一元二次方程根与系数的关系课件
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《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件
4.6 一元二次方程根与系数的关系
-.
1
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能
力．
2
解下面的一元二次方程：
①x2 3x 2 0,
②x2 5x 6 0,
③3x2 x 2 0， ④2x2 4x 1 0.
11
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一
个
16
3
16
根3.是设x1,x2是方程，2mx2的+4值x-是3=0的两个根.，利用根与
系数的关系，求下列各式的值.
（1）（x1+1)(x2+1） 5 2
（2）—x1 x2
+ x—x21
14 3
12
4. 已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程 的另一根x2. 【解析】由题意得：(1)2 (1) m解 5得 0m=-4,当m=-4时， -1+x2=-(-4), x2=5 ,所以方程的另一根x2=5. 答： m=-4， x2=5.
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
（1）（3，1） （2）（ 2， ）2
33
（3）（ 3，0）
2
（4）（0，
）2
3
9
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
（2）3x2+5x-2=0（ 5 ， 2 ）
的两个实数根x1.x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b， c 的关系.
-.
1
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能
力．
2
解下面的一元二次方程：
①x2 3x 2 0,
②x2 5x 6 0,
③3x2 x 2 0， ④2x2 4x 1 0.
11
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一
个
16
3
16
根3.是设x1,x2是方程，2mx2的+4值x-是3=0的两个根.，利用根与
系数的关系，求下列各式的值.
（1）（x1+1)(x2+1） 5 2
（2）—x1 x2
+ x—x21
14 3
12
4. 已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程 的另一根x2. 【解析】由题意得：(1)2 (1) m解 5得 0m=-4,当m=-4时， -1+x2=-(-4), x2=5 ,所以方程的另一根x2=5. 答： m=-4， x2=5.
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
（1）（3，1） （2）（ 2， ）2
33
（3）（ 3，0）
2
（4）（0，
）2
3
9
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
（2）3x2+5x-2=0（ 5 ， 2 ）
的两个实数根x1.x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b， c 的关系.
一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系ppt
两个根的和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数。
$x_1\cdot x_2=c/a$
两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
03
一元二次方程的系数
系数与方程的解
确定方程的系数
在一元二次方程中，系数包括二次项、一次项和常数项。这 些系数来自以确定方程的解。解的公式
通过代入公式，可以将一元二次方程的解计算出来。公式为 ：x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
一元二次方程性质
当a>0时，有两个不相等的实数根；当a=0且b≠0时，有一个 实数根；当a<0时，没有实数根。
02
一元二次方程的根
根的类型与判别式
1 2
实数根
当判别式$b^2-4ac\geq0$时，方程有两个不 相等的实数根。
虚数根
当判别式$b^2-4ac<0$时，方程有一对共轭虚 数根。
结合数学建模思想 ，解决现实问题
探索方程根的分布 与特征
学习建议
熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 培养数学思维和计算能力
拓展数学知识面，提高综合素质
THANKS
3
重根
当判别式$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的 实数根。
特殊方程的根
恒等方程
当$b=0$，$c=0$时，方程有一组特殊解$x_1=0$，$x_2=0$。
一次因式分解
当$b=0$时，方程可因式分解为$x(x-a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=a$。
根与系数的关系
$x_1+x_2=-b/a$
一元二次方程一元二次方程的根与 系数的关系ppt
$x_1\cdot x_2=c/a$
两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
03
一元二次方程的系数
系数与方程的解
确定方程的系数
在一元二次方程中，系数包括二次项、一次项和常数项。这 些系数来自以确定方程的解。解的公式
通过代入公式，可以将一元二次方程的解计算出来。公式为 ：x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
一元二次方程性质
当a>0时，有两个不相等的实数根；当a=0且b≠0时，有一个 实数根；当a<0时，没有实数根。
02
一元二次方程的根
根的类型与判别式
1 2
实数根
当判别式$b^2-4ac\geq0$时，方程有两个不 相等的实数根。
虚数根
当判别式$b^2-4ac<0$时，方程有一对共轭虚 数根。
结合数学建模思想 ，解决现实问题
探索方程根的分布 与特征
学习建议
熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 培养数学思维和计算能力
拓展数学知识面，提高综合素质
THANKS
3
重根
当判别式$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的 实数根。
特殊方程的根
恒等方程
当$b=0$，$c=0$时，方程有一组特殊解$x_1=0$，$x_2=0$。
一次因式分解
当$b=0$时，方程可因式分解为$x(x-a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=a$。
