北师大版高二数学上试题及答案
高二上学期数学北师大版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高二上学期数学北师大版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则M 到直线的距离为( )2.已知A ，B 两点的坐标分别为，，两条直线和3.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.4.某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有()A.420种B.840种C.476种D.896种5.二项式展开式中的系数为( )A.120B.135C.D.6.过抛物线的焦点作直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，若直线与A.8B.16C.24D.327.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了k 次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使最大的N 值估计N 的取值并计算.(若有多个N 使最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是( )()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -AB ()0,1A ()1,0B 1:10l mx y -+=2:10l x my +-=(m ∈R 222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=()()10211x x x ++-5x 140-162-2:8C y x =1l 2l 1l l (01)p p <<(10)P X =()E X (10)P X =A. B.C. D.与10的大小无法确定8.已知椭圆的焦距为2，A 为椭圆的右焦点，过点A 在x 轴上方作两条( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若三条不同的直线，，，能围成一个三角形，则m 的取值不可能为( )A. B. C. D.110.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A 为“恰有两人所去景点相同”，事件B 为“只有小张去甲景点”，则( )A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯的统计理论，随机事件A ，B 存在如下关系：餐厅就餐的概率分别为0.4，0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学( )A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44()10E X >()10E X <()10E X =()E X 2222:1(0)x y E a b a b +=>>2=1:240l mx y m +++=2:10l x y -+=3:350l x y --=2-6-3-()P AB =∣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则m 的值为___________.13.若直线与曲线只有一个公共点，则实数m 的取值范围是______________.14.已知，，是球M 上三点，球心M 的坐标为，P 是球M 上一动点，则三棱锥的体积的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）如图，在直三棱柱中，，.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求点B 到平面的距离.16.（15分）已知圆C 经过点、，并且直线平分圆C .（1）求圆C 的方程；（2）过点，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ，且，求k 的值.17.（15分）从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.（1）男同学甲、女同学乙必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.18.（17分）已知m ，n 是正整数，的展开式中x 的系数为15.0m >6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 0:x y l m ++=:C y =(1,1,1)A (2,0,1)B (1,0,2)C (1,0,1)P ABC -111ABC A B C -BA BC ⊥12BA BC BB ===1AB 11A C 11A B C (1,3)A (2,2)B :320m x y -=(0,1)D 12OM ON ⋅=(1)(1)m n x x +++(1)求展开式中的系数的最小值；(2)已知.19.（17分）已知直线，直线，过动点M 作，，垂足分别为A ，B ，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且四边形（O 为原点）的面积为2.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于，两点，求的取值范围.2x (23x +b +1:l y x =2:l y x =-1MA l ⊥2MB l ⊥OAMB ()3,0F ()0,0P x ()00,Q y 00x y +答案以及解析1.答案：D解析：由，，，可知，则与同方向的单位向量为，又，，故点M 到直线的距离为.故选：D.2.答案：D 解析：由题意可得直线恒过定点，恒过定点，且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段为直径的圆上运动，，设，所以，所以当大值2，此时点P 的坐标为.故选：D.3.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -(1,1,1)AB = AB0AB = ||3AM = 0AM AB ⋅== AB d ===1:10l mx y -+=()0,1A 2:10l x my +-=()1,0B 1-AB AB =ABP θ∠=θθπ2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭θ==()1,1()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=PC l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，化简，得.4.答案：D解析：由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D 5.答案：D解析：展开式通项为：，令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；展开式中的系数为.故选：D.6.答案：D解析：设直线与的斜率分别为，，则，联立方程组消去y 并整理得，设，，则，当且仅当时，等号成立，所以7.答案：B解析：由题，X 服从二项分布，则，最大即为满足的最小N ，即为28C 28=()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=16C 6=15C 5=2865840⨯⨯=38C 56=84056896+=()101x -()()11010C 1C rrr rr r T x x +=-=-⋅=5r ()1011x ⨯-5x ()55101C 252-=-4r =()101x x -5x ()44101C 210-=3r =()1021x x -5x ()33101C 120-=-()()10211x x x ∴++-5x 252210120162-+-=-1l 2l 1k 2k 121k k =-()122,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩()22221114240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y ()211221424k x x k ++==()()12228AB AF BF x x =+=+++=8MN =+212221218811616832AB MN k k k k ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭22121k k ==AB MN +(,)B N p 101010(10)C (1)N N P X p p -==-(10)P X =101010101091C (1)C (1)N N N N p p p p --+-≥-，又为整数时，的最小整数，而，，答选：B.8.答案：C解析：由焦距为2知，，设直线与E的另外一个交点为D，，显然判别式大于0，或．故选：C．9.答案：ABC解析：由直线，，，若；若；101010101091C(1)1910111C(1)11NNNNp p NNp p p N p--+--≥⇔⋅≥⇔≥---+N+∈N1-10Np=--1-()E X Np=()10E X<⇔N<()10X<(1,0)A221a b-=AB()11,B x y)()222242122a x a x a a--+-=12x x+=12x=))1211x x--=12x x+()121x x+-=242222212121a a aa a-+-=--22= 2a=22=1:240l mx y m+++=2:10l x y-+=3:350l x y--=1l//2=-1//l l6=-若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组，解得，，即交点，将点代入直线，可得，解得，故选：ABC.10.答案：CD解析：A 选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A 错误；B 选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，种方案，B 错误；C 选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B 选项可知，，事件AB ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以D 选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另种方案，由A 选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故11.答案：AC解析：设事件表示“第一天去甲餐厅”，表示“第二天去甲餐厅”，表示“第一天去乙餐厅”，表示“第二天去乙餐厅”，则，，，，所以，所以A 正确.，所以B 不正确.因为，所以，所以1l 2l 3l 10350x y x y -+=⎧⎨--=⎩3x =4y =(3,4)P P 1l 32440m m +⨯++=3m =-4381=33A 36=()36n A =()212312C C A 6n AB ==()()()n AB P B A n A ==312413C C A 24=23A 18==1A 2A 1B 2B ()10.4P A =()10.6P B =()210.6P A A =∣()210.5P A B =∣()()()()()21211210.40.60.60.50.54P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣()()2210.46P B P A =-=()()()()2122110.5P A P B A P A B P B ==∣∣()()2120.50.60.3P A P B A =⨯=∣()()1220.30.30.54P B A P A ===∣故选AC.12.答案：3解析：展开式的通项为（），令，解得，所以项的系数为，又，解得.13.答案：解析：因为曲线，所以曲线C 是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线的斜率为-1，在y 轴上的截距为，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点，由图得：，当直线l 与圆相切时，则或故答案为：.解析：依题意，，，则则，则球M 的半径，设平面的法向量为，则，令，得，()()()()121122P A P B A P A B P B =∣∣()()()121210.4(10.6)0.46P A P A A P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦===∣6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭662166C C kk k k k kk m T x m x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭0,1,2,,6k = 622k -=2k =2x 2226C 15135m m ==0m >3m =(]{3,3-- :C y =()2290x y y +=≥(0,0):l y x m =--m -[)(]3,33,3m m -∈-⇒∈-3d m ⇒=±=-(]3,3∈-m =-(]{3,3-- (1,1,0)AB =- (0,1,1)AC =- ||||AB AC == ||||AB AC A AB AC ⋅==A =ABC =(0),1,0=||1R MA == ABC (,,)n x y z = 0n AB x y n AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =(1,1,1)n =则点M 到平面的距离距离最大值为，所以三棱锥解析：（1）依题意可知，，两两相互垂直，以B 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线与所成角为，则由于（2），，，，设平面的法向量为，则，故可取，所以点B 到平面16.答案：（1）（2）1ABC ||||n MA d n ⋅===ABC 1d R +=P ABC -1)+=BA 1BB BC ()2,0,0A ()10,2,0B ()12,2,0A ()10,2,2C ()12,2,0AB =- ()112,0,2A C =-1AB 11A C θ111111cos AB A C AB A C θ⋅===⋅0θ<≤=()112,0,0A B =- ()0,0,2C ()12,2,2A C =-- ()10,2,0BB =11A B C (),,n x y z = 111202220n A B x n A C x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ()0,1,1n = 11A B C = 22(2)(3)1x y -+-=解析：（1）线段AB的中点，，故线段AB的中垂线方程为即，因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上.又因为直线平分圆C，所以直线m经过圆心.即与的交点为圆心，所以圆心的坐标为，而圆的半径，.（2）直线l的方程为.圆心C到直线l的距离，两边平方整理得：将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，将①代入②得：，设、，则由根与系数的关系可得：而，所以，，整理，解得.此时有，所以k值为1.17.答案：（1）6（2）16（3）90解析：（1）根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；（2）从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：35,22E⎛⎫⎪⎝⎭32112ABk-==--52y x-=-10x y-+=:320m x y-=10x y-+=320x y-=(2,3)C1r=22(2)(3)1x y-+-=1y kx=+d=1d=<23830k k-+<k<<1(2)2(3)21y kxx y=+⎧⎨-+-=⎩①②()2214(1)70k x k x+-++=()11,M x y()22N x y12x x+=12x=()()()212121212111y y kx kx k x x k x x=+⋅+=+++()()()222121121274(1k)4k(1k)OM ON111181k21k21k2yx x y k x x k x x k k++⋅=+=++++=+⋅+⋅+=++++812=2(1)1k k k+=+1k=>△16C6=38C35C2153C C⨯种；（3）选出一个男生担任体育班委，有种情况，再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.18.答案：(1)49；(2)解析：（1）根据题意得，即，所以，所以展开式中的的系数为故当或时，的系数的最小值为49.，则，，因为的展开式的通项为，令（*）即，所以.因为成立，所以，所以.19.答案：（1）（2）解析：（1）设，由直线，直线，可知，故四边形为矩形，四边形（O 为原点）的面积为2，即得，33218553C C C C 16--⨯=15C 13C 16C 111536C C C 90⨯⨯=2271511C C 15m n +=15m n +=15n m =-2x 2222(1)(1)C C 222m nm m n n m n m n --+--+=+=222211515(15)15105222m m m m m ⎛⎫⎡⎤=+--=-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭7m =8m =2x 7=172(23)(23)m n x x +-+=+3477C C 35a ===7(23)x +77177C 2(3)C 23r r r r r r r r T x x --+=⋅⋅=⋅716177718177C 23C 23C 23C 23r r r r r r r r r r r r -+-+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩r r ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩*∈N 4r =434777C 232268032⋅⋅=>>22680b =352268022715a b +=+=()2242x y x -=≥(3,6)(6,)+∞ (,)M x y 1:l y x =2:l y x =-12l l ⊥OAMB OAMB ||||2MA MB ⋅=因为，，故，得，由于点A 在第一象限，点B 在第四象限，故动点M 的轨迹方程为；（2）由题意知，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，即l 与双曲线的的右支交于两点，双曲线的渐近线为，故或；设直线l 的方程为，联立，整理得，，设，则故CD 中点的坐标为，则CD 的垂直平分线的方程为，令，得，得，故因为或，故，所以的取值范围为.||MA =||MB =2=22||4x y -=()2242x y x -=≥()3,0F 224x y -=y x =±1k >1k <-(3)y k x =-22(3)4y k x x y =-⎧⎨-=⎩()222216940k x k x k -+--=()()4222Δ36419420160k k k k =----=+>()()()()1122,3,,3C x k x D x k x --212261k x x k +=-=-22233,11k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭22231311k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭0y =0x =0x =0261k y k =-()()()2002261666611111k k k k k x y k k k k k ++=+===+--+--1k >k <61k <-0>6361k <+<-6>00x y +(3,6)(6,)+∞。
北师大版高二上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
