普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题四理(1)

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普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(四)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|}M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则312f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .52B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( )班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封ABC.D.3-5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A .5B .6C .7D .86.已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为( ) A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;n n -B .21;1n n -+C .121;n n +-D .121;1n n +-+8.已知点P 在圆C :224240x y x y +--+=上运动,则点P 到直线:250x y --=的距离的最小值是( ) A .B C 1D 19.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( ) A .()(),10,3-∞- B .()()1,03,-+∞C .()(),11,3-∞- D .()()1,01,3-10.已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P xy 的坐标,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则A P B P ⋅的最小值为( ) A .254B .0C .19625-D .-811.某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ 的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A . B.C .D .12.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( )A B .2+C .2 D 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(四)数学(理科)试卷Word版含答案

黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(四)数学(理科)试卷Word版含答案

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四)理科数学第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合2{|30}A x x x =->,{|2}B x x =<,则AB =( )A .(2,0)-B .(2,3)-C .(0,2)D .(2,3)2.(2017·海口市调研)已知复数12z i =-,22z a i =+(i 为虚数单位,a R ∈),若12z z R ∈,则a =( )A .1B .1-C .4D .4-3.(2017·桂林市模拟)若向量a ,b 满足:1a =,()a b a +⊥,(3)a b b +⊥,则b =( )A .3B .1 D .34.(2017·福建省质检)在ABC ∆中,3B π=,2AB =,D 为AB 的中点,BCD ∆的面积为4AC 等于( )A .2B 5.已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈,且7x y +=,则2xy ≥的概率为( ) A .13 B .23 C .12 D .566.(2017·昆明市统考)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(单位:cm ),图中粗线画出的是某种零件的三视图,则该零件的体积(单位:3cm )为( )A .24024π-B .24012π-C .2408π-D .2404π- 7.(2017·长春市三模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S 为1112,则判断框中填写的内容可以是( )A .6n =B .6n <C .6n ≤D .8n ≤ 8.(2017·郑州一预)函数()cos x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为( )A .0B .1-C .1 D9.(2017·海口市调研)若x ,y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,且z y x =-的最小值为12-,则k 的值为( ) A .12 B .12- C .14 D .14- 10.(2017·桂林市模拟)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过F交抛物线于A ,B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(11,0)M ,则p =( ) A .2 B .3 C .6 D .1211.(2017·河南九校联考)四面体的一条棱长为c ,其余棱长为3,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有顶点的球的表面积为( ) A .272π B .92π C .152πD .15π 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数,且'()2()()f x f x x R >∈,12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭(e 为自然对数的底数),则不等式2(ln )f x x <的解集为( )A .0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .C .1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .2e ⎛ ⎝第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上)13.(2017·长春三模)函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是 .14.(2017·海南六市联考)2212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是70,则n = .15.在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60,塔基的俯角为30,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为 m .16.设函数()f x 在[1,)+∞上为增函数,(3)0f =,且()(1)g x f x =+为偶函数,则不等式(22)0g x -<的解集为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{}n a 满足1511a =,143(2)n n a a n -=-≥.(1)求证:数列{1}n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2) 令2log (1)n n b a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,//AB CD ,AB AD ⊥,4AB =,AD =2CD =,12AA =,侧棱1AA ⊥底面ABCD ,E 是11A B 的中点.(1)求证:BD ⊥平面11A ACC ;(2)设点Q 在线段EB 上,且:3:4EQ EB =,求直线CQ 与平面11A ACC 所成角的正弦值. 19.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.(1)求表中x ,y ,z ,s ,p 的值;(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 20.(2017·昆明市统考)已知动圆E 经过定点(1,0)D ,且与直线1x =-相切,设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)设过点(1,2)P 的直线1l ,2l 分别与曲线C 交于A ,B 两点,直线1l ,2l 的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线AB 的斜率为定值.21.(2017·贵州省适应性考试)设*n N ∈,函数ln ()n x f x x =,函数()(0)xn e g x x x=>.(1)当1n =时,求函数()y f x =的零点个数;(2)若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧,求n 的取值集合A ; (3)对于n A ∀∈,12,(0,)x x ∀∈+∞,求12()()f x g x -的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线1C 的参数方程为22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)若直线l 的斜率为2,判断直线l 与曲线1C 的位置关系; (2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤<). 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15,函数()1g x x a x =+++. (1)求实数a 的值; (2)求函数()g x 的最小值.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四)理科数学一、选择题1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12:DB 二、填空题 13. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦14. 4 15. 40 16. (0,2) 三、解答题17.解析:(1)证明:由11344n n a a -=-知111(1)4n n a a -+=+, 所以数列{1}n a +是以512为首项,14为公比的等比数列.则11212n n a -+=,11221n n a -=-. (2)112n b n =-,设数列{112}n -前n 项和为n T ,则210n T n n =-, 当5n ≤时,210n n S T n n ==-;当6n ≥时,2521050n n S S T n n =-=-+;所以2210,51050,6n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.18.解析:(1)证明:∵1AA ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥,∴以A 为坐标原点,AB ,AD ,1AA 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则(4,0,0)B ,1(0,0,2)A ,D ,C ,所以(BD =-,AC =,1(0,0,2)AA =,所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=,1(4)00020BD AA ⋅=-⨯++⨯=.所以BD AC ⊥,1BD AA ⊥, 因为1AA AC A =,AC ⊂平面11A ACC ,1A A ⊂平面11A ACC ,所以BD ⊥平面11A ACC .(2)设(,,)Q x y z ,直线QC 与平面11A ACC 所成角为θ,由(1)知平面11A ACC 的一个法向量为(BD =-. ∵34EQ EB =, ∴71,0,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 平面11A ACC 法向量(2,1,0)n =-, sin cos ,CQ n CQ n CQ nθ⋅=<>=⋅3=.19.解析:(1)由题意知,参赛选手共有16500.32p ==(人), 所以90.1850x ==,500.3819y =⨯=,50919166z =---=,10.180.380.320.12s =---=.(2)由(1)知,参加决赛的选手共6人,随机变量X 的可能取值为0,1,2,34361(0)5C P X C ===,2142363(1)5C C P X C ===, 1242361(2)5C C P X C ===,随机变量X 的分布列为:因为()0121555E X =⨯+⨯+⨯=, 所以随机变量X 的数学期望为1.20.解析:(1)由已知,动点E 到定点(1,0)D 的距离等于E 到直线1x =-的距离,由抛物线的定义知E 点的轨迹是以(1,0)D 为焦点,以1x =-为准线的抛物线,故曲线C 的方程为24y x =.(2)由题意可知直线1l ,2l 的斜率存在,倾斜角互补,则斜率互为相反数,且不等于零. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线1l 的方程为(1)2y k x =-+,0k ≠. 直线2l 的方程为(1)2y k x =--+, 由2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=,已知此方程一个根为1,∴22122(2)441k k k x k k --+⨯==, 即21244k k x k -+=,同理22222()4()444()k k k k x k k ---+++==-, ∴212228k x x k++=,12288k x x k k ---==, ∴1212[(1)2][(1)2]y y k x k x -=-+---+2122288()22k k x x k k k k k+=+-=⋅-=,∴1212818ABy yk k x x k-===---, 所以,直线AB 的斜率为定值1-. 21.解析:(1)当1n =时,ln ()x f x x =,21ln '()(0)xf x x x -=>.由'()0f x >得0x e <<;由'()0f x <得x e >.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增,在(,)e +∞上单调递减,因为1()0f e e=>,10f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭, 所以函数()f x 在(0,)e 上存在一个零点; 当(,)x e ∈+∞时,ln ()0xf x x=>恒成立, 所以函数()f x 在(,)e +∞上不存在零点. 综上得函数()f x 在(0,)+∞上存在唯一一个零点. (2)由函数ln ()n x f x x =求导,得11ln '()(0)n n xf x x x+-=>, 由'()0f x >,得10nx e <<;由'()0f x <,得1nx e >, 所以函数()f x 在1(0,)n e 上单调递增,在1(,)ne +∞上单调递减, 则当1nx e =时,函数()f x 有最大值1max 1()()nf x f e ne==; 由函数()(0)x n e g x x x =>求导,得1()'()(0)xn x n e g x x x+-=>, 由'()0g x >得x n >;由'()0f x <得0x n <<.所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减,在(,)n +∞上单调递增,则当x n =时,函数()g x 有最小值min()()ne g x g n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭;因为*n N ∀∈,函数()f x 的最大值11()1nf e ne=<, 即函数ln ()n xf x x=在直线1y =的下方, 故函数()(0)xn e g x x x=>在直线l :1y =的上方,所以min()()1ne g x g n n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭,解得n e <.所以n 的取值集合为{1,2}A =.(3)对12,(0,)x x ∀∈+∞,12()()f x g x -的最小值等价于min max 1()()ne g xf x n ne ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,当1n =时,min max 1()()g x f x e e-=-; 当2n =时,2min max1()()42e g x f x e-=-; 因为2211(4)20424ee e e e e e ⎛⎫--⎛⎫---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以12()()f x g x -的最小值为2312424e e e e--=. 22.解析:(1)斜率为2时,直线l 的普通方程为12(1)y x -=+, 即23y x =+. ①将22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程得22(2)(4)4x y -+-=,②则曲线1C 是以1(2,4)C 为圆心,2为半径的圆,圆心1(2,4)C 到直线l 的距离2d ==<, 故直线l 与曲线(圆)1C 相交.(2)2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,由22224816040x y x y x y x ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩,所以1C 与2C 的交点的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭. 23.解析:(1)∵()(1)11a a f x ax a x a x x =+=+-+--,1x >,0a >, ∴()3f x a ≥,即有315a =,解得5a =.(2)由于51(5)(1)4x x x x +++≥+-+=,当且仅当51x -≤≤-时等号成立,∴()51g x x x =+++的最小值为4.。

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绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(四)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|}M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则3122f f ⎛⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭( ) A .52B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( ) A.3BC.D.5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A .5B .6C .7D .86.已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为( ) A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;n n -B .21;1n n -+C .121;n n +-D .121;1n n +-+8.已知点P 在圆C :224240x y x y +--+=上运动,则点P 到直线:250x y --=的距离的最小值是( ) A .BC1D19.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( ) A .()(),10,3-∞-B .()()1,03,-+∞C .()(),11,3-∞-D .()()1,01,3-10.已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P x y 的坐标,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则AP BP ⋅的最小值为( ) A .254B .0C .19625-D .-811.某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ 的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A .B .C .D .12.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( )A B .2+C .2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(四)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|}M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则3122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .52 B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( )ABC.D. 5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+ A .5 B .6 C .7D .86.已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为( ) A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;n n -B .21;1n n -+C .121;n n +-D .121;1n n +-+8.已知点P 在圆C :224240x y x y +--+=上运动,则点P 到直线:250x y --=的距离的最小值是( ) A .B C 1D 19.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( ) A .()(),10,3-∞- B .()()1,03,-+∞C .()(),11,3-∞-D .()()1,01,3-10.已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P x y 的坐标,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则A P B P ⋅的最小值为( )A .254B .0C .19625-D .-811.某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ 的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A . B.C .D .12.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( ) AB.2+C .2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷文四20180428120

