高三数学一轮复习 27.正余弦定理应用举例学案
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。
高三新数学第一轮复习教案第27讲正、余弦定理及应用
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座27）—正、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。
三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C。
3．三角形的面积公式：（1）△＝ah a＝bh b＝ch c（h a、h b、h c分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sin A sin B sin C。
高考数学一轮复习教案(含答案) 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例
第七节 正弦定理、余弦定理应用举例[考纲传真] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语(2)南偏西α：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ( ) (3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.( )(4)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B 成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile D[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC＝5 6.]3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 mD[设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝3x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50 3 m B．25 3 mC．25 2 m D．50 2 mD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知AC sin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m．]1．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)60 [如图所示，过A 作AD ⊥CB且交CB 的延长线于D .在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30°得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，得 92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BC sin 37°， 解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．] 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 103 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．]3．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.32 [在△ABS 中，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ASB ＝BS sin ∠BAS，则 AB ＝82sin 45°sin 30°＝16，故此船的船速是160.5＝32 n mile/h.]4．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.64[∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)．在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km.]【例1】 (2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米． 在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．]【例2】 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．[解]如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°.整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)，∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝103，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin 120°，∴sin∠CAB＝BC·sin 120°AB＝10×3 2103＝1 2.∴∠CAB＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.。
高三数学一轮复习26正余弦定理学案
高三数学一轮复习 26.正余弦定理学案【学习目标】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．预习案1．正弦定理asin A＝＝＝2R 其中2R为△ABC外接圆直径．变式：a＝，b＝，c＝ .a∶b∶c＝∶∶ .2．余弦定理a2＝；b2＝；c2＝.变式：cos A＝；cos B＝；cos C＝ .sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A.3．解三角形(1)已知三边a、b、c.运用余弦定理可求三角A、B、C.(2)已知两边a、b及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c(3)已知两边a、b及一边对角A. 先用正弦定理，求sin B：sin B＝b sin A a.①A为锐角时，若a<b sin A，；若a＝b sin A，；若b sin A<a<b，；若a≥b，．②A为直角或钝角时，若a≤b，；若a>b，．4．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．4．三角形常用面积公式 (1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A＝abc4R. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【预习自测】1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角 A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π32．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝ ( )A.1010B.105C.31010D.553．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C ＝________.5．△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20,102，2033，10和5的情况下，求相应的角C .探 究 案题型一：利用正余弦定理解斜三角形例1.(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求B ，C 及边c .(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．拓展1：(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝________.(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.①求A ； ②若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .题型二：面积问题例2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．拓展2.△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．题型三：判断三角形形状例3;(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为 ( )A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定(2)在△ABC中，已知a cos A＝b cos B，则△ABC为 ( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形拓展3. (1)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．