培优专题整式的乘法公式(供参考)

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整式乘法乘法公式培优

第二课整式乘法——乘法公式培优一、平方差②(2)(2)x y x y -+-- ②11()()22a b a b --- ③(2)(2)a b c a b c +---=④(23)(23)a b c a b c ---+- ⑤22(34)(34)a b a b --+=2、已知：12345671234569A =⨯，21234568B =，比较A 、B 的大小，则A B ．3、(1)计算：2481631111111(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++= ．(2)2481632(51)(51)(51)(51)(51)(51)++++++=(3)222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234201620172018---⋯⋯---=二、利用完全平方公式计算：1、（1）()223x - （2）()243x y + （3）()2mn a -（4）()225xy x + （5）()221n n +- （6）（a －b ＋c ）22、（1）22411_________24x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ （2）()22_______p pq -+=三、混合运算（1）1(3x m +2y n +4)(3x m +2y n －4) （2）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）（3）(x+2y)(x 2-2xy+4y 2) （4）（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2（5）(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2（6）22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++（7）(2x+3y)2(2x-3y)2（8）(3x+2)2-(3x-5)2(9)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (10)(9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2（11）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c) （12）x 2–(x+y)(x –y)（13）（14））（15）（16）(a -2b +3c )2-(a +2b -3c )2．（17）(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5) （18） 22)231()231(y x y x --+-（19）()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222四、配方1．（1）若292(3)16x k x +-+是完全平方式，则k 的值为（2）如果26x x k -+是完全平方式，则k 的值为（3）若22(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（4）若29(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（5）若多项式224(2)9x k xy y --+是完全平方式，则k 的值是．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4428y x y x ()()22875875c b a c b a +---+2．已知：a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++的值.3、实数a ，b ，c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++的值。

(完整版)整式的乘法与因式分解培优

第二章整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。

a n.a m = (m,n 是正整数)2.幂的乘方，不变，相乘。

(a n )m = (m,n 是正整数)3.积的乘方，等于把，再把所得的幂。

(ab)n = (n 是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘。

5.单项式与多项式相乘，先用单项式，再把所得的积，a （m+n ）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘，再把所得的积，（a+b ）（m+n ）= 。

7.平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的。

（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。

9.公式的灵活变形：（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，a 2+b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ，（a-b ）2=（a+b ）2- 。

【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知两个多项式A 和B ，43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．【例8】归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．课后作业：1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。

整式的乘除—乘法公式

整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x 2-z 2的值。

第一节整式乘法及应用-学而思培优

第一节整式乘法及应用-学而思培优第一节整式乘法及应用一、课标导航二、核心纲要1.幂的运算性质1) 同底数幂的乘法同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：$a^m \cdota^n = a^{m+n}$。

（其中$m,n$都是正整数）特别地，$a^m \cdot a^{-n} = \dfrac{a^m}{a^n}$。

注：①此性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如：$a\cdot a\cdot a = a^3$。

②此性质可以逆用，即$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$。

③当幂的指数为1时，可省略不写，但是不能认为没有，如：$a\cdot a = a^2$。

2) 幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：$(a^m)^n =a^{mn}$。

注：此性质可以逆用，即：$a^{mn} = (a^m)^n$。

3) 积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：$(ab)^n = a^n b^n$。

（$n$是正整数）注：①此性质可推广到多个因数的积的乘方，即：$(abc)^n = a^n b^n c^n$。

②此性质可以逆用：$abc = (abc)^1 = a^1 b^1 c^1$。

2.整式乘法法则1) 单项式与单项式相乘系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

如$2abc\cdot3ab = 6a^2 b^2 c$。

注：①此法则适合多个单项式相乘；②用法则解题时，可分三步计算：第一步：将系数相乘；第二步：将相同字母相乘；第三步：将单独的单项式写在积中。

2) 单项式与多项式相乘单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，即：$m(a+b+c) = ma+mb+mc$，其中$m$为单项式，$a+b+c$为多项式。

3) 多项式与多项式相乘将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，即：a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$。

人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优

第1讲整式的乘法知识点梳理：复习回顾：整式的加减：同类项，合并同类项新课要点：（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。

nm n m a a a +=⋅(m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。

（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。

mnnm a a =)(（m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。

（3）积的乘方：nnnb a ab =)(（n 是正整数）注意公式逆用。

（4）整式的乘法：①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

例如：)3(2322bc a ab -⋅=3336c b a -②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即mb ma b a m +=+)(③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。

即nb na mb ma b a n m +++=++))((经典例题例1．（1）-x 3·x 5 （2）x m ·x 3m+1 （3）2×24×23（4）31++••m m ma a a （5）n m m m m a a a a 321⋅⋅例2．计算： ①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅例3.计算：⑴()33x - ⑵()25ab - ⑶()22xy ⑷()4322xy z-（5）()()4234242a a a a a ⋅⋅++- （6）()()()2323337235xx xx x ⋅-+⋅例4.计算：⑴()()2353a b a -⋅- ⑵()()3225x x y ⋅-（3）()()152n a b a +-- （4）()()()232236ab a cab c --⋅（5）()()24231x x x -⋅+- （6）221232ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（7）()22221252a ab b a a b ab ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭（8）()()32x y x y +-（9）()()22m n m n +- （10）2)2(b a +例5．若20x y +=，则代数式3342()x xy x y y +++的值为。

