概率论与数学建模
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模基础知识
数学建模基础知识引言：数学建模是一门以数学为工具、以实际问题为研究对象、以模型为核心的学科。
它通过将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法对模型进行分析和求解，从而得到问题的解决方案。
在数学建模中，有一些基础知识是必不可少的，本文将介绍数学建模的基础知识，包括概率与统计、线性代数、微积分和优化算法。
一、概率与统计概率与统计是数学建模的基础。
概率论用于描述随机现象的规律性，统计学则用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，需要根据实际问题的特点选择合适的概率模型，并利用统计方法对模型进行参数估计。
1.1 概率模型概率模型是概率论的基础，在数学建模中常用的概率模型包括离散型随机变量模型和连续型随机变量模型。
离散型随机变量模型适用于描述离散型随机事件，如投硬币的结果、掷骰子的点数等；连续型随机变量模型适用于描述连续型随机事件，如身高、体重等。
在选择概率模型时，需要根据实际问题的特点进行合理选择。
1.2 统计方法统计方法用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，经常需要根据样本数据对总体参数进行估计。
常用的统计方法包括点估计和区间估计。
点估计用于估计总体参数的具体值，如均值、方差等；区间估计则用于给出总体参数的估计范围。
另外，假设检验和方差分析也是数学建模中常用的统计方法。
二、线性代数线性代数是数学建模的重要工具之一。
它研究线性方程组的解法、向量空间与线性变换等概念。
在线性方程组的求解过程中，常用的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和特征值分解等。
线性代数还广泛应用于图论、网络分析等领域。
2.1 线性方程组线性方程组是线性代数的基础，它可以用矩阵和向量的形式来表示。
求解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵的逆矩阵和克拉默法则等。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式，从而求得方程组的解。
2.2 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念，它由若干个向量组成，并满足一定的运算规则。
数学建模思想融入概率论课程的初步研究与探索
刘 晓 歌
巩 （ 南财 经 学 院成 功 学 院共 同学科部 河 南 ・ 义 河
中图 分 类 号 ： ４ Ｇ６ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ
４１０ ） ５ ２ ０
文 章 编 号 ： ２ ７ ９ （ ０ ）１ Ｏ 一 ２ １７ — ８ ４２ １ ３ 一 １５ Ｏ ６ １ ０
ｔｃ ｌｓａ ｉｔｃ ｉａ ｔｔｓｉ ｓ
具来描述带有随机因素的客观现象 ， 这是非常必要 的。然而 高度抽象后 的数学概念有 时 已远离实 际 ，在教 学过程 中既 需要 建立从 实际到抽象 的桥梁 ，又需要把抽象 概念返 回到 实际， 这个过程就需用到数学建模思想 。因此 ， 数学建模 将 思想融入 到概 率论 教学 中去 ，可 以将数学 与实际有机地联 系起 来 ， 让概率论变得既生动 又贴 近实际 ， 同时也提高 了学 生学 习概率论 的积极性。 我校学生学习概率论与数理统计 的现状 ： 缺少学 习的兴趣 和动力 ， 数学 基础薄弱 ， 在畏难心理 存
不足 Байду номын сангаас
Ａｕ ｈ ｒ ａ ｄ ｅ ｓ Ｃ ｍｍｏ ｓ ｉ ｌ ｅ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ， ｈ ｎ ｇ ｎ ｔ ｏ ’ ｄ ｒ ｓ ｏ Ｓ ｎ Ｄｉｃｐ ｉ ｐ ｒｍｅ ｔ ｅ ｇ ｏ ｇ ｎ Ｃ Ｃｏｌ ｇ ｏ ’ ａ Ｆ ｎ ｎ ｅ ｎ Ｅ ｏ ｏ ｃ Ｃｏｌ ｇ ，５ ０ ， ｌｅ ｅ ｆ Ｈｅ ｎ ｉ ａ ｃ ａ ｄ ｃ ｎ ｍｉｓ ｎ ｌ ｅ４ ０ ｅ １ ２
摘 要 本 文 通 过 分 析 独 立 院 校 学 生 学 习 概 率 论 的特 点及 现 状 ．探 讨 在 独立 院校 概 率 论 教 学 中 融入 数 学 建 模 思 想 的
数学建模概率论知识点总结
数学建模概率论知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性大小的数值。
随机现象是指在一定条件下，不能准确预测结果的现象，比如抛硬币、掷骰子等。
为了描述随机现象的规律，人们引入了概率的概念。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率等。
样本空间是指随机现象所有可能的结果组成的集合。
比如抛硬币的样本空间为{正面，反面}，掷骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
事件是样本空间的子集，表示一个具体的结果或一组结果。
