矩阵位移法1
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第1章 杆系结构的矩阵位移法
在计算图式中，杆单元和梁单元均简化为一条直线，统称为一维单元。
矩阵位移法结构分析的基本要点
矩阵位移法是以传统结构力学的位移法为理论基础，按有限元法的基本思路分
析结构。
（1）单元分析
将结构离散为若干个杆件单元，研究杆件单元的力学特性，确定在单元坐
标系中单元杆端力与杆端位移之间的关系，获得单元坐标系中的单元刚度
第一章 杆系结构的矩阵位移法
§1 概述
§2 总体坐标系和单元坐标系
§3 平面梁单元的单元刚度矩阵
§4 总体坐标系中的单元刚度矩阵
§5 总体刚度矩阵的集成
§6 荷载列阵的形成
§7 方程求解
§8 杆件单元内力计算
§9 支点反力计算及支承点沉陷产生的内力计算
§10 矩阵位移法计算步骤与算例
§1 概述
结构矩阵分析方法：杆系结构的有限元法。
在单元分析中，杆端位移和杆端力都是在单元坐标系定义的。组成结构的各个
单元的单元坐标系不一定完全相同。
通过坐标转换，将各单元坐标系下的单元刚度矩阵和荷载列阵转换到总体坐标
系下的单元刚度矩阵和荷载列阵。
4.1 坐标转换
令总体坐标系中单元杆端力和杆端位移列阵为 和 ，表示为：
将端单元坐标系中的位移分量用总体坐标系中的位移分量表示，其投影关系
于1（其他杆端位移分量均为零）时，所引起的其所在行对应的杆端力分量的数
值。
（3）单元刚度矩阵具有的性质
（4）考虑剪切变形的梁单元刚度矩阵
以上推导的梁单元刚度矩阵适用于细长梁，忽略了剪切变形影响。对于剪切
变形起重要作用的深梁，剪切变形引起梁的附加挠度。
矩形截面k=1.2，
圆形截面k=10/9。
09矩阵位移法(学习版)(1)
1
2
3 6
4
y
5
θ x
O
练习：
3 ④ 2 ① 1
8 ⑨ ⑤ 6 ⑦ ② 4 5 ⑧ 7 ⑩ ⑥
13
12 10 11 ③ 9
（2）结点位移编码 矩阵位移法基本未知量的确定： 矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与 单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序 有关。 结点位移的统一编码 —— 整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点 位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编 码。
第九章
矩阵位移法
9.1 概述
1. 概述
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等 计算的方法。
e
e
建立单元的杆端力和杆端 位移之间关系的过程称单元分 析，形成的方程称单元刚度方 程。
e
⎡δ 1 ⎤ ⎡ u i ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ 2 ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ e ⎡ δ i ⎤ ⎢δ 3 ⎥ ⎢θ i ⎥ e δ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎣δ j ⎦ ⎢δ 4 ⎥ ⎢u j ⎥ ⎢δ 5 ⎥ ⎢ v j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎢ ⎣θ j ⎥ ⎣δ 6 ⎥
2. 单元分析
y y e i x
α
j x
局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所 建立的坐标系。 局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用α表示。α的方向 以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局 部坐标系也不完全相同。
矩阵位移法——精选推荐
第十二章矩阵位移法12-1 概述用经典的力法和位移法求解超静定结构，随着基本未知量数目的增多，相应需要建立和求解的多元代数方程的个数也增多，计算工作极为冗繁和困难。
由于计算技术的飞速发展，电子计算机广泛应用于结构分析，使力学学科在计算技术上实现了现代化，大大推动了工程设计技术上的改进和结构理论的发展。
基于上述情况，结构矩阵分析方法已从本世纪六十年代迅速发展起来。
在结构矩阵分析中，运用矩阵进行计算，不仅能使公式非常紧凑，而且在形式上规格统一，便于使计算过程程序化，因而适用于电子计算机进行自动化的数学计算。
结构矩阵分析的两种基本方法是矩阵位移法(刚度法)和矩阵力法(柔度法)，前者在计算中采用结点位移作为基本未知量，后者则采用多余力作为基本未知量。
对于杆件结构，矩阵位移法比矩阵力法便于编制通用的程序，因而在工程界应用较为广泛。