整式乘法公式

整式乘法公式
1 什么是整式乘法
整式乘法是由欧拉在19世纪早期提出来的一种常见的数学运算方式，是数学分支学科中基本算法之一。

它是用来解决复合乘积问题，即把一个大问题分解为若干个小问题，并利用乘法运算把它们连接起来而解决整个问题，在数学加法、减法、乘法、除法四则运算中被称为第三则运算。

2 整式乘法公式
整式乘法把复杂的乘积运算简化为四个熟调的模式，其中的形式公式为： `(a+b)*(a-b)=a*a - b*b`，其中a，b分别表示算式中的平方数。

它简化了乘积运算，因此，当参与运算的数值变成更大时，整式乘法是十分有效的。

3 应用范围
整式乘法在众多数学问题中得到了很好的应用，例如：如果要求算术组合的乘积，整式乘法可以让我们简化乘积运算，降低难度。

它还可以应用于三角形的计算，例如：根据勾股定理，任意一个直角三角形的斜边的平方等于它的两个直角边的平方总和，这其中就涉及到整式乘法的应用，而且可以方便我们求出它们的相关参数。

4 总结
整式乘法是一种基本的数学运算，它把一个大问题分解为若干个
小问题，并利用乘法运算把它们连接起来，以便快速解决整个问题。

它可以极大的简化乘积的运算，在众多的数学问题中有着重要的应用。

整式的乘除专项培优.doc

整式的乘除知识梳理：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.2、同底数幂的乘法法则：a m·a n=a m+n(m，n是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.3、幂的乘方法则：(a m)n=a mn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.4、积的乘方的法则： ( a b) m=a m b m(m 是正整数 ).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.5、同底数幂的除法法则：a m÷a n=a m-n( a≠ 0， m， n 都是正整数，并且m＞ n).同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：a0 1（a≠0）6、单项式乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数相乘、相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

