考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)

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leslie人口增长模型

人口增长预测模型摘要本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。

最后提出了有关人口控制与管理的措施。

模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。

得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。

运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。

模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。

首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。

其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。

得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。

再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。

考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc

考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。

不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。

基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。

由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。

将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。

将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。

记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。

实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。

、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。

pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。

jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。

Leslie矩阵模型预测人口

L e s l i e矩阵模型预测人口4.1Leslie矩阵模型的基本概念4.1.1参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。

再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期k第i个年龄段的人数注：这里的；一定存在整数n 使得表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。

其他关于人口的参数：1）——在时间周期k第i年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）——在时间周期k第i年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2Leslie矩阵1.转移过程在一个时间周期内里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k kx i x i d i i n--+=-=(4-1)下面来讨论的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k的第个i年龄段的女性人数为1()2kx i，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k kix i b i x i--==∑(4-2) 2.人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)0001(1)0k k k kkk kkkb b b n b ndx xdd n--------⎛⎫-⎪⎪-⎪=⨯⎪-⎪⎪⎪--⎝⎭(4-3) 其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-5)则有简写：1k k x L x -=(4-6)则有递推公式:10k kk x L x L x -==(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。

Leslie矩阵模型预测人口

精心整理Leslie 矩阵模型预测人口4.1Leslie 矩阵模型的基本概念 4.1.1参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。

再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期k 第i个年龄段的人数使得表示的是年龄最高的1）育率 2）4.1.21.里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的1)()2k x i - 2.111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：1111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00k k k k k k b b b n b n d L d ------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪1k x -1k k x L x -=通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个4.2.11.20个2.1)L 矩阵中唯一的变量是和。

解决这个问题我们只要求出这两个参数即可。

在原来的Leslie 模型的假设中，单位时间周期为一年。

因此Leslie 矩阵第一行对应的系数是生育率的一半，如第一年过后，0岁的孩子即为一年前总人数的一半（女性人数）乘以生育率。

同样的，在5年为一个时间周期的假设中，经历五次“生育机会”，即第一年的生育情况代表了下一周期4岁的孩子数量，第二年的生育情况代表了下一周期3岁的孩子数量，以此类推。

Leslie人口模型

Leslie人口模型模型三、Leslie人口模型在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。

在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。

k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， ih，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内xkbxk(1)()，,,ii1i,1bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，iiiisd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。

则人口的变化情况满iii足以下条件:第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得:其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,,,,000s8,,X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析:01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiiib,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11kXk()且由(8)式确定的满足xk()*bs ，其中c是由，及X(0)决定的常数。

基于Leslie矩阵模型的中国人口总量与年龄结构预测

基于Ｌｅｓｌｉｅ矩阵模型的中国人口总量与年龄结构预测
摘要：选用ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型能够较全面地考虑到影响人口总量与年龄结构的各种主要因素，预测得到：在现行计划生育政策不变的情况下，中国人口总量将在２０２４年前后达到峰值１４．２亿左右，这与国家人口发展战略研究课题组预测的在２０３３年前后达到人口峰值１５．２亿左右有较大差别；中国人口老龄化有加速发展的趋势。
用适合性ｘ２测验，对数据进行拟合优度测验，得到ｘ２＝ｏ．０６７，又妊．晒＝７．８１５，所以矿＜妊．０５，可推断ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型可以较好地用于预测我国人口总量。２００６、２０Ｃｒ７、２００８年预测值（单位：百万）分别为ｌ３１３．ｃｒ７、１３１７．９６、ｌ３２５．３４，与实际值ｌ３１４．４８、１３２１．２９、１３２８．０２的误差率仅为０．００ｌｌ、０．００２５和Ｏ．００２０，说明预测结果令人满意。
利用ｍａｔｌａｂ数学软件对相关数据作进一步处理，整理后得到未来各年中各年龄段的城市人口数预测结果，城市、城镇、乡村总人口数预测值以及城市、城镇、乡村人口占全国总人口的比重预测值，具体数据见表２、表３、表４。
（二）结果分析１．人口总量分析
①国家统计局由１９８２年起，按常住人口对城镇乡人口进行划分。其中，市人口指设区的市的区人口和不设区的市所辖的街道人口：镇人口指不设区的市所辖镶的居民委员会人口和县辖镇的居民委员会人口；乡人口为除上述两种人口以外的全部人口。 ⑦限于篇幅，有些公式推导过程及详细结果没有列出，有兴趣的读者可以向作者索取。
石ｏ（ｔ＋１）＝∑６ｉ（￡）卯ｉ（￡）筏（￡）＝
‘＝ｉｌ
∑６，（￡）伽如）菇ｉ（ｔ）
三、实证研究（一）数据选取与ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型的预测