北师大版高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（）A．“∃x0∈R使得x02+x0+1≥0”B．“∃x0∈R使得x02+x0+1＞0”C．“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”D．“∀x∈R，使得x2+x+1＞0”2．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2）D．（0，1）∪（2，+∞）5．（5分）若抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p＝（）A．8B．4C．3D．26．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．75°B．90°C．135°D．120°7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣29．（5分）已知log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则2a+b取到最小值时，a+b＝（）A．9B．6C．4D．310．（5分）椭圆＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，，且sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，则下列选项不一定成立的是（）A．b＝2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最大值是．14．（5分）已知数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为T n，则使不等式成立的正整数n的最大值为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝．16．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N 是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，∠AMB ＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设p：函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；q：设，，不等式对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．19．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求b2+c2+bc取值范围．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．22．已知椭圆M：＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，设直线l与x轴交于D（﹣1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．北师大版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（）A．“∃x0∈R使得x02+x0+1≥0”B．“∃x0∈R使得x02+x0+1＞0”C．“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”D．“∀x∈R，使得x2+x+1＞0”【解答】解：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即命题的否定是：“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”故选：C．2．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当m＝1时，满足0＜m＜2，方程即x2+y2＝1，表示圆不能表示椭圆，则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的不充分条件，方程表示椭圆，必有，解可得0＜m＜1或1＜m＜2，则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的必要条件，综合可得：则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C．3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图设AD＝1，则D1D＝1，C1D＝2，DC1＝，BC＝1将D1A平移到C1B，则∠DC1B是异面直线AD1与DC1所成角BD＝2，C1B＝，DC1＝2cos∠DC1B＝＝．故选：A．4．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2）D．（0，1）∪（2，+∞）【解答】解：根据题意，关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），必有，则有b＝﹣2a且a＜0，则⇒＞0⇒＞0⇒＜0⇒（x+1）x（x﹣2）＜0，解可得：x＜﹣1或0＜x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，2）；故选：C．5．（5分）若抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p＝（）A．8B．4C．3D．2【解答】解：抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），由椭圆，得c＝，则椭圆焦点坐标为（，0），（，0），由题意，p＝，解得p＝2．故选：D．6．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．75°B．90°C．135°D．120°【解答】解：边长7所对应的角α满足：cosα＝＝，α∈（0°，180°），∴α＝60°．可得边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，∴＝，整理，得，S n＝na1+＝﹣+＝﹣．∴当S n取最大值时，n的值为11．故选：C．8．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【解答】解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，可得＝＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），P为右支上一点，由正弦定理可得|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2．在△PF2F1中，由余弦定理得cos∠PF2F1＝＝，则＝||•||•cos∠PF2F1＝2×4×＝2．故选：B．9．（5分）已知log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则2a+b取到最小值时，a+b＝（）A．9B．6C．4D．3【解答】解：由log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1可得，（a﹣2）（b﹣1）＝2且a＞2，b＞1，由（a﹣2）（b﹣1）＝2可得，，∴，当且仅当a＝b＝3时，2a+b取到最小值9，此时a+b＝3+3＝6．故选：B．10．（5分）椭圆＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接A10∵A10⊥y轴，A20⊥y轴，∴∠A10A2为两个面的二面角．|A10|＝a＝4，|0F|＝c＝＝2，∴cos∠A10A2＝＝∴∠A10A2＝60°，故选：B．11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，，且sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，则下列选项不一定成立的是（）A．b＝2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为【解答】解：由C＝π﹣A﹣B的，sin C＝sin（A+B），∵sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，化简得，sin B cos A﹣2sin A cos A＝0，则cos A（sin B﹣2sin A）＝0，∴cos A＝0或sin B﹣2sin A＝0，（1）当cos A＝0，A＝时，由∠C＝得B＝，∵c＝2，∴b＝c tan B＝，则a＝；（2）当sin B﹣2sin A＝0时，由正弦定理得，b＝2a，∵c＝2，∠C＝，∴由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，则4＝a2+4a2﹣2a×2a×解得a＝，则b＝，此时满足b2＝a2+c2，即B＝，对于A，当A＝时，a＝2b，故A错误；对于B，当A＝或B＝时，△ABC的周长为：a+b+c＝2+2，故B正确；对于C，当B＝时，△ABC的面积S＝ac＝，当A＝时，S＝bc＝，成立，故C正确；对于D，当A＝或B＝时，由正弦定理得2R＝＝，得R＝，故D正确，综上可得，命题正确的BCD，错误的为A故选：A．12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最大值是6．【解答】解：先根据实数x、y满足线性约束条件实数x，y满足画出可行域，A（1，1），C（﹣2，﹣2），B（﹣2，2）然后平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点A（1，1）时，z最大值为3．经过C时，2x+y取得最小值：﹣6，所以z＝|2x+y|的最大值：6．故答案为：6．14．（5分）已知数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为T n，则使不等式成立的正整数n的最大值为6．【解答】解：数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝a2•a4＝81，即解得，则公比q＝3，∴，则＝，∴，即，得3n＜2019，此时正整数n的最大值为6．故答案为：6．15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝6．【解答】解：根据题意设直线的方程为y＝（x﹣），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得x2﹣5x+＝0，，|PQ|＝＝2×4＝8，|MN|＝8sin60°＝4，故S，故答案为：6．16．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N 是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2AC＝2，BM＝a，CN＝b，则A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，0，a），N（0，1，b），＝（1，0，a），＝（0，1，b），设平面AMN的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（﹣a，﹣b，1），平面ABC的法向量＝（0，0，1），∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，∴cos＝＝，得a2+b2＝3，∴当B1M|最小时，BM＝a最大，此时a＝，b＝0，∴tan∠AMB＝，∴∠AMB＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设p：函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；q：设，，不等式对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真则ax2﹣4x+a＞0对x∈R都成立，则△＜0且a＞0，解得a＞2，若q真则由对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，2x2+x﹣（ax+2）＞0即a＞2x﹣+1对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，则a＞（2x﹣+1）max令y＝2x﹣+1，在（﹣∞，﹣1]上是增函数，当x＝﹣1时取得最大值y max＝1，故a≥1，又“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，若p真q假，则，无解，若p假q真，则，则1≤a≤2，综上，1≤a≤2．18．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1＝（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（）n+n﹣，b n＝（）n﹣n+．19．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|＝1+＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x．（2）设AB的方程为：x＝my+n，代入y2＝4x有y2﹣4my﹣4n＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1•y2＝﹣4n，∴x1•x2＝，∴＝x1•x2+y1•y2＝n2﹣4n＝﹣4，∴n＝2，∴AB的方程为：x＝my+2，恒过点N（2，0）．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求b2+c2+bc取值范围．【解答】解：（1）∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．∴sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，∴b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理，得．∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．（2）由正弦定理，有，∴b＝2sin B，c＝2sin C，∴b2+c2+bc＝a2+2bc＝3+2bc＝8sin B sin C+3＝＝．∴，∴，∴，∴，∴b2+c2+bc∈（7，9]．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．【解答】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过D且与AB平行的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴，设平面ABE的法向量为，∴，可取，又，∴，∴，又∵DF不在平面ABE，∴DF∥平面ABE；（2）解：设，∴，∴，又∵平面ABE的一个法向量为，∴，∴8λ2﹣6λ+1＝0，∴或，∴当时，，∴，当时，，∴，综上．22．已知椭圆M：＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，设直线l与x轴交于D（﹣1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），代入椭圆方程有：＝1，整理，得：＝﹣（），又k1＝，，∴k1k2＝＝﹣，联立两个方程有k1k2＝﹣＝﹣，解得e＝＝．（2）由（1）知a2＝2b2，又b＝1，∴椭圆C的方程有：．设直线l的方程为x＝my﹣1，代入椭圆的方程为：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得：，y1y2＝﹣，∴S△OMN＝|OD|•|y1﹣y2|＝＝＝，令＝t，（t≥1），则m2＝t2﹣1，代入上式，有S△OMN＝＝＝≤，当且仅当t＝1，即m＝0时，等号成立，∴△OMN的面积的最大值为．。
2023北京北师大附中高二(上)期末数学(含答案)
2023北京北师大附中高二（上）期末数 学一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）1．已知向量(1a =−，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，那么(xy = ) A ．18−B ．9C ．9−D ．182．已知O 为原点，点(2,2)A −，以OA 为直径的圆的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y −++= B ．22(1)(1)8x y −++= C ．22(1)(1)2x y ++−=D ．22(1)(1)8x y ++−=3．已知双曲线221x y m −=的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值为( )A ．14B ．4C ．4−D ．14−4．为抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( ) A ．1x =−B ．1x =C ．2x =D ．2x =−5．已知直线l 过点(3,1)A −，且与直线230x y −+=垂直，则直线l 的一般式方程为( ) A ．230x y ++=B ．250x y ++=C ．210x y +−=D ．220x y +−=6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是( )A ．14B ．12C ．2D 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是( )A ．1//D E 平面11AB BA B ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11BD 所成角的范围为(,)42ππD ．二面角11E A B A −−的大小为4π 8．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a −>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知圆的方程为228150x y x +−+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( ) A ．43−B ．53−C ．35−D ．54−10．已知曲线2:||44C x x y +=，点F ，下面有四个结论： ①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C 上任意点P 满足||23PF −；④曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y −−+−=有5个不同的交点． 则其中所有正确结论的序号是( ) A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5S = ．12．（5分）已知圆22:(1)(1)4C x y −++=，若直线1y kx =+与圆C 相交得到的弦长为，则k = ．13．（5分）已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，则△12PF F 的面积为 ．14．（5分）已知正方体的1111ABCD A B C D −棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若PM =PQ 长度的最小值为 ．15．（5分）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程” )，已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时． ①若13m =，则使得1n a =至少需要 步雹程； ②若91a =；则m 所有可能取值的和为 ．三、解答题（共6小题，共85分．解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．（13分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足1(1)(1)n n n b a a =−+，若数列{}n b 前n 项和n T ．17．（14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 的中点． （Ⅰ）求证：1//BD 平面ACE ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．18．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．（1）求证：CD ⊥平面11AA B B ； （2）求二面角1B AE B −−的余弦值．19．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2−−．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)作直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．20．（15分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =． （1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =−交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．21．（14分）已知有限数列1:A a ，2a ，，m a 为单调递增数列．若存在等差数列1:B b ，2b ，，1m b +，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +<，则称数列A 是长为m 的Ω数列． （Ⅰ）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）: ①数列1，4，5，8； ②数列2，4，8，16．（Ⅱ）若(a b c a <<，b ，)c R ∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（Ⅲ）设M 是集合{|063}x N x ∈的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案） 1．【解答】解：因为向量(1a =−，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ， 所以3121x y==−，解得6x =−，3y =−， 所以6(3)18xy =−⨯−=． 故选：D ．2．【解答】解：O 为原点，点(2,2)A −，则||OA ==OA 的中点坐标为(1,1)−， 故以OA 为直径的圆的方程为22(1)(1)2x y −++=． 故选：A ．3．【解答】解：由双曲线221x y m −=的渐近线方程为12y x =±，0m ∴>12=，解得4m =， 故选：B ．4．【解答】解：椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)， ∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =−． 故选：D ．5．【解答】解：直线l 与直线230x y −+=垂直， 则可设直线l 为20x y k ++=， 直线l 过点(3,1)A −，2(3)10k ∴⨯−++=，解得5k =， 250x y ∴++=．故选：B ．6．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，则(1A ，1，0)，(0C ，2，0)，(0G ，0，2)，(1Q ，0，2)， (1,0,0)GQ =，(0,2,2)GC =−，(1,1,0)CA =−，设平面QGC 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由0220n GQ x n GC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取1z =，得(0,1,1)n =，∴点A 到平面QGC 的距离是|||1||n CA n ⋅⨯==故选：C ．7．【解答】解：对于A ，因为平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ， 则1//D E 平面11A B BA ， 故选项A 正确；建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体的棱长为1，则(1A ，0，0)，1(1B ，1，1)，1(0D ，0，1)，1(1A ，0，1)，设(0E ，m ，0)，01m ， 所以11(1,1,1),(1,0,1)EB m AD =−=−， 因为111010EB AD ⋅=−++=， 则11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥， 故选项B 正确；对于C ，11(1,,0),(1,1,0)AE m B D =−=−−， 设直线AE 与11B D 所成角为θ， 所以11|cos ,|AE B D <>=当0m =时，cos θ最大值为2，则θ的最小值为4π，当1m =时，cos θ最小值为0，则θ的最大值为2π，故选项C 错误；对于D ，二面角11E A B A −−即二面角11D A B A −−，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11EA B ，1AA ⊂平面11AA B ， 所以1DA A ∠即为二面角11D A B A −−的平面角， 在正方形11ADD A 中，14DA A π∠=，故二面角11E A B A −−的大小为4π， 故选项D 正确． 