函数项级数典型例题

−1 n−1
x2
n−1 = 2 1+ x2
又因
S
′
(0)
=
S
(
0)
=
0
，故
dS ( y
dx
)
=
∫x 0
1
2 +t
2
dt
=
2
arctan
x
，从而
( ) ∫ ∫ S x2 = x dS ( y) dx = 2 x arctan xdx .
0 dx
0
( ) ∫ 因原级数在 x = 1 也收敛，故， S (1) = lim S x2 = 2 1arctan xdx ，
−1 n−1 yn
n=1 n(2n −1)
的收敛半径 r = 1，设 S
y
∞
∞
= an yn = an x2n ，则
n=1
n=1
∑ ( ) dS y dx
∞
= 2nan x2n−1 ，
n=1
∑ ∑ ( ) ( ) d 2S y
( ) dx2
∞
∞
= 2n(2n −1)an x2n−2 = 2
n=1
n=1
则
( ) ∑ ( ) ∑ ∑ S '
x
=
∞⎡
n=1
⎢ ⎣
2n
x2n−1 2n −1
⎤′ ⎥ ⎦
=
∞ n=1
x2n−2 2n
=
1∞ 2 n=1
x2n−2 2n−1
=
1 2
1 1− x2
=
2
1 − x2
,
x<
2
2
4
又
S
(0)
=
0
，所以
S
(
x
)
=
x
∫0
S′(t
)
dt
x
=∫0
2
1 −t
2
dt
=
2 ln 4
n
n→∞
an+1 an
= 1 知，当
x−a
< 1时，级数收敛.由此得级
数在区间 (a −1, a +1) 内收敛，由题设知，级数收敛区间的右端点 a +1 = 0 ，所以
a = −1 .
∑ 例 5
∞
求幂级数
xn
n=1 an + bn
(a > 0,b > 0) 的收敛域.
解
由于 lim n→∞
cn+1 cn
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
∞ n=1
1 yn 2n +1
，其收敛半径为
R
=
1
.
∑ ∑ ∞
当 y = 1时，级数
1 发散；当 y = −1时，级数 ∞ (−1)n 收敛.
n=1 2n +1
n=1 2n +1
1
∑∞
故级数
yn 的收敛区间为[−1,1] ，即 0 ≤ 1 < 1, x > 0 ，因此，原级数
n=1 2n +1
1+ x
n−0
n−0
n−0
∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ x S (t )dt = ∞ 2
x (n +1)tndt −
x
∞
t ndt
∞
=2
xn+1 −
x
1
dt
0
n=0 0
0 n=0
n=0
0 1−t
∫ = 2x − x 1 dt 1− x 0 1−t
求导得
S
(x)
=
2
(1− x)2
−1 1−
x
=
1+ x
(1− x)2
例 2 求下列幂级数的收敛区间
∑ (1) ∞ (−1)n−1 x2n−1 ； n=1 (2n +1)3n
∑ (2)
∞ n=1
1⎛ 2n +1⎜⎝
1− 1+
x x
⎞n ⎟⎠
；
解 (1) 此时不能套用定理的结论，而要对该级数用达朗贝尔判别法求其收 敛半径.
因 lim n∞
(−1)n x2n+3 (2n + 3)3n+1
的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠
，由于其一般项不趋向于
0，
∑ 故级数发散；当 a
< b 时，级数化为
∞ (−1)n
n
=1
1
+
⎛ ⎜⎝
a b
⎞n ⎟⎠
，其一般项不趋向于
0，级数发散.
同样，在 x = R 时，级数发散，综上所述，所求收敛域为 x = (−R, R) ，其中 R = max{a,b} .
