初三数学第2讲：比例线段与黄金分割
黄金分割知识点九年级
黄金分割知识点九年级黄金分割是数学中的一个重要概念，也是艺术和设计领域经常运用的原则。
它指的是一种特殊的比例关系，被广泛应用于建筑、绘画、音乐、摄影等领域中。
下面将介绍黄金分割的定义、特点以及其在不同领域中的应用。
一、黄金分割的定义黄金分割，又称黄金比例，是指一条线段分成两部分，使整体与较长部分之间的比例等于较长部分与较短部分之间的比例。
用公式表示为a/b=(a+b)/a=φ（phi），其中a代表整体长度，b代表较长部分的长度，φ为黄金分割比例，约等于1.618。
二、黄金分割的特点黄金分割具有以下几个特点：1. 对称美：黄金分割产生的两部分线段，在视觉上具有对称和谐的美感，被认为是最美的比例关系。
2. 延展性：黄金比例可以无限延展，即将一个黄金长方形的边界扩大，仍然能保持黄金比例。
3. 无限递归性：黄金分割能够无限递归，即把一个矩形划分成一个正方形和一个新的矩形，这个新的矩形与原矩形的比例仍然是黄金比例。
4. 出现频率高：黄金分割在自然界中出现频率较高，例如大部分花朵的花瓣数目和位置、鱼和动物的体长比例等都符合黄金分割比例。
三、黄金分割在不同领域的应用1. 建筑设计：许多著名的建筑物和古代宫殿都应用了黄金分割原理。
例如，希腊神庙和埃及金字塔的长宽比例大都接近黄金比例，这使得它们在视觉上更加和谐美观。
2. 绘画与雕塑：众多艺术作品中也运用了黄金分割的比例关系。
画家和雕塑家常常使用黄金分割点来布局画面，这样能够吸引观众视线，使画面更加有层次感。
3. 摄影和设计：摄影师和设计师在构图时经常使用黄金分割点和黄金分割线来达到更好的视觉效果。
黄金分割的运用可以使照片或设计更加吸引人，给人以美的享受。
4. 音乐：黄金分割原则也应用于音乐创作中。
作曲家可以根据黄金比例来安排乐曲的节奏、曲调和结构，以达到更好的和谐效果。
5. 网页设计和平面设计：在网页和平面设计领域中，黄金分割被广泛应用于布局、按钮位置、文字大小等方面，以提升用户体验和视觉效果。
沪科版-数学-九年级上册- 比例线段-比例的基本性质之黄金分割 教学教案2
《比例线段：比例的基本性质之黄金分割》教学教案一、学习目标1.理解比例尺的意义；2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）；3.通过实例了解黄金分割；4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.二、学习重点、难点：教学重点：比例尺与黄金分割的概念。
教学难点：黄金分割的应用。
三、学习过程：（一）复习提问，引入新课1．回忆小学学过的比例尺。
比例尺＝（教师可准备一张地图，让学生说明地图上所标比例尺的意义。
）2．什么叫比例中项？比例的基本性质有那些？（二）讲解新课1.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？类题：相同时刻的物高与影长成比例。
如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？2.课本第68页例2（解法见教材）3.练习课本第69 页练习1.（三）探究新知现实生活中如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像之美。
那么什么叫黄金分割？1.例3如图，已知线段AB 长度为a ，如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使PBAP ＝AP AB ,求线段AB 长和APAB 的值。
（解法见教材第68 页）2.黄金分割，黄金分割点，黄金数（比）的概念.一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点。
比值512-叫做黄金数。
3.五角星是我们常见的图形.在图中,度量点C 到点A,B 的距离AC AB 与BCAC相等吗？通过度量可知点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果BC AC ＝ACAB，那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？ 4.黄金分割的深远意义历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
九年级比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项. 4．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 5．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：nn b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
相似多边形相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形性质相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形性质定理5：若相似比为1，则全等相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的判定对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例，那么这两个多边形相似练习：1、若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（ ）2.若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :________3.若3:2:1::=c b a ，则c b a c b a +---的值为________ 4.已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2________ 5.若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是________6.如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 7.在Rt △ABC 中，斜边AB ＝205，409=BC AC ，试求AC ，BC 的值。
湘教版数学九上3.2《比与比例》(黄金分割)ppt课件
75 25 x
2、 若2a 3b 0,则 a ________, a b _______, a b ____
b
b
a
3
5
5
2
2
3
2、 如图： 已知 DB EC , AD 15, AB 40.
