人教版初二数学上册过河造桥问题.4课题学习 最短路径导学案
【最新】人教版八年级数学上册导学案： 13.4课题学习 最短路径问题(第二课时 选学)
新人教版八年级数学上册导学案： 13.4课题学习最短路径问题（第二课时选学）一、设问导读如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。
我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。
根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。
如图2。
证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。
由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。
可知，AN1+N1B ＞A1N+NB。
所以，路径AMNB要短于AM1N1B。
二、拓展应用拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。
我们如何找到这个最短的距离呢？方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A2B最短。
连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。
所得路径AQP MNB最短。
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1，与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。
拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A3B最短。
连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2N，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。
所得路径ASRQPMNB最短。
人教版八年级上册数学13.4课题学习《最短路径问题》教案设计
第十三章第四节的《课题学习一一最短路径问题》。
一、内容和内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究 .本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题” 的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.教学目标基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.2.教学目标解析要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合）证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用 .所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点” ：为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.四、教学过程设计1.创设问题情境引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？（2）他为什么选择走红色路线？（3）理由是什么？生：集体回答。
人教版八年级数学上册教案：13.4课题学习最短路径问题
今天我们在课堂上探讨了最短路径问题，这节课下来，我发现学生们对这个话题非常感兴趣，也提出了很多有深度的问题。他们在分组讨论和实验操作环节表现得积极主动，这让我感到很欣慰。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解线段连接法、射线连接法时还存在一定的困难。这让我意识到，对于这些难点知识，我需要通过更多的实例和讲解来帮助学生消化吸收。在今后的教学中，我会尽量用更直观、更生动的方式来进行讲解，让学生更好地理解这些概念。
2.教学难点
a.理解线段、射线、直线在实际问题中的运用，尤其是它们在不同情境下的适用性；
b.掌握求解最短路径的数学方法，特别是射线连接法的应用，学生容易在此处产生混淆；
c.将数学知识应用于实际问题的转化能力，如何将实际问题抽象成数学模型，进而求解；
d.学生在解决最短路径问题时，可能会忽略考虑所有可能的路径，导致无法找到最优解。
举例：讲解射线连接法时，难点在于如何确定射线的方向以及如何找到从一点出发经过其他点到达另一点的最短路径。此时，教师可以通过具体实例和图示，引导学生理解并掌握这一方法。
另外，针对难点c，教师可以设计一些实际案例，如地图上的最短路线、工程项目中的最短管道布置等，指导学生如何将问题抽象成数学模型，并运用所学知识求解。通过这种方法，帮助学生克服将实际问题转化为数学模型的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调线段连接法、射线连接法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何在不同情况下选择合适的方法求解最短路径。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示线段连接法、射线连接法的基本原理。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
人教版八年级数学上精品导学案最短路径问题教案教师用教学案含答案解析学生用学案
最短路径问题（教师用）一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短. 因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.∴ AC+BC=AC+B′C=AB′AC′+BC′=AC′+B′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′∴ AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短.问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b 的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.证明：如图，由平移的性质可知：AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B∴ A′N+NB＜AM′+N′B∴ AM+NB＜AM′+N′B∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.最短路径问题（学生用）一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB，与直线l相交于一点，根据可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.。
