高等代数与解析几何第七章知识题7答案解析

习题7.4
习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：
（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则
A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有
n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无
关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n B λλλO
2
1
，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而
E a a a a B nn 112211
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=O
，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与
假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值
s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。

证明：
（1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有
021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。

现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++---000
1212111221121s s s s s s
s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。

写成矩阵形式为
)0,,0,0(11
1
),,,(11221
1
121ΛΛ
M M
M Λ
ΛΛ=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---s s s s s s λλλλλλααα。

由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=---11221
1111
1
s s s s s B λλλλλλΛ
M M
M Λ
Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有
)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。

这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得
s V V V +++Λ21是直和。

（2）)(⇒因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕⊇Λ21。

又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。

对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得
s V V V V ⊕⊕⊕⊆Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

)(⇐因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：
i
id i i ααα,,,21Λ，s i ,,2,1Λ=，其中n d d d s =+++Λ21，进而得V 的基：
1
11211,,,d αααΛ,,,,,,2
22221ΛΛd αααs
sd s s ααα,,,21Λ。

又知基向量中的每一个向
量都是σ的特征向量，故得σ有n 个线性无关的特征向量，所以σ可对角化。

习题7.4.3设D 是n 阶对角阵，它的特征多项式为
s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=∆Λ，
其中s λλλ,,,21Λ两两不同。

设
}|)({DB BD F M B V n =∈=，
证明：V 是)(F M n 的子空间，且
22
221dim s c c c V +++=Λ。

证明：对V B A ∈∀,，即DA AD =，DB BD =，F l k ∈∀,，有
)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+，
所以V lB kA ∈+，即V 是)(F M n 的子空间。

设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=s c s c
c E E E D λλλO
2
1
21，则由习题3.2.2知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵，即⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=s B B B B O
2
1
，其中i B 为i c 阶方阵，s i ,,2,1Λ=。

进而对V B B B B s ∈⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=∀O
2
1，都可由i 行，j 列元素为1，
其余元素全为零的n 阶方阵
ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211Λc c j i c +≤≤+),1)(11
1∑∑=-=≤≤+s
k k s k k c j i c 线性表示。

显然
ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211Λc c j i c +≤≤+),1)(1
1
1
∑∑=-=≤≤+s
k k s k k c j i c 线性无关，构成V
的一组基，所以22
2
21dim s c c c V +++=Λ。

习题7.4.4设A 为准对角阵，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=s A A A A O
2
1
， 其中i A 是i n 阶矩阵，它的最小多项式是)(λi m 。

证明：
)](,),(),([)(21λλλλs A m m m m Λ=。

（即A 的最小多项式是s A A A ,,,21Λ的最小多项式的最低公倍式。

） 证明：令)(,),(),(21λλλs m m m Λ为对角线上诸块s A A A ,,,21Λ的最小多项式，且)](,),(),([)(21λλλλs m m m h Λ=。

因)(λA m 为A 的最小多项式，则由
0)(=A m A 可得0)(=i A A m ，s i ,,2,1Λ=。

又因i A 的最小多项式整除任何以i A 为根的多项式，所以)(|)(λλA i m m ，s i ,,2,1Λ=。

从而)(|)(λλA m h 。

又由于)(|)(λλh m i ，s i ,,2,1Λ=。

而0)(=i i A m ，故0)(=i A h 。

从而
0)()
()(1=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=s A h A h A h O。

于是又有)(|)(λλh m A 。

又因它们的首项系数都是1，故
)](,),(),([)()(21λλλλλs A m m m h m Λ==。

习题7.4.5求下列矩阵的最小多项式，并判断它是否可对角化：
（1）n n A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=111111111ΛM
M
M Λ
Λ； （2）⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=010*********
1010A 。

解：（1）矩阵A 的特征多项式为
)(1
1
1
111111
||1n A E n -=---------=
--λλλλλλΛM
M M Λ
Λ。

由命题7.4.17知，矩阵A 的最小多项式为)(n e -λλ，其中11-≤≤n e 。

经计算得=-)(nE A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛111111111ΛM M
M Λ
Λ
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---n n n 111
111111ΛM M M ΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=000
000
000
Λ
M M M ΛΛ。

故矩阵A 的最小多项式为)(n -λλ，且无重根，所以A 可对角化。

（2）矩阵A 的特征多项式为
)2)(2(1
1
1
1001
1101
||2+-=--------=
-λλλλ
λ
λ
λ
λA E 。

由命题7.4.17知，矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλe ，其中21≤≤e 。

经计算得
=+-)2)(2(E A E A A ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛010*********
1010
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----210112*********
2⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛2101121001211012
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=000000000Λ
M M M ΛΛ。

故矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλ，且无重根，所以A 可对角化。

习题7.4.6如果n 阶方阵A 满足E A A 22=+，问A 可对角化吗？ 答：A 可对角化。

事实上，由E A A 22=+可得022=-+E A A ，即得
A 的零化多项式2)(2-+=λλλf ，而A 的最小多项式可整除A 的零化多
项式，故A 的最小多项式只可能为1-λ，2+λ或
)2)(1(2)(2+-=-+=λλλλλf ，无论哪一种，A 的最小多项式都无重根，
故A 可对角化。

习题7.4.7证明：
（1）A 是幂零阵的充要条件为A 的特征值全为零；
（2）n 阶方阵A ，如果存在正整数k k (可能)n >，使0=k A ，则必有0=n A 。

证明：（1）)(⇒因为A 是幂零阵，所以存在正整数m ，使得0=m A 。

由此可得A 的零化多项式为m f λλ=)(，由命题7.4.14知，A 的最小多项式)(λA m 是m f λλ=)(的因式，故有k A m λλ=)(，其中m k ≤≤1。

又因A 的每一个特征值都是最小多项式的根，而k A m λλ=)(只有零根，所以A 的特征值全为零。

)(⇐反证法。

设n 阶方阵A 不是幂零阵，即对任意正整数m ，都
有0≠m A 。

当然也有0≠n A 。

现有A 的零化多项式，即特征多项式为
s c s c c A A E )()()(||)(2121λλλλλλλλ---=-=∆Λ，
其中n c c c s =+++Λ21，s λλλ,,,21Λ为A 的所有不同的特征值。

显然，
s λλλ,,,21Λ不能全为零 。

否则0)(≠=∆n A A A ，与)(λA ∆是A 的零化多项
式矛盾。

另一方面，s λλλ,,,21Λ不全为零又与题给条件矛盾。

故命题得证。

（2）当n k ≤时，由0=k A 可得：00===--k n k n k n A A A A 。

当n k >时，由0=k A 可得A 的一个零化多项式k f λλ=)(。

所以A 的最小多项式l A m λλ=)(，其中k l ≤≤1。

又由于A 的零化多项式之一，即特征多项式||)(A E A -=∆λλ是n 次多项式。

所以A 的最小多项式的次数n l ≤，且有0)(==l A A A m ，故有00===--l n l n l n A A A A 。

习题7.4.8设A 为n 阶方阵，多项式158)(2+-=λλλf ，
34)(2+-=λλλg ，使0)(=A f ，0)(=A g 。

求A 的最小多项式。

解：设)()()(λλλg f h -=，即得
-+-=158)(2λλλh 124)34(2+-=+-λλλ。

因为0)(=A f ，0)(=A g ，所以有0)()()(=-=A g A f A h ，即)(λh 为A 的零化多项式。

又知A 的最小多项式是其零化多项式的因式，故得A 的最小多项式为 3)(-=λλA m 。

习题7.4.9设)(F M n 是数域F 上n 阶方阵全体所组成的线性空间。

τ是)(F M n 上的线性变换：T A A =)(τ。

证明：
（1）τ的特征值只可能是1，1-； （2）τ可否对角化？为什么？
证明：（1）设τ的特征值为λ，τ的属于λ的特征向量为A ，即有
A A λτ=)(，进而有A A 22)(λτ=；再由题给条件有T A A =)(τ，进而有A A A A T T T ===)()()(2ττ，所以有A A =2λ，而A 为特征向量，是非零的，
定有12=λ，所以τ的特征值只可能是1，1-。

（2）答：τ可对角化。

因为取)(F M n 的一组基：2
,,,21n E E E Λ，设
τ在此基下的矩阵为M ，则有=),,,(2
21n E E E ΛτM E E E n ),,,(2
21Λ，进而有
=),,,(2
212n E E E Λτ221),,,(2
M E E E n Λ，又由题给条件有
=),,,(2
212n E E E Λτ),,,(2
21n E E E Λ，
可得221),,,(2
M E E E n Λ),,,(2
21n E E E Λ=，所以有E M =2，由此可得M 的零
化多项式为)1)(1(1)(2+-=-=λλλλf ，而M 的最小多项式)(λM m 又是)(λf 的因式，
所以一定无重根，所以M 可对角化，进而τ可以对角化。