概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的基本性质包括非负性、规范性、可列可加性、加法定理等。
非负性指概率的值始终大于等于0，规范性指样本空间的概率为1，可列可加性指对于互不相容事件的概率，其和等于各自概率的和，加法定理指事件A与事件B的和事件的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去事件A与事件B的交事件的概率。
2.随机变量与概率分布随机变量是描述随机现象结果的数学变量，通常用大写字母X、Y等来表示。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的取值有限或可数，比如投掷硬币的结果、掷骰子的结果等。
离散随机变量的概率分布通常用概率质量函数来描述，概率质量函数表示了随机变量取各个值的概率。
连续随机变量的取值为连续的实数区间，比如身高、体重等。
连续随机变量的概率分布通常用概率密度函数来描述，概率密度函数表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
常见的离散概率分布包括均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
3.大数定律与中心极限定理大数定律指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机变量的平均值趋于一个确定的常数。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律，弱大数定律指随机变量的平均值收敛于其数学期望，强大数定律指随机变量的平均值几乎必然收敛于其数学期望。
中心极限定理指在独立重复试验中，随机变量的和在适当标准化后近似服从正态分布。
数学建模有哪些方法
数学建模有哪些方法
数学建模是指将实际问题用数学的方法进行描述和分析的过程。
常见的数学建模方法有以下几种：
1. 形式化建模：将实际问题抽象成数学模型，通过符号和公式的形式进行描述和求解。
2. 统计建模：利用统计学的方法对数据进行收集、整理和分析，从中提取规律和模式，对未知的情况进行预测和决策。
3. 数值模拟：利用计算机和数值方法对问题进行模拟和求解，通过近似计算得到结果。
4. 最优化建模：通过建立优化模型，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
5. 离散建模：将连续的问题离散化，转化为离散的数学模型进行分析和求解。
6. 动态建模：对问题进行时间序列的分析和建模，预测未来的变化和趋势。
7. 图论建模：将问题抽象成图的形式，利用图的相关理论和算法进行分析和求解。
8. 概率建模：利用概率论的方法对问题进行建模和分析，从中推断出一些未知的情况。
以上是一些常见的数学建模方法，具体的方法选择要根据实际问题的特点和要求进行判断和决策。
《概率论与数理统计》教学与数学建模思想方法的融入
论： ・
概 念时 ， 们可 以从 生 活中的 “ 术平 均数 ”“ 我 算 、加权平 均数” 引入 ， 深学 生对 “ 学期望 ” 加 数 就是 “ 值 ” 均 的理
解。
２通过实例融人数学建模思想方法 。《 ． 概率论与数 理统计 》 是一门应用性很强 的学科 ， 教师 应充分利用教 材 中的实例 或 自己设计 实例进行讲解 。使 学生学会如 何收集 、 分析数据 ， 建立模型解决实 际问题 。
几条标有记号（ 有ｍ条 ）然后再根据 收集到 的资料进 设 。 行估计 。 ’ 问题 的解决 ： 池 中有Ⅳ 设 条鱼 ， 第二次 钓 出且 有记 号 的鱼数是个随机变数记为 则 ，
＾
人ｎ 个盒 中， 计算相关事件的概率 。一般来说 ， 放人 根据 的方 式不 同 ， 可分 四种情况讨论 ：
放 人方 式 不 同放法 总数 个 质 点 每 盒 可 容 纳 质 点 可分 辨
随 机放入 任意个质点 质点不可分辨 嚣 Ｃ
个 盒 中 每 盒 最 多 只 质 点 可分 辨
Ｐ ＝ （： ）
，为整数 ， ａ （ ，— ＋ ） ＜ｒｉ ｍ ｘ Ｏｓ Ｎ ｒ≤ ￣ａ ｎ
运用 能力 。 二、概 率论与数理统计》教 学中融入数学建模 思 《
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率在数学建模中:的应用姓名：邓洪波高强庞宁班级：文电082-2专业：电子计算机与科学技术电话：?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ，上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。
要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存贮策略，使总费用最小。
首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用：
1. 随机过程建模：随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，在概率论中有重要应用。
例如，布朗运动是一种随机过程，可以用来模拟金融市场的价格变动。