A
解： DB EC
AD AE
D
E
AB AD AC AE
反比性质：若 a c ，则
合比性质：若
ba b
dc d
，则
更比性质：若 a c ，则
bd
bd ac
ab cd
b
d
ab
ca
例1：若5x-7y=0，求x：y。
解：由5x-7=0得 5x=7y
由比例基本性质得：
x 7 y5
活动四：尝试练习 巩固新知
填空：
1、 若 4 12 ，x ________ .
B
C
AD
AE
AB AE AD AC
40 28 15 AE
AE 21 2
义务教育课程标准实验教科书（湘教版）九年级上册
3.2.2比例的基本性质 黄金分割（1）
比例的基本性质
活动一 活动二 活动三 活动四 活动五 活动六 活动七
问题：如果它如果四条线段a、b、c、d成比例
线段，即： a c （或a：b=c：d） bd
学生探索：在等式两边同时乘以bd
得： ad=bc 。
即得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么ad=bc bd
1段、，已即知a四条c 线则段下a列、各b、式c成、立d是吗成？比例线 bd
① bd ac
② ab cd ③ a b
bd
cd
比例中项黄金分割课件
黄金分割的应用
建筑学
艺术
古希腊建筑帕台农神庙、埃及金字塔等都 运用了黄金分割，使建筑具有强烈的视觉 美感。
艺术家利用黄金分割创作出许多经典画作 、雕塑和摄影作品，如达芬奇的《蒙娜丽 莎》等。
音乐
日常生活
音乐作曲中运用黄金分割，可以创作出和 谐动听的旋律和节奏，如巴赫的《G弦上的 咏叹调》等。
在日常生活中，黄金分割也随处可见，如 服装设计、家居布局等都运用了黄金分割 的原则。
在音例如 巴赫的《G弦上的咏叹调》等。
04
比例中项与黄金分割在生活中 的应用
艺术领域中的应用
绘画
黄金分割被广泛应用于绘画构图 ，通过将画面分为9个等分，将主
体放置在分割线或交点上，以达 到最佳视觉效果。
雕塑
在雕塑艺术中，比例中项和黄金分 割的应用有助于塑造出和谐、平衡 的作品。
比例中项的性质
唯一性
在一个比例中，比例中项是唯一的，即如果 a:b = c:d，则 b 是唯一的比例中项。
传递性
如果 a:b = b:c 和 b:c = c:d，则 a:b = c:d，即比例中项具有 传递性。
比例中项的应用
数学解题
在数学解题中，比例中项可以用于解 决比例问题，例如求两个未知数的比 值。
音乐领域中的应用
音乐创作
作曲家利用比例中项和黄金分割 来创作出和谐、动人的音乐作品
。
乐器制作
乐器制作过程中也涉及到比例中 项和黄金分割的应用，以确保乐
器发声的准确性和美感。
音乐表演
在音乐表演中，表演者通过运用 比例中项和黄金分割来达到最佳
的演奏效果。
摄影领域中的应用
构图
摄影师利用黄金分割来安排画面元素，以创造出具有视觉冲击力的作品。
22.1 比例线段第2课时比例性质和黄金分割 沪科版数学九年级上册教学课件
如0）果，ad那=么bc（aa,b,cc,d.都不等于 bd
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
随堂练习
5.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
9 d ，d =-6. -3 2
（2）若a=-3，b= 3 ，c=2，求d.
3 d ，d =- 2 3 .
-3 2
3
课堂小结
比例的基本 性质
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
比例的基本 性质和黄金
分割
ac bd
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
课程讲授
1 比例的基本性质 如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？ bd
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 a c . bd
课程讲授
1 比例的基本性质
例1 根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
a （2）7
b 8
.
解 （1）∵ 4a=5b，∴ a 5 ; b4
（2）∵
ab 78
，∴8a=7b，∴ a 7 b8
课程讲授
1 比例的基本性质
练一练：下面各项中的两个比，比值相等的是( C )
A.0.6∶0.2和14∶34 B.6∶10和8∶20 C.4∶3和8∶6 D.34∶35和4∶5
课程讲授
2 黄金分割
问题1：一个五角星如图所示，度量C到点A，B的距离, AC 与 BC 相等吗？ AB AC
《比例性质、黄金分割》名师课件(新人教版九年级下册数学ppt)(共26张PPT)
重点、难点知识★▲
活动3 例题讲解，比例基本性质的应用
例1：判断：5x=6y，则x:y=5:6.（ ）
解：×
由比例的基本性质得6x=5y，与已知5x=6y不符，所以错误.