根与系数的关系
$x_1+x_2=-b/a$
一元二次方程一元二次方程的根与 系数的关系ppt
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共20页)
解：x1+x2=3，x1x2=1；
x1+x2=
2 3
，x1x2=
2；
3
(3)2x2－9x＋5＝0； (4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2=
9 2
，x1x2=
5 2
； x1+x2=
7 4
，x1x2=
1 4
；
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2=
3 2
，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
x1+x2=0，x1x2=
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝
b a
，x1x2＝
c a
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的 标准情势为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又 是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
（1）
1 x1
1 x2
；（2）
x12
x.22
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
(1) 1 1 x1 x2 5 5 x1 x2 x1 x2 7 7
(2) x12 x22 x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 52 2 (7)
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 根据题意，得x(8-x)=9.75，整理， 得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5. ∴这两个数是6.5－7=0的两根，不解方程 求下列各式的值：
课件-一元二次方程根与系数的关系ppt.ppt
两根为
x1, x2
,则,
x1x2ba,x1x2
c a
Байду номын сангаас
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例1.不解方程，求方程3x2+2x-9=0的两根 (1)倒数和，(2)平方和，(3)平方差.
通过求解，计算，同学们有什么新的发现？
归纳：二次项系数等于1时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数. (2)两根之积等于常数项.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
一元二次方程根与系数的关系 (1).当二次项系数为 1的时候 关于x的方程 x2+px+q=0 两根为x1,x2(p,q为常数).
则：x1+x2= -p , x1x2= q
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
方程
1.
x2-2x=0
2. x2+3x-4=0
3. x2-5x+6=0
4. x2+2x-48=0
5. x2+5x-24=0
x1 x2 x1+x2 x1x2 0220 1 -4 -3 -4 2356 -8 6 -2 -48 -8 3 -5 -24
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共18张)
则
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac xx2=
2a
2b b
=
=
2a a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2
2 3
4 3
4 3
2x2－3x+1=0
1
1
3
1
2
2
2
6x2+7x-3=0
3
2
1 3
7 6
1 2
❖ 问形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的两根的和、
积分别与系数a,b,c有何关系？
x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
❖ 推理验证：
❖ （1）从因式分解法可知：方程(x-x1)(x-x2)=0
由根与系数的关系得：x1+x2＝
∴( k 1)2 4 k 3 1
k 1 2
x1x2＝
k 3 2
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
使它的两个根是：
31 3
，2
1 2
解：所求的方程是：
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即：
x2 5 x 25 0
24.3 一元二次方程根与系数的关系课件(共16张PPT)
解： 设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，Δ=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7.
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册
新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 3x 1 0 的两个实数根为 x1 、
2
-1
x2 ,则 x1 1 x2 1 的值为_________.
1 1
（2）已知 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个实数根,则 的值
x1 x2
2
-2
为_____________.
A. x1 x2 2
B. x1 x2 2
C. x1 x2 3
2
D. x1 x2
3
解析：∵ x1 , x2 是方程 x 3x 2 0 的两个根,
2
∴ x1 x2 3 , x1 x2 2 ,观察四个选项,选项 A 符合题意,
故选：A.
练习 5 关于 x 的一元二次方程 x2 4 x m 0 的两实数根分别为 x1 、
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
4
注意公式自身的符
号及系数的符号．
用根与系数的
关系前，一定
要化成一般式
练习 1.关于 x 的方程 2 x2 6 x 7 0 的两根分别为 x1 , x2 ,则 x1 x2
解析：
（1）根据韦达定理,得 x1 x2 3 , x1 x2 1
则 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1=1 3 1 1
3
（2）根据题意得 x1 x2 3 , x1 x2 ,
2
x1 x2
2
-1
x2 ,则 x1 1 x2 1 的值为_________.