2. 概率模型建立：概率模型是用来描述随机事件发生的概率分布的数学模型。
在数理统计中，我们可以通过拟合数据来估计概率模型的参数，然后利用这些模型进行预测和推断。
常用的概率模型有正态分布、泊松分布、指数分布等。
3. 统计推断：统计推断是利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据对总体参数进行估计，以及对总体分布进行假设检验。
4. 决策分析：决策分析是一种基于概率模型的决策方法，用于在不确定条件下进行决策。
通过建立决策模型，并考虑各种可能的结果和概率，可以选择最佳的决策方案。
5. 置信区间估计：置信区间是对总体参数的估计结果给出的一个范围，该范围内的真实值的概率称为置信度。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据计算出置信区间，从而对总体参数进行估计。
这些只是数学建模在概率论与数理统计中的一些应用，实际上数学建模在概率论与数理统计领域应用非常广泛，涉及的问题和方法非常多样化。
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用：
一、信息理论
1、信息的衡量：概率理论提出了不确定性的概念，可衡量信息的量化，如信息熵、相对熵、KL散度等，准确反映信息的熵增减。
2、多媒体的压缩编码：通过香农定理刻画了在有限的信道条件下，信
号在被接收者传达之前的压缩编码等过程。
二、预测控制
1、马尔可夫决策过程：概率理论和Markov决策理论，帮助分析者以
随机模型预测政策、企业战略以及决策过程，有利于做出最佳决策。
2、预测控制：将概率概念运用于动态系统，可以用来预测和控制系统
性能，如时序预测和机器学习中的状态估计工作，帮助分析者预测和
识别控制系统的特性。
三、社会科学中的应用
1、政策分析：概率论在社会科学中也有一定的应用，它可以用来处理
和分析不确定的政策参数，以便分析政策的影响，社会研究者可以建
立模型并利用概率论来获得最佳决策。
2、社会统计学：如网络概率模型、隐马尔可夫模型、概率图模型等，
可以利用概型论来研究社会因素、社会实体之间的传播影响，以及分
析协作行为的作用。
四、其他领域的应用
1、金融研究：概率论可以为金融投资者提供投资分析依据，例如投资
者可以根据马尔科夫过程对股票价格变化进行预测，根据泊松分布来
研究证券交易中的事件发生率，从而使投资决策可靠性更大。
2、生物学：生物学家可以利用概率模型来预测和分析生物系统和过程，如基因表达分析、蛋白质结构预测等。
总之，概率论在数学建模中发挥着重要的作用，可以作为一种通用的
工具来分析与推导模型，它在多个领域中都有着广泛的应用，在未来
也将受到更多的关注。
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用概率论是一个重要的数学分支，它用来描述各种事件出现的可能性。
它的定义简洁明了：一个事件的概率就是发生这个事件的概率。
概率论主要应用于概率实验，统计图表绘制，预测数据，模拟实验，推理推断等。
在数学建模中，概率论也都有应用，它能够使数学建模更加精准、准确。
概率论可以用来估计未知出现的概率。
例如，在金融行业，投资者可以利用概率论来估计投资回报，企业可以利用概率论来估计市场行为，决策者可以利用概率论来估计决策的可能性。
此外，概率论还可以用来估计不确定性或混乱性，例如公司重大决策、上市公司的股票投资机会、灾难威胁和信息安全攻击风险等。
此外，概率论还可以用来解决组织控制与管理问题。
在组织控制方面，概率论可以帮助组织领导者有效地管理组织行为、识别未来发展方向，并确定有效的组织控制机制。
在管理安排方面，概率论可以帮助组织安排复杂的项目，确定最佳的资源分配方式，并确定有效的管理机制。
另外，概率论还可以用来解决故障诊断和风险评估的问题。
为了更好地控制故障，概率论可以帮助计算出各个故障发生的可能性，从而有助于制定更有效的检修计划。
此外，概率论也可以帮助管理者进行风险评估，它可以帮助管理者预测某一项目可能出现的风险，并作出预防措施。
总之，概率论在数学建模中有着广泛的应用，它可以帮助我们估计未知出现的概率，解决组织控制与管理问题，以及进行故障诊断和风险评估。
由于概率论的定义简洁明了，在数学建模中它的应用可以使模型更加精准、准确。
此外，概率论同样适用于统计和抽象数学建模，只要有正确的概率论介绍，任何数学建模工作都可以正确和准确地完成。
综上所述，概率论在数学建模中有着重要的实际应用，它可以帮助我们实现非常准确的数学建模，并获得有效的管理和决策结果。
因此，概率论在数学建模中的若干应用应当受到重视和充分的认识。
分布函数与概率密度函数研究：随机事件的数学建模
分布函数与概率密度函数研究：随机事件的数学建模随机事件是概率论研究的核心内容之一，它通过数学建模来对不确定的事件进行描述和分析。
在概率论中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的两个重要概念。
本文将探讨分布函数和概率密度函数的定义、性质以及它们在数学建模中的应用。
一、分布函数的定义与性质1.1 定义分布函数是随机变量的一种描述方式，它反映了随机变量在某一取值点之前所有可能值所对应的概率之和。