(2)在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc. ①求角A的大小；②若sin B sin C＝34，试判断△ABC的形状，并说明理由．题型四：解三角形的应用例4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C.(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.拓展4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B ＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一； （4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在 中， ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 若 是 （ ）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（ ）A ．B ．75C ．51D ．494．在 中，已知角 则角A 的值是（ ）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5． 中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（ ）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
高考数学一轮复习教学案正弦定理和余弦定理的应用
第八节正弦定理和余弦定理的应用[知识能否忆起]1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．2．解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．[小题能否全取]1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°答案：B2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示， ∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3.(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由正弦定理得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．4．(·上海高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 答案： 65．(·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．解析：如图，由题意知在△ABC 中，∠ACB ＝75°－60°＝15°，B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8海里．答案：8解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．测量距离问题典题导入[例1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． [自主解答] (1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D .解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，且∠C ＝∠D ， 所以S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？ 解：因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形， ∠D ＝60°，∠C ＝60°.故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 000 3≈86 600元．由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝105°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m.(1)求sin ∠CAB 的值； (2)求该河段的宽度． 解：(1)sin ∠CAB ＝sin 105° ＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. (2)因为∠CAB ＝105°，∠CBA ＝45°， 所以∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB ，则BC ＝AB ·sin 105°sin 30°＝50(6＋2)(m)．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC 中，CD ＝BC ·sin 45°＝50(6＋2)×22＝50(3＋1)(m)． 所以该河段的宽度为50(3＋1)m.测量高度问题典题导入[例2] (·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC 的长；(2)若l ＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD 的高度．[自主解答] (1)在△ABC 中，∠ACB ＝β－α， 根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，所以BC ＝l sin αsin (β－α).(2)由(1)知BC ＝l sin αsin (β－α)＝24×sin 15°sin 30°＝12(6－2)米．在△BCD 中，∠BDC ＝π2＋π6＝2π3，sin ∠BDC ＝32，根据正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以CD ＝24－83米．由题悟法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．以题试法2．(·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得BC ＝x .在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°， 即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40米．测量角度问题典题导入[例3] (·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[自主解答] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.由题悟法1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．以题试法3.(·无锡模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是________．解析：∵AD 2＝602＋202＝4 000，AC 2＝602＋302＝4 500. 在△CAD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，∴∠CAD ＝45°.答案：45°1．在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析：选D ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3. ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.2．一个大型喷水池的有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.3．(·天津高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 4．(·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．20 3 海里解析：选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， ∴∠BCA ＝45°.又AB ＝40×12＝20(海里)，∴由正弦定理可得20sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(海里)．6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m.∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km.7.(·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要________元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝27 000元．答案：27 0008.(·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：329．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 310.