人教版初中八年级上册数学《最短路径问题》导学案
13.4 课题学习 最短路径问题一、 学习目标①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本85页，完成下列问题：追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．B。
Al三、探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求四、巩固测评(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（一）基础训练：1、最短路径问题BA lCl(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l 与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？（三）综合训练：茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b五、学习心得。
2020年人教版八年级上册全册课时导学案：13-4课题学习
2020年人教版八年级上册全册课时导学案13.4课题学习 最短路径问题导学案【学习目标】1， 复习轴对称的知识，会画轴对称图形。
2， 能够利用轴对称的知识解决实际问题。
3， 培养同学们自学意思和探究能力。
学习重点：会画轴对称图形。
学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。
一、复习导入：（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？1、2、（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？1、2、二、导入新课问题1 如图牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？作点A 或B 关于直线L 的对称点B ′或A ′，再连接A B ′或B A ′与对称轴L 的交点即为所求。
（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）问题2 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造成在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N 为直线b 上一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M,这样问题可以转化成：当点N 在直线b 的什么位置时AM+MN+NB 最小。
解：将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到点N ，点A 移动到点A ′,则AA ′=MN,AM+NB=A ′N+NB.连接A ′，B 两点的线中，线段A ′B 最短。
因此线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求。
能力提升：你能证明为什么点N即为所求的点吗？课堂归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
作业：课本93第15题。
学后反思：小结1.注重备课。
要结合课本和教参，完善每一节课的教学内容，对其重新进行审视，将其取舍、增补、校正、拓展，做到精通教材、驾奴教材，做最好的准备。
2.讲究方法。
根据不同班级学生的不同学习风格，采用不同的教学方法。
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习 最短路径问题教学设计
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习最短路径问题教学设计13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析1、地位作用：数学来源于生活并服务于生活，更着眼于解决生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，使学生在不断地质疑中主动地获取知识，初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2、目标和目标解析：（1）目标：能利用直线位于两点之间结合轴对称地知识，转移到两点位于直线同侧的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：质疑和解决是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用轴对称来解决二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什A么位置时，AC与CB 的和最小（如图）强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L上有几个点距离A,B两点的距离之和是最短的？探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L 上有几个点距离A,B 两点的距离之和是最短的？LA BA’C ED a bc a+22()c b a +-方案一：S=AE+BE=方案二：S’=AC+AB=设a=300，b=500，c=600设a=300，b=500，c =1000 最后得到我们选取的最短路径与C 的取值有关，不一定我们由轴对称得到的路径就是最短的，在这里就可以培养学生勇于质疑和敢于探索取得真理的学习品质。
人教版2019年中学数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题(第2课时)导学案
13.4 课题学习最短路径问题(第2课时)
学习目标
1.学会利用平移解决实际问题中“造桥选址”中的路径最短的问题.(重点)
2.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐.
自主学习
学习任务造桥选址问题
问题情境：如图1所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
图1
1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？
2.要研究AM+NB的和最小，但AM和NB不衔接，如何将AM转化到与NB有公共点的位置，且线段长度不变，可以借助哪种几何变化？
答：1.如图2所示，将A，B 两地抽象为两个，将河两岸抽象为两条平行，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB的和最小？由于河岸宽度是固定的，即将问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB的和最？