设X是一个随机变量，其分布函数记为F(x)，表示X≤x的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数的定义域为实数区间。
1.2 性质（1）F(x)是一个非降函数，即随着x的增大，F(x)不减。
（2）当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。
（3）F(x)是右连续的，即对于任意的实数a，有limx→a+ F(x)=F(a)。
（4）分布函数是一个概率分布，因此0≤F(x)≤1。
二、概率密度函数的定义与性质2.1 定义概率密度函数是描述连续型随机变量的一种方式，它是一个函数，用来描述随机变量在不同取值上的概率密度。
设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数记为f(x)，表示X在x处的概率密度。
2.2 性质（1）f(x)大致表示在以x为中心的一个小区间内事件发生的概率。
（2）f(x)非负，即在定义域内的任意点x，有f(x)≥0。
（3）概率密度函数的总积分为1，即∫f(x)dx=1。
三、分布函数与概率密度函数的关系3.1 定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，其分布函数为F(x)。
则有F(x)=∫f(t)dt，其中t的积分区间从负无穷到x。
3.2 性质（1）在某一点x处，概率密度函数的导数等于分布函数在该点的值的导数，即f(x)=dF(x)/dx。
（2）由分布函数F(x)的性质可知，当x在某一区间(a,b]时，有P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a) = ∫[a,b]f(x)dx。
浅谈《概率论》教学中如何融入数学建模
关键 词 ： 率论 ； 学建模 概 数
中图分类号 ： ６ ２ ０ Ｇ ４ ．
１ 引 言
机 问题 的思 想方法 ， 应用期 望值和标准差衡 量随机现象的特
征 。相关 的应用 实例有很多 ， 此列举 如下 ： 在
行 优化 ， 如组合 证券 投资决策 的均值—— 方差模型等。应用
多维 随机 变 量 解 决 应 用 问题 的 实 例 有 ： 庄 家 、 对 问 找 配 题—— 蒙特莫特问题 的继续讨 论、 组合证券投 资决 策模型 问 题 等。
具 体案例 ： 这样 找庄家公平吗？
通 常四个 人在一起打麻将 时要 先找头 ， 即找“ 庄家” 。他 们 的办法是 这样的 ， 随便 哪 一位掷 两颗 质体均 匀的骰子 ， 观
过程 ， 以此激活学生 们 的形象 思 维 ， 培养 学生 们养 成爱 思考 的 习惯 。在布置 作业 的时 候 ， 以布置 一些 开 放性 的题 目， 可
引导学生 自己动 手去利 用计 算机 及 网络 进行 概率 的有 关试
察 出现点数 之和 。若点数之 和为 ５或 ９点 ， 骰子者本人 则掷
（） １ 解决不 确定问题 首先遇 到概率 的计算 问题 ， 用到 常 的计算 方法有 古典概 型 、 条件 概率 、 加法公式 、 法公式 、 乘 全 概率公式与贝 叶斯公 式等 。我们可 以选 取以下案例 ： 日相 生
同、 蒙特莫 特（ ｏｔｏ ） Ｍ ｎ ｒ 问题 （ 对问题 ）论掷骰 子游戏 中 ｍ ｔ 配 、
态 分布的应用等 问题 。
的意识 、 和能力 ， 兴趣 让学 生学 会 用数 学 的思 维方 式观察 事
数学建模基础知识
数学建模基础知识一、数学基础数学建模是使用数学语言描述实际问题并建立模型的过程。
因此，掌握一定的数学基础知识是进行数学建模的关键。
这包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等学科的基础知识。
1. 高数学是数学建模的基础，主要包括极限、微积分、级数、微分方程等知识。
这些知识在模型构建和数值计算中有着广泛的应用。
2. 线性代数是研究线性方程组的科学，它提供了解决多变量问题的基本工具。
在模型构建和数据处理中，线性代数可以帮助我们理解和操作空间向量、矩阵等重要概念。
3. 概率论与数理统计是研究随机现象的数学科学。
在数据处理和问题解决中，概率论与数理统计的知识可以帮助我们理解和分析不确定性，从而更好地解决问题。
二、模型构建模型构建是数学建模的核心，它包括以下步骤：1. 问题分析：对实际问题进行深入分析，明确问题的主要矛盾和次要矛盾，找到问题的核心。
2. 模型假设：根据问题分析的结果，提出合理的假设，为模型构建提供基础。
3. 模型建立：根据假设，使用数学语言描述实际问题，建立数学模型。
4. 模型验证：将建立的模型用于实际问题，进行数据分析和预测，验证模型的准确性和可靠性。
三、数值计算数值计算是数学建模中不可或缺的一部分，它包括以下步骤：1. 算法设计：根据问题的特点，设计合适的算法，以实现模型的数值计算。
2. 编程实现：使用适当的编程语言实现算法，进行数值计算。
常用的编程语言包括Python、C++、Java等。
3. 结果分析：对计算结果进行分析和解释，为问题解决提供依据。
四、数据处理数据处理是数学建模中非常重要的一环，它包括以下步骤：1. 数据收集：根据实际问题的需要，收集相关的数据。
这可能包括历史数据、调查数据、实验数据等。
2. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗和处理，去除无效和错误的数据，确保数据的准确性和完整性。