如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°， ∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)解：由题意，设AC ＝x ，则BC ＝x －217×340＝x －40， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝140 3.答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．12.(·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，CD ＝6，∠ADC ＝75°，所以∠CAD ＝60°.因为CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD， 所以AD ＝CD ×sin ∠ACD sin ∠CAD＝6×2232＝2 6. 在△BCD 中，∠BCD ＝30°，CD ＝6，∠BDC ＝15°，所以∠CBD ＝135°.因为CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， 所以BD ＝CD ×sin ∠BCD sin ∠CBD＝6×1222＝3 2. 又因为在△ABD 中，∠BDA ＝∠BDC ＋∠ADC ＝90°，所以△ABD 是直角三角形．所以AB ＝AD 2＋BD 2＝(26)2＋(32)2＝42.所以电线长度至少为l ＝1.2×AB ＝6425(单位：km) 答：施工单位至少应该准备长度为6425km 的电线．1.某城市的电视发射塔CD 建在市郊的小山上，小山的高BC 为35 m ，在地面上有一点A ，测得A ，C 间的距离为91 m ，从A 观测电视发射塔CD 的视角(∠CAD )为45°，则这座电视发射塔的高度CD 为________米．解析：AB ＝912－352＝84，tan ∠CAB ＝BC AB ＝3584＝512.由CD ＋3584＝tan(45°＋∠CAB )＝1＋5121－512＝177，得CD ＝169. 答案：1692.10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.解析：∵由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°.∴x ＝1063m. 答案：1063m 3.(·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA ―→成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R )的值域．解：(1)连接BC ，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.∴BC ＝107，即所求距离为107海里． (2)∵sin θ20＝sin 120°107， ∴sin θ＝ 37. ∵θ是锐角，∴cos θ＝47. f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x ＝37sin x ＋37cos x ＝237sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－237，237.1.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102， ∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2. 因此，乙船的速度为10220×60＝30 2(海里/时)． 2.如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为2π3，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路最长？解：(1)在△OCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠COD ＝OD sin ∠DCO ＝CO sin ∠CDO＝23， 所以CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝cos θ＋13sin θ，OD ＝23sin θ， 因为OD <OB ，即23sin θ<1， 所以sin θ<32，所以0<θ<π3， 所以CD ＝cos θ＋33sin θ，θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π3. (2)设观光道路长度为L (θ)，则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长＝1－23sin θ＋cos θ＋13sin θ＋θ ＝cos θ－13sin θ＋θ＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， L ′(θ)＝－sin θ－33cos θ＋1， 由L ′(θ)＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以θ＝π6，列表： θ⎝⎛⎭⎫0，π6 π6 ⎝⎛⎭⎫π6，π3 L ′(θ)＋ 0 － L (θ)增函数 极大值 减函数所以当θ＝π6时，L (θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．。
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理应用举例教案
芯衣州星海市涌泉学校正弦定理和余弦定理应用举例自主梳理1.实际问题中的常用角(1)．仰角和俯角与目的视线同在一铅垂平面内的程度视线和目的视线的夹角，目的视线在程度视线上方时叫仰角，目的视线在程度视线下方时叫俯角．(如下列图)(2)．方位角一般指从正北方向顺时针转到目的方向线的程度角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．(3)．方向角：相对于某一正方向的程度角．(如下列图)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目的方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目的方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)．坡度角坡面与程度面所成的二面角的度数.坡面与程度面的夹角．(如下列图)(5)．坡比坡面的铅直高度与程度宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角)．自我检测1．如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200 米．那么A，C两点的间隔为()A.米B．100 米C.米D．200 米2．如下列图，两座A和B与海洋观察站C的间隔相等，A在观察站C的北偏东40°，B在观察站C的南偏东60°，那么A在B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°A、B的相对位置如下列图，由得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，那么α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，那么塔高为________m. 4．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，那么山的高度BC为________m.500(＋1)5．△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.解由cos∠ADC＝＞0知B＜，由得cosB＝，sin∠ADC＝，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.由正弦定理得，＝，所以AD＝＝＝25.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型题型一与间隔有关的问题例1如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间是是？实际应用题，本质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得＝，∴DB＝＝＝＝10(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间是是t＝＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．变式训练1〔1〕要测量对岸A、B两点之间的间隔，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的间隔.解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A、B之间的间隔为km.〔2〕某观测站C在目的A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解如下列图，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝＝，所以sinB＝.在△ABC中，AC＝＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，AB＝－11(舍)，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A还有15千米．