矩阵位移法与位移法在本质上并无区别，两者的差异仅在于矩阵位移法是从电算这一角度出发，它在解题步骤上以矩阵作为组织运算的数学工具。
在杆件结构的矩阵位移法中，把复杂的结构视为有限个单元(杆件)的集合，各单元彼此在结点处连接而组成整体。
因而先把结构分解成有限个单元和结点，即对结构进行离散化。
继而对单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。
再根据变形谐调条件、静力平衡条件使离散化的结构恢复为原结构，从而形成结构刚度方程，据此不难求解结构的结点位移和单元杆端力。
矩阵位移法的基本思路是“先分后合”，即先将结构离散然后集合，这样一分一合的过程，就把复杂结构的计算问题转化为简单杆件的分析与综合问题了。
因此，它的解题方法可分为两大步骤:(1)单元分析。
研究单元的力学特性。
(2)整体分析。
考虑单元的集合，研究整体方程的组成原理和求解方法。
12一2 单元刚度矩阵一、单元的划分在杆件结构中，一般是把每个杆件作为一个单元。
为了计算方便起见，只采用等截面直杆这种形式的单元，并且还规定荷载只作用于结点处。
矩阵位移法和位移法的异同
矩阵位移法和位移法的异同引言矩阵位移法和位移法是结构力学中常用的分析方法，用于计算结构的变形和应力。
它们在工程领域广泛应用，可以帮助工程师设计和优化各种结构。
本文将介绍矩阵位移法和位移法的基本原理、计算步骤以及它们之间的异同。
矩阵位移法矩阵位移法是一种基于刚体平衡原理和弹性力学理论的结构分析方法。
它通过建立结构的刚度矩阵和载荷向量的关系方程组，求解未知节点位移，从而得到结构的变形、应力等参数。
原理矩阵位移法基于以下两个基本原理： 1. 刚体平衡原理：结构在平衡状态下，任何一个节点受力的合力为零。
2. 弹性力学原理：结构内部材料满足胡克定律，即应力与应变成正比。
计算步骤矩阵位移法主要包括以下几个步骤： 1. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，通过积分或近似方法计算出单元的刚度矩阵。
2. 组装整体刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照节点自由度的顺序组装成整体刚度矩阵。
3. 施加边界条件：根据实际情况，确定某些节点的位移或受力边界条件。
4. 求解位移向量：根据结构的平衡方程和边界条件，建立节点位移与载荷之间的关系方程组，并求解未知节点位移。
5. 计算应力和变形：根据已知位移和单元刚度矩阵，计算结构中各个点的应力和变形。
优点矩阵位移法具有以下优点： 1. 精确性高：通过建立精确的刚度矩阵和载荷向量关系方程组，可以得到精确的结构变形和应力分布。
2. 适用范围广：适用于各种结构类型，包括梁、板、壳等。
3. 可扩展性强：可以通过增加单元数量或自由度来提高计算精度。
位移法位移法是一种基于虚位移原理的结构分析方法。
它通过假设结构发生微小位移，建立虚位移与内力的关系，从而求解结构的变形和应力。
原理位移法基于以下两个基本原理： 1. 虚位移原理：假设结构发生微小位移，使得结构内部势能函数最小。
2. 弹性力学原理：结构内部材料满足胡克定律，即应力与应变成正比。
计算步骤位移法主要包括以下几个步骤： 1. 建立虚位移场：根据虚位移原理，建立虚位移场，并将其表示为一组未知系数乘以已知基函数的形式。
矩阵位移法
第六章 矩阵位移法
6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
基本思想:
56
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元.
2 3
3
单元的连接点称作结点.
P1 k111 k12 2 k133
k11
=1
P2 k211 k22 2 k233
1
P3 k311 k32 2 k33 3
k111
P1 P2
k11 k21
k12 k22
k13 k23
12
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k31 0 k32 k221 k33 k222
1
k 2 kk122211
2
k122 k222
12 23
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
移为零位移时在 i结点所需 加的结点力.
k 1 kk121111
k112 k212
11 22
1
2
3
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
简记为 P k---结构刚度方程 k --结构刚度矩阵
0
23
k112 0 1
k212
k121
6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
基本思想:
56
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元.
2 3
3
单元的连接点称作结点.