7 、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 .典型例题：1．若 x，y 均为正整数，且 2x+1?4y=128，则 x+y 的值为（）A ．3 B．5 C． 4 或 5 D． 3 或 4 或 52．已知 a=8131，b=2741，c=961，则 a， b， c 的大小关系是（）A ．a＞b＞c B．a＞c＞b C． a＜b＜c D． b＞ c＞a3．已知 10x=m，10y=n，则 102x+3y等于（）A ．2m+3n B．m2+n2 C． 6mn D． m2n34．如（ x+m）与（ x+3）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（）A ．﹣ 3 B．3 C． 0 D． 115．下列等式错误的是（）A ．（2mn）2=4m2n2B．（﹣ 2mn）2 =4m2n2C．（2m2n2）3=8m6n6D．（﹣ 2m2n2）3=﹣ 8m5n56．计算 a5?（﹣ a）3﹣a8的结果等于（）A ．0B．﹣ 2a8C．﹣ a16D．﹣ 2a167．已知（ x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含 x2和 x 项，则 m，n 的值分别为（）A ．m=3，n=9B．m=3，n=6C． m=﹣ 3， n=﹣9 D． m=﹣ 3， n=98．计算：（﹣ 3）2013?（﹣）2011=．9．计算： 82014×（﹣ 0.125）2015=．10．若 a m=2， a n=8，则 a m+n=．11．若 a+3b﹣2=0，则 3a?27b=．12．计算：（）2007×（﹣1）2008=．13．已知 x2m=2，求（ 2x3m）2﹣（ 3x m）2的值．14．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣ 2a2（3a+4），其中 a=﹣2．xy15．已知 2x+3y﹣ 3=0，求 9 ?27的值．16．已知 x n=2， y n=3，求（ x2y）2n的值．217．已知多项式 x2+ax+1 与 2x+b 的乘积中含 x2的项的系数为 3，含 x 项的系数为 2，求 a+b 的值．18．若 2x+5y﹣3=0，求 4x?32y的值．19．若（ x2+nx+3）（x 2﹣3x+m）的展开式中不含x2和 x3项，求 m，n 的值．20．如图，某市有一块长为（ 3a+b）米，宽为（ 2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2 时的绿化面积．21．已知 2m=5，2n=7，求 24m+2n的值．322．计算：﹣ 6a?（﹣﹣a+2）23．比较 3555，4444，5333的大小．24.（1）（）2（ 3）（4）（2a﹣b﹣c）（b﹣2a﹣c）25．小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（ 2x﹣ a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（ 2x+a）（x+b），得到的结果为 2x2﹣x﹣6．（ 1）式子中的 a，b 的值各是多少？（ 2）请计算出原题的答案．26．已知（ x2+ax+3）（x2﹣ ax+3）=x4+2x2+9，求 a 的值．4参考答案与试题解析一．选择题（共7 小题）1．若 x，y 均为正整数，且2x+1?4y=128，则 x+y 的值为（）A ．3B．5C． 4 或 5D． 3 或 4 或 5【解答】解：∵ 2x+1?4y=2x+1+2y，27=128，∴x+1+2y=7，即 x+2y=6∵x， y 均为正整数，∴或∴x+y=5 或 4，故选： C．2．已知 a=8131，b=2741，c=961，则 a， b， c 的大小关系是（）A ．a＞b＞c B．a＞c＞b C． a＜b＜c D． b＞ c＞a【解答】解：∵ a=8131=（34）31=3124b=2741=（33）41=3123；c=961=（32）61=3122．则a＞b＞c．故选： A．3．已知 10x=m，10y=n，则 102x+3y等于（）A ．2m+3n B．m2+n2C． 6mn D． m2n3【解答】解： 102x+3y=102x?103y=（10x）2?（10y）3=m2n3．故选： D．4．如（ x+m）与（ x+3）的乘积中不含x 的一次项，则 m 的值为（）5A ．﹣ 3 B．3 C． 0 D． 1【解答】解：∵（ x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（ 3+m）x+3m，又∵乘积中不含 x 的一次项，∴3+m=0，解得 m=﹣3．故选：A．5．下列等式错误的是（）A ．（2mn）2=4m2n2B．（﹣ 2mn）2 =4m2n2C．（2m2n2）3=8m6n6D．（﹣ 2m2n2）3=﹣ 8m5n5【解答】解： A、结果是 4m2n2，故本选项错误；B、结果是 4m2n2，故本选项错误；C、结果是 8m6n6，故本选项错误；B、结果是﹣ 8m6 n6，故本选项正确；故选： D．6．计算 a5?（﹣ a）3﹣a8的结果等于（）A ．0 B．﹣ 2a8 C．﹣ a16 D．﹣ 2a16【解答】解： a5?（﹣ a）3﹣a8=﹣a8﹣a8=﹣2a8．故选： B．7．已知（ x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含 x2和 x 项，则 m，n 的值分别为（）A ．m=3，n=9B．m=3，n=6C． m=﹣ 3， n=﹣9 D． m=﹣ 3， n=9【解答】解：∵原式 =x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x﹣3n，又∵乘积项中不含 x2和 x 项，6∴（ m﹣3）=0，（ n﹣ 3m） =0，解得， m=3，n=9．故选： A．二．填空题（共 5 小题）8．计算：（﹣ 3）2013?