点拨：在改写比例时，x作外项，和x相乘的5一定也作外项.把 ax=by改写成比例式后，a和x必须同时为外项，或同时 为内项.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
bd
b
d
推理过程：
（1）∵ a c =3，
bd
∴a=3b，c=3d，则 a b b
3b b b
4，c d d
3d d d
4．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？ 重点、难点知识★▲
活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质
合作探究：
（1）已知
探究：已知 a•d=b•c，你能得到哪些比例式?
归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：
a
c
b d
(交换内项)
a b
c d
d
b
c a
(交换外项)
d c
b a
(同时交换内外项)
反比性质(把比的前项、后项交换)：
a c bd bd ac
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一 : 什么是比例的基本性质？
a b
c d
ab cd =3,求 b 和 d ；
（2）如果 a c =k（k为常数），那么a b c d 成立吗？为什么？
bd
b
d
（3）如果 a c , 那么 a b c d 成立吗？为什么？
bd
b
d
推理过程：
黄金分割及比例线段
（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。
④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．
5、美妙的黄金分割和黄金数
任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得 ，点C就叫做线段AB的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC，BC，如果 ，则点C是线段AB的黄金分割点，同样，若点D把线段AB分成AD，BD，如果 ，则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.
在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！
黄金分割点比例公式初中
黄金分割点比例公式初中初三数学黄金分割公式：b2=a（a-b）=a2-ab；（√5-1）÷2。
公式中a为线段AB的长度，C点在靠近B点的黄金分割点上，b为AC的长度，b与a的比值就是黄金分割。
黄金分割线是一种古老的数学方法，黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618。
黄金分割点AB÷a=a÷b=1.618拓展资料：1.条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数。
2.这个分割点就叫做黄金分割点，通常用Φ表示。
这是一个十分有趣的数字，以0.618来近似表示。
3.黄金分割点美学价值：因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割。
4.舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
5.就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
6.正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。
7.黄金分割有着很多的应用。
如：最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618；最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。
冀教版九年级上册数学【教学课件】《比例线段--读一读 黄金分割的应用》 (共16张PPT)
边长为3.2
边长为1.6
一、定义：
: 比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如：四条线段a、b、c、d成比例
记作 a c bd
〔或 a : b = c :
d)
★在说线段成比例时，一定要将线段按顺序列出，
么线段d=16_____cm.
15
2.线段a=4cm,b=3cm,c=5cm的第四比例项为____4__cm.
6 3.线段a=4cm,b=9cm的比例中项c=__cm.
4.两数4和9的比例中项为_____6__.
★线段的比例中项没有负值
议一议
v 两条线段的比实际上就是两
个数的比。如果a、b、c、d 四
不可乱写
例1：
根据以下条件,求a:b的值.
(1)2a 3b(2) a b 54
例2 求以下比例式中的 x.
(1)4 : 3 5 : x(2) x x 1
3
2
练习： 1.线段a=2cm,b=8cm,c=4cm,且a、b、c、d为成比例线段，那么线段d=_____cm. 2.线段a=4cm,b=3cm,c=5cm的第四比例项为______cm. 3.线段a=4cm,b=9cm的比例中项c=__cm. 4.两数4和9的比例中项为_______.
比例内项
线段a、b、c的第四 比例项
如果比例的两个内项相同即 〔或 a : b = b : c)
a b bc
线段b叫做线段a、c的比例中项
例1 根据下列条件,求a:b的值.
(1)2a3b(2)ab 54
例2 求下列比例式中的 x.