图2
图3
2.如图3所示，将桥MN平移到AA′处，且M与A重合，则N与A′重合，由平移性质知AM=NA′.由“两点之间，线段最短”的性质知，要使AM+BN最短(即NA′+BN最短)，只要
点N在线段BA′上即可.
合作探究
图4
小组合作，利用图4完成上面问题的证明.
当堂达标
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用、等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择.
2.如图5所示，幸福小区A和超市B位于公路的两侧，现要在公路上建一座天桥，天桥建在何处可使幸福小区A的人到超市B购物最近？(假定公路的两边是平行的直线，天桥与公路垂直)
图5
反思感悟
我的收获：
我的易错点：。
数学人教版八年级上册13.4 最短路径问题导学案.4最短路径问题导学案 张燕
13.4 课题学习 最短路径问题
学习内容：
最短路径问题．
学习目标：
1．识别并掌握最短路径的几种基本模型．
2．能将生活中的实际情境数学化．
3．借助几何画板直观演示，让学生经历观察、猜想、证明等数学活动的过程． 学习重点：
识别并掌握最短路径的几种基本模型．
一、情境引入
如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
选 最近，理由是 ．
二、协作探究
问题1 已知点A 、B 在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小．
作图理由：
l A
B
问题2 已知点A 、B 在直线l 的同侧，在l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小．
作法：
证法：
问题3 已知：如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 的周长最短．
B C l
B A
问题4 如图，P 为∠MON 内一定点，分别在OM 与ON 上找点A 、B ，使△ABP 的周长最小．
三、思维拓展
问题5 如图：牧马人从某地出发，先到草地边某一牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷休息，他怎么走最近呢？请画出最短路径．
N
四、课堂小结
五、课后作业
某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．试问在公路边上是否存在一点D，使送货路程最短？若存在，请画出D点所在的位置；若不存在，请说明理由．
B
A。
最新初中人教版数学人教八年级上册《课题学习 最短路径问题》教学设计
《13.4课题学习最短路径问题》教学设计一、内容与内容解析1．内容用轴对称解决一些最短路径问题．2．内容解析在现实生活中，存在着很多最短路径问题．用几何法解决最短路径问题，其基础知识是“两点间的所有连线中，线段最短”和“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，遇到相对复杂的问题，则往往需要通过图形的变换（如平移、轴对称、旋转等）把问题转化到上述基本知识的应用情境．这种转化的思想在数学问题解决中应用非常普遍．本课的重点是：用轴对称把问题转化为“两间的连线中，线段最短”（或者“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”）．二、目标与目标解析1．目标（1）能把“将军饮马问题”用几何图形表示，把实际问题转化为几何最值问题．（2）明确得到的几何问题的条件和结论，能用轴对称转化和解决问题．（3）体会几何最值问题解决中的转化思想．2．目标解析达成目标（1）的标志是：能把实际问题中的“地点”和“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把问题抽象为几何最值问题．达成目标（2）的标志是：能用轴对称把直线同侧两点到直线的距离之和转化我异侧两点到直线的距离之和．然后用“两点之间连线中线段最短”解决问题．达成目标（3）的标志是：感悟用轴对称几何最值问题转化为“两点之间最短连线问题”的数学转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题本质上是几何最值问题．由于学生缺乏研究几何最值问题的经验，独立解决本课问题，难以把实际问题抽象为几何最值问题，也难以用轴对称转化问题．其中最难的是把实际问题抽象为几何最值问题，不知道思考问题的方向．需要教师引导学生回顾几何中涉及“距离最短”的基本知识——“线段最短”或“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”及“垂线段最短”，指明解决问题的基本思路：把问题转化为基本知识的条件中的几何结构．在证明时，则需要在直线上“任意”取一点，构造一般情况与作出的特殊情况比较，学生想不到，需要教师说明．四、教学过程设计（一）将实际问题抽象为数学问题最短路径问题是现实生活中常见的问题，在七年级，我们学习了“两点之间的连线中线段最短”和“连接直线外一点和直线上任意点的连线中，垂线段最短”，今天，我们继续讨论最短路径问题．相传，在古希腊亚历山大城有一位将军问一个叫海伦的知名学者这样一个问题：问题1如图1，牧马人从需从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后带马到B地，牧马人在什么地方饮马，可使所走的路径最短？图1追问1这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？师生活动：教师用下面问题引导学生把实际问题抽象为数学问题．追问2：要把这个实际问题转化为数学问题，可以把“A地”、“B地”、“笔直的河l”看作几何中的哪些基本图形？师生活动：学生回答：把“A地”、“B地”看作点，把“笔直的河l”看作直线，画出如图2的图形．图2追问3：实际问题中的“所走的总路径最短”在图2中怎样表示？师生活动：教师引导学生把“所走的总路径最短”表示为“线段AC与线段BC的和最小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题：问题2 如图3，A，B是直线l同侧的一点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小．图3设计意图：引导学生把实际问题抽象为几何问题．（二）分析思考，确定所求的点问题3 问题2我们没有见过，难以解决，说说大家所熟悉的最短路径问题是什么？ 师生活动：教师引导学生回顾“线段最短”和“垂线段最短”．让学生明确，本题的难点是“经过第三点”C ，而且不管点C 在哪里，点A ，B ，C 都不在同一直线上，难以构成最短的线段．设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点．