3. 数据转换：将清洗后的数据进行转换，使其更符合建模需要。
这可能包括数据的缩放、标准化、归一化等操作。
概率论与数理统计在数学建模中的应用【范本模板】
概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性,在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作）明显地,备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低。
因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量,使整个系统的工作可靠性最大？这是一个整体系统的可靠性问题。
我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ (9.1）来表示。
又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ,总重量不超过W ,则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏ （9。
2）11..,1,2,Ni i i Ni i i i c x cs t w x cx N i N==⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪∈=⎪⎩∑∑问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数,属于非线性整数规划问题.2、传染病流行估计的数学模型问题分析和模型假设本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行.被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程,以便对这些问题做出回答。
这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程.假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人,即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的。
数学建模方法
数学建模方法
在数学建模中，有许多方法可供选择，这些方法在不同的问题情境下展现出了各自的优势与适用性。
以下是数学建模中常用的几种方法：
1. 数理统计：数理统计是一种通过对收集到的数据进行分析和解释，来推断总体特征和规律的方法。
它可以帮助研究人员利用已有的数据来预测未来的趋势和结果。
2. 优化方法：优化方法用于寻找最佳的解决方案，以最大化或最小化某个目标函数。
这种方法被广泛应用于资源分配、生产计划、交通路径规划等问题的求解。
3. 动态系统建模：动态系统建模用于描述和模拟由一组变量和它们之间的关系构成的系统。
通过建立动态方程，可以预测系统随时间变化的行为，并对其进行控制和优化。
4. 图论与网络分析：图论与网络分析研究图形和网络的性质及其在实际问题中的应用。
它可以用来分析交通网络、社交网络等复杂系统，并提供优化解决方案。
5. 差分方程与微分方程模型：差分方程和微分方程模型是描述连续或离散系统行为的数学工具。
它们广泛应用于物理、工程、生物学等领域，用于分析和预测系统的发展和变化。
6. 概率论与随机过程：概率论与随机过程研究随机现象的数学模型和规律。
它可以帮助研究人员分析风险、评估不确定性，
以及设计和优化随机策略。
除了上述几种方法外，数学建模还可以结合其他学科的方法和技巧，如线性代数、图像处理、机器学习等，来解决复杂的实际问题。
研究人员需要根据问题的特性和需求，选择合适的方法进行建模和求解。
数学建模思想融入《概率论与数理统计》的教学应用
将 数 学 建 模 的 基 本 思 想 融 入 到 概 率 论 及 数 理 统 计 教 学 改 革 的必 要 性 想 要 用 基 本 的数 学 方 法 解 决 现 实 中 的实 际 问题 ，就需 要 建 立 有 效 的数 学 模 型 。虽 然 传 统 的数 学 教 学 拥 有 完 善 的 教 学 体系， 却 忽 略 了数 学 的来 源 ， 只是 一 种 封 闭 的 系 统 ， 这 种 教 学 存 在一 定 的缺 陷 。 在 数 学 教 学 中融 人 数 学 建模 的思 想 ， 开设 相 应 的数 学 实 验 或 是 数 学 建 模 的教 学 课 程 ．促 进 学 生在 学 习 的 同 时体 会 到 知 识 被 发 现 及 创 作 的过 程 。 如今 ， 随 着 教 育 的 不 断 改 革 ．已有 多 个 院校 将 数 学 建 模 的基 本 思 想 融 入 到数 学 的 分 支 学科 中 。 在 教育 不 断 改 革 的背 景 下 ， 许 多 院 校 都 开 始 扩 招 大 学生． 但 是 要 面 临 学生 毕 业 后 就 业 难 的 现 状 。 大 学 中 的 概 率 论 及 统计 课 程 的相 关 教 学 。不 能 仅 停 留在 数 学 定 义 和各 种公 式
关键词： 数 学建 模
一
