2018-2019学年成都市郫都区九年级(上)第二次月考数学试卷(含解析)

2018-2019学年成都市郫都区九年级（上）第二次月考数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）
A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米
5．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）
A．B．C．D．
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）
A．y＝﹣x2﹣x﹣B．y＝﹣x2+x﹣
C．y＝﹣x2+x﹣D．y＝﹣x2﹣x﹣
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为（）
A．2 B．3 C．D．2
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；
③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题4分，共16分）
11．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．
12．如果双曲线经过点（2，﹣1），那么m＝．
13．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是cm．
14．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．
三．解答题（共54分）
15．（12分）计算：
（1）（﹣）0+（）﹣1•﹣|tan45°﹣|；
（2）解方程：x2﹣6x+3＝0．
16．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（4，3），C（1，0）解答问题：
（1）请按要求对△ABC作如下变换
①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
（2）写出点A1，B1的坐标：，；
（3）写出点A2，B2的坐标：，．
17．（8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF（结果保留根式）．
18．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校七（1）班共有名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于度；并补全条形统计图；
（2）A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交点为C、E，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2，OD＝4，△AOB的面积为1
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OC、OE，求△COE的面积；
（3）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．
20．（10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22＝．
22．关于x对不等式组的整数解仅有﹣1，﹣2，那么适合这个不等式组的整数a，b，满足a+b ＝﹣10的概率为．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B作作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、AB为邻边作平行四边形A1BAC1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1．A1B1为邻边作平行四边形A2B1A1C2；…；则C1的坐标为，按此作法继续下去，则∁n的坐标是．
24．如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D 是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是．
25．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①＝；
②阴影部分面积是（k1+k2）；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．
二．解答题（共3小题）
26．（8分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
27．（11分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N 在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
28．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y ＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；
②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形．
故选：C．
2．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AC×BC＝AB×CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选：A．
3．【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，
∴OD＝＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：A．
4．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，∴＝，
∴＝，
∴BC＝×5＝3.2米．
故选：C．
5．【解答】解：∵点A是反比例函数y＝图象上一点，且AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|＝2，
解得：k＝±4．
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k＝4．
故选：C．
6．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF；
∵DE∥BC，
∴＝＝，
＝＝，
∵EF∥AB，
∴＝，＝，
∴，
故选：C．
7．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：B．
8．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣x2﹣1，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：
y＝﹣（x+1）2﹣1＝﹣x2﹣x﹣．
故选：A．
9．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2BO，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴BO＝sin60°•AB＝2×＝，
∴BD＝2．
故选：D．
10．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x＝﹣1是对称轴，所以x＝﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．
故选：C．
二．填空题（每小题4分，共16分）
11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，
∴22﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
12．【解答】解：由题意知，m＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，∵△ABC与△DEF相似，
∴3a：x＝6a：10，
∴x＝5，
即△DEF的最短边是5cm．
故答案为5．
14．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣130°＝30°，
在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴CE＝BC＝1，BE＝CE＝，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EB，
∴BD＝2EB＝2．
故答案为2．
三．解答题（共54分）
15．【解答】解：（1）原式＝1+3×﹣|1﹣|
＝1+2﹣+1
＝2+
（2）a＝1，b＝﹣6，c＝3，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣12＝24，
∴x＝＝3±，
则x1＝3+，x2＝3﹣．
16．【解答】解：（1）①如图所示，△A1B1C1即为△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的图形；
②如图所示，△A2B2C2即为△ABC在位似中心O的异侧位似比为2：1的图形；
（2）点A1（2，3），B1（﹣3，4）；
（3）点A2（﹣6，4），B2（﹣8，﹣6）．
故答案为：（2）（2，3），（﹣3，4）；（3）（﹣6，4），（﹣8，﹣6）．
17．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠BAH＝，
∴BH＝800•sin30°＝400，
∴EF＝BH＝400米．
答：AB段山坡的高度EF为400米；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝，
∴CE＝200•sin45°＝100，
∴CF＝CE+EF＝（100+400）（米）．
答：山峰的高度CF为（100+400）米．
18．【解答】解：
（1）由题意可知总人数＝4÷8%＝50人；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角＝20÷50×100%×360°＝144°；
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50，144；
（2）列表如下：
男男女女
男﹣﹣﹣（男，男）（女，男）（女，男）
男（男，男）﹣﹣﹣（女，男）（女，男）
女（男，女）（男，女）﹣﹣﹣（女，女）
女（男，女）（男，女）（女，女）﹣﹣﹣
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率＝．
19．【解答】解：（1）∵OB＝2，△AOB的面积为1，
∴×2×OA＝1，解得OA＝1，
∴A点坐标为（0，﹣1），
把B（﹣2，0）、A（0，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得．
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
∵OD＝4，
∴C点的横坐标为﹣4，
把x＝﹣4代入y＝﹣x﹣1得y＝1，
∴C点坐标为（﹣4，1），
把C（﹣4，1）代入y＝得n＝﹣4×1＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）如图，
解方程组得或，则E点坐标为（2，﹣2），
