江苏省数学竞赛提优教案：第35讲_整数性质

是整数的平方，则 b，c 也是整数的平方．
A 类例题
例 1．若任何三个连续自然数的立方和都能被正整数 a 整除，则这样的 a 的最大值是 （ ） A. 9 分析 B. 3 C. 2 D. 1
观察最小的三个连续自然数的立方和 36，a 是它的约数，a 不会超过 36，不能排
除任何选择支；观察第二个小的三个连续自然数的立方和，进一步缩小 a 的范围，可以排除 取偶数的可能。当前面几个都是某数的倍数时，可以猜想出 a 的最大值，但最好能证明所有 “三个连续自然数的立方和”都是某数的倍数。 解 记 an＝n ＋(n＋1) ＋(n＋2) ，则 a1＝1 ＋2 ＋3 ＝36＝4×9，
3 3 3 3 3 3
a2＝23＋33＋43＝99 为奇数，则 a | a1，a | a2， (a1，a2)=9，故 a | 9，所以 a＝1，3，
9。 又 an＝n ＋(n＋1) ＋(n＋2) ＝3n ＋9n ＋15n＋9＝3n ＋9n ＋6n＋9n＋9＝3n(n ＋3n＋ 2)＋9(n＋1)＝3n(n＋1)(n＋2)＋9(n＋1)， ∴9 | an，故 amax＝9，选 A。 说明 解法中，把 3n ＋9n ＋15n＋9 分为 3n(n ＋3n＋2)与 9(n＋1)两部分，分别说明
S 2 d= p11 p2 ，其中 …pii …pS




0≢β i≢α i，i=l，2，„，s． 由此可知，a 的正因数的个数为 d(a)=(α 1+1) (α 2+1)„(α s+1) ． 由 a 的标准分解式 a= p1 1 p2 2 …pi i …pS S (i=l，2，„，s)，若 a 是整数的 k 次方， 则 α i(i=l，2，„，s)是 k 的倍数．若 a 是整数的平方，则 α i(i=l，2，„，s)是偶数． 推论：设 a=bc，且(b，c)=1，若 a 是整数的 k 次方，则 b，c 也是整数的 k 次方．若 a
2 2 2
p+1 之间只有一个质数 p，而连续的两个自然数中必有 2 的倍数，连续的三个自然数中必有
3 的倍数。 证明 1 ∵ p 是大于 3 的质数，∴p 不是偶数，不是 3 的倍数， 又∵ p －1=(p－1)(p+1)，连续的三个整数中必有 3 的倍数， ∴
2
p－1、p+1 中必有 3 的倍数，且 p－1、p+1 是连续的两个偶数，(p－1)(p+1)是 8
3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2
其为 9 的倍数。 在考虑整除的证明时， 把整数 n 的多项式分成几组分别因式分解是常用的方 法。 例 2．若 p 是大于 3 的质数，则 p 除以 24 的余数为 1。 分析：即证明 p －1 是 24 的倍数，也即证明 p －1 既是 3 的倍数又是 8 的倍数。p－1、
的倍数。 ∴
p2－1=(p－1)(p+1)是 24 的倍数，即 p2 除以 24 的余数为 1。
证明 2 设 p=6n±1 (6n,6n±2,6n+3 均为合数)， 则 (6n±1) =36n ±12n+1=12n(3n±1)+1，
2 2
∵ ∴ 即 说明
n 和 3n±1 必为一奇一偶，∴n(3n±1)为偶数。
第 16 讲
整数的性质Fra Baidu bibliotek
初等数论的基本研究对象是整数．两个整数的和、差、积都是整数，但商却不一定是 整数．由此引出了数论中最基本的概念：整除． 整除性理论是初等数论中最基础的部分，它是在带余除法的基础上建立起来的． 整数 a 除以整数 b (b≠0)，可以将 a 表示为 a=bq+r，这里 q，r 是整数，且 0≢r＜b．q 称为 a 除以 b 所得的商，r 称为 a 除以 b 所得的余数． 当 r=0 时，a=bq，称 a 能被 b 整除，或称 b 整除 a，记为 b | a，b 叫做 a 的因数，a 叫做 b 的倍数；q 取 1，则 a=b，a 也是它本身的因数． 当 r≠0 时，称 a 不能被 b 整除，b 不整除 a，记作 b├ a． 若 c | a，c | b，则称 c 是 a，b 的公因数，a，b 的最大公因数 d 记为(a，b)． 若 a | c，b | c，则称 c 是 a，b 的公倍数，a，b 的最小公倍数 M 记为[a，b]． 一个正整数，按它的正因数个数可以分为三类．只有一个正因数的正整数是 1；有两个 正因数的正整数称为素数(质数)， 素数的正因数只有 1 和它本身； 正因数个数超过两个的正 整数称为合数，合数除了 1 和它本身外还有其他正因数． 任何一个大于 1 的整数均可分解为素数的乘积， 若不考虑素数相乘的前后顺序， 则分解 式是惟一的．一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可能重复出现，把分解式中相同 的素数的积写成幂的形式，大于 1 的整数 a 可以表示为：
S 1 2 a= p1 ，其中 i=l，2，„，s． p2 …pii …pS
以上式子称为 a 的标准分解式．大于 l 的整数的标准分解式是惟一的(不考虑乘积的先后顺 序)． 若 a 的标准分解式是 a= p1 1 p2 2 …pi i …pS S ，其中 i=l，2，„，s，则 d 是 a 的正因数 的充要条件是
即证明(21p+4，14p+3)=1。若 a、b、c 是三个不全为 0 的整数，且有整数 t 使得
a=bt +c，则 a、b 与 b、c 有相同的公约数，因而(a，b)= (b，c)，即(a，b) = (a－bt，b)。
可以用此法化简。 证明 ∵(21p+4，14p+3)= (21p+4―14p―3，14p+3) = (7p+1，14p+3)= (7p+1，14p+3―14p―2) = (7p+1，1)=1， ∴ 说明 21p+4 是既约分数。 14p+3
12n(3n±1)必为 24 的倍数，∴(6n±1) =24k+1
2
p2 除以 24 的余数为 1。
大于 3 的质数，必定是奇数，又不是 3 的倍数，所以一定是形如 6n±1 的数。6
是 24 的约数，用这样的形式表出后再变形，容易推出结论。 例 3．试证明 分析 21p+4 是既约分数。 14p+3