人口的预测和控制模型

(7)
结论：（7）式左边表示一个女性一生生育女性的平均数，
n x ( n) ≈ Cλ1 x *
( 5)
结论：女性人口按年龄组的分布趋于稳定，各年龄组中的人数在总的女性数中的比例保持稳定。由（5），
x ( n + 1) ≈ λ1 x ( n)
( 6)
结论：同年龄组中的人数增长趋于稳定，以相同比例增加。由（6），当 λ1 = 1时，各组人数保持不变。由（2）得， b0 + s0b1 + L + s0 s1 L sl −1bl = 1 记为R，则当 R=1 时人口总数将保持不变。
0 L 0 L L L 0 L
0 sl ⎤ 0 0⎥ ⎥, L L⎥ 0 0⎥ ⎦
⎡A 0⎤ ∴ x ( j + 1) = ⎢ ⎥ x( j ) ⎣B C ⎦ ⎡A 0⎤ ∴ x ( n) = ⎢ ⎥ x ( 0) ⎣B C ⎦
n −1 ⎡ An 0 ⎤ ∴ Gn = ⎢ , 其中 Bn = ∑ C i B n−1− i . n⎥ i =0 ⎣ Bn C ⎦ n
* * x* = ( x1 , x2 ,L , xl*−1 , 1 )T
⎡b0 ⎢s 0 ∴ ⎢ ⎢L ⎢0 ⎣
∴ xl*−1 =
b1 L bl −1 0 L 0 L L L 0 L s l −1
2 λ1
* * bl ⎤ ⎡ x0 ⎤ ⎡ x0 ⎤ ⎢ *⎥ * 0 ⎥ ⎢ x1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = λ1 ⎢ x1 ⎥ ⎢M⎥ L⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎦⎣ 1 ⎦ ⎣1⎦
莱斯利矩阵
增加假设：
妇女超过一定的年龄就没有生育能力。不妨设年龄大于 l 的各组不生育。即 b j = 0 , j = 1 , 2 ,L , m 。

Leslie模型(数学建模)

.
n0
A属于1的特征向量N= .
. nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1) N= 1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
.
当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数，事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
… …
H(t)=
h(0) h(1) …..
Nt(n)
h(n)
.
数学表达:
第一年新生女婴的总数: a(0)•Nt(0)+ a(1)•Nt(1)+ ••• +a(n)• Nt(n)
第一年x岁女性人口总数: N1(x)=b(x-1)•Nt(x-1)- h(x-1)•b(x1)•Nt(x-1)=(1- h(x-1) )•b(x-1)•Nt(x-1)
记j时段I年龄组中女性所占的百分比为Ki（j）并设i1,…,i2为育龄年龄组，则j时段新生儿总数为
N(0,j+1)=bi(j)K i(j)N(i,j)
N(i,j+1)=Pi-1N(i-1,j) i=1,…,m
目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又会使人口迅速青年化而走向另一个极端。
r0为特定的常数
解得：
x(t)=k/[1+(k/x0-1)e-r(t-t0)]
.
分析以上两个模型：每个个体的出生率与死亡率是相同的。但实际上不同年龄的年的生育率与死亡率有很大的不同。

按年龄分组的人口模型

按年龄分组的种群增长模型——Leslie 模型种群直接通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便。