点评：(1)实际问题经抽象概括后，量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或者者余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，量与未知量涉及到两个(或者者两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．〔3〕如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间是是.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，那么CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝海里.又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.题型二测量高度问题例2如下列图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一程度面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得＝，所以BC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝变式训练2(1)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解由题意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，＝，∴BD＝＝20.过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝20×＝10(－1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝(3－)(米)．故所求的塔高为(3－)米．(2)如图，某人在塔的正向上的C处在与塔垂直的程度面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×＝100(米)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝＝＝50(－1)(米).在Rt△ABE中，tanα＝.∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(米).设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟.那么t＝×60＝×60＝(分钟).(2)由(1)知当α获得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(－1)··＝25(3－)(米).即所求塔高AB为25(3－)米.题型三几何中的正、余弦定理应用问题例3如下列图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长.探究进步要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成假设干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理.解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得＝，sin∠ABC＝＝＝.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°，由正弦定理：＝，解得BD＝.故BD的长为.变式训练3如下列图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.解:(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°，所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理＝，故AE＝＝＝－.四三角形中最值问题例4某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如下列图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝4，tanβ＝0，请据此算出H的值；(2)该小组分析假设干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的间隔d(单位：m)，使α与β之差较大，可以进步测量精度．假设电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.tanβ＝.所以tan(α－β)＝＝≤，当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号，所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，那么0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．变式训练4〔1〕如下列图，半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．解设∠POB＝θ，四边形面积为y，那么在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋(5－4co sθ)＝2sin(θ－)＋.∴当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.所以四边形OPDC面积的最大值为2＋.〔2〕．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，那么运动开始________h后，两车的间隔最小．解析如下列图：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，那么AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴当t＝时，DE最小．〔3〕．如图，某拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运发动的平安，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的间隔；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解方法一(1)依题意，有A＝2，＝3，又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.当x＝4时，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝＝5(2)如图，连接MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.设∠PMN＝θ，那么0°<θ<60°.由正弦定理得＝＝，∴NP＝sinθ，MN＝sin(60°－θ)，∴NP＋MN＝sinθ＋sin(60°－θ)＝＝sin(θ＋60°)．∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或者者几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并答题．(4)检验解出之答案是否具有实际意义，对解进展取舍．2．应用举例中常见几种题型测量间隔问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．练习一一、选择题1．假设等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B.C. D.2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的间隔为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的间隔为()A．50m B．50mC．25m D.m3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，那么其外接圆的半径为()A. B.C. D．94．某人向正向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值是()A. B．2C.或者者2 D．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一在船的南偏西60°方向，另一在船的南偏西75°方向，那么这只船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里二、填空题6．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，那么第三条边AC 的最小值是____153．7．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个在北偏东15，这时船与的间隔为km ．30km8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的间隔为10米(如下列图)，旗杆底部与第一排在一个程度面上．假设国歌长度约为50秒，升旗手应以____0.6____米/秒的速度匀速升旗．三、解答题9.