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3.液体的压力:如果垂直面积是由曲线 与 轴及两直线 所围成的曲边梯形，则取距液面为 ，高度为 ，宽为 的矩形横条上所受的压力为压力元素为 .于是整个垂直面积所受压力为
例1求抛物线 所围成图形面积的重心，面密度为常数
解由重心横坐标公式得
因图形关于 对称，故重心必在对称轴上，即 ，所以重心为
例2半径为 米的圆板垂直浸入水中，圆板中心在水面下 米处。试求板面所受的压力.
例2计算由星形线 绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。
解由曲线的对称性及公式得
例3求抛物线 绕 轴、 轴旋转所成曲面的表面积
解（1）绕 轴旋转所成曲面的表面积
（2）绕 轴旋转所成曲面的表面积
旋转体的体积
1、立体由 绕 轴旋转一周及 , 围成,其体积
.
2、若曲线 = 在 上绕 轴旋转所成的旋转体的体积为
2曲面面积：设曲面S的方程： 曲面S的面积公式
例1求圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积.
解：由题意即求曲面 ， 的面积，由面积计算公式
3平面薄板的重心：密度分布为 的平面薄板D的重心坐标为 .
例1设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。
解由 的对称性可知:
=
常见曲面方程
曲面方程:
1椭球面
2椭圆抛物面
3双曲抛物面
4椭球锥面
解法2（对 的积分） 从0到 ，则 由0变到 ，而 .由上可得弧长为
旋转体的侧面积
1函数 在 上绕 轴旋转的旋转体的侧面积公式为 .
2曲线 绕 轴旋转所成曲面的表面积公式 .
例1计算圆 在 上的弧段绕 轴旋转一周所形成的球面的表面积
解对曲线 , 应用公式得
当 时，则得半径为 球的表面积公式
如果平面曲线由参数方程 给出，那么由它绕 轴旋转所得旋转体的侧面积公式为 .
= ，
= ，
= ，
对 平面的转动惯量为
= ，
对 平面的转动惯量为
= ，
对 平面的转动惯量为
= ，
对原点的转动惯量为
= .
例1设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．
解设球体由式 表示，密度函数为 ，则它对切平面 的转动惯量为
= = .
4对质点的引力:求密度为 的立体对立体外一质量为1的质点 的引力．
解:
.
.
物理学上的应用
1平面的重心:由曲线 , 和直线 , 所围成平面，且 ，设平面的密度是均匀的，而该平面的重心坐标为 ，则
， .
2.变力所作的功:设有一变力，其方向平行于 轴，大小为 .则在微小区间 上变力 对质点所作的微小功 的近似值是 则 就是 的功“元素”。所以在力 的作用下，将质点从 轴上的 点移至 点所作的功为
所以
4平面薄板的转动惯量：密度分布为 的平面薄板D对坐标轴的转动惯量为 ；
为点 到 的距离函数一般转动轴的转动惯量为.
例1．求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面的中心轴的转动惯量.
解：设 ，密度为 ，则
.
例2．求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量.
解：设圆盘为 ，密度为 ，对y轴的转动惯量为
.
例3求密度均匀的圆环 对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量． 为圆环的质量.
.
例2计算由曲线 和直线 所围成图形的面积
解： 解之得 .则
平面曲线的弧长
光滑（即连续可微分的）曲线 在区间[ ， ]上的弧长公式为
.
曲线由参数方程 给出，则 在区间[ ， ]上的弧长为
.
曲线由极坐标方程 给出，则曲线上弧 的长为
.
例计算曲线 的弧长（如图7—5所示）
解法1（对 的积分） 得 ，弧微分
解沿水面作 轴，过圆板中心垂直向下为 轴，建立坐标系，则圆板的周界方程为 或 。注意到 =1及图形的对称性，则全板上所受的压力为
（吨）
微分法在几何上的应用:
二重积分
1二重积分的运算
（1）直角坐标下二重积分的运算
1）若 为 型区域，即 ，则
2）若 为 型区域，即 ，则
（2）极坐标下二重积分的计算
若 ，则
设 的坐标为 ， 中点的坐标用 表示。我们用微元法来求 对 的引力， 中质量微元 对的引力在坐标轴上的投影为
， ， ，
其中 为引力系数， 是到的距离。于是力 在三个坐标轴上的投影分别为
， ， ，
所以
ຫໍສະໝຸດ BaiduF= .