下面提到的种群数量均指其中的雌性，总体数量可按照一定的性别比算出。

将种群按年龄大小等间隔地分成n 个年龄组，如每1岁或5岁为1组。

与之相对应，时间也分成与年龄组区间大小相等的时段，如1年或5年为一个时段。

记时段k 第i 年龄组的种群数量为x i (k),k=0,1,2，……，i=1，2，3，4，……，n 。

在稳定的环境下和不太长的时间内，合理地假设种群的繁殖率和死亡率不随时段k 变化，只与年龄组有关。

记第i 年龄组的繁殖率为b i ，即每个（雌性）个体在1个时段内繁殖的数量；记第i 年龄组的死亡率为d i ，即1个时段内死亡数量（占总量）的比例。

s i =1-d i 称为存活率。

通常，b i 和s i 可由统计资料获得，且有以下性质：b i >=0，i=1，2，3，……，n ，且至少有一个b i >0；0<s i <=1,i=1，2，3，……，n-1。

种群数量x i (k)的变化规律由2个基本关系得到：时段k+1第1年龄组的数量是各年龄组在时段k 的繁殖数量之和；时段k+1第i+1年龄组（i=1，2，……，n-1）的数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，由此得到x 1(k+1)= 1b ()ni i i x k =∑,k=0，1，2， (1)x i+1(k+1)=s i x i (k)，k=0，1，2，……，i=1，2，……，n-1（2）（1），（2）是差分方程组，记种群数量在时段k 按照年龄组的分布向量为x(k)=[（x 1(k),x 2(k),......,x n (k)]T ,k=0，1，2 (3)由繁殖率b i 和存活率s i 构成的矩阵1()limk k x k λ→∞11212100000000n n n b b b b s L s s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则（1），（2）可表为x(k+1)=Lx(k)，k=0，1，2 (5)当矩阵L 和按年龄组的初始分布x(0)已知时，可以预测种群数量在时间段k 按年龄组的分布为x(k)=L k x(0)，k=1，2， (6)有了x(k)，不难算出种群在时段k 的总数。

人口leslie模型

模型：按年龄分布的Leslie 模型[2]一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成m 个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。

时间离散化为 2,1,0=t .设在时间段t 第i 年龄组的人口总数为m i t n i ,2,1),(=，定义向量T m t n t n t n t n )](),(),([)(21 =，模型要研究的是女性的人口分布)(t n 随t 的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。

设第i 年龄组的生育率为i b ，即i b 是单位时间第i 年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i 年龄组的死亡率为i d ，即i d 是单位时间第i 年龄组女性死亡人数与总人数之比，i i d s -=1称为存活率。

设i b 、i s 不随时间t 变化，根据i b 、i s 和)(t n i 的定义写出)(t n i 与)1(+t n i 应满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧-==+=++=∑1,,2,1),()1()()1(11m i t n s t n t n b t n i i i m i i i i （9）在（9）式中我们假设i b 中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t 以后出生而活不到1t +的那些婴儿。

若记矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000121121m m m s s s b b b b L （10）则（9）式可写作)()1(t Ln t n =+ （11）当L 、)0(n 已知时，对任意的 ,2,1=t 有)0()(n L t n t =（12）若（10）中的元素满足（ⅰ）1,,2,1,0-=>m i s i ；（ⅱ）m i b i ,2,1,0 =≥，且至少一个0>i b 。