如图，在△ABC 中，∠B＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长.解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝＝5.10.圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积 S=S△ABD+S△CDB=12AB·ADsinA+12BC·CD·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=12(AB·AD+BC·CD)sin A=12(2×4+6×4)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD 中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA在△CDB 中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC∴20－16cosA=52－48cosC ，∵cosC=－cosA ， AD O C∴64cosA=－32，cosA=－1 2，又0°＜A＜180°，∴A=120°故11．如图，A、B、C、D都在同一个与程度面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座的塔顶．测量船于水面A 处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间间隔与另外哪两点间间隔相等，然后求B、D的间隔(计算结果准确到0.01km，≈14，≈49)．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.在△ABC中，＝，即AB＝＝，所以BD＝≈0.33(km)．故B、D的间隔约为0.33km.12．如下列图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？解如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10(海里)．又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里)．因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)．练习二一、选择题1.假设在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于()A. B. C. D.2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，那么斜坡长为()A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20°3.在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，那么∠C等于()A.30°B.60°C.120°D.30°或者者150°4.如下列图，位于A处的信息中心得悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，那么cosθ等于()A. B.C. D.二、填空题5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为_.50_______米.6.如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，那么BC的长为________.87.△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么△ABC的面积为________.158.在△ABC中，B＝60°，AC＝，那么AB＋2BC的最大值为____2____.9.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.假设△ADC的面积为3－，那么∠BAC＝____.60°____.三、解答题10.如下列图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，假设此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.由正弦定理，得＝，即＝，所以AC＝＝15(＋).所以A到BC的间隔为AC·sin45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈15×(32＋1)＝40.98(海里).这个间隔大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险11．在某海滨城附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城O(如图)的东偏南θ2θ=方向(cos)10300千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向挪动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/小时的速度不断增大，问几小时后该城开始受到台风的侵袭？解:如图,设在时刻t(小时)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(千米)．假设在时刻t城O受到台风的侵袭，那么OQ≤10t＋60.由余弦定理知OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ.∵PO＝300，PQ＝20t，cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝×＋×＝，12．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为戒备水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝，0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)假设该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入戒备水域，并说明理由．解：(1)如图，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ由于0°<θ<90°，所以cosθ＝＝.由余弦定理得BC＝＝10.所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．(2)方法一如下列图，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有，x1＝y1＝AB＝40，x2＝ACcos∠CAD＝10cos(45°－θ)＝30，y2＝ACsin∠CAD＝10sin(45°－θ)＝20，又点E(0，－55)到直线l的间隔d＝＝3<7，所以船会进入戒备水域．方法二易求点B坐标为(40,40)(方法同解法一)．在△ABC中，由正弦定理得sinB＝·sinθ＝，∴cosB＝＝＝.即tanB＝＝，∴kBC＝tan(45°＋B)＝＝2.∴直线BC的方程为y－40＝2(x－40)，即2x－y－40＝0，以下同解法一．。
高三数学一轮复习：正、余弦定理及其应用(一)(教案)
第四课时 正、余弦定理及其应用（一）（教案）【复习目标】1．掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式；2．能用正、余弦定理进行边角关系的转换，熟练进行边角计算； 3．会求三角形的未知元素，能解决有关三角形的求值、化简和证明问题．【知识梳理】1． 三角形内角和定理①利用π=++C B A ，有)s i n (s i n C B A +=，)cos(cos C B A +-=，tan tan()A B C =-+等；②利用2222π=++C B A ，有2cos 2sin C B A +=等； 2．正弦定理2()sin sin sin sin sin a b c a b c R R ABC A B C sinA B C++====∆++是的外接圆的半径 ::sin :sin :sin a b c A B C =利用正弦定理解决：①已知两角和其中一边；②已知两边和其中一边的对角． （先求另一边的对角，要注意两解，一解或无解情况） 3．余弦定理2222222cos cos 2b c a b c bc A A bc a+=+-=⇔-2222222cos cos 2a c b a c ac B B acb+=+-=⇔-2222222cos cos 2a b c a b ab C C abc=+-=⇔+-.利用余弦定理解决：①已知三边；②已知两边及两边的夹角． 4．常用三角形的面积公式111sin sin sin 222S ab C bc A ca B∆===221sin sin sin 2sin sin sin 22sin()4a B C abcS ab C R A B C B C R====+=2a b c s ++=）5．判断三角形的形状判断三角形的形状时，一般把等式中的边化为角或角化为边，然后再完成恒等变换．注意：齐次等式或齐次式比值中的正弦等价转化． 如：2sin sin 2sin a b c A B C +=⇔+=，CBA c b a sin sin sin +=+. 6．