《最短路径问题(2)》教案

《最短路径问题（2）》教案

13.4.2 造桥选址问题

【一】教学目标：

〔一〕学习目标

1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；

2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；

3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

〔二〕教学重点

教学重点：利用平移将〝造桥选址〞的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞问题

〔三〕教学难点

教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题

【二】教学设计

〔一〕课前设计

1.预习任务

⑴平移不改变图形的和;

⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;

⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q分别作CD的垂线，垂足分为M、N，那么PM与QN的大小关系为〔〕

A、PM＞QN

B、PM＝QN

C、PM＜QN

D、不能确定

答案：⑴形状，大小；⑵小于；⑶B

2.预习自测

⑴直线AB上有一点P，当点P在时，PA+PB有最小值，最小值为AB的值；

⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-PA等于AB的值；

⑶直线AB上有一点P，当点P在时，PA-PB等于AB的值；

【知识点】线段的和差

【数学思想】分类讨论，数形结合

【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.

【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，PA+PB=AB即PA+P B最小值为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-PA =AB；⑶当点P在线段AB的延长线上时，如图3，PA - PB =AB；

【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上.

⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－PA｜的值最大？

【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边

【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据〝三角形任意两边的差小于第三边〞，那么｜PB－PA｜＜AB；当点P与A、B共线，点P 在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，那么｜PB －PA｜=AB.

【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB －PA｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB -PA=AB，即

｜PB－PA｜=AB；

【答案】如图，连接BA并延长交直线l 于P，此时｜PB－PA｜的值最大.

〔二〕课堂设计

1.知识回顾

⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换〔简称平移〕. 平移不改变图形的形状和大小.

⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边

2.问题探究

探究一运用轴对称解决距离之差最大问题

●活动①回顾旧知，引入新知

师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——〝将军饮马问题〞，但善于观察与思考的海伦在解决〝两点〔直线同侧〕一线〞的最短路径问题时他从另一角度发现了〝最大值〞的情况：

●活动②整合旧知，探究新知

例1. 如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．

【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系

【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.

【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，那么点C即为所求．

●活动③类比建模，证明新知

师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明〝两点〔直线同侧〕一线型〞时AC +BC最小的吗？试类比证明〝｜AC－BC｜最大〞的作法是否正确性？

理由：在直线l上任找一点C ′(异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，那么有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如下图.假设P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q 是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.

【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边

【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P 为直线AB与x轴的交点，那么此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小

【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，那么此时P是x 轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B的连线交y轴于点Q，那么点Q是y轴上使得QA+ QB的值最小的点.

【答案】如图，点P与点Q即为所求：

探究二利用平移解决造桥选址问题★▲

●活动①结合实际，难点分解

师：常说〝遇山开路，遇水搭桥〞，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？

如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD ∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.

●活动②生活中的实际问题

例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥M N，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕

【知识点】平移知识，两点之间线段最短

【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要A M＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A′，那么A A′=MN，AM+NB= A′N+NB，这样问题就转