则矩阵L 称为Leslie 矩阵。

只要我们求出Leslie 矩阵L 并根据人口分布的初始向量)0(n ，我们就可以求出t 时段的人口分布向量)(t n。

Leslie人口模型及例题详解

L e s l i e人口模型及例题详解The saying "the more diligent, the more luckier you are" really should be my charm in2006.Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型,借用差分方程模型,仅考虑女性人口的发展变化;如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组,则人口的年龄结构无法刻划,因此必须建立一个更精确的模型;20世纪40年代提出的Leslie 人口模型,就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型;模型假设(1) 将时间离散化,假设男女人口的性别比为1:1,因此本模型仅考虑女性人口的发展变化;假设女性最大年龄为S 岁,将其等间隔划分成m 个年龄段,不妨假设S 为m 的整数倍,每隔m S /年观察一次,不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;2 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数,记第i 年龄组女性生育率为i b 注：所谓女性生育率指生女率,女性死亡率为i d ,记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;3 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;4 生育率仅与年龄段有关,存活率也仅与年龄段有关;建立模型与求解根据以上假设,可得到方程 )1(1+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为其中,L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b 1 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = 2假设n 0和矩阵L 已经由统计资料给出,则为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势,我们先给出如下两个条件：i s i > 0,i =1,2,…,m -1;ii b i 0≥,i =1,2,…,m ,且b i 不全为零;易见,对于人口模型,这两个条件是很容易满足的;在条件i 、ii 下,下面的结果是成立的：定理1t1+tL 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=,且对应的一个特征向量为*n =1,s 1/0λ,s 1s 2/20λ,…,s 1s 2 …s m -1/10-m λT3 定理2若1λ是矩阵L 的任意一个特征根,则必有01λλ≤;定理3若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ,则i 若1λ是矩阵L 的任意一个特征根,则必有01λλ<;ii t t t n 0/)(lim λ+∞>-=*cn , 4 其中c 是与n 0有关的常数;定理1至定理3的证明这里省去;由定理3的结论知道,当t 充分大时,有*)(0n c t n t λ≈ 5 定理4记121i i i b s s s β-=,q λ=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ,则λ是L 的非零特征根的充分必要条件为q λ=1 6所以当时间充分大时,女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态,即年龄结构趋于稳定形态,而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长;由5式可得到如下结论：i 当λ>1时,人口数最终是递增的；ii 当λ<1时,人口数最终是递减的；iii 当λ=1时,人口数是稳定的;根据6式,如果λ=1,则有b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1记R = b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1 7R 称为净增长率,它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数;当R >1时,人口递增；当R <1时,人口递减;Leslie 模型有着广泛应用,这里我们给出一个应用的例子,供大家参考;公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象,管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境,将大象的总数控制在11000头左右;每年,公园的管理人员都要统计当年大象的总数;过去20年里,公园每年都要处理一些大象,以便保持大象总数维持在11000头左右,通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现;统计表明,每年约处理600-800头大象;近年来,公众强烈反对捕杀大象行为,而且即使是迁移少量的大象也是不允许的;但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功;一只成年母象打了避孕针后,两年内不再怀孕;公园有一些关于大象的资料,供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1,采取控制后,也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1,生双胎的比例为%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,你可能被要求观察30-60年；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议,提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程最多3页回答公共关心的问题;6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0假设与分析1大象性别比接近1：1,初生象的性别比也是大约1：1,采取控制后,也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样,其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的,母象是否避孕是不可识别的,假设各个年龄的母象是等比例避孕的,比例系数为k,仅通过调节k 来控制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁,当前状态下,成年象的成活率为s,生育母象率为r ,老年象的成活率是线性逐渐递减的,因此其成活率可表示为设初生象活到1岁的存活率为0s ;5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕,一旦打了避孕针,母象就被避孕或中止怀孕,平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η,每年的避孕方案时瞬时完成的;6 假设大象的年龄结构是稳定的;数据处理与分析12-60岁大象的存活率与年龄结构母象生育率为r =1/+1+/2=头/年12岁的母象生育母象的生育率为r /6;由题设知道存活率)99.0,95.0(∈s ;以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ;以下是第二年迁移的0-70岁大象数据x2=98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0;x=x1+x2;x0=x/normx,1;以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2;以下是第二年迁移的0-59岁母象数据y2=57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0;考虑到有些数据较小及抽样的随机性,我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据;t1=x12:11;t2=x22:11;tt=t1+t2;tt1=tt1:9;tt2=tt2:10;tn=tt2./tt1;meantnans =t1=x112:21;t2=x212:21; tt=t1+t2; tt1=tt1:9;tt2=tt2:10;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:31;t2=x212:31; tt=t1+t2; tt1=tt1:19;tt2=tt2:20;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:41;t2=x212:41; tt=t1+t2; tt1=tt1:29;tt2=tt2:30;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:51;t2=x212:51; tt=t1+t2; tt1=tt1:39;tt2=tt2:40;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:60;t2=x212:60; tt=t1+t2;tt1=tt1:48;tt2=tt2:49;tn=tt2./tt1; meantnans =n1=zeros1,71;n11=1;n12=;for i=3:61n1i=n1i-1;endn1;for i=62:71n1i=n1611-i-61/10;endn1;N1=n112:50;xx=x12:50;xx=100xx/normxx,1;N1=100N1/normN1,1;t=1:39;plott,N1,t,xx;axis10,40,0,5;title'图1'通过以上分析大致可以得到,1-60岁大象的存活率约为;0-70岁年龄结构向量见图2; y0=100x0/normx0,1;a=0:70;bara,y0,'stacked';title'图2'下面我们取0120.75,0.98s s s ===;m1=zeros1,71;m11=1;m12=;for i=3:61m1i=m1i-1;endm1;for i=62:71m1i=m1611-i-61/10;endm1;m1=100m1/normm1,1;bara,m1,'stacked';title'图3 稳定的年龄结构'plota,m1,'r-',a,y0,'b-.';title'图4 年龄结构当前状态与稳定状态比较'polyfity0,m1,1ans =从所给的数据来看,象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态;根据以上数据,大体可以得到l=zeros71,71; l1,13=6;l2,1=;for i=14:61l1,i=;endl;for j=3:61lj,j-1=;end; l;for k=62:71lk,k-1=eigl;矩阵的唯一正特征值为;对于不同的存活率,得到的唯一正特征值为：下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率γ;此时,女性生育率为0.1448(1)γ-;记由6式得解得1-1/^111/6+ans =即每年应该有%的母象处于避孕状态;为了保证有%的母象处于避孕状态,下面分析每年应该打避孕针母象的比例η;在假设3和假设5的前提下,如果每年打避孕针母象比例为η;母象可以分成3类：即当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为2(1)ηη-；连续两年被打避孕针2η；连续两年没有被打避孕针;只有最后一类母象具有生育能力;因此,只需要η满足方程1-sqrtans =ans =5500ans =+003解得 0.387η=,即每年大约需要给2127头母象打避孕针;在方案实施过程中,实际上根本不需要打这么多针,因为许多小象还是可以识别的;可以采取随机抽样的打针方式,对于抽到的小象只计数不打针,直至计满2127头母象,就算完成当年任务;采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的,下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较;m1=zeros1,71;m11=1;m12=;for i=3:61m1i=m1i-1;end; m1;for i=62:71m1i=m1611-i-61/10;end; m1;n1=zeros1,71;n11=1;n12=;for i=3:61n1i=n1i-1;end; n1;for i=62:71n1i=n1611-i-61/10;end;n1;subplot1,2,1a=0:70;plota,m1,'r-',a,n1,'b--';title'图5年龄结构比较';axis0,70,0,1;M1=5500m1/normm1,1;N1=5500n1/normn1,1;a=0:70;subplot1,2,2plota,M1,'r-',a,N1,'b--'title'图5各年龄段大象数比较图'axis-0,70,0,300通过以上两个图的比较,可以发现采取避孕措施,将使幼象、小象数减少,中老年象数增加;由于采取避孕措施,使得初生小象数减少,因此会不可避免地引起象群年龄结构的改变,下面分析,15年、30年、60年后的象群年龄结构;L=zeros71,71;L1,13=6;L2,1=;for i=14:61L1,i=;end; L;for j=3:61Lj,j-1=; end; L;for k=62:71Lk,k-1= end; L;eigL;n15=L^15x0';n30=L^15n15;n60=L^30n30;n15=100n15/normn15,1;n30=100n30/normn30,1;n60=100n60/normn60,1;M15=5500n15/normn15,1;M30=5500n30/normn30,1;M60=5500n60/normn60,1;bara,55y0title'图6a 避孕前种群量分布';axis0,70,0,250bara,M15title'图6b 避孕15年后种群量分布';axis0,70,0,250bara,M30title'图6c避孕30年后种群量分布';axis0,70,0,250M60=5500n60/normn60,1;bara,M60title'图6d 避孕前种群量分布';axis0,70,0,250n70=L^70x0';n70=100n70/norm n70,1;k1=100m1/normm1,1;图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较plot a,k 1,'r-',a,n70,'b-.';title'图7 避孕前后稳定的年龄结构';axis0,70,0,5数据不确定性对结果的影响分别取0120.7,0.8,0.95,0.99s s s ===1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =每年需避孕的母象比例为%—% ;对于每年可以迁移50-300头大象及0120.75,0.98s s s ===,下面分析避孕方案的变化及最经济的方案;设增长率为p ,对于 0120.75,0.98s s s ===令当 1.01p =,每年的避孕率为%,每年迁出110头；当 1.02p =,每年的避孕率为%,每年迁出220头；当 1.025p =,每年的避孕率为%,迁出275头;1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =p=;1-p ^12./^111/6+./p-./p.^49/./pans =1-sqrtans =p=;1-p.^12./^111/6+./p-./p^49/pans =1-sqrtans =p=;1-p.^12./^111/6+./p-./p^49/pans =1-sqrtans =进一步分析可以知道,对于 0120.75,0.98s s s ===,如果增长率为(1 1.0322,11000(p-1))p p ≤≤即每年移,令每年需要避孕的母象为5500'γ,每年需要迁移的大象数为11000(1)p -;从相关的文献中我们大致可以得到,设平均每迁移一头大象的成本约避孕一头大象费用的λ倍,由此得到增长率为p 时的总费用函数为记易见,1,0.3868, 1.01,0.346, 1.02,0.396p y p y p y ======clear ;p=1::;q =1-p.^12./^111/6+./p-./p.^49././pq =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17a =1-sqrt1-qa =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17y=a+15p-1y =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17。