S△COE＝S△OAC+S△OAE
＝×1×4+×1×2
＝3；
（3）当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集为x＜﹣4．
20．【解答】解：（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，
又∵PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）EF2＝4OD•OP．
证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°
∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，
∴∠OAD＝∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴＝，即OA2＝OD•OP，
又∵EF＝2OA，
∴EF2＝4OD•OP．
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴OD＝BC＝3（三角形中位线定理），
设AD＝x，
∵tan∠F＝，
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，
∴cos∠ACB＝＝．
∵OA2＝OD•OP，
∴3（PE+5）＝25，
∴PE＝．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣4，
所以x12+x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＝（﹣3）2﹣（﹣4）＝13．故答案为13．
22．【解答】解：解不等式组得，
∵整数x仅有﹣1，﹣2，
∴，，
∴﹣9＜a≤﹣6，﹣2≤b＜0，
∴整数a为﹣8，﹣7，﹣6；正数b为﹣2，﹣1，
画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中和为﹣10的占一种，
∴满足a+b＝﹣10的概率为．
故答案为．
23．【解答】解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y＝x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y＝x，得1＝x，解得x＝，
∴B点坐标为（，1），AB＝．在Rt△A1AB中，∠AA1B＝90°﹣60°＝30°，∠A1AB＝90°，∴AA1＝AB＝3，OA1＝OA+AA1＝1+3＝4，
∵▱ABA1C1中，A1C1＝AB＝，
∴C1点的坐标为（﹣，4），即（﹣×40，41）；
由x＝4，解得x＝4，
∴B1点坐标为（4，4），A1B1＝4．
在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1＝30°，∠A2A1B1＝90°，
∴A1A2＝A1B1＝12，OA2＝OA1+A1A2＝4+12＝16，
∵▱A1B1A2C2中，A2C2＝A1B1＝4，
∴C2点的坐标为（﹣4，16），即（﹣×41，42）；
同理，可得C3点的坐标为（﹣16，64），即（﹣×42，43）；
以此类推，则∁n的坐标是（﹣×4n﹣1，4n）．
故答案为（﹣×41，42），（﹣×4n﹣1，4n）．
24．【解答】解：y＝x+4，
∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，
∴OA＝4，OB＝4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，
当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，
∴OE′＝E′D′，
设E′O＝E′D′＝x，
∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，
∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，
∴sin∠CAD′＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴BE′＝4+，BE＝4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，
最大值是：×（4+）×4＝8+2，
故答案为：8﹣2和8+2．
25．【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB＝S△COB，
∴AE＝CF，
∴OM＝ON，
∵S△AOM＝|k1|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，
∴＝，故①正确；
∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，
∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分＝（k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM＝ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM＝CN，
∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA＝OC，
而OM＝ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM＝CN，
∴|k1|＝|k2|，
∴k1＝﹣k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故答案为：①④．
二．解答题（共3小题）
26．【解答】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．
又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝32时，W＝2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000
解这个方程得：x1＝30，x2＝40．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000
∵k＝﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x＝32时，P的值最小，P最小值＝3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
27．【解答】解：（1）如图1，
①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
由折叠可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．
∴∠APO＝90°．
∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC．
∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴＝＝＝＝．
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP．
∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8．
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8﹣x．
在Rt△PCO中，
∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8﹣x，
∴x2＝（8﹣x）2+42．
解得：x＝5．
∴AB＝AP＝2OP＝10．
∴边AB的长为10．
（2）如图1，
∵P是CD边的中点，
∴DP＝DC．
∵DC＝AB，AB＝AP，
∴DP＝AP．
∵∠D＝90°，
∴sin∠DAP＝＝．
∴∠DAP＝30°．
∵∠DAB＝90°，∠PAO＝∠BAO，∠DAP＝30°，∴∠OAB＝30°．
∴∠OAB的度数为30°．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP＝AB，MQ∥AN，
∴∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP．
∴∠APB＝∠MQP．
∴MP＝MQ．
∵MP＝MQ，ME⊥PQ，
∴PE＝EQ＝PQ．
∵BN＝PM，MP＝MQ，
∴BN＝QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF＝∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
．
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF＝BF．
∴QF＝QB．
∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB．
由（2）中的结论可得：
PC＝4，BC＝8，∠C＝90°．
∴PB＝＝4．
∴EF＝PB＝2．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．
28．【解答】解：（1）①y＝当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣4，∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x＝﹣对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
②∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2＝﹣4a
∴a＝
∴y＝x2x+2．
（2）设P（m，m2m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ＝m2m+2﹣（m+2）
＝m2﹣2m，
∵S△PAC＝×PQ×4，
＝2PQ＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）方法一：
在Rt△AOC中，tan∠CAO＝在Rt△BOC中，tan∠BCO＝，
∴∠CAO＝∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠CAO+∠OBC＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）∴MN＝n2+n﹣2，AN＝n+4
当时，MN＝AN，即n2+n﹣2＝（n+4）
整理得：n2+2n﹣8＝0
解得：n1＝﹣4（舍），n2＝2
∴M（2，﹣3）；
当时，MN＝2AN，即n2+n﹣2＝2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20＝0
解得：n1＝﹣4（舍），n2＝5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴K AC×K BC＝﹣1，
∴AC⊥BC，MN⊥x轴，
若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，
则，，
设M（2t，﹣2t2﹣3t+2），
∴N（2t，0），
①||＝，
∴||＝，
∴2t1＝0，2t2＝2，
②||＝，
∴||＝2，∴2t1＝5，2t2＝﹣3，
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似。