问题4 如果我们改变一下问题的条件，怎样改变A ，B 两点的位置才能让C 运动时，A ，B ，C 可能在同一直线上？师生活动：教师引导学生发现，当A ，B 两点直线l 的两侧可以做到，而且直接可以用“线段最短”解决问题——直线AB 与直线l 的交点即为所求（如图4）．设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题． 问题5 比较图3和图4，能把图3中“在直线l 上确定点C 使AC +BC 最小”问题转化为图4中“在直线l 上确定点C 使AC +BC 最小”问题吗？师生活动：教师引导学生思考，先把图3中的点B 或者点A 移到直线的异侧．追问1：把图3中的点B 移到直线l 的另一侧的B′，有什么条件？师生活动：学生回答，要确保对于每一点C ，BC =B′C ，这样AC +BC=AC +B′C ，在保证AC +BC 最小就是AC +B′C 最小．追问2：根据这一要求，怎样移动点B ？师生活动：教师组织学生讨论，得到作点B 关于直线l 的对称点B ′的方法．设计意图：把同侧的两点问题转化为异侧两点问题．问题6 现在能作出问题2中的点C 了吗？师生活动：教师引导学生作出符合要求的点C ：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）作直线AB ，交直线l 于C 点，则点C 即为所求的点．设计意图：作出所要求的点C ． 图5CB ′ABllAB 图4C（三）推理证明，确立作出的点符合要求问题7 作出的点C 是否符合要求，这需要证明，怎样证明？师生活动：教师引导学生明确目标，要证明点C 符合要求，就是要证明，对于直线l 上的任意一点D ，都有AD +BD ＞AC +BC ．证明：在直线直线l 上的任取一点D ，连接AD ，BD ，B′D ．∵点B 和B′关于直线l 对称，∴直线l 是线段BB′的垂直平分线，∵D ，C 在直线l 上，∴BD=B′D ，BC=B′C ，又∵AD +BD ＞AB′，AB′=AC+B′C=AC +BC ，∴AD +BD ＞AC +BC ，即AC +BC 最小．设计意图：证明点C 符合要求．（四）回顾总结，感悟数学思想方法问题8 我们是怎样解决问题的？师生活动：组织学生讨论，总结实际问题抽象为数学问题的过程和用轴对称方法转化问题的方法，感悟转化的思想（如图7）．设计意图：体会轴对称的应用和数学转化思想．（五）布置作业，深化研究如图，三角形湖面的三边分别为AB ，AC ，BC ，现要从A 地出发划船到堤岸BC ，取物，再回到堤岸AB 上，请在图上画出最短路径．图6CB ′ ABl D五、板书设计A BC图8课题学习最短路径问题(1)几何问题转化为两点间距离。
人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习 最短路径问题》
人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13-4 课题学习最短路径问题》是人教版数学八年级上册的教学内容。
这一课题主要让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握解决最短路径问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一课题前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，具备了一定的数学思维能力。
但对于解决实际问题的能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重引导学生将数学知识应用到实际问题中。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义。
2.掌握解决最短路径问题的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的背景和意义，解决最短路径问题的方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为最短路径问题，如何运用图论知识解决最短路径问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：分析具体的最短路径问题，让学生在分析中掌握解决方法。
3.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示最短路径问题的实际应用场景。
2.案例：收集一些具体的最短路径问题，用于教学实践。
3.教学工具：尺子、圆规、直尺等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的实际应用场景，如地图导航、物流配送等，引导学生关注最短路径问题。
2.呈现（10分钟）介绍最短路径问题的背景和意义，提出解决问题的方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析具体的最短路径问题，选取小组代表进行分享，讲解解决问题的思路和方法。
4.巩固（10分钟）针对学生分享的最短路径问题，进行总结和点评，引导学生明确解决最短路径问题的关键步骤。
5.拓展（10分钟）让学生思考如何将最短路径问题应用到实际生活中，提出自己的见解和想法。
人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案
教学设计13.4最短路径问题永顺县溪州中学彭善玉一、教学设计思路：本节课是人民教育出版社出版九年制义务教育数学课本八年级数学《最短路径问题》，教材为我们提供了最短路径的概念和探索方法以及相应练习题。
这节课与实际生活息息相关，在内容上，它将两点之间线段最短，轴对称的性质紧密结合起来。
通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会数学建模的思想，学会从复杂题目中找到原始的基本的数学模型。
本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，采用了我校“六步四维一体”的教学模式，启发式、探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体。
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想证明，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
利用课件、微课、几何画板辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性与理性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握平面内位于直线同侧两个点，如何在直线上找到一个点，使得两点到直线上这点距离之和最小问题。
（2）能利用轴对称解决实际问题中的最短路径问题。
（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