故选：C ．8．【解答】解：212n n a a −>，222111n n a q a q −−∴>，221(1)0n a q q −∴−>， 10a >，220n q −>，10q ∴−>，1q ∴<，(−∞，0)(−∞，1)，0q ∴<为1q <的充分不必要条件，即0q <是对任意的正整数n ，212n n a a −>的充分不必要条件． 故选：A ．9．【解答】解：圆C 的方程为228150x y x +−+=，∴整理得：22(4)1x y −+=，∴圆心为(4,0)C ，半径1r =．又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于2，2，化简得：2340k k +，解之得403k −，k ∴的最小值是43−．故选：A ．10．【解答】解：当0x 时，曲线C 方程可化为：2214x y +=，(0)x ，表示部分椭圆；当0x <时，曲线C 方程可化为：2214x y −=，(0)x <，表示部分双曲线． 作出曲线C 的图形，如图所示，对①，由图可知：曲线C 关于x 轴对称，∴①正确；对②，由图可知：曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积显然小于224⨯=，∴②正确；对③，F 为椭圆的焦点，且椭圆中2a =，1b =，c =，∴由椭圆的几何性质及双曲线的几何性质可得：||2PF a c −=，∴③正确；对④，如图，由题意可得直线220x y −−=与直线220x y +−=与双曲线分别切于(0,1)−，(0,1)， 且两直线都过(2,0)，∴曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y −−+−=有3个不同的交点，∴④错误． 故选：D ．二、填空题（每小题5分，共25分）11．【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，又由11a =，2327a a =，则有227q q ⨯=，即327q =，解可得3q =， 则数列{}n a 的前5项和515(1)243112112a q S q −−===−；故答案为：121．12．【解答】解：由圆22:(1)(1)4C x y −++=，得圆心(1,1)C −，半径2r =， 则圆心(1,1)C −到直线1y kx =+即10kx y −+=的距离为d =，221(42∴+⨯=，解得34k =−．故答案为：34−．13．【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在x 轴上，离心率e ==，可得23b =，所以椭圆的方程为：22193x y +=，所以2936c =−=， 因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥， 则2221212||||||PF PF F F +=，由椭圆的定义可得222121212(||||)2||||||4PF PF PF PF F F c +−⋅==， 即222122||||444PF PF a c b ⋅=−=， 所以212||||26PF PF b ⋅==， 所以121211||||6322PF F SPF PF =⋅=⨯=， 故答案为：3．14．【解答】解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111A B C D ，即MO OP ⊥，5PM =，则1OP =，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面1111A B C D 内的半圆上．可得O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值， 作1OH A N ⊥于H ，△1A ON 的面积为113222111222⨯−⨯⨯−⨯⨯=，∴11322A N OH ⨯=，可得5OH =，PQ ∴长度的最小值为15−．1− 15．【解答】解：13m =，依题意，314020105168421m +=→→→→→→→→， 共9共步骤；若91a =，82a =，74a =，68a =或61a =，若21432121654321165432321128,25632,6421,4220,408,165,103,6321,2,48,161,2,4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧⎪==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎪==⎪⎧====⎨⎨==⎩⎪⎪=⎧⎪⎪=====⎪⎨⎪⎪===⎩⎩若，1a 的集合为{256，42，40，6，32，5，4}，其和为385；故答案为：9，385．三、解答题（共6小题，共85分．解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．【解答】解析：（Ⅰ）由题意知：22214111101()(3)..1101045110a a a a d a a d S a d ⎧⎧=+=+⎪⎪⇒⋯⋯⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩ 解得12a d ==，故数列2n a n =；⋯（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==−−+−+，..⋯（8分）则1111111[()()()]..213352121n T n n =−+−+⋯+−⋯−+（10分）11(1)22121n n n =−=⋯++（12分） 17．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ， 在正方形ABCD 中，OB OD =． 因为E 为1DD 的中点，所以1//.OE BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 因为1BD ⊂/平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， 所以1//BD 平面ACE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −． 则(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0E ，2，1)， 所以(0,2,0)AD =，(2,2,0)AC =，(0,2,1)AE =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 设平面ACE 的法向量为(n x =，y ，)z ，所以0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩即,2,x y z y =−⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨=−⎩（10分） 令1y =−，则1x =，2z =，于是(1n =，1−，2)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 设直线AD 与平面ACE 所成角为θ，则||2sin |cos ,|6||||26AD n AD n AD n θ⋅=〈〉===⋅．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为6．18．【解答】解：（1）证明：在三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥．又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AD ⊥． 因为1ABAA A =，所以CD ⊥平面11AA B B ．（2）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点， 所以DF AB ⊥．由（1）知CDAB ⊥，CD DF ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz −，由题意得(1A ，0，0)，(1B −，0，0)，(0C ，0，1(1A ，3，0)，1(1B −，3，0)，1(0C ，3， (0D ，0，0)，3(2E −，3(2AE =−，1(2AB =−，3，0)，设平面1AB E 的法向量(n x =，y ，)，3(2AE =−，0，1(2AB =−，3，0)，则1302230n AE x n AB x y ⎧⋅=−+=⎪⎨⎪⋅=−+=⎩，令1x =，则(1n =，23． 平面BAE 法向量1(0AA =，3，0)． 因为11110cos ,10||||AA n AA n AAn ⋅<>==⋅， 由题意知二面角1B AE B −−．19．【解答】解：（1）由题意， 22222121914c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （2）在x 轴上假设存在点Q ，使得QA ，QB 恰好关于x 轴对称， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 再设直线:1l x my =+，(,0)Q t ，联立22134120x my x y =+⎧⎨+−=⎩，得22(43)690m y my ++−=． 则122643m y y m +=−+，129y y =， 由0QA QB k k +=，可得12120y yx t x t+=−−， 即1221(1)(1)0y my t y my t +−++−=， 可得12122(1)()0my y t y y +−+=． 则22962()(1)()04343mm t m m ⋅−+−⋅−=++，得40t −=，即4t =．故在x 轴上是否存在定点(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称．20．【解答】（1）解：根据题意知，042py =，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）因为||2AF =，所以022py +=．②．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 联立①②解的01y =，2p =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 所以E 的方程为24x y =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）证明：设1(B x ，1)y ，2(M x ，2)y ．由题意，可设直线BM 的方程为y kx b =+，代入24x y =，得2440x kx b −−=．由根与系数的关系．得124x x k +=，124x x b =−．③⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 由MP x ⊥轴及点P 在直线3y x =−上，得2(P x ，23)x −， 则由A ，P ，B 三点共线，得21214122x kx b x x −+−=−−，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 整理，得1212(1)(24)(1)260k x x k x b x b −−−++−−=．将③代入上式并整理，得1(2)(23)0x k b −+−=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）由点B 的任意性，得230k b +−=，所以32(2)3y kx k k x =+−=−+．即直线BM 恒过定点(2,3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列． （Ⅱ）证明：①当b a c b −=−时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =−， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<， 所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b −<−时，令12b b c =−，2b b =，3b c =，42b c b =−， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<． 所以数列a ，b ，c 为Ω数列． ③当b a c b −>−时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c ab −=， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b bc b <<<． 所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列． （Ⅲ）证明：假设M 中没有长为4的Ω数列， 考虑集合{16k M k =，161k +，，1615}k +，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列， 所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ． 对于其余的k ，再考虑集合,{164k j M k j =+，1641k j ++，1642k j ++，1643}k j ++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ． 因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x N x ∈中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ． 所以集合M 中至多有643727−=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾． 所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．。
2022北京北师大实验中学高二(上)期中数学参考答案
高二年级数学 参考答案 第Ⅰ卷（共100分）16. 解：（Ⅰ）当3t =时，1cos ,||||2⋅<>===⋅a b a b a b .因为,[0,]<>∈πa b ，所以,3π<>=a b . （Ⅱ）因为22(2)(2)4||||+-=-a b a b a b228(9)10t t =-+=--<因此，对任意t ∈R ，2+a b 与2-a b 不垂直 （Ⅲ） 由题意知，λ+a b ∥(0,0,1)即存在k ∈R ，使得(0,0,1)k λ+=a b 则(3,,)(0,0,)t k λλ+-=即300t k λλ+=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得3λ=-，0t = 17. 解：（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，因此,,PD AD CD 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DA uu u r ，DC uuu r ，DP uu u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -.P ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A，M ，(0,1,0)N(2,1,0)AN =-u u ur，(1AM =-u u u r ，(2,4,PB =-u u r.因为2(1)42(0PB AM ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u r u u u r，所以PB AM ⊥uu r uuu r，即PB AM ⊥因为2(2)41(00PB AN ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u r u u u r，所以PB AN ⊥uu r uuu r，即PB AN ⊥又因为AM AN A =I ，因此PB ⊥平面AMN（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 为平面ANB 的一个法向量由（Ⅰ）知(2,4,PB =-u u r为平面AMN 的一个法向量. cos ,||||PB PB PB ⋅<>===⋅n n n uu ruu r uu r设所求角为θ，由图知θ为锐角，因此cos θ=（Ⅲ）点D 到平面AMN 的距离2||DA PB d PB ⋅===uu u r uu ruu r 18. 解：以O 为原点，OB uu u r ，OM uuu r的方向为,x y 轴正方向建立平面直角坐标系.图中直线AC 的方程为1122y x =+. 选择①：设(1,)P k ，则直线POQ 的方程为y kx =，联立1122y x y kx⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得1(,)2121kQ k k --. 所以1211121MQkk k k k --==--；又111MP k k k -==-，所以MP MQ k k =-. 所以QMO PMO ∠=∠. 选择②：设1(,)2t Q t +， 则11122MQt t k t t+--==. 因为QMO PMO ∠=∠，所以12MP MQ tk k t-=-=. 所以直线PM 的方程为112ty x t-=+. 所以1(1,)2t P t+. 所以12OP OQ t k k t+==，所以,,P O Q 三点共线. 第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（每小题4分，共16分）五、解答题（共34分）23. 解：圆C 的方程为22(1)1x y +-=. （Ⅰ）由题意知，圆心C 到直线l 的距离1d ===.解得2m =2（Ⅱ）若直线l 过点A ，则1m =，直线l 的方程为210x y -+=.联立直线l 与圆C 的方程，22210(1)1x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得交点坐标分别为(1,1)，（−35，15）（Ⅲ） 设直线l '斜率为k ，则直线l '的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.设圆心C 到直线l '的距离为d '，有22||()()12MN d '+=，因为||MN ≥，所以12d '≤.解12d '=≤k ≤≤.24. 解：（Ⅰ）证明：连接1AC ，1BC ，由于AM MB =，1AN NC =，故1//MN BC 又因为1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B（Ⅱ）如图，取11A B 中点Q ，由于1AA ⊥平面ABC ，1//MQ AA ，因此MQ ⊥平面ABC ，又因为AC BC =，所以MB MC ⊥，故,,MB MC MQ 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以MB uuu r ，MC uuu r ，MQ uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系M xyz -则1(1,0,2)A -，(0,2,0)C ，1(1,0,2)B ，(0,0,0)M ，1(,1,1)2N -.1(1,2,2)AC =-u u u r ，1(1,0,2)MB =uuu u r ，1(,1,1)2MN =-uuu r 设平面1B MN 的法向量为(,,)x y z =n ，100MB MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu u r uuu r，即20102x z x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取221x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩则(2,2,1)=-n设所求角为θ，则111sin |cos ,|||||AC AC AC θ⋅=<>=⋅n n n uuu ruuu ruuu r89= （Ⅲ）设(01)AP AC λλ=≤≤u u u ru u u r，则(1,0,0)(1,2,0)(1,2,0)MP MA AP λλλ=+=-+=-u u u r u u u r u u u r若点P 在平面1B MN 内，则MP uuu r垂直于平面1B MN 的法向量n因此(1,2,0)(2,2,1)620MP λλλ⋅=-⋅-=-=n u u u r ， 解得1[0,1]3λ=∈，故棱AC 上是否存在点P ，使得点P 在平面1B MN 内，此时13AP AC =25. 解：（Ⅰ）① ||||6=a ，|||||x|=b ；② min ||||4-=a b ，此时3x = （Ⅱ）{}121212||||max ||x +x |,|y +y |,|z +z +=a b{}121212max||x |+|x |,|y |+|y |,|z |+|z ≤因为{}{}111222||||max ||,||||max ||x |,|y |,|z x |,|y |,|z ==a b ， 所以111222||||||,||||||x |,|y |,|z x |,|y |,|z ≤≤a b所以{}||||max ||||||||||||||||||||||||||||||||,,++++=+≤a b a b a b a b a b（Ⅲ）min 5||||11PQ =uu u v 632(,,)777P。