∞
例 6 求幂级数 ∑(2n +1) xn 的收敛域，并求其收敛域内的和函数. n−0
n=0 0
n=0 0
2n +1
x
n=0
2n +1
∑ 因为 lim n
1
∞
= 1，故 (−1)n
x2n
的收敛半径为 1.因此当 x < 1时可逐项
n→∞ 2n +1
n=0
2n +1
积分，即
∫ ∫ ∑ ∑ ( ) f
x=
x arctan t dt =
x ∞ (−1)n
t2n
dt =
∞
(−1)n
x2n+1 , x < 1
∞
(−1)n x2n
n=0
x < 1 ，又
∫ ∫ ∑ g (0) = arctan (0) = 0 ，故 g ( x) =
x g′(t )dt =
0
x 0
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
(−1)nt 2n
⎞⎟⎠dt
，
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∞ x (−1)n t 2ndt = ∞ x (−1)n x2n+1 ，从而 arctan x = ∞ (−1)n x2n .
0t
0 n=0
2n +1 n=0
(2n +1)2
∑ 当
x
∞
= 1 时，级数
n=0
(±1)n (2n +1)2
绝对收敛，故上述展式中
x
≤ 1.
5
lim
n→∞
an
≠
0
，因此
n=0
( ±1)n an
发散，于是级
∞
∑ 数 an xn 的收敛域为(－1，1). n=0
∑ 例 4 若级数 ∞ ( ) −1 n−1 ( x − a)n 在 x > 0 时发散，在 x = 0 处收敛，求常数 a .
n=1
n
解
记 an
= ( ) −1 n−1 1 ，由 lim
= lim n→∞
an + bn an+1 + bn+1
=
⎧1
⎪⎪ ⎨ ⎪
a 1
⎪⎩ b
, ,
a a
≥ <
b b
，所以当
a
≥
b
时，收敛半径
R = a ，当 a < b 时，收敛半径 R = b ，即 R = max (a,b) .
2
∑ 在 x
=
−R 时，当 a
≥ b 时，级数化为
∞ (−1)n
n=1
解
设 an
=
(2n +1)
，因 lim n→∞
an+1 an
=
lim
n→∞
2n + 3 2n +1
= 1，故原级数的收敛半径 r
=1.
∞
当 x = 1 时，其通项不趋于零，因此发散，故 ∑(2n +1) xn 的收敛域为 n−0
∞
∞
∞
(－1,1)，设 S ( x) = ∑(2n +1) xn ，则 S ( x) = ∑ 2(n +1)xn − ∑ xn ，由逐项可积性，
x→1−
0
( ) ∫ S (−1) = lim S
x2
=2
−1
arctan xdx
x→−1+
0
∑∞
例 8 求级数
1 的和.
n=1 2n (2n −1)
∑ 解
记 an
=
2n
1
(2n
−1)
，因 lim n→∞
n
an
= lim 2 n→∞ n
1 2n
−1
=
1 2
，故
∞ n=1
ant n
的收敛半
∞
∑ 径 r = 2 ，从而当 x2 < 2 ，即 x < 2 时收敛，当 x < 2 时，设 S ( x) = anx2n−1， n=1
函数项级数典型例题
∑ 例 1
证明级数
Βιβλιοθήκη Baidu∞ n=1
sin nx n2 + x2
在 (−∞,+∞)
上一致收敛.
∑ 证
由于
sin nx n2 + x2
≤1 n2 + x2
≤
1 n2
,
x ∈(−∞, + ∞),
n
≥
1
，而级数
∞ n=1
1 n2
是收敛
的，故由魏尔斯特拉斯判别法可知，原级数在 (−∞,+∞) 上一致收敛.
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
2 + x ，取 x = 1 ，得 2−x
( ) ∑ S
(1)
=
∞ n=1
2n
1
(2n
−1)
=
2 ln 4
2 +1 = 2 ln 2 −1 2
2 +1
例4
将
f
(x)
=
∫
x 0
arctan tdt t
展开成
x
的幂级数.
∑ ( ) 解
记
g ( x) = arc tan x ，则
g
′
(
x
)
=
1
1 +x
2
=