高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》难题汇编及答案

【高中数学】高中数学《平面向量》期末考知识点

一、选择题

1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA ⋅BC =2，则△ABC 的面积为（ ）

A B ．

32

C ．

D ．【答案】C 【解析】 【分析】

利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积． 【详解】

在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，

可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 3=

BA ⋅BC =2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，

∴△ABC 的面积为：11622acsinB =⨯=． 故选C ． 【点睛】

本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．

2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若

9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )

A ．

3

B ．

2

C D ．

2

【答案】D 【解析】 【分析】

将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可. 【详解】

由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心， 所以211

()323

AO AB AC =

⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以2

3

EC AC AE AC AB =-=-

，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -

2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以22

23AB AC =，||32||

AB AC λ=

==

. 故选：D 【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.

3．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =，O AB ∉，2OD OA =，则（ ） A ．12

63

BD OA OC =- B ．52

63BD OA OC =- C ．51

63

BD OA OC =

- D ．11

63

BD OA OC =

+ 【答案】A 【解析】 【分析】

利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；

【详解】

BD OD OB =-，()

2212

3333

OB OA AC OA OC OA OA OC =+

=+-=+，1

2OD OA =，

∴12

63

BD OA OC =-，

故选：A. 【点睛】

本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

4．在ABC ∆中，已知AB =

AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则

AD BC ⋅的取值范围为（ ）

A ．()3,5

B ．(

C ．()5,9

D ．()5,7

【答案】C 【解析】 【分析】

利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC ，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解． 【详解】

如图，()()()

13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫

⋅=+⋅-=+⋅-

⎪⎝⎭

()()

11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫

=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

22211

333

AC AB AB AC =

--⋅ ＝8﹣11

3233

cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．

【点睛】

此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．

5．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23,P Q 在圆

222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）

A ．18122-

B ．19122-

C ．18122+

D ．19122+【答案】B 【解析】 【分析】

设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+，求得2

3MP MQ MD ⋅=-，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故()

2

3223MP MQ ⋅≥-，得到答案.

【详解】

依题意，设PQ 中点D ，

则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+，所以2

3MP MQ MD ⋅=-，

2

2

2

22(

)12

PQ C D QC =-=，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥，

1221min min MD C C C D MC ∴=--

故()

2

322

319122MP MQ ⋅≥--=-.

【点睛】

本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.

6．已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-，则a 在b 方向上的投影为 A 13B ．

22

C ．1

D 65 【答案】C 【解析】 【分析】

根据a 在b 方向上的投影定义求解. 【详解】

a 在

b 方向上的投影为

(1,2)(3,4)38

1(3,4)5

a b b

⋅⋅--+=

==-，

选C. 【点睛】

本题考查a 在b 方向上的投影定义，考查基本求解能力.

7．在ABC 中，AD AB ⊥，3,BC BD =||1AD =，则AC AD ⋅的值为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅，利用数量积的分配律即得解. 【详解】

AD AB ⊥，3,BC BD =||1AD =，

()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