2023-2024学年安徽省A10联盟(北师大版)高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线l 的方程为√3x +y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．73．以A （2，0），B （0，﹣4）两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20D ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝54．已知圆（x ﹣1）2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的值不可能为（ ） A ．1B ．0C ．−√2D ．−√35．若圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+4b的最小值为（ ） A ．9+4√22B ．16C ．17D ．2526．已知抛物线y 2＝8x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC +BD 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√528．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ）A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3 C ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＞510．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ） A ．AB 的最大值为10 B ．C 的焦距是短半轴长的34C ．|AF 2|+|BF 2|为定值D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 211．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线 kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0 和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线，则a ＝1612．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152三、填空题（本题共4小题，每小题0分，共20分.）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 ．15．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm ．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm ，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程．20．（12分）已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过（1，﹣2），(14，1)，（﹣2，﹣2）三点中的两点．（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知F 是抛物线Γ的焦点，P 为抛物线Γ上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，求直线OM 的斜率的最大值（O 为坐标原点）．21．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线l 的方程为√3x +y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为直线l 的方程为√3x +y −1=0，即y =−√3x +1， 所以直线的斜率为k =−√3，所以直线的倾斜角为2π3．故选：C ． 2．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7解：因为椭圆x 24+y 29=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，所以双曲线y 22−x 2m=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，故2+m ＝5，解得m ＝3．故选：B ．3．以A （2，0），B （0，﹣4）两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20D ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝5解：依题意，圆心坐标为AB 中点，即（1，﹣2），半径为12|AB|=12√(2−0)2+(0+4)2=√5，所以圆的方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝5． 故选：D ．4．已知圆（x ﹣1）2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的值不可能为（ ） A ．1B ．0C ．−√2D ．−√3解：由圆的方程（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心为原点O （1，0），半径为2， 若圆上有4个点到直线l 的距离等于1，则O 到直线y ＝x +b 的距离d 小于1， 又直线的一般方程为x ﹣y +b ＝0， 所以√1+11，所以|1+b |＜√2，所以−√2−1＜b ＜﹣1+√2，所以实数b 的取值范围为（−√2−1，﹣1+√2）． 故选：A ．5．若圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+4b的最小值为（ ）A ．9+4√22B ．16C ．17D ．252解：由题意知，圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分， 即圆心（1，﹣2）在直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，故a +4b ﹣2＝0，即a +4b ＝2， 故1a +4b =（1a +4b ）•12（a +4b ）=12（1+16+4b a +4a b ）≥12（17+2√4a b ×4b a ）=252， 当且仅当4b a =4a b，结合a +4b ＝2，即a ＝b =25时取等号，所以1a+4b的最小值为252．故选：D ．6．已知抛物线y 2＝8x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC +BD 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8解：如图，∵抛物线的方程为y 2＝8x ， ∴焦点F （2，0），准线x ＝﹣2，由抛物线的定义可知|AC |+|BD |＝|AF |+|FB |﹣4＝|AB |﹣4， 即当且仅当|AB |取得最小值，|AC |+|BD |取得最小值，依据抛物线的定义可知当|AB |为通径时，即|AB |＝2p ＝8时为最小值， ∴|AC |+|BD |的最小值为4． 故选：B ．7．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√52解：如图示：，设A （1，1）点关于直线x ﹣y +2＝0的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：{a =−1b =3，故A ′（﹣1，3），点A 关于x 轴的对称点A ″（1，﹣1）， 则|A ′A ″|=√4+16=2√5，故A ′A ″的长即△ABC 周长的最小值． 故选：B ．8．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32解：以BC 的中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，y ），因为DB ：DC =√3：1，所以2222=√3，化简整理得：（x +1）2+y 2＝3（x ﹣1）2+3y 2，即（x ﹣2）2+y 2＝3， 所以点D 的轨迹为以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆， 当点D 与直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大， 直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，且|AB|=√2， 设圆心到直线的距离为d ，则点D 到直线AB 的最大距离为d +r =2+√3=3√2+2√32，所以△ABD 面积的最大值为12×√2×3√2+2√32=3+√62． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3 C ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＞5解：对A 选项，当5﹣t ＝t ﹣1＞0，即t ＝3时，曲线C 是圆，∴A 选项正确；对B 选项，若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则5﹣t ＞t ﹣1＞0，∴1＜t ＜3，∴B 选项正确； 对C 选项，若C 为椭圆，则{5−t ＞0t −1＞05−t ≠t −1，∴1＜t ＜5且t ≠3，∴C 选项错误；对D 选项，若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则{t −1＞05−t ＜0，∴t ＞5，∴D 选项正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ） A ．AB 的最大值为10 B ．C 的焦距是短半轴长的34C ．|AF 2|+|BF 2|为定值D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 2解：∵在椭圆C ：x 225+y 216=1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3， 又A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称， ∴AB 的最大值为2a ＝10，∴选项正确；∴C 的焦距为2c ＝6，短半轴长为4，而6≠4×34，∴B 选项错误； 根据椭圆的对称性可知|BF 2|＝|AF 1|，∴|AF 2|+|BF 2|＝|AF 2|+|AF 1|＝2a ＝10，∴C 选项正确； 根据椭圆的几何性质可得：当A 为短轴顶点时∠F 1AF 2最大，设∠F 1AF 2＝2θ，而当∠F 1AF 2＝2θ最大时，tan θ=cb =34＜1，θ∈（0，π2），∴θ＜π4，∴∠F 1AF 2＝2θ的最大角小于π2，∴椭圆C 上不存在点A ，使得AF 1⊥AF 2，∴D 选项错误．故选：AC ．11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线 kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0 和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线，则a ＝16 解：当截距不为0时，设直线xa +y a=1，将点（3，4）代入得，3a+4a=1，∴a ＝7，则直线方程为x +y﹣7＝0，当截距为0时，设直线y ＝kx ，将点（3，4）代入得，4＝3k ，∴k =43，则直线方程为4x ﹣3y ＝0， 则直线方程为x +y ﹣7＝0和4x ﹣3y ＝0，故A 错误； 对于B ，已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0过定点A （1，﹣1）， 又直线AM ，AN 的斜率为k AM =1+12−1=2，k AN =2+13−1=32， 所以直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交， 实数k 的取值范围为[32，2]，故B 正确；对于C ，点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2外一点，所以a 2+b 2＞r 2， 所以圆心（0，0）到直线的距离d =r 2√a 2+b r ，所以直线与圆相交，故C 不正确；圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线， 所以圆C 1与圆C 2相外切，所以|C 1C 2|＝1+√a ，又√(3−0)2+(4−0)2=5， 所以1+√a =5，解得a ＝16，故D 正确． 故选：BD ．12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152解：对于A ，由F 1（﹣c ，0）到渐近线y =√3x 的距离为3√3，得√3c2=3√3，解得c ＝6，由渐近线方程为y =√3x ，得ba=√3，结合a 2+b 2＝c 2可得a ＝3，b =3√3，则双曲线C 的方程为x 29−y 227=1，故A 正确．对于B ，e =ca=2，故B 正确． 对于C ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则|PF 1||PF 2|=|QF 1||QF 2|=84=2，故C 错误．对于D ，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62−1222×12×6=14，sin ∠F 1PF 2=√1−cos 2∠F 1PF 2=√154，设点P 到x 轴的距离为d ，则|PF 2|•sin ∠F 1PF 2 即12×12×d =12×12×6×√154，解得d =3√152，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题0分，共20分.）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0 ． 解：圆C ：x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径为2，则依题意有k CP =1−01−0=1， 当直线与CP 垂直时，该直线被圆C 截得的弦长最短， 所以所求直线的斜率为k ＝﹣1，所以直线方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0，所以过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 2√55． 解：已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，则ca=√5，不妨令a ＝t ，t ＞0，则c =√5t ，b ＝2t ，又F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，由双曲线的性质可得：|MF 2|=b 2a ，则tan ∠MF 1F 2=|MF 2||F 1F 2|=4t 2t×2√5t =2√55．故答案为：2√55． 15．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm ．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm ，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 60.5 cm ．解：在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x 轴（抛物线开口方向是x 轴的正方向），则可设抛物线的标准方程为y 2＝2px （p ＞0）灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的坐标为（50，40）， 代入抛物线方程得402＝2p ×50，解得p ＝16，所以抛物线方程为y 2＝32x ，光源应安置在与顶点相距16cm 处，当灯口圆的直径增大到88cm 时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为882=44，故将y ＝44代入y 2＝32x 中，求得x =1212=60.5， 此时，探照灯的深度为60.5cm ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 （﹣1，1） ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 √2 ． 解：设P （x 0，y 0），因为P 是直线l ：x ﹣y +4＝0上一点，所以y 0＝x 0+4， 以OP 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0， 所以x 0x +y 0y ＝4，即直线AB 的方程为x 0x +y 0y ＝4，又y 0＝x 0+4，∴直线AB 的方程为x 0（x +y ）+4y ﹣4＝0，故直线AB 过定点（﹣1，1）． 设Q （x ，y ），直线AB 过定点为M ，则M （﹣1，1），由MQ →⋅OQ →=0， 得（x +1）x +（y ﹣1）y ＝0，整理得点Q 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，因为点(−12，12)到直线l ：x ﹣y +4＝0的是距离d =|−12−12+4|√2=3√22＞√22，所以直线l ：x ﹣y +4＝0与圆(x +12)2+(y −12)2=12相离， 所以点Q 到直线的距离的最小值为|−12−12+4|√2−√22=3√22−√22=√2．故答案为：（﹣1，1）；√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 解：（1）由题意可得：直线BC 的斜率k BC =3−70−6=23， 则边BC 的高所在的直线的斜率k =−32，所求直线方程为y −0=−32(x −4)，即3x +2y ﹣12＝0． （2）由题意可知：所求直线即为边AC 的中线所在的直线，则线段AC 的中点为D(2，32)，可得直线BD 的斜率k BD =7−326−2=118，所以直线BD 的方程为y −32=118(x −2)，即11x ﹣8y ﹣10＝0． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 解：（1）因为双曲线C 的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且直线x +2y ＝0的斜率为−12，因为双曲线C 的渐近线为y =±b a x ，所以−12⋅ba =−1，解得b a=2，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x ±y ＝0，因为右顶点（a ，0）到该条渐近线的距离为2√55，所以√5=2√55，解得a ＝1，可得b ＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1；（2）若直线l ⊥x 轴，此时A ，B 两点关于x 轴对称，可得线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意； 若直线l 与x 轴不垂直，不妨设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 的斜率为k ，此时{x 12−y 124=1x 22−y 224=1，即(x 12−x 22)−y 12−y 224=0， 此时(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，整理得y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=4． 因为线段AB 的中点为M （3，2），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝4，则46⋅k =4，解得k ＝6， 故直线l 的斜率为6．19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆心坐标为C （a ，b ），因为圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）， 所以{a −b −4=0b =−2，解得{a =2b =−2，所以C （2，﹣2），半径r ＝|MC |＝2， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4；（2）由题意得，圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为√4−2=√2， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4）， 则√k 2+1=√2，解得k =2+√3或k =2−√3，当直线l 的斜率不存在，l 的方程为x ＝4，此时圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为2，不满足题意，舍去， 综上，直线l 的方程为y =(2+√3)(x −4)或y =(2−√3)(x −4)．20．（12分）已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过（1，﹣2），(14，1)，（﹣2，﹣2）三点中的两点．（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知F 是抛物线Γ的焦点，P 为抛物线Γ上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，求直线OM 的斜率的最大值（O 为坐标原点）．解：（1）若抛物线Γ经过A （1，﹣2）、B (14，1)，则抛物线开口向右，设抛物线Γ方程为y 2＝2px （p ＞0），代入A 点坐标，得（﹣2）2＝2p ×1，解得p ＝2， 故抛物线Γ方程为y 2＝4x ，恰好经过点B (14，1)，符合题意； 若抛物线Γ经过A （1，﹣2）、C （﹣2，﹣2），则抛物线开口向下，设抛物线Γ方程为x 2＝﹣2py （p ＞0），找不到p 值，使A 、C 两点都满足该方程；而B (14，1)在第一象限，C （﹣2，﹣2）在第三象限，不存在抛物线，使B 、C 两点都在抛物线上． 综上所述，抛物线Γ经过A （1，﹣2）、B (14，1)两点，方程为y 2＝4x ．（2）作出示意图，设点P （x 0，y 0）为抛物线Γ上任意一点，点M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，①若P 点在第四象限，则直线OM 的斜率为负数，不能达到最大值；②若P 点在第一象限，则F （1，0），x 0=y 024，y 0＞0，设M （s ，t ），由OM →=OF →+FM →=OF →−14PF →=OF →−14(OF →−OP →)=14OP →+34OF →，得{s =14x 0+34×1=y 0216+34t =14y 0+34×0=14y 0， 所以M 的坐标为(y 0216+34，14y 0)，可得直线OM 的斜率k =14y 0y 0216+34=y 0y 024+3≤02√y 04×3=√33，当且仅当y 024=3，即x 0＝3，y 0=2√3时，直线OM 的斜率有最大值√33．综上所述，当抛物线Γ上的点P 坐标为(3，2√3)时，直线OM 的斜率有最大值√33． 21．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 解：（1）不妨设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，易知圆C 1：(x +3)2+y 2=4，圆C 2：(x −3)2+y 2=100， 当动圆M 与圆C 1外切时，|C 1M |＝R +2； 当动圆M 与圆C 2内切时，|C 2M |＝10﹣R ， 所以|C 1M |+|C 2M |＝12＞|C 1C 2|，则点M 的轨迹是焦点为C 1（﹣3，0），C 2（3，0），长轴长为12的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 此时2c ＝6，2a ＝12，解得c ＝3，a ＝6，则b 2＝36﹣9＝27， 故动圆圆心轨迹方程为x 236+y 227=1；（2）由（1）知F （3，0），不妨设P （x ，y ）， 此时|PO |2+|PF |2＝x 2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝2x 2﹣6x +9+2y 2， 因为点P 在椭圆上，所以x ∈[﹣6，6]，y 2=27−34x 2， 此时|PO|2+|PF|2=12x 2−6x +63=12(x −6)2+45， 易知当x ＝6时，|PO |2+|PF |2取得最小值，最小值为45． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以e =c a =12，即a ＝2c ，①因为椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3， 所以a +c ＝3，② 又b =√a 2−c 2，③联立①②③，解得a ＝2，c ＝1，b =√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 由（1）知F 1（﹣1，0）， 因为∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π， 所以k QF 1+k RF 1=0， 即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，整理得x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my +n （m ≠0），联立{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，此时Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＞0， 解得n 2＜3m 2+4，由韦达定理得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，又x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n ，所以x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0，即2m ⋅3n 2−123m 2+4+(n +1)(−6mn3m 2+4)=0， 因为m ≠0，所以n ＝﹣4，则直线PQ 的方程为x ＝my ﹣4（m ≠0）， 此时点F 1（﹣1，0）到直线PQ 的距离d =|−1+4|√1+m 2=3√1+m 2，所以S △F 1QR=12|QR|d =12√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅3√1+m 2=18√m 2−43m 2+4， 因为n 2＜3m 2+4，n ＝﹣4， 所以3m 2+4＞16，即m 2＞4， 不妨令√m 2−4=t ，t ＞0， 此时m 2＝t 2+4，所以√m 2−43m 2+4=t 3(t 2+4)+4=t 3t 2+16=13t+16t≤2√3t⋅t=8√3，当且仅当3t =16t 时，等号成立， 此时m 2=t 2+4=283，直线l 存在， 综上，△RQF 1面积的最大值为18×183=3√34．。