2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷文四20180428120

2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷 文(四)本试题卷共14页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则MN =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-【答案】C【解析】由题意{}0,1M =,∴{}0,1M N =.故选C .2.[2018·南阳一中]设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .i B .i -C .1i -+D .1i --【答案】A 【解析】()21f x x x =-+,()()()()i 11i i 12ii i 1i 11i 2z +--+-====-----,()()()()2i i i 1i f z f ∴=-=---+=,故选A .3.[2018·郴州一中]已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .52B .52-C .32-D .12-【答案】B【解析】()()22log 111sin 13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,223131sin log 1232f f ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .4.[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( )ABC.D.【答案】C【解析】由等差数列的性质可得:()19959692+=π==a a S a ,∴523π=a,则52tan tan3π==a C . 5.[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A .5B .6C .7D .8【答案】A【解析】2+5+14+41+122100S =>,故输出5n =.6.[2018·漳州调研]已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为( ) A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x【答案】A【解析】函数()cos2=g x x 的图象的对称轴方程为()2π=∈Z k x k ,故函数()=y f x 的图象的对称轴方程为()23ππ=-∈Z k x k ,当1=k 时,6π=x ,故选A . 7.[2018·云南联考]图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;nn - B .21;1nn -+C .121;n n +- D .121;1n n +-+【答案】D【解析】当1n =时,正方形的个数有0122+个;当2n =时,正方形的个数有012222++个;,则0121222221n n n S +=++++=-个,最大的正方形面积为1,当1n =时,由勾股定理知正方形面积的和为2,以此类推,所有正方形面积的和为1n +,故选D .8.[2018·防城港模拟]已知点P 在圆C :224240x y x y +--+=上运动,则点P 到直线l :250x y --=的距离的最小值是( )A .4BC 1D 1【答案】D【解析】圆C :224240x y x y +--+=化为()()22211x y -+-=,圆心()2,1C 半径为1,=,则圆上一点P 到直线l :250x y --=的距离的最1.选D .9.[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的x 的取值范围是( )A .()(),10,3-∞-B .()()1,03,-+∞C .()(),11,3-∞-D .()()1,01,3-【答案】A【解析】∵偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,且()20f -=, ∴函数()f x 在(),0-∞单调递增,且()20f =. 结合图象可得不等式()10xf x ->等价于()010>->⎧⎨⎩x f x 或()010<-<⎧⎨⎩x f x ,即013>-<⎨<⎧⎩x x 或01<<-⎧⎨⎩x x ,解得03x <<或1x <-.故x 的取值范围为()(),10,3-∞-.选A .10.[2018·重庆期末]已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P x y 的坐标x ,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则AP BP ⋅的最小值为( ) A .254B .0C .19625-D .-8【答案】C【解析】由题意可得:()()()()2244228AP BP x x y y x y ⋅=-+-=-+--,()()2222x y -+-即为点(),P x y 与点()22,的距离的平方,结合图形知,最小值即为点()22,到直线的距离的平方25d ==,故最小值为221968525⎛⎫-=-⎪⎝⎭.本题选择C 选项.11.[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ的长为x ,CQ 的长度为关于x 的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】如图所示,设AOQ θ∠=,则弧长AQ x =,线段()CQ f x =,5x θ=, 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时,1()2QOH θ∠=π-,2sin2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯,CQ ===即()f x =由余弦函数的性质知当5=πx 时,即运动到B 点时y 有最小值10,只有A 选项适合,又由对称性知选A ,故选A .12.[2018·石家庄毕业]双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( )A B .2+C .2D 1【答案】B【解析】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -,直线l 的方程为)y x c =+,令0x =,则y =,即()A ,因为A 平分线段1FB ,根据中点坐标公式可得()B c ,代入双曲线方程可得2222121c c a b-=,由于()1c e e a =>,则2221211e e e -=-,化简可得421410e e -+=,解得27e =±1e >,解得2e =故选B .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学

绝密★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(一)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=,(){},2N x y x y =-=,则集合M N = ()A .{}0,2B .()2,0C .(){}0,2D .(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩,得20x y =⎧⎨=⎩.故(){}2,0M N = .选D .2.[2018·台州期末](i 为虚数单位)班级姓名准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A .2B .1C .12D.2【答案】C11i 22z ∴=-=,选C . 3.[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成,在矩形区域OABC 内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是()A .2πB .12C .1πD .3π【答案】A【解析】由题意,得矩形区域OABC 的面积为1π1πS =⨯=,阴影部分的面积为OABC 内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==.故选A . 4.[2018·滁州期末]A .4-B .4C.13-D .13【答案】C【解析】sin 2costan 2ααα-=-⇒=,C .5.[2018·陕西一模]《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为()A .2 B.4+ C.4+D.4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是2,∴几C .6.[2018·天津期末]已知实数x ,y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥,若z x my =+的最大值为10,则m =() A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B【解析】作出可行域,如图ABC △内部(含边界),其中()2,4A ,()2,1B ,()1,1C -,若A 是最优解,则2410m +=,2m =,检验符合题意;若B 是最优解,则210m +=,8m =,检验不符合题意,若8m =,则z 最大值为34;若C 是最优解,则110m -+=,11m =,检验不符合题意;所以2m =,故选B .7.[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++,下列程序框图设计的是求()0f x 的值,在“ ”中应填的执行语句是()A .2018n i =-B .2017n i =-C .2018n i =+D .2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =,要计算()120182017201621f =+++++ ,首先201812018S =⨯=,下一个应该加2017,再接着是加2016,故应填2018n i =-.8.[2018·达州期末]若函数()24x f x a =--存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为() A .()0,4 B .()0,+∞C .()3,4D .()3,+∞【答案】C【解析】如图,若()24x f x a =--存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则()34a ∈,,故选C .9.[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ,B 间的距离为2,动点P 与A ,B 当P ,A ,B 不共线时,PAB △面积的最大值是( )开始i =1,n =2018结束i ≤2017?是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A.BC.3D.3【答案】A【解析】如图,以经过A ,B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系;则:()10A -,,()10B ,,设()P x y ,,两边平方并整理得:()222261038x y x x y +-+=⇒-+=.∴PAB △面积的最大值是122⨯⨯=A .10.[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b -=>>的离心率3e =,右焦点为F ,点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点,AOFOAF ∠=∠,AOF △的面积为,则双曲线C 的方程为()A .2213612x y -= B .221186x y -= C .22193x y -= D .2213x y -=【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,bx ay -=三个该渐近线的倾斜角为α,则,AOF OAF ∠=∠ ,所以直线AF 的倾斜角为2α,2222tan 2tan21tan aba bααα==--, 与0bx ay -=联立解得122AOFab S cab c ∴=⨯⨯==△,因为双曲线的离心率3e =b a ∴=,与ab =联立得3a =,b =22193x y -=.故选C .11.[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且1c =,2A C =,则ABC △周长的取值范围为() A.(0,2 B.(0,3C.(2+ D.(2+【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形,所以cos 2C <<;又因为2A C =,所以sin 2sin cos A C C =,又因为1c =,所以2cos a C =;由sin sin b cB C=, 即2sin sin34cos 1sin sin c B Cb C C C ===-,所以24cos 2cos a b c C C ++=+,令cos t C =,则(,22t ∈⎭,又因为函数242y t t =+在( ,22⎭上单调递增,所以函数值域为(2,故选:C .12.[2018·济南期末]若关于x 的方程e 0e e xx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ,2x ,3x ,且1230x x x <<<,其中m ∈R ,e 2.71828= 为自然对数的底数,则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为() A .1 B .e C .1m - D .1m +【答案】A【解析】101t m t ++=+,()()2110t m t m ∴++++=,由韦达定理可得()1a b t t m +=-+,1a b t t m ⋅=+,()()3131131111x x x x t t e e ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1313=+1=11+1=1t t t t m m ++-+++,可得:31223121111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1,故选A . 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(四)附参考答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(四)附参考答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(四)理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合2{|230}A x x x x N =--<∈,,集合{|2}xB y y ==,则A B =I(A ){12}, (B ){128}, , (C )1(8)2,(D )∅(2)命题“0x ∀>,tan sin x x >”的否定为(A )0x ∃>,tan sin x x ≤ (B )0x ∃≤,tan sin x x > (C )0x ∀>,tan sin x x ≤(D )0x ∀≤,tan sin x x ≤(3)已知复数12i z =+,则55izz z-+= (A )12i +(B )2i +(C )12i -(D )2i -(4)已知向量(12)a =r ,,(11)b =-r , ,(2)c m =r , ,且(2)a b -r r⊥c r ,则实数m = (A )1- (B )0(C )1 (D )任意实数(5)已知ππ()42α∈,,3log sin a α=,sin 3b α=,cos 3c α=,则a b c ,,的大小关系是 (A )a b c << (B )a c b << (C )c b a << (D )b c a << (6)不等式20x ax b -+<的解集为{|12}x x <<,则6)xa的展开式中常数项为 (A )64-(B )16027-(C )2027(D )803(7)抛物线24y x =的焦点到双曲线22221x y a b-=(00)a b >>,线的离心率为(A (B (C )2(D )3(8)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(A )919(B )1021 (C )1819 (D )2021(9)山城发生一起入室盗窃案,经警方初步调查,锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗,经审讯,四人笔录如下,甲说:“是丁盗的”;乙说:“是甲、丁两人中的一人盗的”;丙说:“甲说的正确”;丁说:“与我无关,是他们三人中的一人盗的”,后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话,由此可判断盗窃者是 (A )甲 (B )乙 (C )丙(D )丁(10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(A )12π (B )16π (C )36π(D )48π(11)已知定义域为R 的函数()f x ,对任意x R ∈均有()()f x f x '>(()f x '是函数()f x 的导函数),若()1y f x =-为奇函数,则满足不等式()e xf x <的x 的取值范围是(A )(0)-∞,(B )(1)-∞,(C )(0)+∞,(D )(1)+∞, (12)已知0a b >, ,a b ba =-2)1(,则当b a 1+取最小值时,221ba +的值为 (A )2(B )22(C )3(D )4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

黑龙江省2018年 普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四)数学(理科)试题(解析版)

黑龙江省2018年 普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四)数学(理科)试题(解析版)