九年级数学黄金分割知识点
九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。
它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。
黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。
在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。
一、黄金分割比例黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。
即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。
这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。
二、黄金分割的应用黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。
在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。
黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。
黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。
这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。
黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。
斐波那契数列是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。
斐波那契数列的前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。
当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割比例。
例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。
这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。
三、黄金分割与美学黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。
在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面更加平衡和美观。
例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线分为黄金分割比例的两部分，以创建一种独特的视觉效果。
黄金分割也被应用于肖像摄影和建筑设计中，以达到更好的组合和比例感。
四、黄金分割的历史黄金分割作为一个数学概念，最早由古希腊数学家欧几里得提出。
在欧几里得的《几何原本》中，他给出了一种构造黄金分割比例的方法。
随后，黄金分割在文艺复兴时期再次受到重视，成为艺术和建筑中的一个重要原则。
初三数学 成比例线段与黄金分割(复习)
C B A 初三数学 成比例线段与黄金分割 姓名_________ 班级________【学习目标】了解成比例线段及黄金分割的相关知识【知识点1】成比例线段【定义】：1．比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺。
即：比例尺= 。
2．两条线段的 的比叫做这两条线段的比。
（两条线段的比要在同一长度单位下）3．在四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a:b ＝c:d （或a b ＝c d），那么称这四条线段成比例。
这四条线段也叫做成比例线段，简称比例线段。
（比例线段具有顺序性）特别地，在 a b =b d,我们则把b 叫做a 与d 的比例中项。
即若b 为a 与d 的比例中项，则有b 2=a d 。
【判定】：当没有特别的判定方法时就用“定义法”来判定。
练 习：1.下列各组线段中，长度成比例的是 （ ）A 、2㎝、3㎝、4㎝、1㎝B 、1.5㎝、2.5㎝、4.5㎝、6.5㎝C 、1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、4.4㎝D 、1㎝、2㎝、2㎝、4㎝2．在比例尺为1：500000的地图上，测得A 、B 两地间的图上距离为6cm ，求A 、B 两地间实际距离 km 。
【性质】：比例的基本性质①：如果a ：b=c ：d ，那么 = ；反过来，如果ad=bc （b ≠0，d ≠0），那么 = ，或 = 。
练习：已知线段m 、n 、p 、q 的长度满足等式mn ＝pq ，将它改写成比例式的形式，错误．．的是( ) A 、n q p m = B 、q n m p = C 、p n m q = D 、qp n m =【知识点2】黄金分割【定义】：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ），点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB （或BC 与AC 的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割教学内容一、知识要点：1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：（1）基本性质如果，那么（2）合比性质如果，那么，；（3）等比性质如果，那么。
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
例如：如果，那么小试牛刀：一、填空题1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。
4、等比性质：如果，且_____________，那么__________=5、若4x=5y，则x：y=____________6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______7、下列各组线段成比例的是（）A、1cm、3cm、2cm、4cmB、1m、20cm、5cm、25cmC、cm、cm、cm、4mD、4cm、8cm、6m、12cm8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（）A、13B、19.5C、78D、1309、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）A、6.4厘米B、64分米C、0.4厘米D、4厘米二、典型例题：例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：（1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；（2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
比例线段——“黄金分割教学设计
教学设计
图1 图2 图3 引言：通过欣赏上述三幅图片,大家会发现,不论是古今中外的宏大建筑,还是脍炙人口的艺术作品；不论是精美的生活物品,还是习以为常的动植物,它们都会使大家体验和谐之美.那么,若用数学的眼光观察,它们中间隐藏着怎样的数学规律呢.下面就借名画“迷人的蒙娜丽莎”来开始
则b就叫做a,c的比例
0.1m）
并通过测量、计算、推理发现了五角星和谐之美的
当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？（人体正常体温是36℃～37℃）
164cm,下身长为100cm,那么老师穿多高的高跟鞋看上去会更协调
吗？请与同学交流。
2022秋九年级数学上册 第4章 相似三角形4.1 比例线段2黄金分割课件(新版)浙教版
2．已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC，下列说法错误的是( C )
A．若点 C 是线段 AB 的黄金分割点(CA＞CB)，则 CA＝
5－1 2 AB
B．如果 AC2＝AB·BC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割
C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比
第4章 相似三角形
4．1 比例线段 第2课时 黄金分割
提示：点击 进入习题
1C 2C 3C见习题
1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列 各式成立的是( C )
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【点拨】设正方形的边长为 2，先根据正方形的性质以及勾 股定理，求得 DF 的长为 5，再根据 DF＝GF 求得 CG＝ 5 －1，最后根据 CG 与 CD 的比为 52－1，可判断出矩形 DCGH 为黄金矩形．
【答案】D
6．已知线段 a，b，c 满足a3＝b2＝6c≠0，且 a＋2b＋c＝26. (1)求线段 a，b，c 的长； 解：设a3＝b2＝6c＝k(k≠0)， ∴a＝3k，b＝2k，c＝6k.
(3)根据(2)的结论你能找出一个黄金分割点吗？ 解：能．图中的点M为线段AD的黄金分割点．
(1)求MA，DM的长；
解：如图，∵P 为边 AB 的中点， ∴AP＝12AB＝1. ∴DP＝ AP2＋AD2＝ 12＋22＝ 5. ∴PF＝PD＝ 5. ∴FA＝PF－AP＝ 5－1. ∴MA＝FA＝ 5－1，DM＝AD－MA＝3－ 5.