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024年10月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题，共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在长方体中,化简(A)(B)(C)(D)2.若向量,则(B)4(D)53.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么(A)-2(B)-1(C)(D)24.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)6.如图,在四面体中,为BC 的中点,为AD 的中点,则可用向量表示为1111ABCD A B C D -1AB AD AA ++=1CB 1BC 1CA 1AC (1,1,0),(1,0,2)a b ==- ||a b +=(0,2),(1,0)A B (1,)k k =12-n αl m l m n ⊥//l α123,,l l l 123,,k k k 123k k k >>312k k k >>213k k k >>231k k k <<O ABC -,,,OA a OB b OC c D === E OE,,a b c(A)(B)(C)(D)7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为(A)(B)(C)(D)8.已知,过点的直线与线段AB 没有公共点,则直线斜率的取值范围是(A)或(B)(C)(D)或9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB 上的点,且,点在线段上,则点到直线AD 距离的最小值为(A)(D)110.如图,在棱长为a 的正方体中,为的中点,为上任意一点,E ,F 为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是111222a b c ++ 111442a b c ++111424a b c ++ 111244a b c ++111ABC A B C -1AB BC AA ==AB BC ⊥1B C 1A B π6π4π3π2(1,2),(2,0)A B -(1,4)C -l l k 1k >4k <-41k -<<14k -<<4k >1k <-1111ABCD A B C D -E 3AEEB=P 1D E P 35()B ()C 1111ABCD A B C D -P 11A D Q 11A B(A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥P-QEF 的体积(D)二面角P-EF-Q 的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
2.2.1双曲线及其标准方程 高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1B.x 23−y 22=1 C.x 2-y 24=1D.x 22−y 23=13.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( )A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( )A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x 2+y 2=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 .8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 29−y 216=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216−y 29=1B.x 216−y 29=1(x ≥4)C.x 29−y 216=1 D.x 29−y 216=1(x ≥3)12.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x 2n -y 2=1(n>1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2√n +2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A.3B.6C.9D.1215.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 .16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2. (1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3,∴c=√6,故右焦点坐标为√62,0.2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( ) A.x 2-y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2-y 2=1 D.x 2−y 2=1答案C解析由题意得{|PF 1|-|PF 2|=2a =b ,c 2=a 2+b 2,2c =2√5,解得{a 2=1,b 2=4,则该双曲线的方程为x 2-y 24=1.3.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( ) A.32 B.5 C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y 22-λ−x 23-λ=1. 由其焦距为4,得c=2, 则有c 2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON ,ON 是△PF 1F 2的中位线,∴|ON|=12|PF 2|,∵||PF 1|-|PF 2||=4,|PF 1|=10, ∴|PF 2|=14或|PF 2|=6, ∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a.又|AF 2|+|BF 2|=|AB|,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上答案D解析由x 2+y 2-8x+12=0, 得(x-4)2+y 2=4,画出圆x 2+y 2=1与(x-4)2+y 2=4的图象如图, 设圆P 的半径为r ,∵圆P 与圆O 和圆M 都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P 在以O ,M 为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x 23+y 24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 答案y 2-x 23=1解析由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为y 2a2−x 2b2=1,则a=1,c=2,所以b 2=3,所以双曲线的标准方程为y 2-x 2=1.8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 答案16解析因为P 是双曲线左支上的点, 所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36,所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°,所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x 216−y 29=1, 则c 2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0).依题意知b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2−y 225-a 2=1.∵点P -√52,-√6在所求双曲线上, ∴代入有(-√52) 2a 2−(-√6)225-a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0, 解得a 2=1或a 2=1254. 当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0, 不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案C解析因为mn<0,所以m ,n 均不为0且异号,方程mx 2+ny 2=1,可化为x 21m+y 21n=1,因为1m 与1n异号,所以方程x 21m+y 21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx 2+ny 2=1表示双曲线,则其方程可化为x 21m+y 21n=1,可知1m 与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充要条件. 11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 2−y 2=1B.x 2−y 2=1(x ≥4)C.x 29−y216=1 D.x29−y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.所以点M的轨迹方程为x 29−y216=1(x≥3).12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x 2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2√n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2√n,已知|PF1|+|PF2|=2√n+2,解得|PF1|=√n+2+√n,|PF2|=√n+2−√n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2√n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x 2a2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15a 2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,可得P 在双曲线的左支上,则|PF 2|=2a+|PF 1|=6+3=9.故选C. 15.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 . 答案(2,+∞)解析由曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,可得x 21m−y 21m -2=1, 即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .答案x 216−y 29=1解析设焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0), 则由QF 1⊥QF 2,得k QF 1·k QF 2=-1,∴5c ·5-c =-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(4√2,-3),∴32a 2−9b2=1.又c 2=a 2+b 2=25,∴a 2=16,b 2=9,∴双曲线的标准方程为x 2−y 2=1. 17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M 在双曲线E 的右支上,点M 到x 轴的距离为h ,MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则MF 1⊥MF 2, 设|MF 1|=m ,|MF 2|=n , 由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m 2+n 2=(2c )2=80, ②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F 1F 2|·h , ∴h=2√55. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216-λ−y 24+λ=1(-4<λ<16), 由于双曲线C 过点(3√2,2),∴1816-λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线C 的方程为x 212−y 28=1.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为{12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗|sin (π-θ)=2√6,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=m ,所以tan θ=4√6. 又√6<m<4√6, 所以1<tan θ<4,即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),Q (x 1,y 1),则FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-c ,y 1), 所以S △OFQ =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗|·|y 1|=2√6,则y 1=±4√6.又OF⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m , 即(c ,0)·(x 1-c ,y 1)=√64-1c 2, 解得x 1=√64c ,所以|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 12+y 12=√38c 2+96c 2≥√12=2√3,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小, 这时Q 的坐标为(√6,√6)或(√6,-√6).因为{6a 2-6b 2=1,a 2+b 2=16,所以{a 2=4,b 2=12.于是所求双曲线的标准方程为x 24−y 212=1.。
北师大版高二数学上试题及答案
高二数学试题〔选修2-1〕说明：本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷〔选择题 共36分〕本卷须知：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分。
〕 1.以下命题是真命题的是A 、“假设0=x ，那么0=xy 〞的逆命题；B 、“假设0=x ，那么0=xy 〞的否命题；C 、假设1>x ，那么2>x ；D 、“假设2=x ，那么0)1)(2(=--x x 〞的逆否命题 2.p:522=+，q:23>，那么以下判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．对抛物线24y x =，以下描绘正确的选项是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)164．A 和B 是两个命题，假如A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y 6.△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,那么△ABC 的周长是A.23B. 8C.34D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，假设11,,,CA a CB b CC c A B ====则 A ．c b a -+ B ．c b a +- C ．c b a -+- D ．c b a ++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，以下判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 假设抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴间隔 分别为10和6，那么该点横坐标为 A ．6 B ．8 C ．1或9 D ．10 10．以下各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g11. 假设A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，那么△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，那么m 等于A ．2B ．23C ．25D ．3二.填空题〔本大题共4小题，每题3分，共12分。
北师大版高二上期末数学试卷2(附答案及详细解析)
一、选择题（本大题共 12 题，每小题 4 分，共计 48 分。）
1．（4 分）复数 z＝
的虚部为（ ）
A．﹣1
B．﹣3
C．1
D．2
2．（4 分）已知空间向量 ＝（1，﹣1，0）， ＝（3，﹣2，1），则| |＝（ ）
A．
B．
C．5
D．
3．（4 分）抛物线 y＝﹣ x2 的准线方程是（ ）
故选：A．
5．（4 分）等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“a3＜a4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若 a1＜a3，则 a1＜q2a1，
∵a1＞0，∴q2＞1，则 q＜﹣1 或 q＞1，则 a3＜a4 不一定成立，即充分性不成立，
去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（ ）种．
A．150
B．300
C．600
D．900
11．（4 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，平面 ABC⊥平面 BCD，△BAC 与△BCD 均为等腰直角三角
形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点 P 是线段 AB 上的动点，若线段 CD 上存在点 Q，使得异面
直线 PQ 与 AC 成 30°的角，则线段 PA 长的取值范围是（ ）
A．（0， ）
B．[0， ]
C．（ ， ） D．（ ， ）
12．（4 分）已知定义域为 R 的奇函数 y＝f（x）的导函数为 y＝f′（x），当 x≠0 时，
＞0，若 a＝f（1），b＝﹣2f（﹣2），c＝（ln ）f（ln ），则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）
北师大版高二数学练习册试题及答案
北师大版高二数学练习册试题及答案【导语】当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯；从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。
成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。