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(四)理科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A、B,再求A∩B即可.【详解】∵集合={x|x<0或x>3}=(﹣∞,0)∪(3,+∞),={x|﹣2<x<2}=(﹣2,2),∴A∩B=(﹣2,0).故选:A.【点睛】求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.2. 已知复数,(为虚数单位,),若,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,再由虚部等于0求得a值.【详解】∵z1=2﹣i,z2=a+2i,∴z1z2=(2﹣i)(a+2i)=2a+2+(4﹣a)i,又z1z2∈R,∴4﹣a=0,即a=4.故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,属于基础题.3. 若向量,满足:,,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解.【详解】∵向量,满足:,,,∴,解得=.故选:B.【点睛】本题考查向量的模的求法,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,属于基础题.4. 在中,,,为的中点,的面积为,则等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在△BCD中,由面积公式可得BC,再由余弦定理可得结果.【详解】由题意可知在△BCD中,B=,AD=1,∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=,解得BC=3,在△ABC中由余弦定理可得:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=22+32﹣2•2•3•=7,∴AC=,故选:B.【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.5. 已知,且,则的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先列举出所有的基本事件,再找到满足条件的基本事件,根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由题基本事件空间中的元素有:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)(6,1),满足题意的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),故则的概率为=故选:B.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为(单位:),图中粗线画出的是某种零件的三视图,则该零件的体积(单位:)为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知该该零件是一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱,由三视图求出几何元素的长度,由柱体的体积公式求出几何体的体积.【详解】根据三视图可知该零件是:一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱,且长方体的长、宽、高分别为:8、6、5,圆柱底面圆的半径为1,母线长是8,∴该零件的体积V=8×6×5﹣=240﹣12π(cm3),故选:B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.7. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的为,则判断框中填写的内容可以是()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:,判断是,,判断是,,判断是,,判断否,输出,故填.考点:算法与程序框图.视频8. 函数在点处的切线斜率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先求函数的导数,因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数,就可求出切线的斜率.详解:∴函数图象在点处的切线的斜率为1.故选:C.点睛:本题考查了导数的运算及导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率的关系,属基础题.9. 若,满足,且的最小值为,则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可.【详解】由z=y﹣x得y=x+z,要使z=y﹣x的最小值为﹣12,即y=x﹣12,则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方,先作出对应的图象,由得,即C(12,0),同时C(12,0)也在直线kx﹣y+3=0上,则12k+3=0,得k=﹣,故选:D.【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 10. 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线交抛物线于,两点.若线段的垂直平分线与轴交于点,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),直线AB的斜率为,则垂直平分线的斜率为﹣,且与x轴交于点M(11,0),则y=﹣(x﹣11),则直线AB的方程为y=(x﹣),代入抛物线方程,由韦达定理可知:x1+x2=,根据中点坐标公式求得中点P坐标,代入AB的垂直平分线方程,即可求得p的值.【详解】由题意可知:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),直线AB的斜率为,则垂直平分线的斜率为﹣,且与x轴交于点M(11,0),则y=﹣(x﹣11),设直线AB的方程为:y=(x﹣),A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x0,y0),,整理得:3x2﹣5px+=0,由韦达定理可知:x1+x2=,由中点坐标公式可知:x0=,则y0=,由P在垂直平分线上,则y0=﹣(x0﹣11),即p=﹣(﹣11),解得:p=6,故选:C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,弦长公式及垂直平分线的性质,考查计算能力,属于中档题.11. 四面体的一条棱长为,其余棱长为,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有顶点的球的表面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.【详解】底面积不变,高最大时体积最大,所以,面ACD与面ABD垂直时体积最大,由于四面体的一条棱长为c,其余棱长均为3,所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点,半径R==;经过这个四面体所有顶点的球的表面积为:S==15π;故选:D.【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两互相垂直,且P A=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.12. 设是函数的导函数,且,(为自然对数的底数),则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数F(x)=,求出导数,判断F(x)在R上递增.原不等式等价为F(lnx)<F(),运用单调性,可得lnx<,运用对数不等式的解法,即可得到所求解集.【详解】可构造函数F(x)=,F′(x)==,由f′(x)>2f(x),可得F′(x)>0,即有F(x)在R上递增.不等式f(lnx)<x2即为<1,(x>0),即<1,x>0.即有F()==1,即为F(lnx)<F(),由F(x)在R上递增,可得lnx<,解得0<x<.故不等式的解集为(0,),故选:B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造,构造,构造等二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上)13. 函数的单调递增区间是__________.【答案】【解析】化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin(x+),由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z,当k=0时,可得函数的一个单调递增区间为[﹣,],又由x∈[0,]可取交集得x∈[0,],故答案为:[0,].14. 展开式中的常数项是,则__________.【答案】4【解析】试题分析:由题意得,,所以展开式的常数项为,令,解得.考点:二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中涉及到多项式的化简与二项式定理的通项等知识,解答中把化为是解答问题的关键,再根据二项展开式,得到展开式的常数项,即可求解的值,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题.15. 在一幢高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为,塔基的俯角为,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为__________.【答案】40【解析】【分析】作出图示,利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC,CE,AC,AE,则AB=AE+BE.【详解】如图所示,过房屋顶C作塔AB的垂线CE,垂足为E,则CD=10,∠ACE=60°,∠BCE=30°,∴BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD=.∵∠ACE=60°,∠AEC=90°,∴AC=2CE=20,∴AE==30.∴AB=AE+BE=30+10=40.故答案为:40.【点睛】解决测量角度问题的注意事项(1)明确仰角、俯角的含义;(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步;(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.16. 设函数在上为增函数,,且为偶函数,则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的平移关系得到函数g(x)的单调递增区间,根据函数的单调性解不等式即可得到结论.【详解】∵f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴f(x)向左平移1个单位得到f(x+1),则f(x+1)在[0,+∞)上为增函数,即g(x)在[0,+∞)上为增函数,且g(2)=f(2+1)=0,∵g(x)=f(x+1)为偶函数∴不等式g(2﹣2x)<0等价为g(2﹣2x)<g(2),即g(|2﹣2x|)<g(2),则|2﹣2x|<2,则﹣2<2x﹣2<2,即0<2x<4,则0<x<2,即不等式的解集为(0,2),故答案为:(0,2).【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题,若为偶函数,则,若函数是奇函数,则.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知数列满足,.(1)求证:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由知:,利用等比数列的通项公式即可得出;(2)b n=|11﹣2n|,设数列{11﹣2n}的前n项和为T n,则.当n≤5时,S n=T n;当n≥6时,S n=2S5﹣Tn.【详解】(1)证明:由知,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则,.(2),设数列前项和为,则,当时,;当时,;所以.【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18. 如图,在四棱柱中,,,,,,,侧棱底面,是的中点.(1)求证:平面;(2)设点在线段上,且,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明BD⊥平面A1ACC1.(2)设Q(x,y,z),直线QC与平面A1ACC1所成角为θ,求出平面A1ACC1的一个法向量,利用向量法能求出直线CQ与平面A1ACC1所成角的正弦值.【详解】(1)证明:∵平面,,∴以为坐标原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,所以,.所以,,因为,平面,平面,所以平面.(2)设,直线与平面所成角为,由(1)知平面的一个法向量为. ∵,∴,,平面法向量,.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.19. 为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为分)进行统计,制成如下频率分布表.(1)求表中,,,,的值;(2)按规定,预赛成绩不低于分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为,求的分布列和数学期望.【答案】(1)见解析;(2)1【解析】【分析】(1)由题意知,参赛选手共有50人,由此能求出表中的x,y,x,s,p的值.(2)由题意随机变量X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望.【详解】(1)由题意知,参赛选手共有(人),所以,,,.(2)由(1)知,参加决赛的选手共人,随机变量的可能取值为,,,,,,随机变量的分布列为:因为,所以随机变量的数学期望为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题. 求解该类问题,首先要正确理解题意,其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要过三关:(1)阅读理解关;(2)概率计算关;(3)公式应用关.20. 已知动圆经过定点,且与直线相切,设动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)设过点的直线,分别与曲线交于,两点,直线,的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线的斜率为定值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点,以x=﹣1为准线的抛物线,(2)设l1,l2的方程,联立方程组消元解出A,B的坐标,代入斜率公式计算k AB.【详解】(1)由已知,动点到定点的距离等于到直线的距离,由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线,故曲线的方程为.(2)由题意可知直线,的斜率存在,倾斜角互补,则斜率互为相反数,且不等于零.设,,直线的方程为,.直线的方程为,由得,已知此方程一个根为,∴,即,同理,∴,,∴,∴,所以,直线的斜率为定值.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.21. 设,函数,函数.(1)当时,求函数的零点个数;(2)若函数与函数的图象分别位于直线的两侧,求的取值集合;(3)对于,,求的最小值.【答案】(1)见解析;(2);(3)【解析】【分析】(1)当n=1时,f(x)=,f′(x)=(x>0),确定函数的单调性,即可求函数y=f(x)的零点个数;(2)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象分别位于直线y=1的两侧,∀n∈N*,函数f(x)有最大值f()=<1,即f(x)在直线l:y=1的上方,可得g(n)=>1求n的取值集合A;(3)∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣g(x2)|的最小值等价于,发布网球场相应的函数值,比较大小,即可求|f(x1)﹣g(x2)|的最小值.【详解】(1)当时,,. 由得;由得.所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以函数在上存在一个零点;当时,恒成立,所以函数在上不存在零点.综上得函数在上存在唯一一个零点.(2)由函数求导,得,由,得;由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,则当时,函数有最大值;由函数求导,得,由得;由得.所以函数在上单调递减,在上单调递增,则当时,函数有最小值;因为,函数的最大值,即函数在直线的下方,故函数在直线:的上方,所以,解得.所以的取值集合为.(3)对,的最小值等价于,当时,;当时,;因为,所以的最小值为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.22. 已知直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.(1)若直线的斜率为,判断直线与曲线的位置关系;(2)求与交点的极坐标(,).【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)利用加减消元法和平方消元法消去参数t,可把直线l与曲线C1的参数方程化为普通方程,结合直线与圆的位置关系,可得结论;(2)将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的坐标,进而可化为极坐标.【详解】(1)斜率为时,直线的普通方程为,即.①将消去参数,化为普通方程得,②则曲线是以为圆心,为半径的圆,圆心到直线的距离,故直线与曲线(圆)相交.(2)的直角坐标方程为,由,解得,所以与的交点的极坐标为.【点睛】本题考查的知识点是参数方程与极坐标,直线与圆的位置关系,圆的交点,难度中档.23. 已知函数在上的最小值为,函数.(1)求实数的值;(2)求函数的最小值.【答案】(1)5;(2)4【解析】【分析】(1)由f(x)=+ax=a[(x﹣1)++1],运用基本不等式可得最小值,解方程可得a的值;(2)运用|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4,即可得到所求的最小值.【详解】(1)∵,,,∴,即有,解得.(2)由于,当且仅当时等号成立,∴的最小值为.【点睛】本题考查函数的最值的求法,注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质,考查运算能力,属于中档题.。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(四)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|}M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则3122f f ⎛⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭( ) A .52 B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( )班级 姓名 准考证号 考场号 座位号AB. C.D.5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A .5B .6C .7D .86.已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为( ) A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;n n -B .21;1n n -+C .121;n n +-D .121;1n n +-+8.已知点P 在圆C :224240x y x y +--+=上运动,则点P 到直线:250x y --=的距离的最小值是( ) A .B .C 1D 19.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( )A .()(),10,3-∞-B .()()1,03,-+∞C .()(),11,3-∞-D .()()1,01,3-10.已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P x y 的坐标,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则AP BP ⋅的最小值为( ) A .254B .0C .19625-D .-811.某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ 的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A. B.C. D .12.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( ) AB.2+C .2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)(含答案)

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)(含答案)