概 率 论 与数 深 ， 教 学 的 内容 从 具 体 到 抽 象 ， 对学生起 到 良 好 的启 发 作 用 。学 生在 学 习 过程 中 改 变 了 以 往 被 动 学 习 的状 态． 开 始主动探索 ， 案 例 的教 学 贴 近 学 生 的 生 活 ， 学 生 更 容 易 接受 。 这 种 教 学 方 法 加深 了学 生 对 概 率 论 相 关 知 识 的理 解 ， 发 散 思 维 ．并 利 用 概 率论 及 数 学 统 计 的 基 本 内 容 解 决 现 实 中 的 实 际 问题 。 激 发 了学 生 的 学 习 兴 趣 ， 同 时 提 高 了 学 生 解 决 实 际 问题 的综 合 能力 。 ３ ． 有 效 的 学 习方 式 对 于 概率 论 及 数 学 统计 的 相 关 内 容 ，在 教 学 过 程 中 不 能 只 是 照 本 宣科 ， 数 学 建 模 的基 本 思 想 并 没 有 固定 不 变 的模 式 ， 需 要 多 种 技 能 的相 互结 合 ， 综 合 利 用 。在 实 际 的教 学 中 ， 教 师 不 应 该 一 味参 照课 本 内 容 进 行 教 学 ，而 是 引 导 学 生 学 会 走 出 课本 ， 自主 解 决 现 实 中 的各 种 问题 ， 鼓 励 学 生 查 阅 相 关 的 资 料 背景 ． 提 高 学 生 自主 学 习 的能 力 。在 教 学 前 ， 教 师 首 先 补 充 一 些启发式的数学知识 ， 传 授 教 学 中新 的 观念 及 新 的学 习方 法 ， 拓展学生的知识面。 在 进 行 课 后 习题 练 习时 ， 教师 需 要 适 当引 入 部 分 条 件并 不 充 分 的 问 题 。 改 变 以往 课 后 训 练 的模 式 ， 注 重 培 养 学 生 自己 动 手 。 自 己思 考 ， 在得 到基本数据后 ， 建 立 数 学 模型的能力。 还 可 以在 教 学 中 加入 专题 讨 论 的 内容 ， 鼓 励 学 生 能 够 勇 敢 地 表 达 自己 的 想 法 和 见 解 ，促 进 学 生 之 间的 讨 论 和 交流。 ４ ． 将 数 学 建模 的基 本 思 想融 入 课 后 习题 中 课 后 作 业 的 练 习 是 巩 固课 堂 所 学 知 识 的 重 要 环 节 ，也 是 教 学 内 容 中 不 可 忽 视 的 过程 。 对 于 课后 习题 的布 置 ， 可 以将 数 学 建 模 的 思 想 融 入 其 中 ，并 用 这 种 思 想 真 正 地 解 决 现 实 中 的 各种问题。 在 实 践 中学 会 应 用 ， 不 仅 能 够 巩 固 课 堂 学 到 的理 论 知识 ， 还 能 够 提 高学 生 的 实践 能力 。 例 如 ： 课 后 的 习题 可 以布 置 为 测 量 男 女 同 学 的 身 高 。并 用 概 率 统 计 学 的相 关 知 识 分 析 身 高 存 在 的 各 种 差 异 ，或 者 分 析 中午 不 同时 间段 食 堂 的拥 挤 程度 ， 根 据 实 际情 况 提 出解 决 方 案 ， 或 者 分 析 某 种 水 果 具 体 的 销 售 情 况 与 季 节 变 化存 在 的 内在 关 系 等 。 在 解 决 课 后 习题 时 ， 学生可以进行分组 ， 利 用 团 队 的合 作共 同 完 成作 业 的 任 务 ， 通 过实践活动完成训练。 学 生 在 完 成 作业 的过 程 中 ， 不仅 领 会 到 了数学建模 的基本思想 ， 还 能 将 概 率 统计 的 相 关 知 识 应 用 到 实际问题中 ， 并 通 过 科 学 的统 计 和 分析 解 决 实 际 问 题 ， 培 养 了 学 生 自主 探 究 及 实 际操 作 的综 合 能 力 。 三、 结 语 将 数 学 建 模 的 基 本 思 想 融 人 到 概 率 统 计 教 学 中 ，有 效 提 高 了学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 ，有 利 于 培 养 学 生 利 用 所 学 的课 本 知识解决现实问题的能力。
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概率论与数学建模基础知识部分 一、概率论：1、概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数。
注：事件指随机事件（可重复、可预测、结果明确） 例如抛骰子，抛一枚硬币。
2、常见的随机变量：X （1）离散型：泊松分布：k e P X k k k λλ-（=）=，=0、1、2、、、！实际应用：时间t 内到达的次数；（小概率事件）一本书中一页中的印刷错误数； 某地区在一天内邮件遗失的信件数； 某一天内医院的急症病人数；某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数； 一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的α粒子数等等…… （2）连续型：指数分布：x e x>0f X λλ⎧⎨⎩-，（）=0，其它其中>0λ为常数 ，记为)(~λExp X特点:无记忆性。
即是P(/)()X s t X s P X t >+>=>一个元件已经使用了s小时，在此情形下，它总共能使用至少s+t 小时的概率，与开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等，即元件对已使用过s小时无记忆。