解斜三角形问题：按已知条件得不同，可以分为以下四个类型： ① 已知两角一边；② 已知两边夹角； 解唯一 ③ 已知三边；④ 已知两边一对角； 解不唯一，要讨论；如已知：边,a b ，角A（1）A 为锐角A b a sin < A b a sin = A b a b sin >> b a > 无解 一解 二解 一解 （2）A 为钝角b a ≤ b a > 无解 一解 7．对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．对于实际应用问题中的有关名词、术语，要理解清楚，如坡角、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等． 【基础练习】 1．在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（B ）A ．直角三角形B ．等边三角形A b CA b C Ab C C A b aA Cb CA baC ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 ２．△ABC 中，::4:1:1A B C =，则::a b c 为（D ）A ．3∶1∶1B ．2∶1∶1C1∶1 D1∶1３．若,,A B C 是△ABC 的三个内角，且A B C <<（C ≠2π），则下列结论中正确的是（A ）A ．sin sin A C < B ．cot cot A C < C ．tan tan A C < D ．cos cos A C < ４．不等边△ABC 中，,,a b c 分别对角,,A B C ，且最大边a 满足条件222a b c <+，则A ∠的取值区间是（C ）A ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭５．满足条件4,45a b A ===︒的三角形ABC 的个数是（B ）A ．一个B ．两个C ．无数个D ．不存在6．在△ABC 中，222a cb ab -+=，则C ∠=（A ）A ．60︒B ．45︒或135︒C ．120︒D ．30︒７.在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（A ） A.1665 B.5665 C.1665或5665 D.1665- ８．在△ABC 中，A B >是sin sin A B >的（C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件９．在△ABC中，AC =，45A ∠=，75C ∠=，则BC１０．在ABC ∆中，若︒=120A ，5,7AB BC ==，则AB C ∆的面积S =3415. 【典型例题】【例1】解答下列各题： （1）在ABC ∆中，若30A =︒， 2a b ==，求角B ； （2）在ABC ∆中，已知：2,15a b C === ，求角B ．解：（1）由正弦定理，得sin sin a bA B=， 即sinsin b A B a =，得 sin B ==∵a b <，∴30B A >=︒，B 为锐角或钝角．即45B =︒或135︒；（2）由余弦定理，得2222cos 4822cos15c a b ab C =+-=+-⨯⨯︒，因为cos151)︒==，所以21248c =-=-所以c ==所以222cos 2b c a A bc +-===，所以30A =︒，135B =︒. 【例２】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且31cos =A . （1）求A CB 2cos 2sin2++的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值.解：（1）A C B 2cos 2sin2++=)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A =)192()311(21-++= 91-；（2）∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=,又∵3=a ，∴49≤bc ，当且仅当23==c b 时bc 取最大值是49. 【例３】在ABC ∆中，已知AB 边的长4c =，AC 边的长7b =，且BC 边的中线长72AD =，求解这一三角形．解：设x DC BD ==，∵ADB ADC π∠=-∠， ∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理，得x x x x ⋅⨯-+-=⋅⨯-+2727)27(2724)27(222222， 解得29=x ，∴9a =，∴72472947cos 222-=⨯⨯-+=A ，∴72arccos -=πA ，又32492749cos 222=⨯⨯-+=B ，∴32arccos =B ，同理可得 2119arccos =C ．【例4】已知,,a b c ABC ∆是的三边，S ABC ∆是面积，求使不等式2224c a b ab pS --+≥恒成立的实数p 取值范围.解：∵2222cos ,c a b ab C =+-∴142cos sin,84cos sin2ab ab C p ab C C p C -≥⋅-≥84cos,(0,),sinCp CC π-≤∈又84cossinCC-的最小值为，(,p∴∈-∞说明：由不等式的结构特征，联想到余弦定理与三角形面积公式，把关于p 的不等式转化为只含参数角C的不等式，本题恒成立的问题就变为求84cossinCC-在(0,)Cπ∈时的最小值问题．【备用例题】１．已知ABC∆的三条边长分别为cba、、；（1）若cba、、依次成等差数列，求B∠的取值范围；（2）若cba、、依次成等比数列，证明ABC∆中至少有两个内角不超过60 ．思考：两题的结论可以互换吗？答：可以解：（1）依题意，cab+=2，2122123221)(4324)(2cos22222222=-≥-+=+-+=-+=acacacacaccaaccacaacbcaB而π<<B0，Bcos单调递减，∴B的取值范围是]30(π，；（2）已知acb=2，由正弦定理，得2222221cos2222a cb ac ac ac acBac ac ac+-+--==≥=，∴060≤B，又由acb=2知ca、中必有一数不大于b，不妨设bc≤，则060≤≤BC，证毕．２．已知cba、、是ABC∆中∠A、∠B、∠C的对边，S是ABC∆的面积.若4,5,a b S===c的长度.解：∵1sin2S ab C=，∴sin2C=，于是60C∠= 或120C∠= ；又∵2222cosc a b ab C=+-，当60C∠= 时，222c a b ab=+-，c当120C∠= 时，222c a b ab=++，c=∴c的长度为21或61．【巩固练习】１．在ABC ∆中，设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q ：ABC ∆是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（B ）A ．15x <<Bx <<C．1x <<D5x <<3．已知ABC ∆中，1,30a b B ==︒，则ABC ∆或. 4．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∠=1611arccos （用反三角函数值表示）.5．在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论： ①由已知条件这一三角形被唯一确定； ②ABC ∆一定是一个钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =；④若8=+c b ，则ABC ∆的面积是2315．其中正确结论的序号是_______②③____________ ．6．在ABC ∆中，已知：2,15a b C === ，求：角,B A 和边c ．答案：30,135A B c === .7．已知在ABC ∆中， , 4,c a b C π=>=tan tan 6A B ⋅=，试求,a b 以及此三角形的面积． 解：∵tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B +=+-tan (1tan tan )tan(16)54C A B π=--=--=又∵tan tan 6A B ⋅=，且a b >，则ta n t a n A B >，∴tan 3,tan 2A B ==．而0, 022A B ππ<<<<，∴sin , sin 105A B ==利用正弦定理，可得sin sin c A a C ===sinsin5c BbC===1124∴sin225525.ABCS ab C∆==⨯⨯⨯=8．在ABC∆中，已知4442222a b c c a b++=+（），求角C.提示:4442222222222222()2,a b c c a b a b c a b a b c++=++-=∴+-=（）,得答案:0045135或9．如图，水平飞行的飞机的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机高度为海拔8000米，速度为600千米/时，飞行员在A处先看到山顶M的俯角︒=50α，经10秒后在B处看到山顶M的俯角︒=70β，求山顶M 的海拔高度.（精确到1米）答案：4492米10．三角形两边分别为3,1，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__1__.11.ABC∆中，若22tan sin tan sinA B B A⋅=⋅，则ABC∆一定是等腰三角形或直角三角形.12.若ABC∆的三条边为,,a b c满足()()3a b c a b c ab++⋅+-=，则C=60︒.13.设ABC∆的内角,,A B C的对边长分别为,,a b c，3cos()cos2A C B-+=，2b ac=，求B.