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)本试卷分必考和选考两部分.必考部分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. 1.已知全集U =R ,集合22{|2}xxA y y -+==,1{|lg}1x B x y x +==-,则图中阴影部分所表示的集合是A .{x |0<x <1}B .{x |1x <2}C .{x |0<x 1}D .{x |1<x <2}2.如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA ,OB ,若21zz z =,则z 的共轭复数z=A .13i 22+ B .13i 22- C .13i 22-+ D .13i 22-- 3.已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角是3π,则该双曲线的离心率为AB .2C 5D .34.2016年巴西里约热内卢奥运会射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是45,连续两次均击中10环的概率是12,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是 A .25 B .58 C .34 D .455.已知正项数列{n a }满足22112n n n n a a a a ++--=0,{n a }的前n 项和为n S ,则53S a = A .314 B .312 C .154 D .1526.函数()f x =2ln 1||x x 的图象大致是 A . B .C .D .7.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为A .3B .2C .4D .58.如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图,M ,N ,P ,Q 分别是边BF ,AB ,CD ,DH 的中点,则在这个正四棱锥中,下列四个结论正确的个数有(1)MN 和CD 平行 (2)CE 和PQ 平行(3)MN 和PE 所成的角为60° (4)EP 和AB 垂直A .1B .2C .3D .49.若x ,y 满足不等式组30600x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z =y −3|x |的最大值为A .3B .2C .1D .−1 10.将函数()f x =2sin2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22x −1)sin ϕ (|ϕ|<2π)的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象,且函数()g x 的图象关于y 轴对称,则g (6π)=AB .12C .3D .12- 11.已知圆224210x y x y ++++=的圆心M 与抛物线C :22y px =的焦点F 恰好关于直线3x +y +2=0对称,O 为坐标原点,直线l 过点P (2,0)且与抛物线C 交于A ,B 两点,若|BF |=32,|AP |=t |BP |,则t = A .1 B .2 C .4 D .812.已知函数()f x =2x −2x −1,若函数()g x =(|1|)|1|4xxf a k a k -+-+ (其中a >1)有三个不同的零点,则实数k的取值范围为 A .(15,25] B .(15,25) C .(14,25] D .(14,25) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b 满足|a,|b |=1,且(a +2b )·(a −3b )=4,则向量a ,b 的夹角为 .14.若(ax −1)(1x+x )6的展开式中含x 3的系数为30,则a 的值为 . 15.如图,网格纸的各小格都是边长为1的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 .16.若等差数列{n a }的前n 项和为n S ,已知1a =9,2a 为整数,且n S ≤5S ,则|1a |+|2a |+…+|n a |= . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知在∆ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos cos 23sin B C Ab c += (1)求b 的值;(2)若cos B 3B =2,求a +c 的取值范围. 18.(本小题满分12分)随着人民生活水平的提高,越来越多的人重视自身健康,除了加强身体锻炼,也会购买保健品服用,从而提高身体健康水平.某调查机构现对某市年龄在30至50岁的人进行了统计,得到2017年购买保健品的开支(单位:百元)与年龄的折线图如图所示.该市为减轻市民的开支,对18周岁及其以上的人给予适当的生活医疗补贴,生活医疗补贴可以抵消购买保健品的开支,具体规定是:18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴,年龄每增加一岁,则生活医疗补贴相应增加20元.(1)根据折线图可以判断,可用线性回归模型拟合购买保健品开支y 与年龄x 的关系,请用相关系数加以说明; (2)求y 关于x 的回归方程;(3)估计2017年该市70岁的人购买保健品的开支,并求在适当的生活医疗补贴下个人的付款额. 附注:参考数据:51i ii x y =∑=2 360,521ii x=∑=8 250552211()()iii i x x y y ==--∑∑.参考公式:相关系数r 12211()()()()niii n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑,回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-. 19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P −ABC 中,AC 3,AB =2BC ,D 为线段AB 上一点,且AD =3DB , PD ⊥平面ABC ,P A 与平面ABC 所成的角为45°.(1)求证:平面P AB ⊥平面PCD ;(2)求二面角P −AC −D 的平面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,焦距为2,左焦点到右顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线y kx m =+(k ≠0),使得以AB 为直径的圆过原点且该圆的面积最大?若存在,求出面积最大的圆的面积;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数()f x =5+ln x −1kxx +(k ∈R ). (1)若曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直,求k 的值与曲线在点(1,(1)f )处的切线方程; (2)若k ∈N *,且当x ∈(1,+∞)时,()f x >0恒成立,求k 的最大值.2)≈1.76)选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4─4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为122x t y t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数).以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos(θ+4π),若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点. (1)若P (0,−1),求|P A |+|PB |;(2)若点M 是曲线C 上不同于A ,B 的动点,求∆MAB 面积的最大值. 23.(本小题满分10分)选修4─5:不等式选讲已知函数()f x =|x −m |+|x −1|. (1)若m =−1,解不等式()f x ≥4;(2)如果对任意的x ∈R ,()f x ≥3恒成立,求实数m 的取值范围.2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)答案1.C 【解析】∵集合22{|2}xxA y y -+==={y |0<y 2},1{|lg}1x B x y x +==-={x |11x x +->0} ={x |x >1或x <−1},∴U B ð={x |−1x 1},又阴影部分表示的集合是()U AB ð,∴()U AB ð={x |0<x1},故选C . 2.A 【解析】由题意知1z =1+2i ,2z =−1+i ,故z (−1+i)=1+2i ,即z =12i (12i)(1+i)13i 1i (1i)(1+i)2++-==-+-+=13i 22-,13i 22z =+,故选A . 3.B 【解析】由题意知b a =tan 3π3,则该双曲线的离心率 22222113c a b b e a a a+===+=+=2. 4.B 【解析】根据条件概率的计算公式P (B |A )=()()P AB P A ,得所求概率为152485=.5.A 【解析】由22112n n n n a a a a ++--=0得(1n a ++n a )(1n a +−2n a )=0,又{n a }为正项数列,所以1n a +=2n a ,所以数列{n a }是等比数列,且公比q =2,设首项为1a ,则515(12)12a S -=-=311a ,3a =221a =41a ,则53S a =314.6.C 【解析】因为()f x -=2ln()||x x --+1=2ln ||x x +1=()f x ,所以()f x 是偶函数.当x >0时,()f x =2ln ||x x +1,则()f x '=222222212ln 2ln 2(1ln )x x x x x x x x⨯---==. 当0<x <e 时,()f x '>0,所以()f x =2ln x x+1在区间(0,e )上单调递增,当x >e 时,()f x '<0,所以()f x =2ln x x +1在区间(e ,+∞)上单调递减,排除A ,B .又()f e =2ln ||e e +1=2e+1>0,排除D ,故选C .7.A 【解析】第一次循环:m =11b -,k =2;第二次循环:m =1b b-,k =3;第三次循环:m =b ,所以满足题意.故输出的k 的值为3,选A .8.B 【解析】把平面展开图还原成正四棱锥如图所示,可知MN 和CD 是异面直线,故(1)不正确;因为P ,Q 分别是CD ,DH 的中点,所以CE 和PQ 平行,故(2)正确;设正四棱锥的棱长为a ,因为MN ∥AE ,则∠AEP 为MN 和PE 所成的角,在Rt ∆ADP 中,AP 22154a a +=, 在Rt ∆EPD 中,EP 22134a a -=,故cos ∠AEP 22235()()322632a a a+-=⨯⨯,故(3)不正确; 因为EP ⊥CD ,AB ∥CD ,所以EP 和AB 垂直,故(4)正确. 故正确的有2个,选B .9.A 【解析】作出30600x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所对应的可行域如图中阴影部分所示,当x ≥0时,可行域为四边形ABOC ,目标函数可化为z =y −3x ,即y =3x +z ,平移直线y =3x 可知当直线经过点B (0,3)时,z 取得最大值3;当x <0时,可行域为∆BOD ,目标函数可化为z =y +3x ,即y =−3x +z ,平移直线y =−3x 可知当直线经过点B(0,3)时,z 取得最大值3.综上可得z =y −3|x |的最大值为3,故选A . 10.A 【解析】函数()f x =2sin2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22x −1)sin ϕ=sin x cos ϕ+cos x sin ϕ=sin(x +ϕ)的图象向左平移3π个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为()g x =sin(x +3π+ϕ).由()g x =sin(x +3π+ϕ)的图象关于y 轴对称,可得()g x 为偶函数,故ϕ+3π=kπ+2π,k ∈Z ,即ϕ=kπ+6π,k ∈Z .又|ϕ|<2π,故ϕ=6π,可得函数()g x =sin(x +2π)=cos x ,则g(6π3A .11.C 【解析】将224210x y x y ++++=化为圆的标准方程为(x +2)2+(y +1)2=4,故圆心为M (−2,−1),抛物线22y px =的焦点为F (2p,0), 依题意可得13(1)20420(1)13(2)2p p ⎧⨯--+=⎪⎪--⎨=⎪--⎪⎩,解得p =2,故抛物线的方程为2y =4x ,焦点为F (1,0),准线为x =−1,由|BF |=32及抛物线的定义知点B 的横坐标为12,代入抛物线方程得B (12,±2),不妨取B (12,2),又直线l 过点P (2,0),解得l 的方程为y=223(x −2),联立得2422(2)2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ,得22x −17x +8=0,解得1x =8,2x =12, 所以11842x y =⎧⎪⎨=⎪⎩22122x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,得A (8,2, 于是22226(42)||2171||317()(2)22AP t BP +===+=4,故选C .12.C 【解析】设|1|xt a =-,t ≥0,则函数()g x =(|1|)|1|4xxf a k a k -+-+可换元为()h t =2t +(k −2)t +4k −1.若函数()g x 有三个不同的零点,则方程()0h t =有两个不相等的实数解1t ,2t ,且解的情况有如下三种:①1t ∈(1,+∞),2t ∈(0,1),此时h (0)>0,且h (1)<0,解得14<k <25; ②1t =0,2t ∈(0,1),此时由h (0)=0,得k =14,所以()h t = 2t −74t ,即2t =74,不符合题意; ③1t =1,2t ∈(0,1),此时h (1)=0,得k =25,所以()h t =2t −85t +35,即2t =35,符合题意.综上,14<k ≤25,即实数k 的取值范围是(14,25].13.34π【解析】(a +2b )·(a −3b )=a 2−6b 2−a ·b 2)2−6×12−a ·b =4,解得a·b =−2.所以cos<a ,b >||||221⋅=⨯a b a b 2所以向量a ,b 的夹角为34π. 14.2【解析】因为(1x +x )6的展开式的通项1r T +=6C rx −6+2r ,所以(ax −1)(1x+x )6的展开式中含x 的奇数次方的通项为a 6C rx −5+2r ,令−5+2r =3,解得r =4.所以含x 3的系数为a ×46C =30,解得a =2.15.25π【解析】由三视图可得,该几何体的外接球与以俯视图为底面,以3为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示,易知底面是底边长为4,高为2的等腰直角三角形,故底面外接圆的半径r =2,又棱柱的高为3,故四棱锥的外接球半径R 22352()22+=,所以外接球的表面积S =4πR 2=25π.16.2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】因为1a =9,2a 为整数,所以等差数列{n a }的公差d 为整数.又n S ≤5S ,故5a ≥0,6a ≤0,即9+4d ≥0,9+5d ≤0,解得−94≤d ≤−95,故d =−2,所以n a =11−2n , 当n ≤5时,|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +…+n a =(9112)2n n+-⨯=10n −n 2.当n >5时,|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +3a +4a +5a −(6a +7a +…+n a )=2(1a +2a +3a +4a +5a )−( 1a +2a +3a +4a +5a +…+n a ) =25S −n S =50−(10n −n 2)=n 2−10n +50,综上可得,|1a |+|2a |+…+|n a |=2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩.17.【解析】(1)通解 由cos cos 23sin B C A b c +=cos cos 23sin c B b C Abc +=, 由正弦定理得,sin cos sin cos 23sin sin C B B C Ab C +=(2分)又sin A =sin[π−(B +C )]=sin C cos B +sin B cos C , 故sin 23sin 3sin A A b C C =,解得b =32.(5分)优解 由正弦定理得cos cos 233B C ab c c+=, 由余弦定理得2222222322a c b a b c aabc abc +-+-+=化简得2b 3b 3. (2)解法一 由cos B 3B =2可得12cos B +32sin B =1,即sin(6π+B )=1,又B ∈(0,π),解得B =3π. 由正弦定理得32sin sin sin 32a b cA B C ====1, 故a =sin A ,c =sin C .(8分)所以a +c =sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +sin A cos B +cos A sin B=32sin A +32cos A 3A +6π).又A ∈(0,23π),所以A +6π∈(6π,56π),sin(A +6π)∈(12,1], 所以a +c ∈3].(12分) 解法二 由cos B 3B =2可得12cos B +32sin B =1,即sin(6π+B )=1,又B ∈(0,π),解得B =3π. 因为b =32,由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B , 得34=2a +2c −ac =2()a c +−3ac . 又ac ≤2()2a c +,所以34=2()a c +−3ac ≥2()a c +−32()2a c +,解得2()a c +≤3,即a +c 3a =c 3又a +c >b =32,所以a +c ∈(323]. 【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角及一边,首先根据三角形内角和求出第三角,再利用正、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边及夹角,先用余弦定理求出第三边,再利用正弦定理求另外两边;(3)已知三边,可先用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题. 18.【解析】(1)由折线图中数据及附注中数据可得,30354045505x ++++==40,581014185y ++++==11,51()()iii x x y y =--∑=(30−40)×(5−11)+(35−40)×(8−11)+ (40− 40)×(10−11)+(45−40)×(14−11)+(50−40)×(18−11)=60+15+15+70=160,(3分),故r5()()iix x y y --∑≈160161≈0.99.(5分) 因为y 与x 的相关系数近似为0.99,说明y 与x 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(6分) (2)因为521()ii x x =-∑=(30−40)2+ (35−40)2+(40−40)2+(45−40)2+(50−40)2=250,所以51521()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑=160250=0.64, ˆˆa y bx =- =11−0.64×40=−14.6,所以y 关于x 的回归方程为ˆy =0.64x −14.6.(8分)(3)由ˆy=0.64x −14.6,当x =70时,ˆy =0.64×70−14.6=30.2, 故2017年该市70岁的人购买保健品的开支大约为3 020元.18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴,年龄每增加一岁,则生活医疗补贴相应增加20元.由于70−18=52,故该市70岁的人生活医疗补贴为120+20×52=1 160元,个人需付款3 020−1 160=1 860元.(12分)19.【解析】(1)因为AC 3,AB =2BC ,所以2AB =2(3)BC +2BC =42BC ,所以∆ABC 是直角三角形,AC ⊥BC .(1分)在Rt ∆ABC 中,由AC 3得,∠CAB =30°,不妨设BD =1,由AD =3BD 得,AD =3,BC =2, AC 3(2分) 在∆ACD 中,由余弦定理得2CD =2AD +2AC −2AD×AC×cos 30°=32+2−2×3×3,故3所以2CD +2AD =2AC ,(3分)所以CD ⊥AD .因为PD ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,所以PD ⊥CD .又PD ∩AD =D ,所以CD ⊥平面P AB ,又CD ⊂平面PCD , 所以平面P AB ⊥平面PCD .(5分)(2)解法一 因为PD ⊥平面ABC ,所以P A 与平面ABC 所成的角为∠P AD , 即∠P AD =45°,可得∆P AD 为等腰直角三角形,PD =AD ,(6分)由(1)得PD =AD =3,如图,过D 作DE ⊥AC ,垂足为E ,连接PE , 因为PD ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,故PD ⊥AC .又DE ∩PD =D , 所以AC ⊥平面PDE ,∠PED 为二面角P −AC −D 的平面角.(8分) 在Rt ∆ACD 中,AC ·DE =AD ·CD ,即3×DE =3×3DE =32, 在Rt ∆PDE 中,PE 223353()2+=, 所以cos ∠PED =352535DE PE ==. 故二面角P −AC −D 的平面角的余弦值为55(12分) 解法二 因为PD ⊥平面ABC ,所以P A 与平面ABC 所成的角为∠P AD ,即∠P AD =45°,可得∆P AD 为等腰直角三角形,PD =AD ,(6分)由(1)得PD =AD =3,以D 为坐标原点,分别以DC ,DB ,DP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),C 3,0,0),A (0,−3,0),P (0,0,3),则DP =(0,0,3)为平面ACD 的一个法向量.(7分)设n =(x ,y ,z )为平面P AC 的法向量,因为PA =(0,−3,−3),PC0,−3),则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得30330z y z -=--=⎪⎩令z=1,则x 3,y =−1,故n 3−1,1)为平面P AC 的一个法向量,(10分) 故cos<n ,DP 5553=⨯. 故二面角P −AC −D 的平面角的余弦值为55(12分) 【备注】(1)在判定线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从线线平行到线面平行,再到面面平行;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但转化的方向根据题目的具体条件而定,决不可过于模式化.(2)用向量法求解空间角的关键是合理建系,在利用向量法求二面角的平面角时,应注意角的大小及相互关系,法向量的夹角与二面角可能相等,也可能互补.(3)解题时注意符号语言的规范应用.20.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=(a >b >0),半焦距为c .依题意2c =2,故c =1,又a +c =3,所以a =2. (2分) 所以b 223a c -,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(4分) (2)假设存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线y kx m =+,使得以AB 为直径的圆过原点,则0OA OB ⋅=.由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得222(34)84120k x kmx m +++-=,(6分) Δ=222(8)4(34)(412)km k m -+->0,化简得2234k m +>.设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),则1x +2x =2834kmk -+,1x 2x =2241234m k -+.因为0OA OB ⋅=,所以1x 2x +1y 2y =0,1x 2x +(k 1x +m )(k 2x +m )=0,(1+2k )·2241234m k -+−km ·2834km k++2m =0, 化简得,72m =12+122k ,(8分)将2m =212127k +代入3+42k >2m 得,3+42k >212127k +,此不等式恒成立.(9分)因为|AB 221212(1)[()4]k x x x x ++-, (11分) 当且仅当2k =34时等号成立,所以|AB |max 7. 故以AB 为直径的圆的面积的最大值为π×27=74π.(12分)21.【解析】(1)因为()f x ' =1x −2(1)k x + ,所以(1)f =5−2k ,(1)f '=1−4k, 又曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直, 故1−4k=2,解得k =−4,所以(1)f =7,(1)f '=2. 所以曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y −7=2(x −1),即2x −y +5=0.(5分) (2)当x ∈(1,+∞)时,()f x >0恒成立等价于5+ln x >1kxx +恒成立, 等价于当x ∈(1,+∞)时,k <(1)(5ln )x x x++恒成立.(6分)设()h x =(1)(5ln )x x x ++(x >1),则()h x '=24ln x xx -- (x >1),记()p x =x −4−ln x (x >1),则p '(x )=1−1x=1x x ->0,所以()p x 在x ∈(1,+∞)上单调递增.又(5)p =1−ln 5<0,(6)p =2−ln 6>0,所以()p x 在x ∈(1,+∞)上存在唯一的实数根m ∈(5,6),(9分) 使得()p m =m −4−ln m =0,①因此当x ∈(1,m )时,()p x <0,即()h x '<0,则()h x 在x ∈(1,m )上单调递减; 当x ∈(m ,+∞)时,()p x >0,即()h x '>0,则()h x 在x ∈(m ,+∞)上单调递增.所以当x ∈(1,+∞)时,()h x min =()h m =(1)(5ln )m m m++,(10分)由①可得ln m =m −4,所以()h m =(1)(1)m m m ++=m +1m+2.因为m ∈(5,6),m +1m+2∈(365,496),又h 2,p 22)>0,所以m ∈(5,2), 因此()h m ∈(365,8),又k ∈N*,所以k max =7.(12分) 【备注】函数的单调性与极值、最值的应用是高考命题的重点与热点,预测2017年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的变化,在不增加考生理解题意难度的基础上,力争更多地考查知识与能力.22.【解析】(1)ρθ+4π)可化为ρ=2cos θ−2sin θ,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,代入,得曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+(y +1)2=2.将直线l 的参数方程化为132213x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),代入(x −1)2+(y +1)2=2,得2t −23t −1=0,设方程的解为1t ,2t ,则1t +2t =23,1t 2t =−1, 因而|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=2121222210()22||3t t t t t t +-+.(5分) (2)将直线l 的参数方程化为普通方程得2x −y −1=0, 设M 2cos θ,−2sin θ),由点到直线的距离公式, 得M 到直线AB 的距离为 d|224cos 2sin |θθ+-=,最大值为23,由(1)知 |AB |=|P A |+|PB |=2103, 因而∆MAB 面积的最大值为1522101052339⨯=.(10分) 23.【解析】(1)当m =−1时,()f x =|x +1|+|x −1|.由()f x ≥4得|x +1|+|x −1|≥4.解法一 当x ≤−1时,不等式化为−x −1−x +1≥4, 即−2x ≥4,解集为(−∞,−2].当−1<x <1时,不等式化为1+x +1−x >4,不成立, 当x ≥1时,不等式化为x +1+x −1≥4, 即2x ≥4,解集为[2,+∞).综上,()f x ≥4的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞).(5分)解法二 因为|x −1|+|x +1|表示数轴上的动点x 到两个定点−1,1的距离之和, 数形结合可知当x ≤−2或x ≥2时,()f x ≥4. 故()f x ≥4的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞).(5分)(2)当m =1时,()f x =2|x −1|不满足题意.当m <1时,()f x =21,1,12(1),1x m x m m m x x m x -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩此时()f x 的最小值为1−m , 依题意得1−m ≥3,即m ≤−2.当m >1时,()f x =21,11,12(1),x m x m x m x m x m -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩此时()f x 的最小值为m −1. 依题意得m −1≥3,即m ≥4.综上,实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪[4,+∞).(10分)。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)(含答案)