xx高二频道为莘莘学子整理了《北师大版高二数学练习册试题及答案》，希望对你有所帮助！【一】1．以下说法中不正确的选项是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．数列{an}，那么{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．应选B.2．数列{an}的通项公式为an＝1＋〔－1〕n＋12，那么该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，那么该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n〔n－1〕2C．an＝n〔n＋1〕2D．an＝n〔n＋2〕2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜测an＝n〔n＋1〕2，应选C.6．假设数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，那么它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．数列{an}的通项公式为an＝2022－3n，那么使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2022－3n>0，得n76，n 当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，那么分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，那么在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出假设干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2022名学生中选取50名组成参观团，假设采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2022人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，那么每人入选的时机()A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定可能的，每人入样的机率均为502022.4．总体容量为524，假设采用系统抽样，当抽样的间距为以下哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，应选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，那么481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，那么抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，那么抽样间隔k＝120220＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班方案在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任方案采用系统抽样的方法抽取假设干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.抽取的学生中最小的两个编号为03，09，那么抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并答复以下问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)此题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，假设在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，那么Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，假设样本容量为7，那么不需要剔除；假设样本容量为8，那么需要剔除1个个体，那么N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N＜50，所以N＝42或49.假设N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；假设N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49. 答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改良？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改良方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不适宜，比拟简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)假设所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，那么在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。
2024北京北师大附中高二(上)期末数学试题及答案
2024北京北师大附中高二（上）期末数学班级：________ 姓名：________ 学号：________要求的一项．1. 已知数列{}na满足12n na a+=+，且12a=，那么3a=（）A. 4B. 5C. 6D. 82. 双曲线2213xy−=的离心率为（）A.3B.3C.33. 圆心在直线0x y−=上且与y轴相切于点()0,1的圆的方程是（）A. 22(1)(1)1x y−+−= B. 22(1)(1)1x y+++=C. 22(1)(1)2x y−+−= D. 22(1)(1)2x y+++=4. 下列说法正确的是（）A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一直线的两个平面平行5. 已知抛物线2:12C y x=的焦点为F，点M在C上．若M到直线2x=−的距离为5，则||MF=（）A. 6B. 5C. 4D. 36. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（）A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍7. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（）A. CC 1∥平面A 1ABB 1B. AF ∥平面A 1B 1C 1C. EF ∥平面A 1ABB 1D. AE ∥平面B 1BCC 18. 已知直线:2l x my =−，P 为圆22:40C x y x +−=上一动点，则点P 到直线l 的距离的最大值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.则“43a a >”是“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对k *∀∈N ，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a +++的最小值为（ ）A. 18B. 20C. 21D. 23二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知双曲线22:14y C x −=，则双曲线C 的右焦点到其渐近线的距离是________．12. 已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则q =________；5S =________．13. 已知椭圆2214x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，若点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为________．14. 设O 为原点，双曲线22:13y C x −=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上．则C 的渐近线方程是________；||OP OFOP ⋅的最大值是________．15. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论：①MN 的最小值为2； ②三棱锥N MBC −的体积为43； ③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直； ④存在点M ，N ，使MBN △为等腰三角形．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 在等差数列{}n a 中，138a a +=−，3520a a +=−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，记n n n c b a =−，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 17. 如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为矩形，AB ⊥平面ADEF ，1AF AD CD ===，2AB =.（1）求证：BC CF ⊥；（2）求直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值．18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(2,0)A −，(2,0)B ，离心率为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设点(2,2)P ，直线PA 与椭圆E 的另一个交点为C ，O 为坐标原点，判断直线OP 与直线BC 的位置关系，并说明理由．19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4=AD ，PA PD ==E ，F 分别为BC ，PD 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角F BE A −−的余弦值． 条件①：异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13； 条件②：23PD EF =． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，AOP 面积的最大值为1． （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点(1,0)H −的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．当||2EF =时，求直线PH 的方程．21. 对于一个有穷正整数数列Q ，设其各项为12,,,n a a a ，各项和为()S Q ，集合(){},,1ij i j a a i j n >≤<≤∣中元素的个数为()T Q .（1）写出所有满足()()4,1S Q T Q ==的数列Q ； （2）对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值； （3）对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】C【分析】根据递推关系，逐一代入即可．【详解】由题12n n a a +=+，12a =，所以21322224,2426a a a a =+=+==+=+=． 故选：C ． 2. 【答案】C【分析】求出a 、b 、c 的值，可求得双曲线的离心率.【详解】在椭圆2213x y −=中，a =1b =，则2c ==，因此，双曲线2213x y −=的离心率为3c e a ==. 故选：C. 3. 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把()0,1点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 22(1)(1)1x y −+−=圆心为(11)，，满足0x y −=，即圆心在直线0x y −=， ()0,1代入22(1)(1)1x y −+−=，即22(01)(11)1−+−=成立，正确；B. 22(1)(1)1x y +++=圆心(11)−，-，满足0x y −=，即圆心在直线0x y −=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误；C. 22(1)(1)2x y −+−=圆心(11)，，满足0x y −=，即圆心在直线0x y −=， ()0,1代入22(01)(111)2−=+−≠，错误；D. 22(1)(1)2x y +++=圆心(11)−，-，满足0x y −=，即圆心在直线0x y −=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误.故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题. 4. 【答案】D【分析】通过找出的反例，判断ABC 正误；利用直线垂直平面的性质判定D 的正误，得到结果. 【详解】作正方体1111ABCD A B C D −，//AB 平面1111DCBA ，//AB 平面11C D DC ，平面1111A B C D 平面1111C D DC C D =，A 选项错误；//AB 平面1111DCBA ，//BC 平面1111DCBA ，AB BC B ⋂=，B 选项错误； 平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面111ADD A AA =，C 选项错误；根据线面垂直的性质定理可知垂直于同一直线的两条平面平行，D 选项正确. 故选：D 5. 【答案】A【分析】结合抛物线的定义计算即可得.【详解】由抛物线2:12C y x =可知其焦点为()3,0F ，其准线为3x =−，M 到2x =−的距离为5，则M 到3x =−的距离为6，故||6=MF . 故选：A. 6. 【答案】C【分析】由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列，即可求得. 【详解】由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列{}n a ，则F 4对应单位时间内的进光量为5a ，F 1.4对应单位时间内的进光量为2a ，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的258a a =倍. 故选：C. 7. 【答案】D【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断即可．【详解】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，可得CC 1∥AA 1，AA 1⊂平面A 1ABB 1，CC 1⊄平面A 1ABB 1，∴CC 1∥平面A 1ABB 1，故A 正确；AF ⊂平面ABC ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，可得平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，∴AF ∥平面A 1B 1C 1，故B 正确；取A 1B 1中点N ，又E 是A 1C 1中点，∴NE ∥C 1B 1，且NE ＝12C 1B 1，又F 是棱BC 的中点，所以BF ＝12C 1B 1，AF ∥C 1B 1，∴BF ∥NE ，BF ＝NE ，∴四边形BFEN 是平行四边形，∴EF ∥BN ，BN ⊂平面A 1ABB 1，EF ⊄平面A 1ABB 1，∴EF ∥平面A 1ABB 1，故C 正确；∵EC 1∥AC ，但EC 1≠AC ，∴AE 与CC 1相交，从而有AE 不平行于平面B 1BCC 1，故D 错误． 故选：D ．8. 【答案】D【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得圆心到直线的距离的最大值，加上半径即为点P 到直线l 的距离的最大值.【详解】由22:40C x y x +−=，即()22:24C x y −+=， 即圆心为()2,0，半径为2，圆心()2,0到直线:20l x my −+=的距离d ==，故圆心到直线l的距离的最大值为max 4d ==，则点P 到直线l 的距离的最大值为max 426d r +=+=. 故选：D. 9. 【答案】B【分析】利用等差数列前n 项和的函数性质判断“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”与“43a a >”推出关系，进而确定它们的关系.【详解】由等差数列前n 项和公式知：21()22n d dS n a n =+−， ∴要使对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >，则0d >，即{}n a 是递增等差数列， ∴“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”必有“43a a >”，而43a a >，可得0d >，但不能保证“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”成立， ∴“43a a >”是“对于任意*n ∈N 且3n ≠，3n S S >”的必要而不充分条件. 故选：B. 10. 【答案】B【分析】令1k k k b a a +=−，由题设易知k b 或1k b −有一项为1，则1351b b b ===，判断{}n a 各项取值情况，进而求127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值.【详解】当2a 满足11k k a a +=+时，2114a a =+=， 令1k k k b a a +=−，则k b 或1k b −有一项为1，而11b =， ∴1351b b b ===，又{}n a 是各项均为正整数的数列， ∴31a ≥，42a ≥，51a ≥，62a ≥，此时127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为341212821++++++=，当2a 满足1212k k a a ++=时，13a =，21a =，32a =，41a =，52a =，63a =，78a =时，127312123820a a a ++⋅⋅⋅+=++++++=，因为2021<，所以127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为20. 故选:B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 【答案】2【分析】根据双曲线的标准方程写出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式求解即可．【详解】2214y x −=的右焦点坐标为)F ，渐近线方程为2y x =±．)F 到2y x =即20x y −=的距离为2d ==．由对称性知)F 到2y x =−的距离为2d =． 故答案为：2．12. 【答案】 ①. 2 ②. 31【分析】由等比数列基本量计算即可得n a ，由等比数列前n 项和公式可计算出5S . 【详解】设()1110n n a qa a −=≠，则21113S a a q a =+=，即2q，()22223111224a a a a a ===⨯=，即11a =，故()()55151********a q S q−⨯−===−−.故答案为：2；31. 13.【分析】设出P 点坐标，由1290F PF ∠=︒，可得120PF PF ⋅=，结合P 点在椭圆上计算即可得.【详解】设(),P m n ，由椭圆2214xy +=可得()1F、)2F ，有()1,PF m n =−−，()23,PF m n =−由1290F PF ∠=︒，故()2221230PF PF mm n m n ⋅=−+=+−=，由(),P m n 在椭圆上，故有2214m n +=，即()2241m n =−，故()2222204133m n n mn +−+=−−==，解得213n =，故3n =±，故点P 到x轴的距离为3.. 14. 【答案】 ①. y = ②. 2【分析】由双曲线方程可得a 、b ，即可得渐近线；设出P 点坐标，表示出向量后结合点P 在双曲线的右支上即可得||OP OFOP ⋅的最大值.【详解】由22:13y Cx −=可得1a =，b =2c ==，()2,0F ，则其渐近线方程为1y x =±=； 设()(),1P m n m ≥，则(),OP m n =，()2,0OF =，||OP OF OP m ⋅=+，由点P 在双曲线上，故2213n m −=，即()2231n m =−， 故||OP OF OP ⋅====m 1≥，故12||OP OF OP ⋅+==≤.故答案为：y =；2. 15. 【答案】①②④【分析】①由MN 的最小值为1AD 和11B C 之间的距离判断；112D C =，②由等体积法N MBC M NBC V V −−=判断；③由M ，N 分别与11,D C 重合和 M 是线段1AD 的中点，N 与1B 重合时判断；④由1AM B N =时判断.【详解】①点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 移动时，MN 的最小值为1AD 和11B C 之间的距离112D C =，故正确；②三棱锥1111142223323N MBC M NBC NBCV V S D C −−===⨯⨯⨯⨯=，故正确；③当M ，N 分别与11,D C 重合时，由正方体的性质知：111AD D C ⊥；当M 是线段1AD 的中点，N 与1B 重合时，由正方体的性质知：11A B ⊥平面11ADD A ， 且1AD ⊂平面11ADD A ，则111A B AD ⊥，又因为11AD A D ⊥，且1111111,,A B A D A A B A D =⊂平面11A DCB ，所以1AD ⊥平面11A DCB ，又MN⊂平面11A DCB ，则1AD MN ⊥，故错误；④当1AM B N =时，1AMB B NB ≅，则BM BN =，故存在点M ，N ，使MBN △为等腰三角形，故正确；故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）32n a n =−+ （2）232122nn S nn =+−− 【分析】（1）由等差数列基本量计算即可得；（2）借助等差数列求和公式及等比数列求和公式分组求和即可得. 【小问1详解】设()11n a a n d +−=，则131228a a a d +=+=−，3512620a a a d +=+=−，解得11a =−，3d =−，故()1113332n a a n d n n =+−=−−+=−+；【小问2详解】数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，故11122n n n b −−=⨯=，1232n n n n c b a n −=−=+−，故1132262232n n S n −=+−++−+++−()()211213232112222n n n n n n −+−=+=+−−−. 17. 