P1 k111 k12 2 k133
k11
=1
P2 k211 k22 2 k233
1
P3 k311 k32 2 k33 3
k111
P1 P2
k11 k21
k12 k22
k13 k23
12
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k31 0 k32 k221 k33 k222
1
k 2 kk122211
2
k122 k222
12 23
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
移为零位移时在 i结点所需 加的结点力.
k 1 kk121111
k112 k212
11 22
1
2
3
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
简记为 P k---结构刚度方程 k --结构刚度矩阵
0
23
k112 0 1
k212
k121
矩阵位移法习题(1)
单元②： 0 0 0 F F ② 0 0 0
e ○
FE ②
2、整体坐标下单元等效结点荷载列向量 FEe
通过坐标转换，将局部坐标下单元等效结点荷载列向量 FEe 转换为整体坐标系下单元等效结点荷载
e e 列向量 FE ，并在整体坐标系下单元等效结点荷载列向量 FE 一侧标注单元定位向量。
F e F F Fe F F k e e
e
e
结构内力
e F e e 方法2： F F Tk e
通过单元定位向量
将结点位移转换为单元 的杆端位移
e
由单元刚度方程 求得整体坐标系下由杆端位移 引起的杆端力列向量
Fe k e e
坐标转换 整体坐标系下杆端位力向量转换为 局部坐标系下杆端力列向量
E=200*10^9; I=32*10^-5; A=1*10^-2; EA l L=[4,5]; For i=1:2 0 F1=E*A/L(i); 0 F2=12*E*I/L(i)^3; e k F3=6*E*I/L(i)^2; EA F4=4*E*I/L(i); l F5=2*E*I/L(i); 0 K1=[F1,0,0,-F1,0,0; 0,F2,F3,0,-F2,F3; 0 0,F3,F4,0,-F3,F5; -F1,0,0,F1,0,0; 0,-F2,-F3,0,F2,-F3; 0,F3,F5,0,-F3,F4]; end
1 2 3 0 4 0 单元定位向量 单元定位向量
4.937 9.456 4 10 33 . 45 126.355 单元②：
1 2 3 4
4.937 9.456 4 10 33 . 45 126.355
矩阵位移法
D1 = D2 = 0
； D5 = D6 = 0
则有修正后的总刚度矩阵：
-100 2 [K ] = 100 600
[k11 ] [k12 ] {F1} = {F2 } [k 21 ] [k 22 ]
{D1} {D 2 }
@
单元刚度矩阵的性质：①对称性；②奇异性； ③主对角元恒为正值
3、整体刚度矩阵
K ij ：单元仅发生第j个杆端单位位移时，在第
Y2 = QBA
写成矩阵表达式为：
4 EI 2 EI 6 EI q + q + -v ) ( v l 1 l 2 l2 1 2 2 EI 4 EI 6 EI q + q + -v ) ( M2 = v l 1 l 2 l2 1 2 6 EI 12 EI (v1 - v2 ) Y1 = (q1 +q 2 ) + l2 l2 6 EI 12 EI = q + q (v1 - v2 ) Y2 ( 1 2) l2 l2 M1 =
2
3
1 2
Hale Waihona Puke 3-1 50 1 50 50 300 -50 150 -1 -50 2 -100 -1 -50 = 50 150 -100 600 50 150 -1 50 1 50 -50 150 50 300
计入边界条件：因边界结点1和3 为固定端，故有：
0 12EI l3 6 EI - 2 l 0 12EI l3 6 EI - 2 l
@
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI - 2 l 4 EI l
EA l 0 0
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
矩阵位移法的计算步骤及示例
=
EA l
⎡0.72855 ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 1 2.47855⎥⎦ 2
（5）解算结构刚度方程
28
解算结构刚度方程，求出结点位移
EA ⎡0.72855 l ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 2.47855⎥⎦
⎩⎨⎧uv11
⎫ ⎬ ⎭
=
⎨⎧FP ⎩0
⎫ ⎬ ⎭
Δ1
=
⎩⎨⎧uv11
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
12
由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。
1
2
3
⎡ 4EI
2 EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
k (1) l ( 1 )
4EI + 4EI
0 2 EI
K
=
⎢ l(1) ⎢
⎢0
⎢
l(1) l( 2 EI
2
)
k
(2)
4
l EI
(2
+
)
4 EI
l(2)
l(2) l(3)
⎢ ⎢⎣
0
0
2EI k (3)
l(3)
4
0
⎤ ⎥
1
⎥
0 ⎥2 ⎥
2 EI l(3)
⎥ ⎥ ⎥
3
4 EI l(3)
⎥ ⎥⎦
4
13
将各杆所需有关数据计算如下：
矩阵位移法
矩阵位移法
矩阵位移法是一种用于解决多项式方程组的数学方法。
它利用行和列变化将原系数矩阵转换成一个三角矩阵。
然后，从底端开始一行行解对角线的方程，最终求出未知数的值，解决多项式方程组。
矩阵位移法的基本步骤如下：
1.将系数矩阵进行行变换和列变换，转换成三角矩阵。
2.从最下面的方程开始，先求解最后一个未知数。
3.从次下面的方程开始，根据前面的结果一行行解出剩余未知数。