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)(含答案)

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(四)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|}M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则312f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .52 B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( )班级 姓名 准考证号 考场号 座位号ABC.D.5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A .5B .6C .7D .86.已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为( ) A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;n n -B .21;1n n -+C .121;n n +-D .121;1n n +-+8.已知点P 在圆C :224240x y x y +--+=上运动,则点P 到直线:250x y --=的距离的最小值是( ) A .B C 1D 19.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( )A .()(),10,3-∞-B .()()1,03,-+∞C .()(),11,3-∞-D .()()1,01,3-10.已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P x y 的坐标,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则AP BP ⋅的最小值为( ) A .254B .0C .19625-D .-811.某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ 的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A. B.C. D .12.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( ) AB.2+C .2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)答案

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)答案

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(四)答案1.C 【解析】∵集合22{|2}xxA y y -+==={y |0<y 2},1{|lg}1x B x y x +==-={x |11x x +->0} ={x |x >1或x <−1},∴U B ð={x |−1 x 1},又阴影部分表示的集合是()U A B ð, ∴()U A B ð={x |0<x 1},故选C .2.A 【解析】由题意知1z =1+2i ,2z =−1+i ,故z (−1+i)=1+2i ,即z =12i (12i)(1+i)13i 1i (1i)(1+i)2++-==-+-+=13i 22-,13i 22z =+,故选A .3.B 【解析】由题意知b a =tan 3πc e a ==== =2.4.B 【解析】根据条件概率的计算公式P (B |A )=()()P AB P A ,得所求概率为152485=.5.A 【解析】由22112n n n n a a a a ++--=0得(1n a ++n a )(1n a +−2n a )=0,又{n a }为正项数列,所以1n a +=2n a ,所以数列{n a }是等比数列,且公比q =2,设首项为1a ,则515(12)12a S -=-=311a ,3a =221a =41a ,则53S a =314.6.C 【解析】因为()f x -=2ln()||x x --+1=2ln ||x x +1=()f x ,所以()f x 是偶函数.当x >0时,()f x =2ln ||x x +1,则()f x '=222222212ln 2ln 2(1ln )x x x x x x x x ⨯---==. 当0<x <e 时,()f x '>0,所以()f x =2ln x x+1在区间(0,e )上单调递增,当x >e 时,()f x '<0,所以()f x =2ln x x+1在区间(e ,+∞)上单调递减,排除A ,B .又()f e =2ln ||e e +1=2e +1>0,排除D ,故选C .7.A 【解析】第一次循环:m =11b -,k =2;第二次循环:m =1b b-,k =3;第三次循环:m =b ,所以满足题意.故输出的k 的值为3,选A .8.B 【解析】把平面展开图还原成正四棱锥如图所示,可知MN 和CD 是异面直线,故(1)不正确;因为P ,Q 分别是CD ,DH 的中点,所以CE 和PQ 平行,故(2)正确;设正四棱锥的棱长为a ,因为MN ∥AE ,则∠AEP 为MN 和PE 所成的角, 在Rt ∆ADP 中,AP=, 在Rt ∆EPD 中,EP2=,故cos ∠AEP222))a +-=,故(3)不正确; 因为EP ⊥CD ,AB ∥CD ,所以EP 和AB 垂直,故(4)正确. 故正确的有2个,选B .9.A 【解析】作出30600x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所对应的可行域如图中阴影部分所示,当x ≥0时,可行域为四边形ABOC ,目标函数可化为z =y −3x ,即y =3x +z ,平移直线y =3x 可知当直线经过点B (0,3)时,z 取得最大值3;当x <0时,可行域为∆BOD ,目标函数可化为z =y +3x ,即y =−3x +z ,平移直线y =−3x 可知当直线经过点B(0,3)时,z 取得最大值3. 综上可得z =y −3|x |的最大值为3,故选A . 10.A 【解析】函数()f x =2sin2x cos 2x cos ϕ+(2cos 22x−1)sin ϕ=sin x cos ϕ+cos x sin ϕ=sin(x +ϕ)的图象向左平移3π个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为()g x =sin(x +3π+ϕ). 由()g x =sin(x +3π+ϕ)的图象关于y 轴对称,可得()g x 为偶函数,故ϕ+3π=kπ+2π,k ∈Z ,即ϕ=kπ+6π,k ∈Z .又|ϕ|<2π,故ϕ=6π,可得函数()g x =sin(x +2π)=cos x ,则g(6πA . 11.C 【解析】将224210x y x y ++++=化为圆的标准方程为(x +2)2+(y +1)2=4,故圆心为M (−2,−1),抛物线22y px =的焦点为F (2p,0), 依题意可得13(1)20420(1)13(2)2p ⎧⨯--+=⎪⎪--⎨=⎪--⎪⎩,解得p =2,故抛物线的方程为2y =4x ,焦点为F (1,0),准线为x =−1,由|BF |=32及抛物线的定义知点B 的横坐标为12,代入抛物线方程得B (12,,不妨取B (12,,又直线l 过点P (2,0),解得l 的方程为y=3(x −2),联立得242)2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ,得22x −17x +8=0,解得1x =8,2x =12,所以118x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得A (8,,于是||||AP t BP ====4,故选C . 12.C 【解析】设|1|x t a =-,t ≥0,则函数()g x =(|1|)|1|4x x f a k a k -+-+可换元为()h t =2t +(k −2)t +4k −1.若函数()g x 有三个不同的零点,则方程()0h t =有两个不相等的实数解1t ,2t ,且解的情况有如下三种:①1t ∈(1,+∞),2t ∈(0,1),此时h (0)>0,且h (1)<0,解得14<k <25; ②1t =0,2t ∈(0,1),此时由h (0)=0,得k =14,所以()h t = 2t −74t ,即2t =74,不符合题意;③1t =1,2t ∈(0,1),此时h (1)=0,得k =25,所以()h t =2t −85t +35,即2t =35,符合题意.综上,14<k ≤25,即实数k 的取值范围是(14,25].13.34π【解析】(a +2b )·(a −3b )=a 2−6b 2−a ·b2−6×12−a ·b =4,解得a·b =−2.所以cos<a ,b>||||⋅=a b a b =−2,所以向量a ,b 的夹角为34π. 14.2【解析】因为(1x +x )6的展开式的通项1r T +=6C r x −6+2r ,所以(ax −1)(1x+x )6的展开式中含x 的奇数次方的通项为a 6C r x −5+2r ,令−5+2r =3,解得r =4.所以含x 3的系数为a ×46C =30,解得a =2.15.25π【解析】由三视图可得,该几何体的外接球与以俯视图为底面,以3为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示,易知底面是底边长为4,高为2的等腰直角三角形,故底面外接圆的半径r =2,又棱柱的高为3,故四棱锥的外接球半径R 52=,所以外接球的表面积S =4πR 2=25π.16.2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】因为1a =9,2a 为整数,所以等差数列{n a }的公差d 为整数.又n S ≤5S ,故5a ≥0,6a ≤0,即9+4d ≥0,9+5d ≤0,解得−94≤d ≤−95,故d =−2, 所以n a =11−2n , 当n ≤5时,|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +…+n a =(9112)2n n+-⨯=10n −n 2.当n >5时,|1a |+|2a |+…+|n a |=1a +2a +3a +4a +5a −(6a +7a +…+n a )=2(1a +2a +3a +4a +5a )−( 1a +2a +3a +4a +5a +…+n a ) =25S −n S =50−(10n −n 2)=n 2−10n +50,综上可得,|1a |+|2a |+…+|n a |=2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩.17.【解析】(1)通解 由cos cos 3sin B C Ab c C+=可得cos cos 3sin c B b C A bc C +=,由正弦定理得,sin cos sin cos sin C B B C b C +=(2分)又sin A =sin[π−(B +C )]=sin C cos B +sin B cos C ,故sin sin 3sin A A b C C =,解得b=2.(5分) 优解由正弦定理得cos cos 3B C b c c+=,由余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=, 化简得2bb(2)解法一 由cos BB =2可得12cos BB =1, 即sin(6π+B )=1,又B ∈(0,π),解得B =3π.由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ===, 故a =sin A ,c =sin C .(8分)所以a +c =sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +sin A cos B +cos A sin B=32sin A+2cos AA +6π). 又A ∈(0,23π),所以A +6π∈(6π,56π),sin(A +6π)∈(12,1], 所以a +c ∈(2.(12分) 解法二 由cos BB =2可得12cos B+2sin B =1, 即sin(6π+B )=1,又B ∈(0,π),解得B =3π. 因为b=2,由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B , 得34=2a +2c −ac =2()a c +−3ac .又ac ≤2()2a c +,所以34=2()a c +−3ac ≥2()a c +−32()2a c +, 解得2()a c +≤3,即a +ca =c时,等号成立, 又a +c >b=2,所以a +c ∈(2. 【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角及一边,首先根据三角形内角和求出第三角,再利用正、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边及夹角,先用余弦定理求出第三边,再利用正弦定理求另外两边;(3)已知三边,可先用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.18.【解析】(1)由折线图中数据及附注中数据可得,30354045505x ++++==40,581014185y ++++==11,51()()iii x x y y =--∑=(30−40)×(5−11)+(35−40)×(8−11)+ (40− 40)×(10−11)+(45−40)×(14−11)+(50−40)×(18−11)=60+15+15+70=160,(3分),故r5()()iix x y y --∑≈160161≈0.99.(5分) 因为y 与x 的相关系数近似为0.99,说明y 与x 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(6分) (2)因为521()ii x x =-∑=(30−40)2+ (35−40)2+(40−40)2+(45−40)2+(50−40)2=250,所以51521()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑=160250=0.64, ˆˆay bx =- =11−0.64×40=−14.6,所以y 关于x 的回归方程为ˆy =0.64x −14.6.(8分) (3)由ˆy=0.64x −14.6,当x =70时,ˆy =0.64×70−14.6=30.2,故2017年该市70岁的人购买保健品的开支大约为3 020元.18周岁的人每年给予120元的生活医疗补贴,年龄每增加一岁,则生活医疗补贴相应增加20元.由于70−18=52,故该市70岁的人生活医疗补贴为120+20×52=1 160元,个人需付款3 020−1 160=1 860元.(12分)19.【解析】(1)因为AC ,AB =2BC ,所以2AB =2)+2BC =42BC ,所以∆ABC是直角三角形,AC ⊥BC .(1分)在Rt ∆ABC 中,由AC 得,∠CAB =30°,不妨设BD =1,由AD =3BD 得,AD =3,BC =2, AC (2分) 在∆ACD 中,由余弦定理得2CD =2AD +2AC −2AD×AC×cos 30°=32+2−2×3×cos 30°=9+12−18=3,故 所以2CD +2AD =2AC ,(3分)所以CD ⊥AD .因为PD ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,所以PD ⊥CD .又PD ∩AD =D ,所以CD ⊥平面P AB ,又CD ⊂平面PCD , 所以平面P AB ⊥平面PCD .(5分)(2)解法一 因为PD ⊥平面ABC ,所以P A 与平面ABC 所成的角为∠P AD , 即∠P AD =45°,可得∆P AD 为等腰直角三角形,PD =AD ,(6分)由(1)得PD =AD =3,如图,过D 作DE ⊥AC ,垂足为E ,连接PE , 因为PD ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,故PD ⊥AC .又DE ∩PD =D , 所以AC ⊥平面PDE ,∠PED 为二面角P −AC −D 的平面角.(8分)在Rt ∆ACD 中,AC ·DE =AD ·CD ,即DE DE =32,在Rt ∆PDE 中,PE=, 所以cos ∠PED=3DE PE ==故二面角P −AC −D(12分) 解法二 因为PD ⊥平面ABC ,所以P A 与平面ABC 所成的角为∠P AD ,即∠P AD =45°,可得∆P AD 为等腰直角三角形,PD =AD ,(6分)由(1)得PD =AD =3,以D 为坐标原点,分别以DC ,DB ,DP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),C0,0),A (0,−3,0),P (0,0,3),则DP=(0,0,3)为平面ACD 的一个法向量.(7分)设n =(x ,y ,z )为平面P AC 的法向量,因为PA =(0,−3,−3),PC0,−3),则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得30330z y z -=--=⎪⎩ 令z=1,则xy =−1,故n−1,1)为平面P AC 的一个法向量,(10分)故cos<n ,DP5=故二面角P −AC −D(12分) 【备注】(1)在判定线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从线线平行到线面平行,再到面面平行;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但转化的方向根据题目的具体条件而定,决不可过于模式化.(2)用向量法求解空间角的关键是合理建系,在利用向量法求二面角的平面角时,应注意角的大小及相互关系,法向量的夹角与二面角可能相等,也可能互补.(3)解题时注意符号语言的规范应用.20.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=(a >b >0),半焦距为c .依题意2c =2,故c =1,又a +c =3,所以a =2. (2分) 所以b所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(4分) (2)假设存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线y kx m =+,使得以AB 为直径的圆过原点,则0OA OB ⋅=.由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得222(34)84120k x kmx m +++-=,(6分) Δ=222(8)4(34)(412)km k m -+->0,化简得2234k m +>.设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),则1x +2x =2834km k -+,1x 2x =2241234m k-+.因为0OA OB ⋅=,所以1x 2x +1y 2y =0,1x 2x +(k 1x +m )(k 2x +m )=0,(1+2k )·2241234m k-+−km ·2834km k ++2m =0, 化简得,72m =12+122k ,(8分)将2m =212127k +代入3+42k >2m 得,3+42k >212127k +,此不等式恒成立.(9分)因为|AB(11分)当且仅当2k =34时等号成立,所以|AB |max故以AB 为直径的圆的面积的最大值为π×2()2=74π.(12分) 21.【解析】(1)因为()f x ' =1x −2(1)k x + ,所以(1)f =5−2k ,(1)f '=1−4k , 又曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线与直线x +2y −2=0垂直,故1−4k =2,解得k =−4,所以(1)f =7,(1)f '=2. 所以曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y −7=2(x −1),即2x −y +5=0.(5分)(2)当x ∈(1,+∞)时,()f x >0恒成立等价于5+ln x >1kx x +恒成立,等价于当x ∈(1,+∞)时,k <(1)(5ln )x x x ++恒成立.(6分) 设()h x =(1)(5ln )x x x++(x >1), 则()h x '=24ln x x x -- (x >1), 记()p x =x −4−ln x (x >1),则p '(x )=1−1x =1x x->0,所以()p x 在x ∈(1,+∞)上单调递增.又(5)p =1−ln 5<0,(6)p =2−ln 6>0,所以()p x 在x ∈(1,+∞)上存在唯一的实数根m ∈(5,6),(9分)使得()p m =m −4−ln m =0,①因此当x ∈(1,m )时,()p x <0,即()h x '<0,则()h x 在x ∈(1,m )上单调递减; 当x ∈(m ,+∞)时,()p x >0,即()h x '>0,则()h x 在x ∈(m ,+∞)上单调递增.所以当x ∈(1,+∞)时,()h x min =()h m =(1)(5ln )m m m++,(10分) 由①可得ln m =m −4,所以()h m =(1)(1)m m m ++=m +1m+2. 因为m ∈(5,6),m +1m +2∈(365,496),又h, p1−,所以m ∈(5,,因此()h m ∈(365,8),又k ∈N*,所以k max =7.(12分) 【备注】函数的单调性与极值、最值的应用是高考命题的重点与热点,预测2017年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的变化,在不增加考生理解题意难度的基础上,力争更多地考查知识与能力.22.【解析】(1) ρθ+4π)可化为ρ=2cos θ−2sin θ,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,代入,得曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+(y +1)2=2.将直线l的参数方程化为131x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),代入(x −1)2+(y +1)2=2,得2t −23t −1=0,设方程的解为1t ,2t ,则1t +2t =23,1t 2t =−1,因而|P A |+|PB |=|1t |+|2t=(5分)(2)将直线l 的参数方程化为普通方程得−y −1=0,设Mθ,−θ),由点到直线的距离公式,得M 到直线AB 的距离为d=,最大值为3,由(1)知 |AB |=|P A |+|PB|=3,因而∆MAB面积的最大值为12339⨯=.(10分)23.【解析】(1)当m =−1时,()f x =|x +1|+|x −1|.由()f x ≥4得|x +1|+|x −1|≥4.解法一 当x ≤−1时,不等式化为−x −1−x +1≥4,即−2x ≥4,解集为(−∞,−2].当−1<x <1时,不等式化为1+x +1−x >4,不成立,当x ≥1时,不等式化为x +1+x −1≥4,即2x ≥4,解集为[2,+∞).综上,()f x ≥4的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞).(5分)解法二 因为|x −1|+|x +1|表示数轴上的动点x 到两个定点−1,1的距离之和, 数形结合可知当x ≤−2或x ≥2时,()f x ≥4.故()f x ≥4的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞).(5分)(2)当m =1时,()f x =2|x −1|不满足题意.当m <1时,()f x =21,1,12(1),1x m x mm m x x m x -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩此时()f x 的最小值为1−m ,依题意得1−m ≥3,即m ≤−2.当m >1时,()f x =21,11,12(1),x m x m x m x m x m-++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩此时()f x 的最小值为m −1.依题意得m −1≥3,即m ≥4.综上,实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪[4,+∞).(10分)。