（﹣）2011=9．【解答】解：（﹣ 3）2013?（﹣）2011=（﹣ 3）2?（﹣ 3）2011?（﹣）2011=（﹣ 3）2=9，故答案为： 9．9．计算： 82014×（﹣ 0.125）2015=﹣0.125．【解答】解：原式 =82014×（﹣ 0.125）2014×（﹣ 0.125）=（﹣ 8× 0.125）2014×（﹣ 0.125）=﹣0.125，故答案为：﹣ 0.125．10．若 a m=2， a n=8，则 a m+n= 16．【解答】解：∵ a m=2， a n=8，m+n m n∴ a =a ?a=16，故答案为： 1611．若 a+3b﹣2=0，则 3a?27b= 9．7【解答】解：∵ a+3b﹣2=0，∴a+3b=2，则3a?27b=3a×33b=3a+3b=32=9．故答案为： 912．计算：（）2007×（﹣1）2008=．【解答】解：（）2007×（﹣1）2008=（）2007×（﹣1）2007×（﹣1）=（﹣×1）2007×（﹣1）=﹣1×（﹣ 1）=．故答案为：．三．解答题（共18 小题）13．已知 x2m=2，求（ 2x3m）2﹣（ 3x m）2的值．【解答】解：原式 =4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14．14．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣ 2a2（3a+4），其中 a=﹣2．【解答】解： 3a（ 2a2﹣ 4a+3）﹣ 2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣ 6a3﹣ 8a28=﹣20a2+9a，当a=﹣ 2 时，原式 =﹣20× 4﹣ 9×2=﹣98．x y15．已知 2x+3y﹣ 3=0，求 9 ?27 的值．【解答】解：∵ 2x+3y﹣3=0，∴2x+3y=3，则9x?27y=32x?33y=32x+3y=33=27．故答案为： 27．16．已知 x n=2， y n=3，求（ x2y）2n的值．【解答】解：∵ x n=2，y n=3，∴（ x2y）2n=x4n y2n=（x n）4（ y n）2=24× 32=144．17．已知多项式 x2+ax+1 与 2x+b 的乘积中含 x2的项的系数为3，含 x 项的系数为 2，求 a+b 的值．【解答】解：根据题意得：（ x2+ax+1）（2x+b）=2x3+（b+2a）x2+（ab+2）x+b，∵乘积中含 x2的项的系数为 3，含 x 项的系数为 2，∴b+2a=3，ab+2=2，解得： a=，b=0；a=0，b=3，则a+b= 或 3．9【解答】解： 4x?32y=22x?25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即 2x+5y=3，∴原式 =23=8．19．若（ x2+nx+3）（x 2﹣3x+m）的展开式中不含x2和 x3项，求 m，n 的值．【解答】解：原式的展开式中，含x2的项是： mx2+3x2﹣ 3nx2=（m+3﹣ 3n）x2，含x3的项是：﹣ 3x3+nx3=（n﹣3）x3，由题意得：，解得．20．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（ 2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a=3，b=2时的绿化面积．【解答】解：阴影部分的面积 =（3a+b）（2a+b）﹣（ a+b）2=6a2+5ab+b2﹣a2﹣ 2ab﹣b2=5a2+3ab，当a=3，b=2 时，原式 =5× 32+3×3×2=63．21．已知 2m=5，2n=7，求 24m+2n的值．【解答】解：∵ 2m=5， 2n=7，又∵ 24m=625，∴22n=49，∴24m+2n=625× 49=30625故答案为 30625．22．计算：﹣ 6a?（﹣﹣a+2）【解答】解：﹣ 6a?（﹣﹣a+2）=3a3 +2a2﹣12a．23．比较 3555，4444，5333的大小．【解答】解：∵ 3555=35×111=（35）111=243111，4444=44× 111=（44） 111=256111，5333=53× 111=（53） 111=125111，又∵ 256＞243＞ 125，∴256111＞243111＞ 125111，即4444＞3555＞5333．24．化简：．【解答】解：===2x﹣ 4．25．计算：（﹣ a）2?（a2）2÷a3．22× 2 3【解答】解：原式 =a ?a÷a=a2+4﹣ 3=a3．26．计算：（1）（﹣ xy2）2?x2y÷（ x3y4）（2）（15x3y5﹣10x4y4﹣20x3y2）÷（ 5x 3y2）【解答】解：（1）原式 =x2y4?x2y÷（ x3y4）=x4y5÷（ x3y4）=xy；（2）原式 =15x3y5÷（ 5x3y2）﹣ 10x4y4÷（ 5x3y2）﹣ 20x3y2÷（ 5x3y2）=3y3﹣2xy2﹣4．27．计算：（1）（x+3）（x﹣2）（2）（6a2 b﹣2b﹣ 8ab3）÷（ 2b）【解答】解：（1）（ x+3）（x﹣2），2=x +3x﹣2x﹣6，=x2+x﹣6；（2）（6a2 b﹣2b﹣ 8ab3）÷（ 2b）=3a2﹣1﹣4ab2．3 4244 228．a ?a?a+（a ） +（﹣ 2a ）．【解答】解：原式 =a3+4+1+a2×4+4a8，=a8+a8+4a8，=6a8．29．计算：（﹣ x2）?x3?（﹣ 2y）3+（2xy）2?（﹣ x）3?y．【解答】解：原式 =x2?x3?8y3﹣ 4x2 y2?x3?y=8x5y3﹣4x5y3=4x5y3．30．已知（ x2+ax+3）（x2﹣ ax+3）=x4+2x2+9，求 a 的值．【解答】解：∵（ x2+ax+3）（x2﹣ ax+3）=[ （x2+3） +ax][ （x2+3）﹣ ax]=（x2+3）2﹣（ ax）2=x4+6x2+9﹣a2x2=x4+（6﹣a2）x2+9，∴6﹣ a2 =2，∴a=±2．。