矩阵位移法比较容易理解和应用，可以有效地解决多项式方程组，但也存在一些缺点，比如容易出现几何错误，计算精度较低。
矩阵位移法
i1
EI1 l1
0.3125106 kN
m
i2
EI2 l2
0.25106 kN
m
一般平面杆件的单元
例1 试求图所示刚架中杆①和杆②在局
部坐标系中的单元刚度矩阵。已知各杆
的几何物理参数分别为：
3.75
0
[k
](1)
106
0 -3.75
0
0
0 0.234 0.469
0 -0.234 0.469
v2
4EI
l
2
1 1
e
2 2
u1 0
u2 0
X1 e
Y1
M1
X
2
EA l 0
0 - EA
l
Y2
M 2
0 0
v1 0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI - l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI - l2 2EI
1e 2e
(5) (6)
-12EI -6EI
0
l3
l2
6EI 2EI
0
l2
l
12EI
0
l3
-6EI
0
l2
EA
l
[k11 ]e
0
0
0
12i l2 6i l
e
0
6i
l
[k22 ]e
EA
l
0
4i
0
0
12i l2 - 6i
l
e
0
-
6i l
4i
[k12 ]e
[k21 ]e
结构力学十三讲(矩阵位移法)
单元对结点力{F}的贡献 略去单元的贡献。
设 i1 =0，则 F12 =0
2
[k] =
4i2 2i2 2i2 4i2
F1 2
0 0 0 1
F22 = 0 4i1 2i1 2
F32
0 2i1 4i1 3
[K]2 =
00 0
0 4i1 2i1 0 2i1 4i1
{F}2 =[K]2 {}
单元 的贡献矩阵
用矩阵形式表示位 移法基本方程
2
二、杆端位移、杆端力的正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x
座标与杆轴重合；图(b)表示的杆端位移均为正方向。
(a)
(b)
u1
1
y
1 1
(1) (2)
e (3)
k=
(4) (5) (6)
EA l
0
0
0
12EI 6EI
l3
l2
0
6EI 4EI l2 l
-EA l
0
0
0
-12EI -6EI
l3
l2
0
6EI 2EI l2 l
EA l
0
0
12EI l3
0
6EI l2
EA l
0
0
12EI l3
0
-6EI l2
e
0
6EI l2
2EI
l
只与杆件本身性质有
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
设 i1 =0，则 F12 =0
2
[k] =
4i2 2i2 2i2 4i2
F1 2
0 0 0 1
F22 = 0 4i1 2i1 2
F32
0 2i1 4i1 3
[K]2 =
00 0
0 4i1 2i1 0 2i1 4i1
{F}2 =[K]2 {}
单元 的贡献矩阵
用矩阵形式表示位 移法基本方程
2
二、杆端位移、杆端力的正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x
座标与杆轴重合；图(b)表示的杆端位移均为正方向。
(a)
(b)
u1
1
y
1 1
(1) (2)
e (3)
k=
(4) (5) (6)
EA l
0
0
0
12EI 6EI
l3
l2
0
6EI 4EI l2 l
-EA l
0
0
0
-12EI -6EI
l3
l2
0
6EI 2EI l2 l
EA l
0
0
12EI l3
0
6EI l2
EA l
0
0
12EI l3
0
-6EI l2
e
0
6EI l2
2EI
l
只与杆件本身性质有
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
01_结构力学——矩阵位移法1
矩阵的阶数与杆端位移分量数相等；
kij 表示 u j 1 引起的杆端力Fi 的大小。
15 / 48
第十三章 矩阵位移法 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
EA 1 1 k11 k12 k l 1 1 k21 k22
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。
结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
8 / 48
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
杆端内力：
u1 , u2
F1 , F2
13 / 48
第十三章 矩阵位移法 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA u1 l EA u2 l
F1e
u1
1 1
EA EA
e
e
2 2
u2
EA u1 l EA u2 l
局部坐标 系下的单 刚方程
e
EA e EA e u1 u2 l l
法
杆件端点位移 结构结点位移
位移法
法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具 体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。 位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强， 目前广为采用。 7 / 48 力
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
x
kij 表示 u j 1 引起的杆端力Fi 的大小。
15 / 48
第十三章 矩阵位移法 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
EA 1 1 k11 k12 k l 1 1 k21 k22
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。