普通高校2018届高三全国统一考试仿真卷(四)数学(理)试卷(含答案)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(四)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}2|M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =I ( ) A .{}0 B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则31322f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .52 B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( ) A .3 B .3 C .3- D .3-5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )班级 姓名 准考证号 考场号 座位号开始输入t输出n结束k≤t否是0,2,0S a n===S S a=+31,1a a n n=-=+A.5 B.6 C.7 D.86.已知函数()()sinωϕ=+f x A x(0,0,)2ωϕπ>><A在一个周期内的图象如图所示,则4π⎛⎫=⎪⎝⎭f()A.22-B.22C.2D.2-7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为()A.21;n n-B.21;1n n-+C.121;n n+-D.121;1n n+-+8.若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点,则点P 到直线1y kx =-距离的最大值( ) A .4B .6C .32+1D.1+109.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( ) A .()(),10,3-∞-U B .()()1,03,-+∞U C .()(),11,3-∞-UD .()()1,01,3-U10.已知,x y ∈R ,在平面直角坐标系xOy 中,点,)x y (为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点,则坐标原点与点,)x y (连线倾斜角小于3π的概率为( )A .116B .3 C .33D .3311.某几何体的直观图如图所示,AB 是O e 的直径,BC 垂直O e 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O e 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ uuu r的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A .B .C .D .12.设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F,2F,122F F c=,过2F作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A,已知3,2aQ c⎛⎫⎪⎝⎭,22F Q F A>,点P是双曲线C右支上的动点,且11232+>PF PQ F F恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是()A.10,⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭B.71,6⎛⎫⎪⎝⎭C.710,6⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.101,⎛⎫⎪⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)及答案