初一-第03讲-整式的乘法与平方差公式(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；②理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。

2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式如下：()(,,,m a b c ma mb mc m a b c++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b++=+++都是单项式）（二）平方差公式体系搭建1、平方差公式：22()()a b a b a b-+=-，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

公式的推导：2222()()a b a b a ab ab b a b+-=-+-=-。

平方差公式的逆用即22()()a b a b a b-=-+平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。

2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。

培优拔高整式与分式题型汇编-9.9

整式题型汇编【知识梳理】1、余式定理：多项式()x f 除以a x -所得的商式为()x Q ，余式为()a f ，即()()()()a f a x x Q x f +-=。

2、因式定理：如果多项式()x f 含有因式a x -，那么()0=a f ，反之亦然。

我们称a 为多项式()x f 的零点。

3、乘法公式：（1）立方和公式：()()3322b a b ab a b a +=+-+（2）立方差公式：()()3322b ab ab ab a -=++-（3）三数和平方公式：()()ac bc ab c b a c b a +++++=++22222（4）两数和立方公式：()3223333b ab b a a b a +++=+（5）两数差立方公式：()3223333b ab b a a b a -+-=-4、拆添项法：把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。

拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

5、试根法：整系数多项式01a x a x a nn +++Λ，若sr是它的有理根（s r 、互素），那么s 整除n a ，r 整除0a 。

一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决（试根法使用于整系数多项式的因式分解）6、常见数学思想与方法：整体思想、降次法、消元法、待定系数法、赋值法等。

除了常规的因式分解法，还有拆添项法、双十字相乘法、待定系数法、试根法等。

【题型分析】例1：已知012=-+a a ，求2014223++a a 的值。

【解法一】（整体代入）：由012=-+a a 得023=-+a a a所以201520151201420142222323=+-+=+++-+=++a a a a a a a a a【解法二】（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