1 1
（2）已知 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个实数根,则 的值
x1 x2
2
-2
为_____________.
A. x1 x2 2
B. x1 x2 2
C. x1 x2 3
2
D. x1 x2
3
解析：∵ x1 , x2 是方程 x 3x 2 0 的两个根,
2
∴ x1 x2 3 , x1 x2 2 ,观察四个选项,选项 A 符合题意,
故选：A.
练习 5 关于 x 的一元二次方程 x2 4 x m 0 的两实数根分别为 x1 、
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
4
注意公式自身的符
号及系数的符号．
用根与系数的
关系前，一定
要化成一般式
练习 1.关于 x 的方程 2 x2 6 x 7 0 的两根分别为 x1 , x2 ,则 x1 x2
解析：
（1）根据韦达定理,得 x1 x2 3 , x1 x2 1
则 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1=1 3 1 1
3
（2）根据题意得 x1 x2 3 , x1 x2 ,
2
x1 x2
《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件 (共16张PPT)
一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件 是 （1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2， （1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
提 高 练 习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0， 求m的值。
x,则
2
答：方程的另一个根是 k根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册
第21章
一元二次方程
21.2.4一元二次方程的根与
系数的关系
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
灵活运用一元二次方程的根与系数的关
系解决实际问题；
经历探索一元二次方程的根与系数的关系，
3
发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养
，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力
( D )
A．－2
B．2
C．－5
D．5
3．如果 x1，x2是一元二次方程 2x2－kx＋1－k＝0 的两个实数根，
6
且 x1＋x2＝3，那么 k＝_________.
课堂练习
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2 ＋5x－p2 ＝0 的两个实数根为
x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．
课堂总结
如果一元二次方程
内容
根与系数的关
系（韦达定理）
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么x1 x2
x12 x22
应用
( x1 x2 ) 2
1
x1
1
x2
b
x1 x2
a
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
x1 x2
x1 x2
c
a
一元二次方程
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－ － ＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为
一元二次方程
21.2.4一元二次方程的根与
系数的关系
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
灵活运用一元二次方程的根与系数的关
系解决实际问题；
经历探索一元二次方程的根与系数的关系，
3
发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养
，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力
( D )
A．－2
B．2
C．－5
D．5
3．如果 x1，x2是一元二次方程 2x2－kx＋1－k＝0 的两个实数根，
6
且 x1＋x2＝3，那么 k＝_________.
课堂练习
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2 ＋5x－p2 ＝0 的两个实数根为
x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．
课堂总结
如果一元二次方程
内容
根与系数的关
系（韦达定理）
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么x1 x2
x12 x22
应用
( x1 x2 ) 2
1
x1
1
x2
b
x1 x2
a
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
x1 x2
x1 x2
c
a
一元二次方程
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－ － ＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为
一元二次方程根与系数的关系ppt课件
一. 第一章 教学内容分析
●猜想一元二次方程的根与系数的关系
教学 内容
一元二次方程的
●证明一元二次方程的根与系数的关系 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系 教学
●探究一元二次方程的根与系数的关系
重点 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
二. 第三章 学情分析
推理与 计算基础
推理 证明
3.通过问题情境、观察、猜想、证明、应用等数学活动过程， 激发学生的求知欲望，培养学生思考、表达和解决问题的能 力。体验数学学习中充满着探索与成功感，建立自信心。
四. 第三章 教学方法
兴趣点 难点
四点 突破
重点
目标达 成点
四. 第一章 教学方法
重点:
一元二次方程根与系
兴趣点:
数的关系以及应用
原生兴趣: 一元二次方程的根到底和
人教版九年级数学上册第二十一章