解：由3cos()cos2A C B-+=及()B A Cπ=-+得3cos()cos()2A C A C---=，3cos cos sin sin(cos cos sin sin)2A C A C A C A C+--=，3sin sin4A C=.又由2b ac=及正弦定理得2sin sin sinB A C=，故23sin4B=，sin B=或sin B=(舍去)，于是3B π=或23B π=. 又由2b ac =知b a b c ≤≤或，所以3B π=.14.ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，且(c o s c o s )a B C b c+=+.(1)求证：2A π=；(2)若ABC ∆外接圆半径为1，求ABC ∆周长的取值范围．解：(1)证明：∵(cos cos )a B C b c +=+ ∴由余弦定理得22222222a c a b acabbca abc +-+-⋅+⋅=+，∴整理得222()()0a b b c c +--=. ∵0b c +>，∴222a b c =+.故2A π=.(2)∵ABC ∆外接圆半径为1，2A π=，∴2a =.∴2(sin cos ))4b c B B B π+=+=+．∵02B π<<，∴3444B πππ<+<，∴2b c <+≤∴42a b c <++≤+故ABC ∆周长的取值范围是(4,2+．15.在ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c ===, 若22299190a b c +-=，则B AC co t co t co t += 95解：B A C cot cot cot +=C C B A 2sin cos sin sin =2c ab •2222a b c ab+-=95。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案章节一：正弦定理的应用1.1 导入：通过复习正弦定理的定义和公式，引导学生理解正弦定理在几何中的应用。
1.2 实例讲解：以一个等腰三角形为例，利用正弦定理求解三角形的角度和边长。
1.3 练习：给出几个应用正弦定理的例题，让学生独立解答。
章节二：余弦定理的应用2.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在几何中的应用。
2.2 实例讲解：以一个直角三角形为例，利用余弦定理求解三角形的角度和边长。
2.3 练习：给出几个应用余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节三：正弦定理和余弦定理的综合应用3.1 导入：介绍正弦定理和余弦定理的综合应用，引导学生理解两者之间的关系。
3.2 实例讲解：以一个复杂的三角形为例，利用正弦定理和余弦定理相互验证，求解三角形的角度和边长。
3.3 练习：给出几个综合应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节四：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用4.1 导入：引导学生思考正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用，如测量学和工程学。
4.2 实例讲解：以一个实际问题为例，如测量一个未知角度的三角形，利用正弦定理和余弦定理求解。
4.3 练习：给出几个实际问题应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节五：总结与拓展5.1 总结：回顾本节课学习的正弦定理和余弦定理的应用，让学生总结关键点和注意事项。
5.2 拓展：引导学生思考正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学和天文学。
5.3 练习：给出一个拓展性问题，让学生独立解答，激发学生的思考和创造力。
正余弦定理的应用举例教案章节六：正弦定理在三角形判定中的应用6.1 导入：引导学生思考正弦定理在三角形判定中的应用，如判断三角形的类型。
6.2 实例讲解：以一个给定角度的三角形为例，利用正弦定理判断三角形的类型。
6.3 练习：给出几个利用正弦定理判断三角形类型的例题，让学生独立解答。
章节七：余弦定理在三角形判定中的应用7.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在三角形判定中的应用。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
高三数学一轮教学资料 正弦定理和余弦定理活动导学案
《正弦定理与余弦定理》活动导学案【学习目标】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【重难点】选择适当的定理解决三角形的角、边问题。
【课时安排】1-2课时【活动过程】一.自学质疑：1．在△ABC 中，边,,a b c 所对角为,,A B C ,且sin cos cos A B C a b c==，则A ∠=____. 2、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是____________.4．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = _____． 5．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是 ． 6.(2013·南京、盐城一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值；(2)若c os A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．探究一1.在ABC ∆中，若︒===30,1,3A AC AB ，则ABC ∆的面积为 .2.在ABC ∆中，若︒===60,3,2B b a ，则=A .3.在ABC ∆中，若︒===30,15,5A b a ，则=c .4.若cC b B a A cos cos sin ==，则ABC ∆为 三角形. 5.已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a ,,.若26+==c a ，且︒=∠75A ，求b .6.在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=.（1）求A 的大小；（2）若1sin sin =+C B ，试判断ABC ∆的形状..探究二1.在ABC ∆中，若,31sin ,4,5===A B b π则=a . 2.已知锐角三角形ABC 的面积为33，3,4==AC BC ，则角=C .3.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状为 . 4.在ABC ∆中，已知31tan ,21tan ==B A ，则其最长边与最短边的比值为 . 5在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，已B b a C A sin )()sin (sin 2222-=-，ABC ∆的外接圆半径为2.（1） 求角C ；（2）求ABC ∆的面积的最大值探究三1.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,，且2223a bc c b =++，则=A .2.在ABC ∆中，已知4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=C cos .3.在ABC ∆中，4,13,3===AC BC AB ，则边AC 上的高为 .4.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.当c b a ,,成等比数列时，且a c 2=，则=B cos . 5在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22，（1）求角A ；（2）求cB b sin 的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且ca b C B +-=2cos cos （1）求角B 的大小；（2）若4,13=+=c a b ，求三角形的面积.探究四1.在ABC ∆中，若B C bc b a sin 32sin ,322==-，则角=A .2.在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则b ＝________.3.在ABC ∆中，若面积)(41222c b a S -+=，则角=C . 4.设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三条边，则实数a 的取值范围是 .5.在锐角三角形ABC 中，若C b a a b cos 6=+，则=+B C A C tan tan tan tan .6.(2014·无锡调研)在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________．7.(2014·镇江质检)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________.8.(2013·山东高考改编)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.9.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求c a的值； （2）求b 的值．10.设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值.11.(2013·南通一调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B.(1)求角C的大小； (2)若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2的取值范围．。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及公式。