例7设球体 具有均匀密度 ，求对球外一点 （质量为1）的引力（引力系数为 ）。
解设球体由式 表示，球外一点 的坐标为 （ ）由对称性
解设圆环 为 ，密度为 ,则
，
5平面薄片对质点的引力:设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。
在闭区域 上任取一个小的闭区域 , 是 内的任一点,他的质量近似等于 ,于是薄片对质点的引力近似值为 ,引力的方向于向量 一致,其中 , 为引力常数.于是
， ，
。
例3求密度均匀的上半椭球体的重心．
解设椭球体由式 ， 表示
由对称性知 = =0，由前节的例5的结果，可得
= = = .
3转动惯量：质点 对轴 的转动惯量 是质点 的质量 和到转动轴 的距离 的平方的乘积，即 .当讨论空间物体 的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体 的密度函数为 ，它对 轴的转动惯量为
定积分应用 二重积分 三重积分.doc
积分的应用
定积分的应用
平面图形面积
1、图形由 , , 及 围成：
.
2、图形由 , , 及 围成：
,
其中： .
3曲线由参数方程 给出时，在 上所围图形的面积公式为
4曲边扇形的面积
由曲线 及矢径 所围成的曲边扇形的面积公式为
例1求由 , 所围成的图形的面积 .
解：由 得 或 .
三重积分
1三重积分的计算
（1）直角坐标下三重积分的计算法：
若 ，则
（2）柱面坐标系下三重积分的计算法：
若 ，则
（3）球面坐标系下三重积分的计算法：
若 ，则
2重心：设 是密度为 的空间物体， 在 上连续，因 的质量为 ， 对 平面的静力矩为 ，由重心坐标的概念有，以 分别表示 的重心的各个坐标，应有
，所以
.
例1求由 绕 轴旋转一周所成环体的体积
解：本旋转体是由曲线 及 在区间 上所围成图形绕 轴旋转而成的旋转体之差。
即
例2求摆线 的一拱， ，绕 轴旋转所产生的旋转体的体积。
解摆线 的一拱，则
平面截面积已知的立体体积
立体在 中每一点 处的截面积为
,其体积
.
例1一平面过半径为 的园柱底中心，并与底面
成 夹角.计算平面截圆柱体所得立体的体积 ．
例1求抛物线 所围成图形面积的重心，面密度为常数
解由重心横坐标公式得
因图形关于 对称，故重心必在对称轴上，即 ，所以重心为
例2半径为 米的圆板垂直浸入水中，圆板中心在水面下 米处。试求板面所受的压力.
例2计算由星形线 绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。
解由曲线的对称性及公式得
例3求抛物线 绕 轴、 轴旋转所成曲面的表面积
解（1）绕 轴旋转所成曲面的表面积
（2）绕 轴旋转所成曲面的表面积
旋转体的体积
1、立体由 绕 轴旋转一周及 , 围成,其体积
.
2、若曲线 = 在 上绕 轴旋转所成的旋转体的体积为
2曲面面积：设曲面S的方程： 曲面S的面积公式
例1求圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积.
解：由题意即求曲面 ， 的面积，由面积计算公式
3平面薄板的重心：密度分布为 的平面薄板D的重心坐标为 .
例1设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。
解由 的对称性可知:
=
常见曲面方程
曲面方程:
1椭球面
2椭圆抛物面
3双曲抛物面
4椭球锥面
解法2（对 的积分） 从0到 ，则 由0变到 ，而 .由上可得弧长为
旋转体的侧面积
1函数 在 上绕 轴旋转的旋转体的侧面积公式为 .
2曲线 绕 轴旋转所成曲面的表面积公式 .
例1计算圆 在 上的弧段绕 轴旋转一周所形成的球面的表面积
解对曲线 , 应用公式得
当 时，则得半径为 球的表面积公式
如果平面曲线由参数方程 给出，那么由它绕 轴旋转所得旋转体的侧面积公式为 .
= ，
= ，
= ，
对 平面的转动惯量为
= ，
对 平面的转动惯量为
= ，
对 平面的转动惯量为
= ，
对原点的转动惯量为
= .
例1设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．
解设球体由式 表示，密度函数为 ，则它对切平面 的转动惯量为
= = .
4对质点的引力:求密度为 的立体对立体外一质量为1的质点 的引力．
解:
.