习题7.4.10设A 是n 阶复矩阵，对某个正整数k ，有E A k =。

证明A 可对角化。

证明：因为对某个正整数k ，有E A k =，所以可得A 的零化多项式为1)(-=k f λλ。

现令k
l i k l l π
πε2sin
2cos
+=，1,,1,0-=k l Λ。

则有 )())(1(1)(11----=-=k k f ελελλλλΛ。

而A 的最小多项式)(λA m 又是)(λf 的因式，所以一定无重根，故A 可以对角化。

习题7.5
习题7.5.1设线性变换σ在2R 的标准基21,e e 下的矩阵为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012A ，又设W 是2
R 中由⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=011e 所生成的1维子空间，证明： （1）W 是2R 的σ-不变子空间；
（2）不存在另一个σ-不变子空间W '，使W W R '⊕=2； （3）总可以找到另一个子空间W ''，使W W R ''⊕=2。

证明：（1）由题意知，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==2012),(),(),(212121e e A e e e e σ，即112)(e e =σ，所以对W ∈∀α，有1ke =α，进而有
W e k e k e k ke ∈====1111)2()2()()()(σσασ，
故W 是2R 的σ-不变子空间。

（2）假设存在另一个σ-不变子空间W '，使W W R '⊕=2，且2dim 2=R ，1dim =W ，
则有1dim ='W 。

分别取W 与W '的基，α，α'，它们构成2R 的基。

又因W 与W '都是σ-不变子空间，即W k ∈=αασ)(，W k '∈''='αασ)(，所以σ在2R 的基α，α'下的矩阵B 为对角阵，且有A 与B 相似，而A 不可能与对角阵相似，出现矛盾，故命题得证。

（3）设W ''是2
R 中由⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=102e 所生成的1维子空间，则有W W R ''⊕=2。

习题7.5.2用归纳法证明：
（1）任一复方阵A 必相似于一个上三角阵，且该上三角阵之对角线元素就是A 的全部特征值；
（2）设A 是实方阵，则存在实可逆阵P ，使AP P 1-为上三角阵的充要条件是A 的特征值全部为实数。

证明：（1）对方阵的阶数作数学归纳。

当1=n 时，结论当然成立。

假定对1-n 阶结论成立，证明对n 阶成立。

设A 为任一n 阶复方阵，则A 必有特征值1λ及对应的特征向量1β，现将1β扩充为n C 的一组基n βββ,,,21Λ，则有111βλβ=A ，
n ni i i i b b b A ββββ+++=Λ2211，其中n i ,,2Λ=。

故存在可逆方阵
=1Q ),,,(21n βββΛ，使得
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=-nn n n n b b b b b b AQ Q ΛM M M Λ
Λ
2222112111100λ，
于是⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n b b
b b B ΛM M
Λ2222是1-n 阶复方阵，故由归纳法，存在1-n 阶可逆阵2Q ，使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-n BQ Q λλλ0*3
2
212O。

从而存在可逆方阵⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=21001Q Q Q ，使得 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----2222211211221111
21
00100001001001Q b b b b b b Q Q AQ Q Q AQ Q nn n n n ΛM M
M ΛΛ
λ
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-n BQ Q λλλλ0*002121
21
O 。

从而命题得证。

（2）（⇒）设存在实可逆阵P ，使得AP P 1
-⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n λλλ0*21
O
，其中n λλλ,,,21Λ为A 的全部特征值。

将上式两边取共轭得⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛==--n P A P AP P λλλ0*21
11O ，又因A 与P 都是实矩阵，所以有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛n λλλ0*21O ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=n λλλ0
*21
O ，即有i i λλ=，n i ,,2,1Λ=，故A 的特征值全部为实数。

（⇐）对实方阵的阶数作数学归纳。

当1=n 时，结论当然成立。

假定对1-n 阶结论成立，证明对n 阶成立。

设A 为n 阶实方阵，且A 的特征值全部为实数。

现取A 的一个实特征值1λ及对应的特征向量1β，并将1β扩充为n R 的一组基n βββ,,,21Λ，则有111βλβ=A ，n ni i i i b b b A ββββ+++=Λ2211，其中n i ,,2Λ=。

故存在实可逆方阵=1Q ),,,(21n βββΛ，使得
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-nn n n n b b b b b b AQ Q ΛM M M Λ
Λ2222112111100λ， 于是⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n b b
b b B Λ
M M
Λ
2222是1-n 阶实方阵，其特征多项式是A 的特征多项式的因式，所以特征值都是实数。