由012=-+a a 得a a -=12，所以()201520151201420142120142201422222223=+-+=++=++⋅-=++⋅=++a a a a a a a a a a a a 【解法三】（降次、消元）：12=+a a （消元、减项）()2015201412014201420142014222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a说明：本题常用的方法是降次法，通过降次最后使2014223++a a 化为一个常数，但是用降次法，变形过程较为复杂且容易出错，而用零代换只要掌握变形的技巧，计算比较简便。

整式的乘法乘法公式

确定运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。

培优专题：整式的乘法公式

整式的乘法（二）乘法公式一.公式补充。

计算：(x +1)(Λ∙2- X + 1) = __________________练习：(X -1)( A√ + X +1) = _______________(2x +3)(4X2-6X +9)= _________________2 4 2(—a -b)(-a2 + —ab + b2) =39 3 ---------------计算：4≤-13^ + 46iχi3932.2二.例：已知"+b = 3, ab = 2 9求a2 +b29 (a -b)2 , a y +b^的值。

练习：L 已知“+" = 5, ab = 6,求a2+b2, (a-b)2 , a3+b3的值。

2.己知a2+⅛2=13, ab=β9求(a+⅛2, (a-∕>)2的值。

3.已知(a¼⅛2=7, (a-2>)2=4,求d+2Λ 胡的值。

4.己知x +j = l, X2 + J2 =3 ,求X3 +j3的值。

5.已知兀_丄=3,求X4+A的值。

三、例1：B⅛lx2-6x + y2 +10J = -34,求X』的值。

练习：L +j2+4x-12j+ 40 = 0,求x + 2y 的值。

2.已^x2 +2xy + y2 -6x-6j + 9 = 0,求x + y 的值。

3∙ BftJ</2+ b2 + l=ab+a + b f求&/一物的值。

4•已知",方,c 满足/+2Z> = 7, b1 -2c =-1 , C l -6ιι =-17,求“+b + c 的值。

例2.计算：(a +1)(«2 +1)(«4 +1)(“ — 1)练习：L 计算：6×(7 + l)×(72+l)×(74+l)×(78+l) + l2.计算:(2+1) (22+1) (24+1) (28+1)平方差公式专项练习题A卷: 基础丿一、选择题L平方差公式(a+b) (a-b) =a2-b2中字母a, b表示()A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.以上都可以2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()A. (a+b) (b+a) B・(―a+b) (a—b)C. (Ia+b) (b-1a) D・(a?—b) (b2+a)3 33.下列计算中，错误的有()①(3a+4) (3a—4) =9a2~4：②(2a2-b) (2a2+b) =4a2-b2：③ (3—X)(x+3) =x2-9：④ (—x+y)・(x+y) =— (x—y) (x+y) =—x2-y2.A・1个B. 2个C・3个D・4个4.若X2—y2=3O,且x-y=-5,贝∣] x+y 的值是()A・5 B・6 C・—6 D・—5二、填空题5・(―2x+y) ( —2x—y) = ______ ・6.( — 3x2+2y2) ( _____ ) =9x4-4y4・7.(a+b-l) (a-b+l) = ( __________ ) 2- ( ______ ) 2.8.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的而积减去较小的正方形的而积，差是_____ .三、计算题2 19.利用平方差公式计算：20-×21丄.3 310.计算：(a+2) (a2+4) (a4+16) (a-2).B卷:一、七彩题1.(多题一思路题)汁算：(1)(2+1) (22+l) (24+l ) ... (22n+l) +1 (n 是正整数)；^4()16(2)(3+1) (32+l) (34+l) ... (32008+l) 一一・22.(一题多变题)利用平方差公式计算：2009×2007-20082.二、知识交叉题3・(科内交叉题)解方程:X (x+2) + (2x+l) (2χ-l) =5 (x2+3).三、实际应用题4.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四.经典中考题5.（2007,泰安，3分）下列运算正确的是（）A. a3+a3=3a6B. (—a) 3∙ (—a) 5=-a8C. ( — 2Qb) ・4a=—24a6t√ D・(一4b) ( — a—4b) =16b2- — a23 3 96 (2008,海南，3 分)计算：(a+l) (a-l) = ____________ ・文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借•欢迎下载支持.C卷:课标新型题1.(规律探究题)己知x≠l,计算(l+x) (1—X)=l-χ2, (1 —X)(l+x+x2) =1—X3,(1 —X)(∙ l+x+x2+x3) =I-X4・(1)观察以上各式并猜想：(I-X) (l+x+x2+...+x n) = _________ . (n为正整数)(2)根据你的猜想汁算：①(1-2) (l+2+22+23+24÷25) = ________ ・②2+22+23+...+2n= ____ (n 为正整数).③(X-I) (x w+x98+x97+...+x2+x+l) = __________ ・(3)通过以上规律请你进行下而的探索：①(a—b) (a+b) = ________ ・②(a—b) (a2+ab+b2) = ______ ・③(a—b) (a3+a2b+ab2+b3) = _______ ・2.(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m, n和数字4.4、已知πΓ+rf-6m+10n+34=0,求m+n 的值文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑•欢迎下载支持.整式的乘法.平方差公式.完全平方公式.整式的除法(B 卷)综合运用题姓名：一、请准确填空1. 若 /+/-2M2H2二0,则『“+产5二 ________ ・2. 一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a-36),则长方形的面积为 ____________ •3. 5— (a —6):的最大值是 ________ ,当5— (a —6):取最大值时,a 与b 的关系是 _____4. 要使式子0・36√+i 長成为一个完全平方式，贝IJ 应加上 ______ ・45. (4a“ —6孑)j r2a *- ________ ・6. 29×31×(30s +D= ________ ・7. 己知 Y-5Λ÷1=0,则 f+A= _________ ・Jr8. 已知(2005 — Q (2003—a)=1000,请你猜想(2005 — a)'+(2003 — a)土 _____ ・二、相信你的选择9. 若 Y --Y-Zrf=(X —in) C 计 1)且-v≠0,则加等于A. — 1B. 0C. 1D. 210. (Mg)与(AH-I)的积不含X 的一次项，猜测g 间是5A. 5B. £C. — ξD. —511. 