.
物理学上的应用
1平面的重心:由曲线 , 和直线 , 所围成平面，且 ，设平面的密度是均匀的，而该平面的重心坐标为 ，则
， .
2.变力所作的功:设有一变力，其方向平行于 轴，大小为 .则在微小区间 上变力 对质点所作的微小功 的近似值是 则 就是 的功“元素”。所以在力 的作用下，将质点从 轴上的 点移至 点所作的功为
所以
4平面薄板的转动惯量：密度分布为 的平面薄板D对坐标轴的转动惯量为 ；
为点 到 的距离函数一般转动轴的转动惯量为.
例1．求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面的中心轴的转动惯量.
解：设 ，密度为 ，则
.
例2．求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量.
解：设圆盘为 ，密度为 ，对y轴的转动惯量为
.
例3求密度均匀的圆环 对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量． 为圆环的质量.
.
例2计算由曲线 和直线 所围成图形的面积
解： 解之得 .则
平面曲线的弧长
光滑（即连续可微分的）曲线 在区间[ ， ]上的弧长公式为
.
曲线由参数方程 给出，则 在区间[ ， ]上的弧长为
.
曲线由极坐标方程 给出，则曲线上弧 的长为
.
例计算曲线 的弧长（如图7—5所示）
解法1（对 的积分） 得 ，弧微分
解沿水面作 轴，过圆板中心垂直向下为 轴，建立坐标系，则圆板的周界方程为 或 。注意到 =1及图形的对称性，则全板上所受的压力为
（吨）
微分法在几何上的应用:
二重积分
1二重积分的运算
（1）直角坐标下二重积分的运算
1）若 为 型区域，即 ，则
2）若 为 型区域，即 ，则
（2）极坐标下二重积分的计算
若 ，则
设 的坐标为 ， 中点的坐标用 表示。我们用微元法来求 对 的引力， 中质量微元 对的引力在坐标轴上的投影为
， ， ，
其中 为引力系数， 是到的距离。于是力 在三个坐标轴上的投影分别为
， ， ，
所以
ຫໍສະໝຸດ BaiduF= .
例7设球体 具有均匀密度 ，求对球外一点 （质量为1）的引力（引力系数为 ）。
解设球体由式 表示，球外一点 的坐标为 （ ）由对称性
解设圆环 为 ，密度为 ,则
，
5平面薄片对质点的引力:设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。
在闭区域 上任取一个小的闭区域 , 是 内的任一点,他的质量近似等于 ,于是薄片对质点的引力近似值为 ,引力的方向于向量 一致,其中 , 为引力常数.于是
， ，
。
例3求密度均匀的上半椭球体的重心．
解设椭球体由式 ， 表示
由对称性知 = =0，由前节的例5的结果，可得
= = = .
3转动惯量：质点 对轴 的转动惯量 是质点 的质量 和到转动轴 的距离 的平方的乘积，即 .当讨论空间物体 的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体 的密度函数为 ，它对 轴的转动惯量为
定积分应用 二重积分 三重积分.doc
积分的应用
定积分的应用
平面图形面积
1、图形由 , , 及 围成：
.
2、图形由 , , 及 围成：
,
其中： .
3曲线由参数方程 给出时，在 上所围图形的面积公式为
4曲边扇形的面积
由曲线 及矢径 所围成的曲边扇形的面积公式为
例1求由 , 所围成的图形的面积 .
解：由 得 或 .
三重积分
1三重积分的计算
（1）直角坐标下三重积分的计算法：
若 ，则
（2）柱面坐标系下三重积分的计算法：
若 ，则
（3）球面坐标系下三重积分的计算法：
若 ，则
2重心：设 是密度为 的空间物体， 在 上连续，因 的质量为 ， 对 平面的静力矩为 ，由重心坐标的概念有，以 分别表示 的重心的各个坐标，应有
，所以
.
例1求由 绕 轴旋转一周所成环体的体积
解：本旋转体是由曲线 及 在区间 上所围成图形绕 轴旋转而成的旋转体之差。
即
例2求摆线 的一拱， ，绕 轴旋转所产生的旋转体的体积。
解摆线 的一拱，则
平面截面积已知的立体体积
立体在 中每一点 处的截面积为
,其体积
.
例1一平面过半径为 的园柱底中心，并与底面
成 夹角.计算平面截圆柱体所得立体的体积 ．