(2)求证：AM2＝AD·DM； 证明：∵AM2＝( 5－1)2＝6－2 5， AD·DM＝2(3－ 5)＝6－2 5， ∴AM2＝AD·DM.
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教学内容
一、知识要点：
1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：
（1）基本性质
如果，那么
（2）合比性质
如果，那么，；
（3）等比性质
如果，那么。
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
例如：如果，那么小试牛刀：
一、填空题
1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作
____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比
____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。
4、等比性质：如果，且_____________，那么__________=
5、若4x=5y，则x：y=____________
6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______
7、下列各组线段成比例的是（）
A、1cm、3cm、2cm、4cm
B、1m、20cm、5cm、25cm
C、cm、cm、cm、4m
D、4cm、8cm、6m、12cm
8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB的值为（）
A、13
B、19.5
C、78
D、130
9、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）
A、6.4厘米
B、64分米
C、0.4厘米
D、4厘米
二、典型例题：
例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：
（1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；
（2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
分析：判断四条线段是否成比例，可以先把它们按从小到大的顺序排列，由比例的基本性质可知，即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积，则四条线段成比例，否则不成比例。
例2、如图：已知 A
求证：（1）（2）
D E
B C
例3、三条线段的长分别为2cm、3cm、4cm，再添一条线段，使这四条线段成比例线段。
例4、已知：x：y=2:3，求的值。
例5、，求x：y的值。
例6、已知，求的值
例7、已知x、y、z为三个互不相同的正数，且。
求x：y
三、课堂练习：
1、在1:500000的某地图上，量得甲地到乙地的距离约为60厘米，那么甲
地到乙地的实际距离约为________________千米。
2、已知：，则的值为__________
3、若，则__________
三、解答题
4、已知线段x、y的长度满足3x-4y=0，求的值。
5、已知，，求、、的值。
6、如图：已知。
求证：（1）；（2）
7、在△ABC和△EFG中，已知，且△EFG的周长是15，求△ABC的周长？
8、已知a、b、c是△ABC的三边长，且。
（1）求：；
（2）若△ABC的周长为63厘米，求△ABC各边的长。
黄金分割
一、知识要点：
1、如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫
做比例中项。
如a：b=b：c（或b：a=c：b）时，b叫做a和c的比例中项，这时。
2、黄金分割
如果点P把线段分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中，AP是AB和PB的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点。
AP 与AB的比值称为黄金分割数，它的近似值为0.618。
小试牛刀1：
1、16和9的比例中项是__________
2、线段a=6cm，b=24cm，则a、b的比例中项是___________
3、b是a、c的比例中项，a：b=5:3，则c：b=______
4、已知，求证：是与的比例中项
二、典型例题
1、已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，AP>BP，求AP 的长？
上题中，若条件“AP>BP”没有，AP结果会怎样？
2、已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=，求AC的长？
3、已知线段AB=10，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的
长？
三、课堂练习
1、线段、、的第四比例项是（）
A、 B、 C、 D、
2、已知和则它的比例中项是。
3、线段是线段、的比例中项，已知，，求=_______
4、已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列比例式能成立的是（）
A、 B、 C、 D、
5、已知线段AB=2，点P是AB的黄金分割点，则较长的线段AP= ，
较短的线段PB= 。
6、如图AB=1，、是线段AB的两个黄金分割点，
（1）A= A= A B
（2）点是线段A的黄金分割点吗？证明之
8、如图在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM=，求AD的长？
9、如图在直角△ABC中∠B=900，AB=2，BC=1，在CA上截取
CD=CB，在AB上截取AE=AD，求证:点E是线段AB的黄金分割点
C
D
A E B
学生姓名：
一、填空题
1、若，则____________
2、若，则=________
3、等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是__________
4、已知：△ABC和△,，且厘米，则AB+BC+AC=____________厘米。
5、已知，则
6、若a=8厘米，b=6厘米，c=4厘米，则a、b、c的第四比例项
d=___________厘米；a、c的比例中项x=__________厘米。
二、解答题
1、在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，且△ABC的周长为
12，求△ADE的周长？
2、已知线段，求证：线线是、的比例中项
3、设，x、y、z满足，，求x：y。
4、已知，求证
5、如图，正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点B、E 在函数的图象上，点F在AB上。
（1）求正方形ADEF的边长。
（2）求点E的坐标。
（3）点F是线段AB的黄金分割点吗？ C B
（4）点A是线段OD的黄金分割点吗？ F E
O A D
拓展训练：
已知a、b、c是非零实数，且满足。
求的值。