人口增长预测模型

人口增长预测模型对中国人口做出分析和预测，主要分为如下三个方面：第一、对人口做短期预测分析；首先采用灰色系统对人口数量及人口分布即城镇化程度进行预测分析，然后利用人口发展方程进行改进，将二维（年龄、时间）关系转化为一维关系，求出01-13年的各个年龄段的人口增长率，由此反映出人口数量变化趋势。

在此基础上求得01-13年总的人口增长率，再利用灰色系统对16-17年的人口增长率进行预测并对结果进行分析。

其次对人口结构进行预测分析。

人口结构包括老龄化程度、抚养比、男女出生比例、育龄期妇女所占总人口比重、生育率，我们分别采用多次逐步回归，灰色系统，拟合等预测方法对其建立预测模型进行预测分析。

第二、对中国人口做出长期分析和预测；我们建立两个模型进行预测。

模型一、基于人口发展方程原理的改进模型：y=*K*100/（M+100）% 这个模型能反映人口数量与人口结构、人口分布之间的关系。

从长远来看，城镇化程度会越来越严重，并且其在很大程度上影响男女出生性别比、老龄化程度、生育率等。

因此利用人口发展方程的原理分别重新建立男女出生性别比、老龄化程度、生育率与时间、城镇化程度的关系模型，并对此进行长期预测。

分析得结论：育龄期妇女的生育率都随时间而减小，最终趋于稳定值（大约为19‰）；城镇化程度逐渐增大，最后趋于稳定状态（城市人口所占比重为%，镇为%，乡为%）；长期预测中的男女出生性别比逐渐减小，最终在附近趋于平衡。

又由于人口数量受出生率变化的影响，而男女出生性别比、生育率对出生率影响很大。

因此建立人口数量与男女出生性别比、生育率的关系模型并进行长期预测。

结论为：人口数量呈先增大后减小趋势，峰值出现在2042年，届时人口数量将达到最大，为亿。

模型二、基于leslie 的改进模型：(t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22)-(n 32112)-(n 321此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie模型的不足，很适合做长期预测。