【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）首先证明AC BC ⊥，再利用AB ⊥平面ADEF ，得到AB AF ⊥，再结合四边形ADEF 为矩形得到AF ⊥平面ABCD ，进而得到AF BC ⊥，最后得到BC ⊥平面ACF ，最终得证； （2）以A 为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面BCF 的法向量为(1,1,2)m =，则可计算出线面角的正弦值.【小问1详解】连接AC，AB ⊥平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，∴AB AD ⊥，//AB CD ，1AD CD ==，2AB =，∴AC =，45ABC ADC ∠=∠=，在ABC中，由余弦定理得BC ==∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，AB ⊥平面ADEF ，AF ⊂平面ADEF ，∴AB AF ⊥，四边形ADEF 为矩形，∴AD AF ⊥，AB AD A ⋂=，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴AF BC ⊥，又AF AC A =，AF ⊂平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，∴BC ⊥平面ACF ，CF ⊂平面ACF ，∴BC CF ⊥.【小问2详解】由（1）知，AB AD ⊥，AB AF ⊥，AD AF ⊥，∴AB ，AD ，AF 两两垂直，∴以A 为原点，分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,0,1)F ，所以(1,1,0)BC =−，(2,0,1)BF =−，(2,0,0)AB =，设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =，则0,20,m BC x y m BF x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩ 令1x =，则1y =，2z =，于是(1,1,2)m =，设直线AB 与平面BCF 所成角为α，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2sin cos ,66m ABm AB m AB α⋅=〈〉===. 所以直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值为6. 18. 【答案】（1）22142x y += （2）垂直，理由见解析.【分析】（1）由题意可得a 、c ，计算即可得b ，即可得椭圆E 的方程；（2）求出直线AP ，与曲线联立后可计算出点C 坐标，即可得直线OP 与直线BC 的斜率，即可得其位置关系.【小问1详解】椭圆过点(2,0)A −，(2,0)B ，故2a =，离心率2c e a ==，故c = 则b ==22:142x y E +=； 【小问2详解】由(2,0)A −、(2,2)P ，则直线AP 为()()20222y x −=+−−，即112y x =+，联立22142112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得23440+−=x x ，则423A C C x x x +=−=−+， 故23C x =，则1241233C y =⨯+=，即24,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则212OP k ==、4031223BC k −==−−，有()111OP BC k k =⨯−=−， 故直线OP 与直线BC 垂直.19. 【答案】（1）证明见解析（2）17【分析】（1）借助中位线证明平行四边形从而得到线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）若选条件①：借助题目条件建立空间直角坐标系，利用异面直线PA 与EF 所成角的余弦值计算出AB 的长度，即可得二面角F BE A −−的余弦值；若选条件②：借助题目条件利用勾股定理求出AB 的长度，再建立空间直角坐标系即可得二面角F BE A −−的余弦值.【小问1详解】连接点F 与PA 中点G ，连接BG ，由底面ABCD 为矩形且E 为BC 中点，故12BE AD =、//BE AD ， 又F 、G 分别为PD ，PA 的中点，故12FG AD =、//FG AD ， 故四边形EFGB 为平行四边形，故//EF GB ，又EF ⊄平面PAB 、GB ⊂平面PAB ，故//EF 平面PAB ；【小问2详解】若选条件①：异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13， 连接点P 与AD 中点M ，连接EM ，由PA PD =，故PM AD ⊥，故2PM ==，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ，故PM ⊥平面ABCD ，又EM ⊂平面ABCD ，故PM EM ⊥，由E 、M 分别为BC ，AD 的中点，故AD EM ⊥，故AD 、PM 、EM 两两垂直，故可以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设AB CD a ==，则有()0,0,0M 、()0,0,2P 、()2,0,0A 、()0,,0E a 、()2,,0B a 、()2,0,0D −、()1,0,1F −，则()2,0,2PA =−、()1,,1EF a =−−，又异面直线PA 与EF 所成角的余弦值为13， 故1cos ,322PA EF ==+， 解得4a =，故()()3,,13,4,1FB a =−−=−−、()2,0,0BE =−，设平面FBE 的法向量为(),,m x y z =，则有00m FB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即34020x y z x −−=⎧⎨−=⎩，令1y =，可得0x =、4z=−， 故平面FBE 的法向量可为()0,1,4m =−，又PM ⊥平面ABCD ，故平面ABCD 的法向量可为()0,0,1n =，故2cos ,171m n −==+， 即二面角F BE A −−的余弦值为17.若选条件②：23PD EF =， 连接点P 与AD 中点M ，连接EM ，连接FM ，由PA PD =，故PM AD ⊥，故2PM ==，则12FM PD ==， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ，故PM ⊥平面ABCD ，又EM ⊂平面ABCD ，故PM EM ⊥，由E 、M 分别为BC ，AD 的中点，故AD EM ⊥，故AD 、PM 、EM 两两垂直，同理可得EM ⊥平面PAD ，由FM ⊂平面PAD ，故EM FM ⊥，由PD =，23PD EF=，则32EF PD ==，4EM ==，可以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0M 、()0,0,2P 、()2,0,0A 、()0,4,0E 、()2,4,0B 、()1,0,1F −，()3,4,1FB =−−、()2,0,0BE =−， 设平面FBE 的法向量为(),,m x y z =，则有00m FB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即34020x y z x −−=⎧⎨−=⎩，令1y =，可得0x =、4z =−， 故平面FBE 的法向量可为()0,1,4m =−，又PM ⊥平面ABCD ，故平面ABCD 的法向量可为()0,0,1n =，故2cos ,171m n −==+，即二面角F BE A −−的余弦值为17.20. 【答案】（1）2214x y +=（260y −=60y +=【分析】(1)由椭圆的右顶点(2,0)A 可得2a =，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，AOP 面积可得1b =，从而求得椭圆C 的方程，再由222a b c =+可求得c ，从而可得离心率；(2)设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线PA ，QA 的方程得出点E ，F 坐标，进而表达出||2EF =，从而可解得k ，求得直线PH 的方程.【小问1详解】 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，(2,0)A ，∴2a =，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，过点P 作PK x ⊥轴，垂足为K ，故AOP 面积为11222AOP S OA PK PK =⨯⨯=⨯⨯， 若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，即PK OP =时，使得AOP 面积最大，112122AOP S OA PK OP =⨯⨯=⨯⨯=,1OP ∴=,1,b c ∴==== ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a == 【小问2详解】P 为椭圆C 上的动点，过点(1,0)H −的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，可记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线PH 的斜率不存在时，即PH x ⊥轴时，22PQ b <=， 此时直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．此时||2EF PQ <<，不符合题意.当直线PH 的斜率存在时，设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠， 联立22(1)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，消去y 可得()222114x k x ++=,化简得()2222148440k x k x k +++−=，由韦达定理可得212221228144414k x x k k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩，所以21x x −=== 由11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(2,0)A ，则直线PA 的方程为：11(2)2y y x x =−−，直线QA 的方程为：22(2)2y y x x =−−，因为直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ，令0x =分别代入直线PA ,直线QA 可得：点1120,2y E x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭ ，2220,2y F x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭， 121212122222222y y y y EF x x x x −−∴=−=−−−−− 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线PH 方程(1),(0)y k x k =+≠上，所以有1122(1),(1)y k x y k x =+=+， 分别代入EF 并化简可得()()21121212123222224k x x y y EF x x x x x x −=−=−−−++===， ||2EF=，∴ 2=1=，解得216k =，6k∴=±， 故直线PH 的方程为：1)6y x =+或1)6y x =−+，60y −+=60y ++=.21. 【答案】（1）1，2，1或3，1；（2）7； （3）511566.【分析】(1)由题意可直接列举出数列Q ；(2)由题意可得4n ≥，分4n =、5n =和6n ≥分别求()S Q 的最小值即可得答案；(3)由题意可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式，设其中有x 项为2，有y 项为1，则有22023x y +=，所以()222023x x T Q =−+，再利用二次函数的性质求()T Q 的最大值即可. 【小问1详解】解：当()1T Q =时，存在一组(,)i j ，满足,1i j a a i j n >≤<≤，又因为12,,,n a a a 的各项均为正整数，且()124n S Q a a a =+++=，所以4n a <，即3n a ≤，且1,2i j ≥≥，当1,2i j ==时，满足条件的数列Q 只能是：3,1；当1,3i j ==时，满足条件的数列Q 不存在；当1,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在；当2,=3i j =时，满足条件的数列Q 只有1，2，1；当2,3i j =>时，满足条件的数列Q 不存在；所以数列Q ： 1，2，1或3,1；【小问2详解】解：由题意可知2C 6n ≥，所以4n ≥，①当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=；②当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥.若()6S Q =，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符合，所以()7S Q ≥；③当6n ≥时，同②可得()7S Q >；综上所述，有()7S Q ≥，同时当Q 为2，2，1，1，1时，()7S Q =，所以()S Q 的最小值为7；【小问3详解】解：①存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；②1n a =,否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；③当1,2,,1t n =−时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +顺序后()T Q 变为()1T Q +，进一步有1{0,1}t t a a +−∈，否则有12t t a a +≥+，此时将t a 改为1t a −，并在数列末尾添加一项1，此时()T Q 变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中有存在相邻的两项13,2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()()11T Q x x T Q ++−=+； ⑤由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式，设其中有x 项为2，有y 项为1，则有22023x y +=，从而有()2(20232)22023xy x x x x T Q ==−=−+， 由二次函数的性质可得，当且仅当5061011x y =⎧⎨=⎩时，()T Q 最大，为511566. 【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前n 项和及满足集合(){},,1i j i j a a i j n >≤<≤∣中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣Q 还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.。
2024年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案
2024年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知=+，则x等于（）A. 7B. 9C. 7或92、二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A. 42B. 168C. 84D. 213、以下命题中，①回归直线必过样本点的中心；②残差平方和越小，则预报精度越高；③若一组数据x1，x2，，x n的平均数为3，方差为4，则2x1+1，2x2+1，，2x n+1的平均值为7，方差不变；④若线性相关系数r=±1；则表示两个变量完全线性相关；⑤商场应根据上月所卖货品尺寸的中位数决定本月的进货比例．正确命题个数有（）A. 2个。
B. 3个。
C. 4个。
D. 5个。
4、若直线l的参数方程为则直线l倾斜角的余弦值为（）A.B.C.D.5、设等差数列满足：公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）.A.B.C.D.6、已知函数为偶函数，则的值（）A. 1B.C.D.7、【题文】不等式的解为（）A.B.C.D.8、有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A. 120B. 240C. 360D. 4809、某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（）A.B.C.D. 3评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、若≠0，≠0，且==，则与+所在直线的夹角是____．11、若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”．例如函数y=x2，x∈[1，2]与y=x2，x∈[-2，-1]即为“同族函数”、下面6个函数：①y=tanx；②y=cosx；③y=x3；④y=2x；⑤y=lgx；⑥y=x4．其中能够被用来构造“同族函数”的有____．12、已知函数，若函数f（x）的图象经过点（3，），则a=____；若函数f（x）满足对任意x1≠x2，都有成立，那么实数a的取值范围是____．13、如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4，宽分别为2与3，侧视图是等腰三角形，则该几何体的体积是____．14、已知双曲线点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若则的值为__________．15、命题“若m2+n2=0，则mn=0”的逆否命题是 ______ ．16、关于函数y=f（x）；有下列命题：①若a∈[-2，2]，则函数f（x）=的定义域为R；②若f（x）=（x2-3x+2），则f（x）的单调增区间为（-∞，）；③函数的值域为R；则实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1；④定义在R上的函数f（x）；若对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）则4是y=f（x）的一个周期．其中真命题的序号是 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图．（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形．18、用一平面去截一个圆锥；设圆锥的母线与其高的夹角为α，平面的倾斜角为β，求下列情况下β的取值范围：（1）所截图形为椭圆；（2）所截图形为双曲线。
最新北师大版高二数学上期末复习题及答案1
CDE高二数学期末复习练习1一、填空题:1、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是 ．2、从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为 _．3、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆．若随机向正方形内丢一粒豆子，假设豆子不落在线上，则豆子落入圆内的概率是4、已知命题p:|23|1x ->，命题q:212log (5)0x x +-<，则p ⌝是q ⌝的_______条件．5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．6、右面的程序框图输出的结果是7、已知p :“3201xx -≥-”和q :“22530x x -+>”，则p ⌝是q 的 条件. 8、如图给出的是计算1111246100++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .9、已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是10、已知F 1、F 2分别是双曲线1b y a x 2222=-(a>0,b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 。
Y 开始 S =0i =2S =S +1iI=I+2N输出S结束第3题图第5题图第6题图第8题图xyF y 2=2px O 11、如图所示,已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+by a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ．12、程序框图如下:如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入 ．13、若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合,则p 的值为 ．14、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||FA OH 的最大值为 ．二、解答题1、已知圆C 方程为:224x y +=.(Ⅰ)直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程; (Ⅱ)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.2、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。
最新北师大版高二数学上期末复习题及答案5
高二数学期末复习练习5一、填空题:1、已知回归直线斜率的估计值为1.2，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为 .2、命题“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是: ．3、与曲线1492422=+y x 共焦点并且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 . 4、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下:[)[)[)[)10,20,2;20,30,3;30,40,4;40,50,5;[)[)50,60,4;60,70,2。