2、过程与方法：（1）通过自主画图，小组讨论，共同比较等教学活动，探索与轴对称有关的最短路径问题，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
（2）通过几何画板把抽象问题具体化，直观地观察、分析把折线问题转化直线问题，体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,（3）能够倾听其他同学的发言，并能把自己的想法与其他同学交流，体会合作学习的过程与方法，感受合作的愉快。
八年级数学上册《最短路径问题》教学设计
《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计【教学目标】1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理.2、能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的点和直线问题，使实际问题数学化.3、能利用平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用.【学情分析】学生已经有了一定的最短路径问题分析基础，但对于从实际问题抽象出数学问题还有一定的困难，解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零这一问题的分析有难度，怎样转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题存在一定的困惑.对于这一方法的直接应用问题不大，但灵活应用还有一定的挑战.【教学重难点】重点:利用平移将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题.【教学过程】一、创设情景问题一：如图，某快递公司每天要派快递员从A地出发前往B地送货，途经一条笔直的街道l.快递公司想在街道上建一个中转站，请问中转站建在街道l的什么地方，可使快递员每天所走的路径最短？追问：你运用什么知识解决这个问题的？ (板书课题)二、探究新知问题二：如图，某城市要进行改造扩建，若A地和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）问题1：我们从题目中能找到哪些已知条件？从A到B的路径AMNB是指谁？问题2：如果不考虑路径最短，桥的选址有多少种情况？问题3：以我们的观察力能否直接看出桥MN的位置选在哪里，AM+MN+NB最小？（利用几何画板让点N动起来）明晰：通过几何画板的演示，观察到这样的位置确实存在，MN的长度不变。
问题4：桥建在哪里才能保证AM+NB最小，带着思考尝试画出你认为最短的路径.师生活动：学生独立思考，画图分析，组内交流作法，全班展示成果.问题5：本节课解决的中转站问题与选址造桥问题有什么共同点？有什么不同点？能否将第二个问题转化成第一个问题？什么知识能够帮助我们解决这个问题呢？(平移)师生活动：学生独立思考，尝试画图平移点A，确定桥的位置找出最短路径，全班展示成果.用几何画板再次展示作法：(1)如图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．问题6：我们这样找到的点N是否合理？试说明理由。
最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′， 使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考： 问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考： 能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：
人教版初二数学上册造桥选址
主题
13.4课题学习最短路径——选址造桥问题
学习目标
利用平移变换解决简单的造桥选址问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
重点
利用平移变换解决简单的最短路径问题
难点
利用平移变换解决简单的最短路径问题
一．情境引入
·A
A·
________________________
3.知识归纳
4.提升练习
如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
五.小结
B·
B·
二.展示新知：阅读教材86页
(探究造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径况下最短呢？
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草
地
小河
A
13.4课题学习最短路径导学案
教学目标
1．了解牧人饮马及造桥选址两个常见类型．
2．会解答牧人饮马及造桥选址中的最短路径问题．
3．能初步应用牧人饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目．
教学重点难点
1．将实际问题抽象为数学问题．
2．解答最短路径问题．
基础知识回顾
(1)两点的所有连线中，。
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。
(3)三角形的任意两边之和_________第三边，任意两边之差________第三边。
问题1、如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后
到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（你能把
这个问题转化为数学问题吗？）
问题转化：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小
·B
A·
l
联想：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小
A·
l
·B
思考：请用数学理论依据说明为什么选在C点作为饮马的地点。
·B
A·
l
问题2、如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥
MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行
的直线，桥要与河垂直.）
你能把这个问题转化为数学问题吗？
A ·
B·
思考下列问题：
问题3、如图：请找出直线上一点P，使得（1）|PA-PB|最小（2）|PA-PB|最大
A·A·
·B ·B
问题4、如图,A.B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移动到什么位置
时,AP+PQ+QB的长最短？
问题5、如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，
然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.。