基于leslie模型的中国人口预测模型

= 其中矩阵 L [
1 d (0)
]
1 d (6) 0 给出 x(k,i),A 就可求出 x(k+1,) MATLAB 程序为：
名词定义：x(k,i) :在第 k 时期内的女性人口数量；
b(i)：第 i 组女性的生育率；
d(i) ; 第 i 组女性的死亡率；
根据以上假设可以得出 k + 1 时段各组人数与 k 时段各组人数之间的转换关系:
X(k+1)=L*x(k) ,(a 为女婴所占的百分比)。
a * b(0) a * b(1) ... a * b(7)
i
0
1
2
3
4
5
Hale Waihona Puke 67年龄组 0
1~15 16~30 31~45 46~60 61~75 76~90 90~
注：0 组表示婴儿。
2.考虑到我国近三十年国家整体处于稳定状态没有大的灾难，战争等突发事件，所以假设
各年龄组死亡率 d(i) ,（i=0,1,…7）,不随时间变化。
3.各年龄组女性的生育率 b(i),（i=0,1,…7）在较短的时期变化不大。
基于 Leslie 矩阵的中国人口预测模型
问题提出：
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。20 世纪 40 年代提出的 Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型建立：
基本假设：1.假设各年龄段的男女比例保持不变（以 05 年男女性别比例为例： 106.30:100,）所以可以由女性人口数量来计算总人口 SP。将女性分为 8 组见下表

Leslie人口模型

i r
i r i r i r i r i r i r
四、模型建立
• 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
பைடு நூலகம்
我们取一岁为一个年龄段,一年为一个时段。设人口按年龄分组为0到n-1岁及大于等于n岁者(n 岁以上视为同一年龄段)共n+1个年龄段(这里 n为 90)。设 p (t) d (t) b (t) h (t) k (t) v (t) f (t) 分别表示ｔ到ｔ+1年第r个年龄段总人口、人口死亡率、人口出生率、女性生育模式、女性性别比、净迁移人口、人口迁移率 (迁移人口比总人口),R⑴ 为第古年城市化水平 (城市人口比总人口 )。为了分别考察城镇、农村人口的发展,以上各参数上标ｉ为1时代表城镇,为 2是代表农村,以下各参数上标同此。
分别表示t到t1年第r个年龄段总人口人口死亡率人口出生率女性生育模式女性性别比净迁移人口人口迁移率迁移人口比总人口r为第古年城市化水平城市人口比总人口
Leslie人口模型
一、背景中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
• 二、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂。很多因素如出生、死亡、迁移、性别比、人口素质、社会环境、生育政策等等。长期预测需综合考虑各种因素的影响，在这里我们主要介绍通过Leslie模型来分析人口增长问题。

Leslie矩阵模型预测人口

解决这个问题我们只要求出这两个参数即可。

在原来的Leslie 模型的假设中，单位时间周期为一年。

因此Leslie 矩阵第一行对应的系数是生育率的一半，如第一年过后，0岁的孩子即为一年前总人数的一半（女性人数）乘以生育率。

人口结构模型

谈研究年龄结构之数学模型Leslie's Model许世壁本文最主要的目的是介绍如何研究人口动力学 (Population Dynamics) 里的一些有关年龄结构 (Age Strucure) 之问题。

举个例来说明：目前台湾人口中 0～5 岁有 x 1 人，6～10 岁有 x 2人，……，76～80 岁有 x 16 人。

试问20年或100年后，这些人口的变化如何？还有每一个年龄分类 (Age class) 在总人口上的比例会不会很稳定地趋向某一个固定值？如果是的话，多快？就社会学、经济学而言，这是一个很实际而且值得研究的重要问题。

下面我们就要导出有关这个问题之数学模型──Leslie's Model。

它同时也可以应用到其他生物，如鱼类及昆虫等。

首先，假设从现有的统计数据，我们能选择出一个适当的单位时间 T ，而后将人口分成 A 类。

令向量代表在第 N 期时（时间为 NT ）人口里的女性年龄结构（在此我们假设男性，女性人口数目相等），简而言之令在此，分量 V k ,N ，k = 1,…,A 代表年龄介于 (k -1)T 及 kT 中间之女性总人数。