全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)及答案

全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的•1. (5 分)已知集合A={x| - x2+4x> 0},片&|占<3玄丈歼} , C=(x|x=2n, n€81N},贝U(A U B)n C=()A. {2,4}B. {0,2}C. {0,2,4}D. {x|x=2n, n € N}2. (5分)设i是虚数单位,若-- ' ― ,x,y€ R,则复数x+yi的共轭复数2^1是()A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i3. (5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S h,且%+a5+a6+a z=18,贝U下列命题正确的是()A. a5是常数B. S5是常数C. a i0是常数D. Si o是常数4. (5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为东方魔板”它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,贝吐匕点取自黑色部分的概率是()BCD2 25. (5分)已知点F为双曲线C: = 一一(a>0,b>0)的右焦点,直线x=aa b与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,贝U双曲线的离心率为()A. "B. I ■:C. I」订D. - % -6. (5分)已知函数f&)二sinx, K E [-冗50]诋(0t i]A . 7 .nJTD.——-74 一(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()2+ n B. C.盒2*出£产〔筠棗)*>201A.二7B. 「」C.. - 厂D. +-8 (5分)已知函数f仗)二sin 3葢X^\/3C^OS23(3> 0) 的相邻两个零点差的绝对值为二,则函数f (x)的图象(4A . 可由函数(X)=cos4x的图象向左平移个单位而得B. 可由函数(X)=cos4x的图象向右平移C. 可由函数(X)=cos4x的图象向右平移D . 可由函数(X)=cos4x的图象向右平移丄个单位而得24丄个单位而得245兀个单位而得9. (5 分)(羽-3)(1的展开式中剔除常数项后的各项系数和为(A . —73 B.—61 C.—55 D.—6310. (5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是(nanA . 317£~6~B.31兀C.481K D丑価兀. ■:6411. (5分)已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线l i , I 2,直 线l i 与抛物线C 交于A 、B 两点,直线12与抛物线C 交于D 、E 两点,若l i 与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为( )A . 16 B. 20 C. 24 D . 3212. (5分)若函数y=f (x ), x € M ,对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af (x ) =f (x+T )恒成立,此时T 为f (x ) 的类周期,函数y=f (x )是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f (x )是定义在 区间[0 , + %)内的2级类周期函数,且T=2,当x € [0 , 2 )时,zg ■-2,,1 ©卄比)二戈函数.若? X 1€ [6, 8] , ?X 2€L<Y <2’二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13 . ( 5分)已知向量, ^占口),-1),且旦丄1,则1)-=为 ______ .15. (5分)在等比数列{a n }中,a 2?a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*,则数列{b n }的前2n 项和为 ______ .16.(5分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB 丄BC, AD // BC,一二亍「二,点14. ( 5分)已知x , y 满足约束条件(0, +x ),使g (X 2)- f (X 1)w 0成立,则实数m 的取值范围是( 的最小值E是线段CD上异于点C, D的动点,EF丄AD于点^将厶DEF沿EF折起到△ PEF 的位置,并使PF丄AF,则五棱锥P-ABCEF勺体积的取值范围为________ .三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12分)已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点D 满足■ /(1)求a及角A的大小;18. (12分)在四棱柱ABCD- A i B i C i D i中,底面ABCD是正方形,且匚-:-,/ A1AB=Z A1AD=6C°.(1)求证:BD丄CG;(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB所成角的正弦值为I .19. (12分)过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数「(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (卩,d2),利用该正态分布,求Z落在(14.55, 38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为^=V142. 75^11-95;②若〜N — b 2 ),贝U P (卩―crV Z< p+ o)=0.6826,P (卩―2 o< Z< (J+2 C)=0.9544.0e030 ・-0-025 ・*0.020 - 0.0150.01010 2030 4050各水饺质量指标丄一,且以两焦点为直20. (12分)已知椭圆C: 亏〔呂0)的离心率为径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线I: y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21. (12分)已知函数f (x) =e x- 2 (a- 1) x- b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f (x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围;(2)已知函数g (x) =e x-(a- 1) x2- bx- 1,且g (1) =0,若函数g (x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. (10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C i的参数方程为\ K-_Uacos® ( 0ty=-l+asin9为参数,a是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为p =2^2^05 ( .(1)求圆C i的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程;(2)分别记直线I: ^吕,P€ R与圆C i、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C i与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5:不等式选讲]23. 已知函数f (x) =|2x+1| .(1)求不等式f (x)< 10-| x-3|的解集;(2)若正数m,n 满足m+2n=mn,求证:f (m) +f (- 2n)》16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的•1. (5 分)已知集合A={x| - x2+4x> 0}, B二丘|丄<罗<27} , C={x|x=2n, n€31N},贝U(A U B)n C=()A. {2,4}B. {0,2}C. {0,2,4}D. {x|x=2n, n € N}【解答】解:A={x| - x2+4x> 0} ={x| 0< x< 4},駐〔兀I去V3y 27} ={x| 3-4v 3x v 33}={x| - 4<x< 3},oJL则A U B={x| - 4< x<4},C={x| x=2n, n € N},可得(A U B)n C={0, 2, 4},故选C.2. (5分)设i是虚数单位,若' ,x, y€ R,则复数x+yi的共轭复数2-1是()A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i【解答】解:由一「2-1得x+yi= — -i —-! ■=2+i得x+yi= =2+i,•••复数x+yi的共轭复数是2 -i.3(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S,且a4+a5+a e+a7=18,则下列命题正确的是()A. a5是常数B. S5是常数C. a10是常数D. Si0是常数故选:A.【解答】解:•••等差数列{a n }的前n 项和是S n ,且a 4+a 5+a 6+a 7=18, 二 a 4+a 5+a 6+a 7=2 (a i +a io ) =18, --a i +a io =9, …Sg 二乎(有十^10)=45- 故选:D .4. (5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为 东方魔板”它是由五块等腰 直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形) 、- 块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,贝吐匕点取自黑色部分的概率是()【解答】解:设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1V B —订,S 平行四边形EFG 阳2S BC =2 X — , •••所求的概率为口 +S 平行四边形EPGH g 正方形AB5 =2x7故选:A .2 25. (5分)已知点F 为双曲线C : 云丄尹1 (a >0, b >0)的右焦点,直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A ,若AF 的中点在双曲线上,贝U 双曲线 的离心率为()16BCDA. . 1B. I ■:C.「'.打D. I 口2 2【解答】解:设双曲线C:青冬二1的右焦点F (c, 双曲线的渐近线方程为y丄x,a由x=a代入渐近线方程可得y=b,则A(a,b),可得AF的中点为(誓,寺b),代入双曲线的方程可得卄J -丄=1,可得4a2- 2ac- c2=0,由e*,可得e2+2e- 4=0,a解得e= !.- 1 (- 1 —汀舍去),故选:D. 0),6. (5分)已知函数f&)二则.A. 2+ nB. JT T-2J Ql-/dK=/ cOSdt= J 1 址齐t芒1 2+',J 2开£(只),xE [-TT , 0]2,址© 1]^rcsinx *兀4+ (- COSX:=(2. 故选:D.7. (5分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值为()A ...工7B .C.. -厂 D . m【解答】解:第1次循环后,S=-,不满足退出循环的条件,k=2; 第2次循环后,S= -;,不满足退出循环的条件,k=3; 第3次循环后,S= =2,不满足退出循环的条件,k=4;第n 次循环后,S= ,不满足退出循环的条件,k=n+1 ; 第2018次循环后,S=,3.「儿 不满足退出循环的条件,k=2019第2019次循环后,S==2「|「,满足退出循环的条件, 故输出的S 值为2厂「, 故选:C& (5分)已知函数f (瓷)sin® xug®負7勺(3> 0)的相邻两个 零点差的绝对值为「则函数f (x )的图象()A. 可由函数g (x ) =cos4x 的图象向左平移卑匚个单位而得B. 可由函数g (x ) =cos4x 的图象向右平移2二个单位而得24C. 可由函数g (x ) =cos4x 的图象向右平移丄?个单位而得D. 可由函数g (x ) =cos4x 的图象向右平移一个单位而得O【解答】 解:函数 f (7) =sinseesxVsccs5 工=寺 sin7T=sin (2^)-—)(3>0)的相邻两个零点差的绝对值为才?爲=:,二①=2 f (x ) =sin (4x -中=cos[(2 3X )]=cos (4x普).故把函数g (x ) =cos4x 的图象向右平移竺个单位,可得f (X )的图象,24 故选:B.9・(5分)©-3)(代/的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( )A .- 73B .- 61C.- 55D .- 63【解答】解:丄广展开式中所有各项系数和为(2- 3) (1+1) 6=- 64; ⑵-3)(1 丄)社(2x -3) (1忑碍+•••),工工/其展开式中的常数项为-3+12=9,• ••所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 -64 - 9=- 73.故选:A . 6【解答】解:如图,可得该几何体是六棱锥 P -ABCDEF 底面是正六边形,有一 PAF 侧面垂直底面,且P 在底面的投影为AF 中点,过底面中心N 作底面垂线, 过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线,两垂线的交点即为球心 0, 设厶PAF 的外接圆半径为r ,/二(2P )牛(寺严,解得r #,•価二0昨茅6 (5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为 1的正六边形,点G 为AF 的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A .B .312Z8 C.鋁1叽64D.48MAS11. (5分)已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线11, 12,直 线11与抛物线C 交于A 、B 两点,直线12与抛物线C 交于D 、E 两点,若11与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为()A . 16 B. 20 C. 24 D . 32【解答】解:抛物线C: y 2=4x 的焦点F (1, 0),设直线11: y=k i (x- 1),直线 12: y=k 2 (x - 1),由题意可知,贝U 叭Jk 『二1,设 A (X 1 , y 1), B (X 2 , y 2),贝 U X 1+X 2= -------k l 4设 D (X 3 , y 3), E (X 4 , y 4),同理可得:X 3+X 4=2+ ° ,k2由抛物线的性质可得:丨AB | =X 1+x 2+p=4+则该几何体的外接球的半径•••表面积是则该几何体的外接球的表面积是7 V4M+1 FS=4冗 R =°*l 兀.64联立丿y=k] (i-lj,整理得:k 12x 2-( 2k 12+4) x+k 12=0,R= I :. 故选:C.C,| DE | =X 3+X 4+pk l=84 ,当且仅当k®目时,上式“我立• ••• | AB|+| DE 的最小值 24, 故选:C.12. (5分)若函数y=f (x ), x € M ,对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af (x )=f (x+T )恒成立,此时T 为f (x ) 的类周期,函数y=f (x )是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f (x )是定义在区间[0 , + %)内的2级类周期函数,且T=2,当x € [0 , 2 )时,f(2-Kb 1<X<2(0 , +x),使g (x 2)- f (X 1)w 0成立,贝U 实数m 的取值范围是(【解答】解:根据题意,对于函数f(x ),当x € [0 , 2)时,f k)弓2fCE-s), Kx<2-2,有最大值f (0)二,最小值f (1)2,当1v x v 2时,f (x ) =f (2 -x ),函数f (x )的图象关于直线x=1对称,则此时 有-一v f (x )v又由函数y=f (x )是定义在区间[0, +7 内的2级类周期函数,且T=2; 则在€ [6, 8) 上, f (x ) =23?f (x -6),则有—12<f (x )w 4,则 f (8) =2f (6) =4f (4) =8f (2) =16f (0) =8,则函数f (x )在区间[6 , 8]上的最大值为8,最小值为-12;A .—] B. (a, 13 ] C. 〔a,32 J2」2」D .[普g| AB|+| DE =8+1 k 24(ki 2+k 2Z ) 8P4、412 J一 _ _ •若? xi € [ 6, 8] , ? X 2 €函数 =-21nx分析可得:当O w x < 1时,f (x) --=84 ,对于函数山)二-加4^5切,有g'(x) =-Z +X+1」®之-炉1)3切L x x x分析可得:在(0 , 1)上,g (x)v0,函数g (x)为减函数,在(1 , +x)上,g r (x)>0,函数g (x)为增函数,则函数g (x )在(0, +x )上,由最小值f (1) =_ +m ,2若? x i € [6, 8] , ? X 2 €(0, +x ),使 g (X 2)— f (x i )< 0 成立, ,即一+m < 8, ,即m 的取值范围为(-x,必有 g (x ) min < f (x ) max 故选:B. 解可得m 13 2 、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)已知向重.I _ d •二二「,,| 丄---,且-一、,则! . I I ]【解答】解:根据题意,向重 丁(2営cgd ),b=(l, -1), 若;丄卞,则 ^?b=2sin a cos a =0 则有 tan a又由 sin 2 a +COS 2 a=1 则有 则 则 |..|-: 2^5sina=^ a" COS Cl - !_ 亍),或 = sin a 二芈^ 5 n _砸 C0S 或(— 5则崙丄)2=3品2- 21?工半 5故答案为: 14. (5分)已知x , y 满足约束条件 的最小值为L_. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图,X = — 22n -4,联立fxWQ ,解得A (2, 4), J 23<2,令t=5x -3y ,化为y 专富诗,由图可知,当直线宾耳过A 时, 」 J "J 直线在y 轴上的截距最大,t 有最小值为-2. •••目标函数 玄二彳; 的最小值为2~^-^. 故答案为:丄.15. (5分)在等比数列{a n }中,a 2?a 3=2a i ,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*,则数列{b n }的前2n 项和为—亠〕/" _.丄ka【解答】解:等比数列{a n }中,a 2?a 3=2a i ,且a 4与2a 7的等差中项为17, 设首项为a 1,公比为q , 则:整理得:+血]<1 二 34解得: 则: 所以:b n =a 2n -1 — a 2n =屯一」116. (5分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB 丄BC, AD // BC,上-二一二-_,点 E 是线段CD 上异于点C , D 的动点,EF 丄AD 于点^将厶DEF 沿 EF 折起到△ PEF 的位置,并使PF 丄AF ,则五棱锥P -ABCEF 的体积的取值范围为【解答】 解:T PF 丄AF , PF 丄EF, AF G EF=F 二PF 丄平面ABCD 设 PF=x 贝U O v x v 1, 且 EF=DF=x•五棱锥P-ABCEF 的体积V 丄 丄(3-x 2) x 设 f (x ) (3x - x 3),贝U f ' (x) — (3 - 3x 2)6 6•••当 O v x v 1 时,f'(x )>0,则:T 2n = I' 1-4 故答案为: 討护). (0,丄) •五边形ABCEF 的面积为S=S 弟形ABCD - x( 1+2)x 1-—X 2丄(3-x 2). (3x — x 3), (1-x 2),••• f(x)在(0, 1)上单调递增,又f (0)=0, •五棱锥P-ABCEF的体积的范围是(0,丄).故答案为:三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12分)已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点 D 满足 【解答】 解:(1)由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得-2sinBcosA=sinAcos&osAsinC 即—2si nBcosA=si n( A+C ) =s inB, 在厶 ABC 中,sinB >0,所以一”二二. 在厶 ABC 中,c=2b=2,由余弦定理得 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA=k J +c 2+bc=7, 18. (12分)在四棱柱ABCD — A i B i C i D i 中,底面ABCD 是正方形,且匚-■-,/ A 1AB=Z A 1AD=6C °.(1) 求证:BD 丄CG ;(2) 若动点E 在棱C 1D 1上,试确定点E 的位置,使得直线DE 与平面BDB 所成 角的正弦值为….又A €(0, n),所以(1)求a 及角A 的大小; C所以一 I【解答】解:(1)连接A i B, A i D, AC,因为AB=AA=AD,/ A i AB=Z A i AD=60,所以△ A i AB和厶A i AD均为正三角形,于是A i B=A i D.设AC与BD的交点为0,连接A i O,则A i O丄BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC丄BD, 而A i O n AC=O,所以BD丄平面A i AC.又AA i?平面A i AC,所以BD丄AA i, 又CG // AA i,所以BD丄CG.(2)由,及BDW2AB=2,知A i B丄A i D,结合A i O丄BD, AO n AC=O 得A i O丄底面ABCD, 所以OA、OB、OA i两两垂直.如图,以点O为坐标原点,| &的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系 -xyz 则A (i, 0, 0), B (0 , i , 0), D (0 , - i , 0), A i (0 , 0 , i) , C(- i , 0 , DB=(O, 2, 0),瓦二瓯二(一1・ 0, 1), D]C[二磋(T, 1;",由i 丨,得Di (- i, - i , i).设:,I- ■:.:'(疋[0 , i]),则(X E+i , y E+i , Z E- i)=入(-i , i , 0),即 E (-入—i,入—i , i), 所以;「―■•亠.设平面B i BD的一个法向量为|• • •'!,O 0),B,从而A i O丄AO,设直线DE 与平面BDB 所成角为9, 则血*k^<运,(—'—D+oy m 丨申, V2XV X 2+(-1-\)£+1 14 解得二二或•,二丄(舍去),2 3所以当E 为D i C i 的中点时,直线DE 与平面BDBi 所成角的正弦值为「.19. ( 12分)过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节 前夕,A 市某质检部门随机抽取了 100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量 指标,(1) 求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数■:(同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表);(2) ①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布N(卩, ;),利用该正态分布,求Z 落在(14.55, 38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了 4包这种品牌的速冻水饺,记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10, 30)内的包数为X ,求X 的分布列和数 学期望. 附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为②若(卩,^ ),贝U P (卩―eV Z w p+ o ) =0.6826, P (卩―2 eV Z w (J +2 o ) =0.9544.得n=(l, 0, 1),n ・ E6=0 {十…… n • &B-i =0 L得 产。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(四)本试题卷共2页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|}M x x x =∈=R ,{}1,0,1N =-,则M N =( )A .{}0B .{}1C .{}0,1D .{}1,0,1-2.设i 1i 1z +=-,()21f x x x =-+,则()f z =( ) A .B .i -C .1i -+D .1i --3.已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥,则312f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .52B .52-C .32-D .12-4.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且96=πS ,则5tan a =( )班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A.3BC.D.3-5.执行如图所示的程序框图,如果输入的100t =,则输出的n =( )开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A .5B .6C .7D .86.已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤<f x x 的图象向右平移3π个单位长度后,得到函数()cos2=g x x 的图象,则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为() A .6π=x B .12π=x C .3π=x D .0=x7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )A .21;n n -B .21;1n n -+C .121;n n +-D .121;1n n +-+8.已知点P 在圆C:224240x y x y+--+=上运动,则点P 到直线:250x y --=的距离的最小值是( ) A .B C 1D 19.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,若()20f -=,则满足()10xf x ->的的取值范围是( ) A .()(),10,3-∞- B .()()1,03,-+∞ C .()(),11,3-∞-D .()()1,01,3-10.已知点()4,0A ,()0,4B ,点(),P xy 的坐标,y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ,则A P B P ⋅的最小值为( ) A .254B .0C .19625-D .-811.某几何体的直观图如图所示,AB 是O 的直径,BC 垂直O 所在的平面,且10AB BC ==,Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧AQ 的长为,CQ 的长度为关于的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )A .B .C .D .12.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ,B 两点,若点A 平分线段1F B ,则该双曲线的离心率是( ) AB.2+C .2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(四)数学(理科)试卷答案