下列四个算式:①4f∕m 丄羽Qw;(D162九m8∕42a 话C ；③9<y÷3f 尸3玄兀4④ (12zπ+8∕zf -4zσ) ÷ (―2zσ)=-6/+4硏2,其中一正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12. 设(√ I y rt ) ∙ (X a y S )-Xy t 则z/的值为A. 1B. -1C. 3D. -3 13•计算［&一刃(才+刃］:等于A. a ~2^b ,^b'B. a°+2aWFC. a ~2aD. a —2a 6,+∆w14. 已知(a÷∆)2=ll, aZ>=2,则(a~b)z 的值是 A. 11 B. 315. 若是一个完全平方式，那么"是A 7 SD 49 2A. — yB. —「2" 216•若為y 互为不等于0的相反数，力为正整数,你认为正确的是c. √∖芦一泄是互为相反数D ..Y 2Λ-∖ -Z-I -定相等・1・文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.C. 5D. 19D. 49/A. ΛΛ b —定是互为相反数B. (i)∖ (丄尸一定是互为相反数X y文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑•欢迎下载支持.三S考査你的基本功17.计算(1) (a—2M∙3c)~-(a+2Z>—3c)(2)「ab(3 — b) —2a(b —丄Zf)] (―3a£);2(3)-2loo×0. 5ιcc× (-l)sooδ÷ (-1)(4)[ (∆÷2y) (-γ-2y)+4(A r—y)2—6.γ] ÷6x18.(6分)解方程*(9*一5) 一(3-Y-I) (3对1)二5・四.生活中的数学19.（6分）如果运载人造星球的火箭的速度超过11. 2 kπ√s（俗称第二宇宙速度），则人造星球将会挣脱地球的朿缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8×IO6m∕h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.五、探究拓展与应用20.计算.(2+1) (2*1) (2s+l)= (2-1) (2+1) (2:+1) (2,+l) = (23-l) (25+l) (2*+l)= (2i-l) (2,+1) = (28-1).根据上式的计算方法，请计算(3+1) (33+l) (3t+l)…(352+l) 一—的值•2文档从网络中收集，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.完全平方公式习题精选・.选择题1・下列各式中，能够成立的等式是()・ Z 9 s2 yl 2 ω ,2 (-Λ -⅛)2 = -a 2 +ab +hAe (2「刃 =4x -2D+y B. 24C. (X÷7)2=^2÷/D .(Nf)2=0p)22. 下列式了•：①(3"1)(3L 1) = (N-1)2 ②(X -37)2 =X 2-3^÷9j;2 ③A.①B.①②C.①②③D.④ 3.（）A X 2÷2ZJ ; + /B -√-2zj;-/ c.兀2_2芋 + 丿2 D x 2 + 2z ιy-/ 4. 若（"刃2 一M=（LyF ,则M 为（）.A. 2&B. ± 2卩C. 4& d . ±5. •个正方形的边长为αcm ,若边长增加6cm ,则新正方形的面积人增加了（）.A. 36cm 2 B- 12<scm 2 c . G&+ 12N ）Cnl? D 以上都不对 6. 如果X+αx + l 是-个完全平方公式，那么a 的值是（）. A ・ 2 B ・-2 C ・ ± 2 D. ±17. 若•个多项式的平方的结果为4/+12αB+滋2 ,则酬I=（）A . 9沪 B. 3⅛2 C. -9戸 D. 3⅛&下列多项式不是完全平方式的是（）.1 2一十购十购π ααA. /—4兀一4 B e 4c. 2 +6ab +⅛2 D e 4/2 +12/+9X + — = 29.已知 X ,则下列等式成立的是（〉(i-2^)2=ι-4Xy ④ STf 十2十土中正确的是（）文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑•欢迎下载支持.Λ2÷4-=2^4÷Λ = 2护+4 = 2 "丄=C)①X ②X ③X④ 兀A.①B.①②C.①②③D.①Φ③④二、填空题1.(*b)2=_3.(2X-1)2+(2X +1)2= _____ 5. @ +疔-0-b)2 = ___________(4戲+ ”2 = [6型2 十 ________三、解答题1.运用完全平方公式计算:2. (3S)2=—4.(沪疔+S 7)2= _6.(-3X +47)2=()2 =aλ+⅛2 = {a+Λ)2 + ________(1) (卩爭(2)(-4X-I i y)2.运用乘法公式计算:(I) SZ ・P)?；⑵(x÷ l)2(x-l)2 Z ⑶◎*!) 文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑•欢迎下载支持.("刃2("刃：⑷(2"%+C)(C-2α + %)3. 计算:⑵(x+4)(x-4)-(x-4)2(l2m -3⅝)2(2Λ>2 + 3«)2(J)(3α -b+c)(3α ÷⅛ -C)参考答案:∙. 1・D 2・D 3・A 4・C 5・C 6. C 7・D 8・A 9・D•IΛ2÷4Λ⅛+4Λ29 9a2 - 6ab +⅛23 8^2 ÷ 2 42Λ2+2⅛25澎1. 3x-4ιy,9x2-24Λ^+16√: I朋十彳：8- -2ab .6-m1 - + -n216x2 + 4∑y -I- —ιy2三、1.⑴ 4 3 9 ；（2）4丿：■—十3&B _9护_ 2 （3） 4 :⑷ 39204 （提示：低一（2°°■ 2））.、、、.I} Am十？2 + P + Amn-AmP - 2wp2.3-√+Λ⅛-73J⑷ /一4护+12血一9护・（S） X3. ⑴Λ4-2CJ⅛2+δ4 : （2）8x-32.（3）16朋4 -72眈?泌十81刃4（4）9/- 炭 + 必匕 - / ；（5）⅛2-⅛2 -β⅛-9.（6）4诂-定+2碑-才（7） ' ■ 2今-2xz + / + 2yz +∑2（S） 400(3)-K 计算下列各式：(1) (x + 2Xx-2) (2) (l + 3dXl-3α) (3) (χ + 5yXx -5y)2^ 猜一猜：(α + bXα-Z?) = _____ - ____二、巩固练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 ________________ (1) (G + Z?Xd-C) (2) (X + yX-y + x) (3) (CIb -3x)(-3x-ab) (4) (-∕π-/7X777 +/?) (5) (2a+b)(2b-cι)(6) (-2χ-y)(-2x+y)2、判断：(3x- y ∖-3x+ y) = 9x 2 - y 2 ()4) (- 2x - yX~ 2x + y) = 4x 2 - y 2 ()5)(U + 2∖a -3)=Cr -6 () 6) (X + 3∖y -3)= Xy t -9 () 3、计算下列各式：(1) (4a-7b ∖4a + 7b)(2) (一 Im- n X2〃? 一 ")1 \ rι 1 、—a + —b 一 G ——b2丿 13 2丿平方差公式11) (2a + b ∖2J}-a) = 4a 2 ^b 2)3)4.填空:(1)(2x + 3y)(2x-3y)= ______________(2)(46/-1)( )=166∕2-1 (3) --- "心卜存讥9(4) (2x+ * -3y)= 4X2-9y2三、提髙练习：1、U + >'X-r-yXx2 + y2)2、X4-(2X2+1)(2X2-1)2、若疋一/=12 ,x+y = 6,求X, y的值。