譬如说应用到实际人口时，我们通常取 T =5 年，而且将人口分成 16 类，即 A =16，V 1,N = 在第 N 期时，介于 0～5 岁之女性总人数。

V 2,N = 在第 N 期时，介于 6～10 岁之女性总人数。

V 16,N = 在第 N 期时，介于 76～80 岁之女性总人数。

如果年龄超过80岁时，则我们不予讨论。

下一步我们要做的工作是如何找出第 N +1 期的年龄结构向量 (Age structure vector)，与在第 N 期之年龄结构向量之关系。

假设下列的 b k 及m k ,k =1,…,A 为已知，对外搜寻关键词．人口动力学．固有值．固有向量．Primary decompositionTheorem ．特征多项式．Frobenius ．basis ．利用b n，m k及V k,N之定义，我们可以导出下列关系式：其中(2)式说明了从第N期到N+1期所出生之女孩总数。

按年龄分组人口模型

按年龄分组的种群增长模型——Leslie 模型种群直接通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便。

下面提到的种群数量均指其中的雌性，总体数量可按照一定的性别比算出。

将种群按年龄大小等间隔地分成n 个年龄组，如每1岁或5岁为1组。

与之相对应，时间也分成与年龄组区间大小相等的时段，如1年或5年为一个时段。

记时段k 第i 年龄组的种群数量为x i (k),k=0,1,2，……，i=1，2，3，4，……，n 。

在稳定的环境下和不太长的时间内，合理地假设种群的繁殖率和死亡率不随时段k 变化，只与年龄组有关。

记第i 年龄组的繁殖率为b i ，即每个（雌性）个体在1个时段内繁殖的数量；记第i 年龄组的死亡率为d i ，即1个时段内死亡数量（占总量）的比例。

s i =1-d i 称为存活率。

通常，b i 和s i 可由统计资料获得，且有以下性质：b i >=0，i=1，2，3，……，n ，且至少有一个b i >0；0<s i <=1,i=1，2，3，……，n-1。

种群数量x i (k)的变化规律由2个基本关系得到：时段k+1第1年龄组的数量是各年龄组在时段k 的繁殖数量之和；时段k+1第i+1年龄组（i=1，2，……，n-1）的数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，由此得到x 1(k+1)=1b ()ni i i x k =∑,k=0，1，2， (1)x i+1(k+1)=s i x i (k)，k=0，1，2，……，i=1，2，……，n-1（2）（1），（2）是差分方程组，记种群数量在时段k 按照年龄组的分布向量为x(k)=[（x 1(k),x 2(k),......,x n (k)]T ,k=0，1，2 (3)由繁殖率b i 和存活率s i 构成的矩阵1()limk k x k λ→∞112121000000000n n n b b b b s L s s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则（1），（2）可表为x(k+1)=Lx(k)，k=0，1，2 (5)当矩阵L 和按年龄组的初始分布x(0)已知时，可以预测种群数量在时间段k 按年龄组的分布为x(k)=L k x(0)，k=1，2， (6)有了x(k)，不难算出种群在时段k 的总数。

人口按年龄结构的总体增长问题数学建模

（5.14）
这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一
个年龄分布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值. 因此，在每一个年龄组中的女性比例据变为常量. 由给出常时期人口的年龄分布向量（5.12）式
X ( k ) C1k X1 ,
根据正特征值

1
的数值，会有三种情况：
１）如果 1 1 ，总体最终是增长的；
lim
k
1
1k

X ( k ) CX 1.
（5.11）
对于足够大的k值，由（5.11）式给出近似式
X
X
(k )
C1k X1.
C1k 1 X1,

（5.12）（5.13）
由（5.12）式还可得出
( k 1)
比较（5.12）和（5.13）式可知对于足够大的k值，有
X ( k ) 1 X ( k 1) ,
２）如果 1 1 ，总体整体是减少的；
３）如果 1 1 ，总体整体是不变的.
的总体。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数由（5.6）和（5.7）式可看出，当且仅当
1 1的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长
a1 a2b1 a3b1b2 ... anb1b2 ...bn1 1
时才有 1 1 . 表达式
（5.15）
R a1 a2b1 a3b1b2 ... anb1b2 ...bn1
一个总体有零总体增长.
（5.16）
称为总体的净繁殖率. 因此，总体的净繁殖率为1时，
<三> 一个实例
考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设该部落中没有年龄大于60的女性，将该部落中的女性分分成期限为20年的3个年龄