实际应用：（可靠性理论、排队论）许多“等待时间”都服从指数分布；一些没有明显“衰老”迹象的机械元器件（如半导体元件）的寿命也可也用指数分布来描述……正态分布：xef X<x<+2μσσπ∞∞22（-）-2（）=，-记为2X~N(,)μσ标准正态分布：X~N(0,1)正态分布标准化：若),(~2σμNY,则)1,0(~NXYσμ-=，标准化的目的在于能够方便查阅书后的标准正态分布表。
“3σ“原则：“3σ“原则被实际工作者发现,工业生产上用的控制图和一些产品质量指数都是根据3σ原则制定。
3、随机变量的特征数（数字特征）：均值（期望）：k k k x p E X xf x dx ∞∞∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑⎰=1+-，（离散型）（）=（），（连续型）方差：22D X =E X E X ()(())E X E X =-2（）（-（））中心极限定理：n X X ,,1Λ是独立同分布的随机变量序列，且22(),(),0i i E X D X μσσ==>则有：)(}{lim 1t t nn X X P n n Φ=≤-+∞→σμΛ模型一、轧钢中的浪费模型：问题：将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序：粗轧（热轧），形成刚才的雏形；精轧（冷轧），得到规定长度的成品材料。
由于受到环境、技术等因素的影响，得到钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以通过调整轧机设定，而均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。
如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费；而如果粗轧后的钢材长度小于规定长2σ6σ4σ（1）（2）（3）μ度，则造成整根钢材浪费。
如何调整轧机使得最终的浪费最小。
（1） 问题概述：成品材料的规定长度已知为l ，粗轧后的钢材长度的标准差为σ，粗轧后的钢材长度的均值m ，使得当轧钢机调整到m 进行粗轧，然后通过精轧以得到成品材时总的浪费最少。
（2） 问题分析：精轧后的钢材长度记为X ，X 的均值记为m ，X 的方差为σ，按照题意，),(~2σm N X 。
概率密度函数记为f （x ），当成品钢材的规定长度l 给定后，记x ≥ι的概率为p '，p '=p （x ≥ι）。
在轧钢过程中产生的浪费由两种情况构成：若l X >，则浪费量为l X -；若l X <，则浪费量为X 。
注意到当m 很大时，l X >的可能性增加，浪费量同时增加；而当m 很小时，l X <的可能性增加，浪费量也增加，因此需要确定一个合适的m 使得总的浪费量最小。
（3） 模型建立与求解：这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用 l ，σ，m 把目标函数表示出来。
根据前面的分析，粗轧一根钢材平均浪费长度为：W (x-)f(x)dx+xf(x)d(x), (1)ιιι∞-∞=⎰⎰利用f(x)dx 1+∞-∞=⎰，xf(x)d(x)m +∞-∞=⎰，和f(x)dx p ι+∞'=⎰由（1）得：W=m-l p '以W 为目标函数是否合适？由于轧钢的最终产品是成品材，浪费的多少不应以每粗轧一根钢材的平均浪费量为标准，而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量。
因此目标函数为：W mJ P P ι==-''因为ι是已知的常数，所以目标函数可以等价的取为：mJ(m),(2)P (m)='其中P (m)=p(x)dx ι∞'⎰，22(x-m)-2P(X)=σ易见J(m)平均每得到一根成品钢材所需要的刚才长度，问题就转化为求m 使J(m)达到最小。
令x mmy ,,,ιμλσσσ-===则(2)式可表为：(-Z)J()J(Z),(Z=-)(-)(Z)σμσλμλμφλμφ-===其中：2y -2z(Z)=(y)dy,(y)=φφ∞ψ⎰可用微分法解J (Z)-的极值问题。
不难推出最优值Z 应满足方程：(Z)Z (Z)φλ=-ψ （*）记(Z)F(Z)=(Z), φψ)(Z F 可根据标准正态分布的函数值φ和ψ制成表格式给出图形。
由上表可得方程（*）的根Z*注：当给定λ>F （0）=1.253时，方程（*）不止一个根，但是可以证得，只有唯一负根Z*<0，才使J (Z)-取得极小值。
模型二、（美国）一个地区911应急服务中心在过去的一年内平均每月要收到171个房屋火灾电话，基于这个资料的，火灾率被估计为每月171次，下个月收到火灾报警电话只有153个，这表明房屋火灾率实际上实际上是减少了，或是或是它只是一个随机波动？分析：Xn ——第n-1次和第n 次火灾之间的时间（月），X1…，Xn ，…是独立的且每一个Xn 服从参数为λ的指数分布，λ为报告的房屋火灾率（月），即是：ix i f(X )=eλ-λ，（Xi>0）目标：给定λ=171，确定每月收到153次这样的少的电话报警的概率有多大？或者说每月收到153是否属于正常范围内？建模：i x i f(X )=e λ-λ，λμ1)(==n X E ，221σλ=将11μσλλ==，代入得：（利用3σ原理）：若要有95%的把握，则：22-≤≤ 若要有99%的把握，则：33-≤≤ 选择95%的把握得到：12...,(1)n n n X X X λλλλ-≤+++≤+将λ=171，n=153代入（1），有：12153153153 (171171171171)X X X -≤+++≤+ 即：121530.75... 1.04X X X ≤+++≤因此我们的观察值12153...1X X X +++≈是在正常的变化范围之内 结论：断言火灾报警率降低的证据不充分，它可能是正态随机变量的正常结果。