2. 学会运用正余弦定理解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC2. 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的公式及应用。
2. 教学难点：如何运用正余弦定理解决复杂问题。
四、教学方法1. 采用讲解、示例、练习、讨论相结合的方法。
2. 通过图形演示，使学生更直观地理解正余弦定理。
3. 引导学生运用正余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习三角形的基本概念，引导学生进入正余弦定理的学习。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的公式及含义。
3. 示例：给出三角形ABC的边长和角度，运用正余弦定理求解未知量。
4. 练习：让学生独立完成一些简单的正余弦定理应用题。
5. 讨论：分组讨论一些复杂的问题，引导学生相互合作，共同解决问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调正余弦定理在实际问题中的应用。
7. 作业：布置一些有关正余弦定理的应用题，让学生巩固所学知识。
六、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
针对学生的薄弱环节，加强个别辅导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
七、课后拓展1. 研究正余弦定理在实际问题中的广泛应用。
2. 了解正余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
3. 探索正余弦定理的证明方法，加深对定理的理解。
八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对正余弦定理的掌握程度。
3. 课后拓展：了解学生在课后对正余弦定理的学习和研究情况，鼓励学生进行深入学习。
九、教学资源1. 教材：正余弦定理的相关内容。
高三数学一轮复习学案：正余弦定理的应用
高三数学一轮复习学案：正余弦定理的应用一、考试要求：1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.．通过利用向量证明正弦定理和余弦定理，了解向量的工具性和知识间的相互联系，体会事物之间是相互联系的辩证思想；二、知识梳理：仰角俯角方位角坡角与坡比视角三、基础检测：1.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为( )A.米3400B.米32400C.米33200D.米3200 2.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60C A B C B A ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为 千米.3.一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.4.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？5.甲船 由A 岛出发向北偏 东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ(θ=arctan 21)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时。
①求出发后3小时两船相距多少海里？②求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？。
(新)高中数学高考一轮复习正弦定理和余弦定理复习课教学设计
（新）高中数学高考一轮复习正弦定理和余弦定理复习课教学设计(新)高中数学高考一轮复习：正弦定理和余弦定理复习课教学设计《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计设计意图：学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想：⑴重视教学各环节的合理安排：设疑探究拓展实践循环此流程在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。
激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。
⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。
⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。
⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。
从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。
二、实施教学过程评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题若用余弦定理如何解决【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，（1）若△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值；（2）若a=ccoB,且b=cinA,试判断△ABC的形状。
（五）变式训练、归纳整理【例3】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若bcoC=(2a-c)coB(1)求角B(2)设,求a+c的值。
高三数学第一轮复习导学案：27.正余弦定理应用举例
实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．题型一：测量距离问题例1.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．拓展1.为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．题型二：测量高度问题例2.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．拓展2.要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD ＝40 m，求电视塔的高度．题型三：测量角度问题例3.如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？拓展3.如图所示，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)我的学习总结：（1）我对知识的总结. （2）我对数学思想及方法的总结。
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湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 27.正余弦定理应
用举例学案
实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．
(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图
②)． (3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
题型一：测量距离问题
例1.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a 和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
拓展1.为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方
案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
题型二：测量高度问题
例2. 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．
拓展2. 要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
题型三：测量角度问题
例3. 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？
拓展3. 如图所示，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
我的学习总结：
（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。