒊ un ( x)至少在一点x0处收敛,
n1
则 un ( x)在[a,b]上一致收敛，其和S'( x) C[a,b],
n1
且S'( x) g( x), 即有：
'
un
(
x)
un' (x)
n1
n1
逐项可导
典型例题
例1：求
n1
n x n nn x
收敛域
n xn
解：lim nn x
n
1
lim
n
1
x n
n
ex
nx
x 1
n x
n
收敛
n n1
n x
x 1,
n x n 发散
nnx
n1
例 判断 xn 1 x x2
1.
n0
和发散点集。
xn 的收敛点集
解：当 x 1时, 级数收敛; x 1时,级数发散.
收敛点集: (1,1);发散点集: (, 1] [1, ).
fn ( x), n 1，2, ...在I上连续，且{ fn( x)}在I上一致收敛 于f ( x),则f ( x)在I上连续.
定理4.2(函数项级数的和函数的连续性) 设级数
un ( x)在I上一致收敛于S( x), 且若un ( x) CI , 则
第10章(2)函数项级数练习
第10章（2） 函数项级数§3 幂级数幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和∑∞=0n n nx a的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑nnxa 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n nxa 发散.证∑nn x a 收敛, {nn x a }有界.设|nn x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nn x a 和∑-n n x x a )(0的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ1=; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .证 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间: ) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.例1 求幂级数∑2n x n的收敛域 . ( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域:⑴ ∑∞=0!n n n x ; ⑵ ∑∞=0!n nx n .例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域 .Ex[1]P 50—51 1.二． 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n n n x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在] , [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一致收敛.Th 4 设幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证 nnn nn R x R a x a ⎪⎭⎫⎝⎛=.∑nnR a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn xa 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna , *)∑⎰∞==1n xnn dt t a *)*11,1∑∞=++n n n x n a*) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与∑nn xa 有相同的收敛半径 . ( 简证 )注: *) 和 **)与∑n nxa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nn x .2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. Th 6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .Th 7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则ⅰ>∑∑=n n nnx a xa λλ, λ , ||a R x <— 常数， 0≠λ.ⅱ>∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.ⅲ> (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.3. 和函数的性质: Th 8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;ⅳ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a .注:当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n nx a在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a 在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a , ……+++=+x a n a n x fn n n 1)()!1(!)(.注: 由系1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='== 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.验证 所给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x . ⇒ )(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入, ⇒ 02=-'-''y y y .例6 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x . ,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x .⎰∑⎰∑∞=∞=+++++++=+==-=-x n xn n n n n x x x n x dt t dt t x 00001211211111ln ,)1,1(-∈x§4 函数的幂级数展开一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式和Maclaurin 公式. Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式:Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= ,（只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x fn 存在）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x fθ1<<θ.积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有)(x R n ⎰-=+x x n n dt t x t f n 0))((!1)1(.Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项 )(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f, 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可 写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n nx.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点,是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外,函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.⑵ 若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.3． 函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式. 4. 可展条件: Th 1 (必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .Th 3 (充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x ⅰ> 按x 幂; ⅱ> 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 (, 1) 0 (=-'='f f 46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f0)()4(==== n ff.所以,ⅰ> 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. ⅱ> 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x .二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式. 为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开. 1. =xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=xa ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .2. =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.3. 二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, mx )1(+为多项式, 展开式为其自身;m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=nx n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅见教材.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.):当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如 取1-=m , 得 +-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112， ) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得 +⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x .] 1 , 1 (-∈x . 事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰=+=+xt dt x 01)1ln( ∑⎰∞==-00) 1 (n x n ndt t ∑∞=++-011) 1 (n n nn x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ) 1 , 1 (-∈x . 验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.5. =+-+-= 753753x x x x arctgx ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x .11 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x n n n n n dt t dt t t dt arctgx 00002022)1()1(1 =∑∞=++-012,12) 1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立. 例4 展开函数1431)(2+-=x x x f .解 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∑∑∞=∞=+0013211131321)(n n n n n x x x x x f ∑∞=+<-=0131 || , ) 13 (21n n n x x .例5 展开函数x e x x f )1()(+=.解 =+=x x xe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x=+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nnx n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n n x x n n.。
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1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠
，由于其一般项不趋向于
0，
∑ 故级数发散；当 a
< b 时，级数化为
∞ (−1)n
n
=1
1
+
⎛ ⎜⎝
a b
⎞n ⎟⎠
，其一般项不趋向于
0，级数发散.
同样，在 x = R 时，级数发散，综上所述，所求收敛域为 x = (−R, R) ，其中 R = max{a,b} .