当然，若每月都连续这样低，则需重新评估。
灵敏度分析：当λ=171代入（1）得：12 (171171171171)n n n X X X -≤+++≤+因为对任何的[]n 147199∈，，区间171n ±1，即在[]147199，之间都属于正常范围。
对于“每月171次”的假设的敏感性分析。
去掉特殊性，假设每月的均值是λ，我们有一个月的报警电话次数的观测值n=153，代入（1），有：12153153153...X X X λλλλ-≤+++≤+因为对于任何的[]1281178λ∈，之间153λλ±总会包含1，所以λ=153属于正常的变化范围。
随机过程与数学建模基础知识部分随机过程：热噪声电压：电子元件或器件由于内部微观粒子的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压。
它在任一时刻t 的值是一随机变量，记为V(t),不同时刻对应不同的随机变量，当时间在某区间，譬如在[]∞0，+上推移时，热噪声电压表现为一族随机变量，记为：{V(t),t>=0}。
由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量都将产生不同的电压——时间函数。
这样，不断的独立的测量就可以得到一族不同的电压——时间函数。
∈的一族（无限多个）设T是一无限实数集，我们把依赖于参数t T∈，X(t)是随机变量称为随机过程。
记为{X(t),t T∈}。
这时每一个t T一随机变量，T叫做参数集。
把t看作为时间，称X(t)为时刻t时过程的状态，而X(t)=x或是t=t1∈，X(t)的所有可能的一切值的全时过程处于状态x。
对于一切的t T体称为随机过程的状态空间。
马尔可夫链及其基本方程：将时间离散化为n=0，1，2，…对每个n ，系统的状态用随机变量Xn 表示，设Xn 可以取k 个离散的值Xn=1，2，…k ，且记i n a n P X i （）=（=）即状态概率从Xn=i~Xn+1=j 的概率记为 ij n n P P X j X i =+1（=|=），即转移概率。
如果1+n X 的取值只取决于Xn的取值及转移概率，而与X1，X2，…，Xn-1的取值无关，则称这种离散状态按照离散的时间的随机转移过程叫做马尔可夫过程。
或者说此过程具有马尔可性或无后效性。
注：还可以这样表示{}{}n n 12n-1n n n n n n P X x X x X x X x P X x X x x R≤=≤∈12-1-1-1|=，=，...，=|=，由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马尔可夫链的基本方程为ki j ij j a n a n P i 123k =∑=1（+1）=（），，，，...， (1) 并且i a n （）和ij P 应满足： i1an ,0,1,2,...0,1,,1,2,...,kij ij j n P P i j k==≥==∑∑ki=1（）=1 （2）引入状态概率向量和转移概率矩阵12k a n a n a n a n P⨯ij k k （）=（（），（），...，（）），{P }则（1）式可表为：a n+1（）=a(n)p (3)由此可得 ：a n n（）=a(0)p (4)（2）式表明转移矩阵P 是非负矩阵，且P 的行和为1，称为随机矩阵。
说明：对于马尔可夫链模型最基本的问题是构造状态Xn 及写出转移矩阵P ，一旦有了P ，那么给定初始状态概率a （0）就可以用（3）和（4）或计算任意时段n 的状态概率a （n ）模型一：人寿保险公司对受保人的健康状况特别关注，他们欢迎年轻力壮的人投保，患病者和高龄人则需付较高的保险金，甚至被拒之门外。
人的健康状态随着时间的推移会发生转变，且转变是随机的，保险公司要通过大量数据对状态转变的概率做出估计，才可能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理陪金数额，下面分两种情况进行讨论： （1）健康与疾病：n 1X n 0122⎧==⎨⎩，健康 ，，，，...，疾病i n ij n+1n a n P X i P P X j X i =（）=（=）---状态概率（=|=）----状态转移概率其中（i ，j=1，2）a n a n-1P a n P a n a n-1P a n P a a +⎧⎨+⎩1111221211222212（）=（）（）（）=（）（）（0）=1，（0）=0若开始处于疾病状态，即a a 12（0）=0，（0）=1，更一般的12(0)0.25λ=（0）=0.75,a ，当n →∞时，a n a n 12（）,（）的趋向与上面两表相同。