培优专题整式的乘法

整式的乘法培优训练教师寄语：任何的限制，都是从自己的内心开始的。

忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。

【知识精要】1、幂的运算性质（m、n为正整数）（m为正整数）（m、n为正整数）（m、n为正整数，且a≠0，m＞n）（a≠0）（a≠0，p为正整数）2、整式的乘法公式：3、科学记数法其中（1≤|a|＜10）4、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

5、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

6、多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

7、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

例1．已知1582=+xx，求2)12()1(4)2)(2(++---+xxxxx的值.练习：1．若0422=--aa, 求代数式2]3)2()1)(1[(2÷--+-+aaa的值. 2．已知012=--xx，求)5()3()2)(2(2---+-+xxxxx的值．3. 已知)1()3)(3(1,09322---+++=-+xxxxxxx）求（的值.4．已知222x x-=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x-++-+--的值．5. 已知132=-xx，求)1)(4()2()2(22--+-+-+xxxxx）（的值.例2：已知012=-+x x ，求代数式3223++x x 的值。

练习：1. 已知0332=-+x x ，求代数式103523-++x x x 的值。

2. 已知012=-+a a ，求代数式3432234+--+a a a a 的值。

3. 已知0132=+-x x ，求代数式200973223+--x x x 的值。

整式的乘法培优

整式的乘法培优讲义例1、(－a)m +a·(－a)m -1的值是（）A . 1B . －1.C . 0.D . （－a ）m +1.练习：1、计算(－2)50+(－2)51的结果为（）A . －2B . -2101C . 250D . －2502、已知9x +1－32x =648,求x 的值.3、已知：693273=⋅m m ，求m .4、计算：2－22－23－24－25－26－27－28－29+210例2、已知223344556,5,3,2====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是()．A ．a <b <c <dB ．a <b <d <cC ．b <a <c <dD ．a <d <b <c练习1、已知2m +5n -8=0,求4m ·32n 的值.2、简便计算（）669·22007.3、已知a =322，b =414，c =910，d =810，则a 、b 、c 、d 的大小关系是什么例3、(x 2－px ＋3)(x －q )的乘积中不含x 2项（p 、q 为常数），则( )A ．p ＝qB ．p ＝±qC ．p ＝－qD ．无法确定练习1、(x 3＋3x 2＋4x －1)(x 2－2x ＋3)的展开式中，x 4的系数是__________．2、若(x 2＋ax ＋8)(x 2－3x ＋b )的乘积中不含x 2和x 3项，则a ＝_______，b ＝_______．3、若2x 2＋5x ＋1＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，那么a ，b ，c 应为( )A ．a ＝2，b ＝－2，c ＝－1B ．a ＝2，b ＝2，c ＝－1C ．a ＝2，b ＝1，c ＝－2D ．a ＝2，b ＝－1，c ＝24、已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定常数c b a 、、的值．5、下面三组数：① 514 ，8，235 ，223 ，；② 920 ，，115 ；③ ，456 ，12924 ，6．从每组中取出一个数来，把取出的3个数相乘，则所有这样的三个数的积的和为．例4、如果x 2＋x －1＝0，求代数式x 3＋2x 2＋3的值．练习：1、已知a 3＋2a ＝﹣2，求3a 6＋12a 4－a 3＋12a 2－2a －4的值．2、若x 2－x －1＝0，求﹣x 3＋2x ＋2002的值．3、若2x ＋5y ＋4z ＝6，3x ＋y －7z ＝﹣4，求x ＋y －z 的值．例5、已知m n 113+能被10整除．试证明：24113+++m n 也能被10整除练习：若m n +3能被13整除，试说明m n ++33也能被13整除．作业：1、已知n 为正整数,且（a n ）3=2.试探求（2a 3n ）2－（－3a 3）2n 的值.2、已知x a x b 则x 6a +2b 的值为________________.3、若10m ·10000=102008,则m 的值为__________________.4、若a m +1·a 2n -1=a 8,且b 2m +1·b n +2=b 10,则 m n 的值为 .5、如果9x =3x +3,则x 的值为__________________.6、已知〔x 〕2=8,则x 的值为____________．7、已知：693273=⋅m m ，则m 为______________.8、已知a m =2,a n =3,则a 2m +3n 的值为______________.9、若20x y +=，则代数式3342()x xy x y y +++的值为10、若32=a ，52=b ，302=c ，试用a 、b 表示出c .11、若(x 2＋ax －b )(2x 2－3x ＋1)的积中，x 3的系数为5，x 2的系数为－6，求a ，b ．12、已知计算(x 3＋mx ＋n )(x 2－5x ＋3)的结果不含x 3和x 2项，则m= ，n= ．13、设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 都是非负有理数，))((54324321a a a a a a a a M ++++++=，))((43254321a a a a a a a a N ++++++=，则M N （用符号表示大小关系）．14、简便计算① (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 ② （135-）2009×（532-）2008③ 2+22+23+24+25+26+27+28+29+210．。

整式的乘法公式和分式的运算

整式的乘法公式和分式的运算整式的乘法公式是数学中重要的内容之一，它们能够帮助我们简化复杂的算术操作，使得解题更加高效和准确。

与此同时，分式的运算也是我们在日常生活和学习中经常遇到的情况之一，掌握好分式的运算规则可以帮助我们解决许多实际问题。

本文将重点讲解整式的乘法公式和分式的运算，并通过例题帮助读者更好地理解和应用。

1. 整式的乘法公式整式是由常数和字母的积、和以及差构成的式子，例如2x² + 3xy + 4。

整式的乘法公式能够帮助我们将两个或多个整式相乘并进行简化。

下面是常见的整式乘法公式：①两个单项式相乘： (ax)(by) = abxy②单项式和多项式相乘： (ax)(b + cy + dz) = abx + acxy + adxz③两个多项式相乘： (a + bx + cy)(d + ex + fy) = ad + aex + afy + bdx + bex² + bfxy + cdy + cexy + cfy²使用整式的乘法公式，我们可以快速地计算出两个或多个整式的乘积。

举个例子，如果我们要计算(2x + 3)(4x - 5)，根据公式我们可以展开并进行简化运算：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x² - 10x + 12x - 15= 8x² + 2x - 15通过整式的乘法公式，我们得到了(2x + 3)(4x - 5)的简化结果为8x²+ 2x - 15。

2. 分式的运算分式是由分子和分母构成的比值表达式，通常以a/b的形式表示。

在日常生活中，我们经常遇到各种各样的分式运算，例如分式的加减乘除。

下面我们将介绍分式的运算规则。

①分式的加减：要进行分式的加减，首先需要找到两个分式的公共分母，然后对分子进行相应的加减操作，最后将结果化简为最简分数。