∞
例 6 求幂级数 ∑(2n +1) xn 的收敛域，并求其收敛域内的和函数. n−0
n−0
n−0
n−0
∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ x S (t )dt = ∞ 2
x (n +1)tndt −
x
∞
t ndt
∞
=2
xn+1 −
x1Leabharlann dt0n=0 0
0 n=0
n=0
0 1−t
∫ = 2x − x 1 dt 1− x 0 1−t
求导得
S
(x)
=
2
(1− x)2
−1 1−
x
=
1+ x
(1− x)2
的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
则
( ) ∑ ( ) ∑ ∑ S '
x
=
∞⎡
n=1
⎢ ⎣
2n
x2n−1 2n −1
⎤′ ⎥ ⎦
=
∞ n=1
x2n−2 2n
=
1∞ 2 n=1
x2n−2 2n−1
=
1 2
1 1− x2
=
2
1 − x2
,
x<
2
2
4
又
S
(0)
=
0
，所以
S
(
x
)
=
x
∫0
S′(t
)
dt
x
=∫0
2
1 −t
2
dt
=
2 ln 4
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
x→1−
0
( ) ∫ S (−1) = lim S
x2
=2
−1
arctan xdx
x→−1+
0
∑∞
例 8 求级数
1 的和.
n=1 2n (2n −1)
∑ 解
记 an
=
2n
1
(2n
−1)
，因 lim n→∞
n
an
= lim 2 n→∞ n
1 2n
−1
=
1 2
，故
∞ n=1
ant n
的收敛半
∞
∑ 径 r = 2 ，从而当 x2 < 2 ，即 x < 2 时收敛，当 x < 2 时，设 S ( x) = anx2n−1， n=1
lim
n→∞
an
≠
0
，因此
n=0
( ±1)n an
发散，于是级
∞
∑ 数 an xn 的收敛域为(－1，1). n=0
∑ 例 4 若级数 ∞ ( ) −1 n−1 ( x − a)n 在 x > 0 时发散，在 x = 0 处收敛，求常数 a .
n=1
n
解
记 an
= ( ) −1 n−1 1 ，由 lim
−1 n−1 yn
n=1 n(2n −1)
的收敛半径 r = 1，设 S
y
∞
∞
= an yn = an x2n ，则
n=1
n=1
∑ ( ) dS y dx
∞
= 2nan x2n−1 ，
n=1
∑ ∑ ( ) ( ) d 2S y
( ) dx2
∞
∞
= 2n(2n −1)an x2n−2 = 2
n=1
n=1
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
例 2 求下列幂级数的收敛区间
∑ (1) ∞ (−1)n−1 x2n−1 ； n=1 (2n +1)3n
∑ (2)
∞ n=1
1⎛ 2n +1⎜⎝
1− 1+
x x
⎞n ⎟⎠
；
解 (1) 此时不能套用定理的结论，而要对该级数用达朗贝尔判别法求其收 敛半径.
因 lim n∞
(−1)n x2n+3 (2n + 3)3n+1
函数项级数典型例题
∑ 例 1
证明级数
∞ n=1
sin nx n2 + x2
在 (−∞,+∞)
上一致收敛.
∑ 证
由于
sin nx n2 + x2
≤1 n2 + x2
≤
1 n2
,
x ∈(−∞, + ∞),
n
≥
1
，而级数
∞ n=1
1 n2
是收敛
的，故由魏尔斯特拉斯判别法可知，原级数在 (−∞,+∞) 上一致收敛.
= lim n→∞
an + bn an+1 + bn+1
=
⎧1
⎪⎪ ⎨ ⎪
a 1
⎪⎩ b
, ,
a a
≥ <
b b
，所以当
a
≥
b
时，收敛半径
R = a ，当 a < b 时，收敛半径 R = b ，即 R = max (a,b) .
2
∑ 在 x
=
−R 时，当 a
≥ b 时，级数化为
∞ (−1)n
n=1
n
n→∞
an+1 an
= 1 知，当
x−a
< 1时，级数收敛.由此得级
数在区间 (a −1, a +1) 内收敛，由题设知，级数收敛区间的右端点 a +1 = 0 ，所以
a = −1 .
∑ 例 5
∞
求幂级数
xn
n=1 an + bn
(a > 0,b > 0) 的收敛域.
解
由于 lim n→∞
cn+1 cn
2 + x ，取 x = 1 ，得 2−x
( ) ∑ S
(1)
=
∞ n=1
2n
1
(2n
−1)
=
2 ln 4
2 +1 = 2 ln 2 −1 2
2 +1
例4
将
f
(x)
=
∫
x 0
arctan tdt t
展开成
x
的幂级数.
∑ ( ) 解
记
g ( x) = arc tan x ，则
g
′
(
x
)
=
1
1 +x
2
=
−1 n−1
x2
n−1 = 2 1+ x2
又因
S
′
(0)
=
S
(
0)
=
0
，故
dS ( y
dx
)
=
∫x 0
1
2 +t
2
dt
=
2
arctan
x
，从而
( ) ∫ ∫ S x2 = x dS ( y) dx = 2 x arctan xdx .
0 dx
0
( ) ∫ 因原级数在 x = 1 也收敛，故， S (1) = lim S x2 = 2 1arctan xdx ，
∞
(−1)n x2n
n=0
x < 1 ，又
∫ ∫ ∑ g (0) = arctan (0) = 0 ，故 g ( x) =
x g′(t )dt =
0
x 0
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
(−1)nt 2n
⎞⎟⎠dt
，
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∞ x (−1)n t 2ndt = ∞ x (−1)n x2n+1 ，从而 arctan x = ∞ (−1)n x2n .