则样本在(0，50)上的频数为 ．5、设有一条回归直线方程为2 1.5y x =-，则当变量x 增加一个单位时，y 平均减少 个单位．6、向圆224x y +=所围成的区域内随机地丢一粒豆子,320x y -+=上方的概率是 ▲ .7、计算机执行如图所示程序后,输出的结果是 ▲ .8、奇函数32()1f x ax bx cx x =++=在处有极值，则3a b c ++的值为 ．9、命题2",10"x R x ∃∈+<的否定是 ．10、若函数f (x )=ax 3－x 2+ x －5在R 上单调递增，则a 的范围是 ．11、已知可导函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示， 给出下列四个结论: ①1x =是()f x 的极小值点；②()f x 在(,1)-∞上单调递减；③()f x 在(1,)+∞上单调递增；④()f x 在(0,2)上单调递减，其中正确的结论是 ．(写出所有正确结论的编号).12、已知函数)(x f 的定义域为),2[+∞-，部分对应值如下表．)(x f '为)(x f 的导函数，函数)(x f y '=的图象如下图所示．若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则33++a b 的取值范围是 ． x2- 04 )(x f 11-12-xoy a ← 1 b ← 3While a<8 a ← a ＋b b ← a －b End while Print b End13、若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是 ． 14、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB ，则椭圆的离心率为 ．二、解答题1、如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =，(1)求椭圆的方程；(2)若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.2、如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k (0k >).(Ⅰ)试将水槽的最大流量表示成关于θ函数()f θ；(7分) (Ⅱ)求当θ多大时，水槽的最大流量最大.(7分)3、已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足21n n S a =- (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足21()n n a b nn N +⋅=-∈，求数列{}n b 和T n(3) 定的结果输出？并说明理由。
最新北师大版高二数学上期末复习题及答案4
高二数学期末复习练习4一、填空题:1、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取一容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 ▲ ．2、命题“∃x ∈R ，x 2－2x+l ≤0”的否定形式为 ▲ ．3、若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．4、已知)2,2(,-∈y x ，则点)(y x z ，到原点距离满足1≥oz 的概率是 ▲ ．5、设θ是三角形的一个内角，且7sin cos 13θθ+=，则曲线22sin cos 1x y θθ+=表示的曲线为 ▲ ．(注明类型) 6、抛物线y 2=4mx(m ＞0)的焦点到双曲线x 216－y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ▲ ．7、右图是2021年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖 赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和 一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．8、某程序的伪代码如图所示，则程序运行后的输出结果为 ▲ ． 9、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ▲ 。
10、在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是______▲________11、已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ▲ .12、已知椭圆2212516x y +=与双曲线22163x y -=在第一象限的交点为P ,则点P 到椭圆左焦点的距离为 ▲ ; (结果要化成最简形式)13、双曲线222008x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且21217A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 ▲ ．14、如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O 顺时针旋转300(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy ，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义:过P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox 于点M ，Oy 于点N ，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在7 98 4 4 4 6 7 9 1 3 6 第7题图第8题图Oy 轴上表示的数为y ．在斜坐标系中，若A ，B 两点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，则线段AB 的长为 ▲ ．二、解答题1、设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤60≤y ≤6 表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6x －y ≥0表示的区域为B ．(1)在区域A 中任取一点(x,y)，求点(x,y)∈B 的概率；(2)若x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域B 中的概率.2、一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球.(1)如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？(2)如果摸到的两个球都是红球，那么就中大奖。
2024年北师大新版高二数学上册阶段测试试卷219
2024年北师大新版高二数学上册阶段测试试卷219考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知平面α的法向量是（2；3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α⊥β，则λ的值是（）A. -6B. 6C. -D.2、某厂生产的零件外直径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为（）A. 上午生产情况正常，下午生产情况异常B. 上午生产情况异常,下午生产情况正常C. 上、下午生产情况均正常D. 上、下午生产情况均异常3、【题文】函数y=cos2x+sinxcosx-的周期是( )A.B.C. πD. 2π4、【题文】已知那么的值是（）．A.B.C.D.5、已知抛物线y2=2px的准线方程是x=−2则p的值为()A. 2B. 4C. −2D. −4评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b；c，d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实数根；当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数f（x）有2个极值点；②函数f（x）有3个极值点；③关于x的方程f（x）=4与方程f′（x）=0有一个相同的实根。
④关于x的方程f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根。
其中正确命题的序号有____．7、一个正方体内接于一个高为底面半径为1的圆锥，则正方体的棱长为____．8、为了解学生数学答卷情况，某市教育部门在高三某次测试后抽取了n 名同学的第Ⅱ卷进行调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，已知从左到右第三小组（即[70,80）内）的频数是50，则n＝____9、函数恒过定点坐标为____。
2020-2021学年北师大版高二数学(理)上学期期末考试模拟试题1及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五期末联考高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的。
1、在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = （ ）(A)．7 (B)．15 (C)．20 (D)．25 2、已知命题0:p x R ∃∈，200220x x ++≤，则p ⌝为 （ ） (A)2000,220x R x x ∃∈++> (B)2000,220x R x x ∃∈++< (C)2000,220x R x x ∀∈++≤ (D)2000,220x R x x ∀∈++> 3、下列命题：①若B C D A 、、、是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r；②-+a b a b =r r r r是a b r r 、共线的充要条件； ③若a b r r 、共线，则a r 与b r所在直线平行； ④对空间任意一点P 与不共线的三点B C A 、、，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r(,,)x y z R ∈，则B C P A 、、、四点共面．其中不正确命题的个数是 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44、若01a <<，则不等式1()()0x a x a-->的解集为 （ ） (A)1a x a <<(B)1x x a a ><或 (C)1x a a << (D)1x x a a<>或 5、已知三个数2,,8m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为（ ）(A)(C)6、过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别为p 、q ，则qp 11+等于 （ ） A ．2a B ．a 21 C ．4a D ．a4 7、双曲线191622=-y x 右支点上一点P 到右焦点的距离为2，则P 到左准线的距离为（ ）（A ）．6 （B ）．8 （C ）．10 （D ）．128、设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y u x =的取值范围是（ ）(A)1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、已知=2-12=221a b r r （，，）、（，，），则以a b r r、为邻边的平行四边形的面积为( )．A ．8 B． C ．4 D10、在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,的对边，已知c b a ,,成等比数列，且22a c ac bc-=-，则sin c b B的值为（ ） (A)12(B)2(C)311、“3a =”是“函数2()22f x x ax =-+在区间[3,)+∞内单调递增”的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 12、如图，平面BCD A ⊥平面BEF A ，四边形BCD A是正方形，四边形BEF A 是矩形，且1AF=2AD a =，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为 ( )．A.6 B. 3 C. 6 D. 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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高二数学试题（选修2-1）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共36分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
） 1.下列命题是真命题的是A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题；B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题；C 、若1>x ，则2>x ；D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题 2.已知p:522=+，q:23>，则下列判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)164．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y 6.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是A.23B. 8C.34D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若11,,,CA a CB b CC c AB ====则 A ．-+ B ．+- C ．-+- D ．++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，下列判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 若抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．6 B ．8 C ．1或9 D ．10 10．下列各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 11. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．2B ．23C ．25D ．3二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。
把答案填在横线上。
）13．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:bB x x a+=-,则A 是B 的 条件。
14．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为_____。
15、“神舟七号”飞船的运行轨道是以地球球心为一个焦点的椭圆。
设地球半径为R ，且“神舟七号”飞船离地面的最大距离和最小距离分别是H 和h ，则“神舟七号”飞船的运行轨道的离心率是 。
16．下列命题①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件. ② “am2<bm2”是“a<b ”的充分必要条件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件. ⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形.判断错误的有___________三.解答题（本大题共6小题，共52分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17.（本小题满分8分）已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a+-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。
18.(本小题满分8分)一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线.试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由.19.（本小题满分8分）如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1。
20.（本小题满分8分）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值。
21.（本小题满分10分）如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是AD CE 和的交点，BC AC ⊥，且BC AC =。
（1）求证：EBC AM 平面⊥；（2）求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； （3）求二面角C EB A --的大小不。
22.（本小题满分10分）（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、B 两点． （1）求AB 的长度；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．高二数学参考答案（选修2-1）一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项） 13．充分条件 14．1- 15．hH R hH ++-2 16．②⑤三.解答题（本大题共6小题，共52分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17. （本小题满分8分） 解：假设三个方程：22224430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实数根，则2122221(4)4(43)0(1)40(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ ，即31221,1320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或 ，得312a -<<- 3,12a a ∴≤-≥-或。
18. （本小题满分8分） 解：建立如图所示的坐标系，则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为：221(0)254x y y +=≥. 令3x =，则代入椭圆方程，解得 1.6y =，因为1.63 4.6 4.2+=>，所以，卡车能够通过此隧道.19.（本小题满分8分）证明：设c C b D C a B C===11111，，），（，b a C a c B +=-=2111c x b y x 21a y x 21b a 21yc a b 21x a c R y x OC y OD x C B y x c a b 21OD a b 21OD 1111 +-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-∈+=+-=-=）（）（）（）（则）成立，，（，使得，若存在实数。
）（），（ ∵不同面，，，c b a ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+111021121y x x y x y x 即）（）（∴11OC B +=∵内。
所确定的平面不在为共面向量，且11111ODC OC B OC B ∴。
平面，即平面1111////ODC C B ODC B 20．（本小题满分8分）解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ,又因为Q 在椭圆上, 所以,x 2=a 2(1－y 2) , |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2=(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2 . 因为|y|≤1,a>1, 若a≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=11－a 2时, |PQ|取最大值a2a 2－1a 2－1;若1<a<2,则当y=－1时, |PQ|取最大值2.21．（本小题满分10分）解: ∵四边形ACDE 是正方形 ，EC AM AC EA ⊥⊥∴,，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ，∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 设2===BC AC EA ，则),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ， M 是正方形ACDE 的对角线的交点，)1,1,0(M ∴．(1)= )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=EC ，)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=， 0,0=⋅=⋅∴，CBAM EC AM ⊥⊥∴,⊥∴AM 平面EBC ． (2) ⊥AM 平面EBC ，AM ∴为平面EBC 的一个法向量，)0,2,2(),1,1,0(==AB AM ，21==∴．︒=60．∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30．(3) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =，则AE n ⊥且AB n ⊥，0=⋅∴AE n 且0=⋅AB n ．⎩⎨⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.0,0y x z 取1-=y ，则1=x ， 则)0,1,1(-=．又∵为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，21-==∴AMn ，设二面角C EB A --的平面角为θ，则21cos cos ==θ，︒=∴60θ．∴二面角C EB A --等于︒60．22.（本小题满分10分）解: 联立方程组⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()38403222>-+=∆≠-a a a ，得2212212232,32,3,6a x x a a x x a a --=-=+≠<且。
(1))36(36524)(1122224212212212≠<-++-=-++=-+=a a a a a x x x x ax x a AB 且。