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
CONTENTS 目录页
PAGE
1.教学内容分析 2. 学情分析
3.教学目标 4.教学方法 5.教学过程
一. 第一章 教学内容分析
一元二次方程的解法
一元二次方程的求根公式 准备知识
一元二次方程的根与系数的关系
揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系
方程之间有什么样的关系？
伴生兴趣: 求根、观察、猜想、推理； 衍生兴趣：根与系数关系的作用？
四点突破 分析
难点:
发现并表达一
目标达成点：
元二次方程根
通过观察、发现和推理一元二次方程根与
与系数之间的
系数的关系，获得学习数学新知识的方法，
关系;求两根的
并灵活应用一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系：PPT课件
根与系数的基本关系
01
一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根 x1 和 x2 满足以 下关系
02
x1 + x2 = -b/a
03
x1 * x2 = c/a
04
这两个公式揭示了根与系数之间的基本关系，是求解一元二次方程的 关键。
根与系数的和与积的关系
01
根的和等于系数之比的 相反数：x1 + x2 = b/a
在不等式求解中的应用
利用一元二次方程的根与系数关系，可以将不等式转化为关于根的不等式，进而求 解。
当一元二次不等式的一个根已知时，可以利用根与系数的关系求出另一个根的范围， 从而确定不等式的解集。
对于一些特殊形式的一元二次不等式，可以直接利用根与系数的关系进行求解。
在函数图像中的应用
一元二次方程的根对应着函数图像的 顶点或交点，利用根与系数的关系可 以求出顶点的坐标或交点的坐标。
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
contents
目录
• 引言 • 一元二次方程的根与系数的关系 • 一元二次方程的根的判别式 • 一元二次方程的根与系数关系的应用 • 典型例题解析 • 课程总结与回顾
01 引言
一元二次方程的定义
只含有一个未知数 （元）
是整式方程，即等号 两边都是整式
未知数的最高次数是 2（二次）
利用一元二次方程的根与系数关系， 可以求出函数图像的对称点、对称中 心等对称性质。
通过分析一元二次方程的根的性质， 可以判断函数图像的开口方向、对称 轴等性质。
05 典型例题解析
例题一：一元二次方程根与系数的关系
解析
根据一元二次方程的求根公式，我们有 x1 = [-b + sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 和 x2 = [-b - sqrt(b^2 4ac)] / (2a)。将这两个表达式相加和相乘，即可得到 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a。
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b x1 + x2 = − a
c x1x2 = a
一元二次方程 根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
ax + bx + c = 0( a ≠ 0)
2
方程的判别式
当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公 式写出它的根 求根公式
∆ = b − 4ac
2
2
−b ± b − 4ac x= 2a
x + 5x + 6 = 0
2
x1 + x2
x1 x2
2 x + 5x − 3 = 0
x1 + x 2 = ― ─
x1 x2
=─
这种关系是这几个方程所特有的还是对 于任意的一元二次方程都适合的呢？
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)中
2
−b + b − 4ac −b − b − 4ac Q x1 = , x2 = 2a 2a
2 2
∴ x1 + x 2 =
=
−b +
−b +
b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac + 2a 2a
6 2x = − 5
，得到
3 x=− 5
3 k Q2 − = − 5 5
∴
3 k = −5(2 − ) = −7 5
例2
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两 =0的两 不解方程，求方程2
个根的（ 个根的（1）平方和
（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1
x2那么 3 1 x1+x2 =-— x1.x2 =-—. 2 2
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 ∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 3 1 13 2-2（-—）=— =（-—） 2 4
3 x1+x2 1 1 2 （2）—+— = ———— = ——— =3 1
2
x1 x2
x1.x2
2
小结
一元二次方程根与系数的关系 两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商.
2 2
对任意的一元二次方程，它的两 根之和与两根之积与方程的系数都有这 样的关系存在，就是
b x1 + x2 = − a
c x1x2 = a
此定理是法国数学家 韦达首先发现的，也 称为韦达定理
例：已知方程５x²+kx-6=0的一个根是２，求它 的另一根及 k的值． 解：设另一根为x,根据跟与系数的关系 可 知
b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac 2a
b −2b =− = a 2a
∴ x1 x2
−b + b − 4ac −b − b − 4ac = • 2a 2a
2 2
(−b) − ( b − 4ac ) = 2 4a
2 2
c b − (b − 4ac) 4ac = 2 = = 2 4a a 4a
2
6x + x − 2 = 0
2
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现 x1 + x2, x1 x2 与方程的系数有什么关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商. 请根据以上的观察发现进一步猜想:方 b c 程 a ax²+bx+c=0(a≠0)的 x1 + x2, x1 x与 2 系数a,b,c的关系 .