故由归纳法，存在1-n 阶实可逆阵
2Q ，使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-n BQ Q λλλ0*3
2
21
2O。

从而存在实可逆方阵⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=21001Q Q Q ，使得 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----2222211211221111
2100100001001001Q b b b b b b Q Q AQ Q Q AQ Q nn n n n ΛM M M Λ
Λ
λ
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-n BQ Q λλλλ0*002121
21
O 。

从而命题得证。

习题7.5.3如果W 是V 的1维子空间，σ是V 的线性变换，则W 是
σ-子空间的充要条件是W 中任一非零向量都是属于同一特征值的特
征向量。

证明：设α为W 的一组基，即W ∈∀β，都有αβk =。

（⇒）设W 是σ-子空间，有W ∈)(ασ，即有W ∈=λαασ)(。

对
W ∈∀β，且0≠β，有λβαλλαασβσ====)()()()(k k k ，故得W 中任一
非零向量都是属于同一特征值的特征向量。

（⇐）已知W 中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量。

不妨设W ∈∀β，且0≠β，有λββσ=)(，显然有W ∈=λββσ)(，故W 是
σ-子空间。

习题7.5.4设V 是复数域上n 维线性空间，1σ，2σ是V 的线性变换，且1221σσσσ=。

证明：
（1）如果0λ是1σ的特征值，则0λ的特征子空间0
λV 也是2σ的不变
子空间；
（2）1σ，2σ至少有一个公共特征向量；
（3）如果1σ有n 个不同的特征值，则V 内必存在一个基，使1σ，
2σ在这个基下的矩阵同时为对角阵。

证明：（1）对0
λαV ∈∀，有αλασ01)(=，则
=))((21ασσ=))((21ασσ=))((12ασσ=))((12ασσ=))((12αλσ))((21ασλ，
即得0
)(2λασV ∈，故0
λV 也是2σ的不变子空间。

（2）由（1）有0
λV 是2σ的不变子空间。

若记020
σσλ=V ，则0σ在
复数域上必有特征值μ，并存在0≠α，且0
λαV ∈，使得μαασ=)(0，因
而μαασασ==)()(02，又因αλασ01)(=，所以α是1σ与2σ的公共特征向量。

（3）设1σ的n 个不同的特征值为n λλλ,,,21Λ，分别取属于不同特征值的特征向量为n ααα,,,21Λ，即i i i αλασ=)(1，n i ,,2,1Λ=。

它们构成线
性空间V 的一个基，且1σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛n λλλO
21。

又由（1）知，1σ的特征值i λ的特征子空间i
V λ也是2σ的不变子空间，且i
V λ),,2,1(n i Λ=都是一维子空间，则对基n ααα,,,21Λ，必有i i i k αασ=)(2，
n i ,,2,1Λ=，所以2σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛n k k k O
21。

习题7.5.5 V 的非平凡线性变换τ满足ττ=2，则称τ为V 的投影线性变换。

证明：
（1）ττεKer V =-))((，ττKer V V +=)(；
（2）如果σ是V 的线性变换，21,W W 是V 的σ不变子空间，且
21W W V ⊕=。

对任意V w w v ∈+=21，其中)2,1(=∈i W w i i ，定义
)2,1()(==i w v i i τ，则21,ττ都是V 的投影线性变换，且与σ可交换。

证明：（1）证明ττεKer V =-))((。

由于ττ=2，则对任意)(ατα-，有
=-))((ατατ0)()(2=-ατατ，即ταταKer ∈-)(。

又若ταKer ∈∀，即0)(=ατ，显然))((}|)({)(V V τεαατααταα-=∈-∈-=，
因此ττεKer V =-))((。

再证：ττKer V V +=)(。

显然有ττKer V V +⊇)(。

任取V ∈α，则有))(()(ατεατα-+=，显然)()(V τατ∈，且
=-=-))(()])([(ατατατετ0)()(2=-ατατ，即τατεKer ∈-))((。

所以ττKer V V +⊆)(，故ττKer V V +=)(。

（2）由题意，对任意V w w v i i i ∈+=21，其中)2,1;2,1(==∈i j W w j ij ；对任意数F l k ∈,，有)2,1()()()(212121=+=+=+i v l v k lw kw lv kv i i i i i τττ，所以i τ是线性变换。

又对任意V w w v ∈+=21，其中)2,1(=∈i W w i i ，有i i w v =)(τ，且有
)2,1()()(2===i w w v i i i i ττ，得)2,1(2==i i i ττ。