2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(四)数学(理科)试卷答案

( , ( , 5. B㊀ 由题基本事件空 间 中 的 元 素 有 : 1, 6) 2, 5) ( ) , ( , ( , ( , , 满足题意的有( 3, 4 4, 3) 5, 2) 6, 1) 1, 6) ( ) , ( ) , ( ) , 所以选 B. 2, 5 3, 4 4, 3
π -2ˑ2ˑ3 c o s =7, ʑ| A C |= 7. 3
否则不符合题意 , 9. D㊀ 显然 k> -1, 由
0( ) ) ʑ k=f ᶄ( 0 = e c o s0-s i n0 =1.
{
, 由图可知 ( 图略) 当 直 线 z=y-x 过 点 A 时 , z有 3 最小值 , 所以 , 解得 k=- 1 . 0+ =-1 2, k 4
k x-y+3=0, ö 得 Aæ -3, 0 , k è ø y=0
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普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四)理科数学第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合2{|30}A x x x =->,{|2}B x x =<,则AB =( )A .(2,0)-B .(2,3)-C .(0,2)D .(2,3)2.(2017·海口市调研)已知复数12z i =-,22z a i =+(i 为虚数单位,a R ∈),若12z z R ∈,则a =( )A .1B .1-C .4D .4-3.(2017·桂林市模拟)若向量a ,b 满足:1a =,()a b a +⊥,(3)a b b +⊥,则b =( )A .3B .1 D 4.(2017·福建省质检)在ABC ∆中,3B π=,2AB =,D 为AB 的中点,BCD ∆的面积AC 等于( )A .2B 5.已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈,且7x y +=,则2xy ≥的概率为( ) A .13 B .23 C .12 D .566.(2017·昆明市统考)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(单位:cm ),图中粗线画出的是某种零件的三视图,则该零件的体积(单位:3cm )为( )A .24024π-B .24012π-C .2408π-D .2404π- 7.(2017·长春市三模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S 为1112,则判断框中填写的内容可以是( )A .6n =B .6n <C .6n ≤D .8n ≤ 8.(2017·郑州一预)函数()cos x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为( )A .0B .1-C .1 D9.(2017·海口市调研)若x ,y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,且z y x =-的最小值为12-,则k 的值为( ) A .12 B .12- C .14 D .14- 10.(2017·桂林市模拟)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过F交抛物线于A ,B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(11,0)M ,则p =( ) A .2 B .3 C .6 D .1211.(2017·河南九校联考)四面体的一条棱长为c ,其余棱长为3,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有顶点的球的表面积为( ) A .272π B .92π C .152πD .15π 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数,且'()2()()f x f x x R >∈,12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭(e 为自然对数的底数),则不等式2(ln )f x x <的解集为( )A .0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .C .1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .2e ⎛ ⎝第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上)13.(2017·长春三模)函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是 .14.(2017·海南六市联考)2212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是70,则n = .15.在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60,塔基的俯角为30,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为 m .16.设函数()f x 在[1,)+∞上为增函数,(3)0f =,且()(1)g x f x =+为偶函数,则不等式(22)0g x -<的解集为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{}n a 满足1511a =,143(2)n n a a n -=-≥.(1)求证:数列{1}n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2) 令2log (1)n n b a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,//AB CD ,AB AD ⊥,4AB =,AD =2CD =,12AA =,侧棱1AA ⊥底面ABCD ,E 是11A B 的中点.(1)求证:BD ⊥平面11A ACC ;(2)设点Q 在线段EB 上,且:3:4EQ EB =,求直线CQ 与平面11A ACC 所成角的正弦值. 19.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.(1)求表中x ,y ,z ,s ,p 的值;(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 20.(2017·昆明市统考)已知动圆E 经过定点(1,0)D ,且与直线1x =-相切,设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)设过点(1,2)P 的直线1l ,2l 分别与曲线C 交于A ,B 两点,直线1l ,2l 的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线AB 的斜率为定值.21.(2017·贵州省适应性考试)设*n N ∈,函数ln ()n x f x x =,函数()(0)xn e g x x x=>.(1)当1n =时,求函数()y f x =的零点个数;(2)若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧,求n 的取值集合A ; (3)对于n A ∀∈,12,(0,)x x ∀∈+∞,求12()()f x g x -的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线1C 的参数方程为22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)若直线l 的斜率为2,判断直线l 与曲线1C 的位置关系; (2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤<). 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15,函数()1g x x a x =+++. (1)求实数a 的值; (2)求函数()g x 的最小值.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(四)理科数学一、选择题1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12:DB 二、填空题 13. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦14. 4 15. 40 16. (0,2) 三、解答题17.解析:(1)证明:由11344n n a a -=-知111(1)4n n a a -+=+, 所以数列{1}n a +是以512为首项,14为公比的等比数列.则11212n n a -+=,11221n n a -=-. (2)112n b n =-,设数列{112}n -前n 项和为n T ,则210n T n n =-, 当5n ≤时,210n n S T n n ==-;当6n ≥时,2521050n n S S T n n =-=-+;所以2210,51050,6n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.18.解析:(1)证明:∵1AA ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥,∴以A 为坐标原点,AB ,AD ,1AA 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则(4,0,0)B ,1(0,0,2)A ,D ,C ,所以(BD =-,AC =,1(0,0,2)AA =,所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=,1(4)00020BD AA ⋅=-⨯++⨯=.所以BD AC ⊥,1BD AA ⊥, 因为1AA AC A =,AC ⊂平面11A ACC ,1A A ⊂平面11A ACC ,所以BD ⊥平面11A ACC .(2)设(,,)Q x y z ,直线QC 与平面11A ACC 所成角为θ,由(1)知平面11A ACC 的一个法向量为(BD =-. ∵34EQ EB =, ∴71,0,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 平面11A ACC 法向量(2,1,0)n =-, sin cos ,CQ n CQ n CQnθ⋅=<>=⋅3=.19.解析:(1)由题意知,参赛选手共有16500.32p ==(人), 所以90.1850x ==,500.3819y =⨯=,50919166z =---=,10.180.380.320.12s =---=.(2)由(1)知,参加决赛的选手共6人,随机变量X 的可能取值为0,1,2,34361(0)5C P X C ===,2142363(1)5C C P X C ===, 1242361(2)5C C P X C ===,随机变量X 的分布列为:因为()0121555E X =⨯+⨯+⨯=, 所以随机变量X 的数学期望为1.20.解析:(1)由已知,动点E 到定点(1,0)D 的距离等于E 到直线1x =-的距离,由抛物线的定义知E 点的轨迹是以(1,0)D 为焦点,以1x =-为准线的抛物线,故曲线C 的方程为24y x =.(2)由题意可知直线1l ,2l 的斜率存在,倾斜角互补,则斜率互为相反数,且不等于零. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线1l 的方程为(1)2y k x =-+,0k ≠. 直线2l 的方程为(1)2y k x =--+, 由2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=,已知此方程一个根为1,∴22122(2)441k k k x k k --+⨯==, 即21244k k x k -+=,同理22222()4()444()k k k k x k k ---+++==-, ∴212228k x x k++=,12288k x x k k ---==, ∴1212[(1)2][(1)2]y y k x k x -=-+---+2122288()22k k x x k k k k k+=+-=⋅-=,∴1212818ABy yk k x x k-===---, 所以,直线AB 的斜率为定值1-. 21.解析:(1)当1n =时,ln ()x f x x =,21ln '()(0)xf x x x -=>.由'()0f x >得0x e <<;由'()0f x <得x e >.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增,在(,)e +∞上单调递减,因为1()0f e e=>,10f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭, 所以函数()f x 在(0,)e 上存在一个零点; 当(,)x e ∈+∞时,ln ()0xf x x=>恒成立, 所以函数()f x 在(,)e +∞上不存在零点. 综上得函数()f x 在(0,)+∞上存在唯一一个零点. (2)由函数ln ()n x f x x =求导,得11ln '()(0)n n xf x x x+-=>, 由'()0f x >,得10nx e <<;由'()0f x <,得1nx e >, 所以函数()f x 在1(0,)n e 上单调递增,在1(,)ne +∞上单调递减, 则当1nx e =时,函数()f x 有最大值1max 1()()nf x f e ne==; 由函数()(0)x n e g x x x =>求导,得1()'()(0)xn x n e g x x x+-=>, 由'()0g x >得x n >;由'()0f x <得0x n <<.所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减,在(,)n +∞上单调递增,则当x n =时,函数()g x 有最小值min()()ne g x g n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭;因为*n N ∀∈,函数()f x 的最大值11()1nf e ne=<, 即函数ln ()n xf x x=在直线1y =的下方, 故函数()(0)xn e g x x x=>在直线l :1y =的上方,所以min()()1ne g x g n n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭,解得n e <.所以n 的取值集合为{1,2}A =.(3)对12,(0,)x x ∀∈+∞,12()()f x g x -的最小值等价于min max 1()()ne g xf x n ne ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,当1n =时,min max 1()()g x f x e e-=-; 当2n =时,2min max1()()42e g x f x e-=-; 因为2211(4)20424ee e e e e e ⎛⎫--⎛⎫---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以12()()f x g x -的最小值为2312424e e e e--=. 22.解析:(1)斜率为2时,直线l 的普通方程为12(1)y x -=+, 即23y x =+. ①将22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程得22(2)(4)4x y -+-=,②则曲线1C 是以1(2,4)C 为圆心,2为半径的圆,圆心1(2,4)C 到直线l 的距离2d ==<, 故直线l 与曲线(圆)1C 相交.(2)2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,由22224816040x y x y x y x ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩,所以1C 与2C 的交点的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭. 23.解析:(1)∵()(1)11a a f x ax a x a x x =+=+-+--,1x >,0a >, ∴()3f x a ≥,即有315a =,解得5a =.(2)由于51(5)(1)4x x x x +++≥+-+=,当且仅当51x -≤≤-时等号成立,- 11 - ∴()51g x x x =+++的最小值为4.。

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