又)())(()(i i i w v v στσστ==）（，
且)())()(())(()(21i i i i w w w v v σσστστστ=+==）（，这是因为)2,1(=∈i W w i i ）
（σ，得i i στστ=，2,1=i 。

故得21,ττ都是V 的投影线性变换，且与σ可交换。

习题7.5.6设λ是n 阶矩阵A 的特征值，E A N λ-=。

如果向量α适合0=αk N ，但01≠-k N ，则称α为属于特征值λ的权k 的根向量，特征向量就是权为1的根向量。

再令 }0)(|{=∈=ααk n k N F H ，
（1）证明k H 是n F 的子空间，且1-⊇i i H H ，Λ,2,1=i ；
（2）如果存在正整数t 使1+=t t H H ，证明对任意正整数t m ≥，有
t m H H =；
（3）如果存在可逆阵),,,(21n P αααΛ=，使
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-λλλ
11
1O
O
AP P 。

证明),,2,1(n i i Λ=α是A 的属于特征值λ的权i 的根向量。

证明：（1）对k H ∈∀βα,，F l k ∈∀,，有0)(=αk N ，0)(=βk N ，进而有0)()()(=+=+βαβαk k k lN kN l k N ，即k H l k ∈+βα，故k H 是n F 的子空间。

又对1-∈∀i H α，有0)(1=-αi N ，显然有0)0())(()(1===-N N N N i i αα，所以得i H ∈α，Λ,2,1=i ，故有1-⊇i i H H ，Λ,2,1=i 。

（2）已知存在正整数t 使1+=t t H H ，即由0)(1=+αt N ，可得0)(=αt N ，因此对任意正整数t m ≥，显然当t m =及1+=t m 时，命题成立。

假设p t m +=是成立，
其中p 为大于零的整数。

现证1++=p t m 时命题成立。

对1++∈∀p t H α，有0)(1=++αp t N ，进而有0))(()(11==+++ααp t p t N N N ，由条件可得=+))((1αp t N N 0))((=αp t N N ，即得0)(=+αp t N ，由假设得
0)(=αt N ，所以t H ∈α。

故对任意正整数t m ≥，有t m H H =。

（3）由题意的⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=λλλ
11
O
O
P AP ，即 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=λλλαααααα11
),,,(),,,(2121O
O ΛΛn n A ，其中n ααα,,,21Λ皆为非零向量。

展开有0)(1=-αλE A ，12)(ααλ=-E A ，…，1)(-=-n n E A ααλ，进而有0)(==-i i i i N E A ααλ，故由定义得),,2,1(n i i Λ=α是A 的属于特征值λ的权i 的根向量。

补充题
习题7.1设4321,,,e e e e 是4维线性空间V 的一个基，已知线性变换σ在这个基下的矩阵为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---21225521312112
01。

（1）在σ的核中选一个基，把它扩充为V 的一个基，并求σ在这个基下的矩阵；
（2）在σ的像中选一个基，把它扩充为V 的一个基，并求σ在这个基下的矩阵。

习题7.2如果s σσσ,,,21Λ是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中一定存在向量α，使得)(,),(),(21ασασασs Λ也两两不同。

习题7.3设σ是有限维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，
)(W σ是σ在W 中的像空间，证明：W W Ker W dim )dim()(dim =+I σσ。

习题7.4设121σσ=，222σσ=。

证明： （1）1σ与2σ有相同的像的充要条件是
221σσσ=，112σσσ=；
（2）1σ与2σ有相同的核的充要条件是
121σσσ=，212σσσ=。

习题7.5 n 维线性空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征值，证明：V 中恰有n 2个σ-子空间。

习题7.6复数域上n 维线性空间V 的线性变换σ在基n ααα,,,21Λ下的矩阵为一个若尔当块，证明：
（1）V 中含1α的σ-子空间只有V 自身；
（2）V 中任一σ-子空间都含n α；
（3）V 不能分解成两个非平凡的σ-子空间的直和。

习题7.7设B A ,为n 阶复矩阵，)(λA ∆是A 的特征多项式。

证明：如果B A ,无公共特征值，则)(B A ∆是可逆阵。

习题7.8设A 是n 阶矩阵，)(λϕ是λ的非常数多项式。

证明： （1）如果)(|)(λλϕA m ，则)(A ϕ是奇异阵；
（2）如果)(λϕ与)(λA m 的最高公因式为)(λd ，则)(A ϕ与)(A d 有相等的秩；
（3）)(A ϕ为满秩阵的充要条件是)(λϕ与)(λA m 互素。