结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
8 / 48
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
杆端内力：
u1 , u2
F1 , F2
13 / 48
第十三章 矩阵位移法 第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA u1 l EA u2 l
F1e
u1
1 1
EA EA
e
e
2 2
u2
EA u1 l EA u2 l
局部坐标 系下的单 刚方程
e
EA e EA e u1 u2 l l
法
杆件端点位移 结构结点位移
位移法
法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具 体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。 位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强， 目前广为采用。 7 / 48 力
第十三章 矩阵位移法 第一节 矩阵位移法概述
x
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
矩阵位移法
0 cos 0 sin 0
e
0
0 X 1 0 Y 1 0 M 1 0 X 2 0 Y 2 1 M 2
e
简记：
F
e
T
F
T 为单元坐标转换矩阵
22
cos sin 0 T 0 0 0
e e
2、叠加各单元贡献矩阵，得到整体刚度矩阵。 二、单元定位向量 1、定义: 由单元的结点位移总码组成的向量称为“单元定
0 6EI 2 u1 l 2EI v1 1 l 0 u 2 v 2 6EI 2 l 2 4EI l
e
记为
F k
e
12
局部坐标系中的单元刚度方程
e
F 1 F 2 F 3 ... F 4 F 5 F 6
e
7
13.2 单元分析（一）——局部坐标系 中的单元刚度矩阵
定义：单元杆端力和杆端位移之间的转换关
系成为单元刚度方程。
F k
e e
e
e k 其中 称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
sin cos 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 sin cos 0
0 cos 0 sin 0 0
0 0 0 0 0 1
23
T 为正交矩阵
T T F T F T T
e e
0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 2EI l
EA l 0 0
0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI l3 6EI 2 l
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杆端力和杆端位移的符号
i E，I，A，l j
y
e
x
局部坐标系
■ x y：顺时针为正
i
j
M1
M2
ui
e
vj
u j Fx1
Fy1
e
Fy2
Fx2
杆端位移
杆端力
■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；
■其它：与坐标轴同向为正。
9-2 局部坐标系中自由单元的单元刚度矩阵
1.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
e
u1 1
AB =C
则
此处A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
B=A-1 C
A A -1 = A -1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：
（1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而
Fx1 EA l
Fx2 - EA l
e
v1 1
1 1
e
…………
M1 6EI l 2 Fy1 12EI l 3
M2 6EI l 2 Fy2 -12EI l 3
M1 4EI l
Fyi1 6EI l 2
M2 2EI l
Fy2 - 6EI l2
Fx1
EA l
u1
-
EA l
u2
Fy1
12EI l3
v1
6EI l2
1
-
12EI l3
v2
6EI l2
2
M1
6EI l2
v1
4EI l
1
-
6EI l2
v2
2EI l
2
Fx 2
-
EA l
u1
EA l
u2
Fy1
-
12EI l3
v1
-
6EI l2
1
12EI l3
v2
-
6EI l2
2
M2
6EI l2
v1
2EI l
1
-
6EI l2
v2
4EI l
2
用
F1
e
4EI
l
局部坐标下的自由单元的单元刚度矩阵
2. 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义 单位杆端位移引起的杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵
反力互等定理
（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵
矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
Fe k e e
e k e -1 F e
解唯一
解不唯一
★由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移+变形）。
当p = l时才能相乘
A B= a11 a21
a12 b11
a22
b21
2 × 2 2 ×1
B
A=
b11 b21
a11
a21
a12
a22
2×1 2 ×2
共形 非 共形
（2）不具有交换律，即
AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 原矩阵的转置矩阵，如：
a11 A= a21
EA
l
0
k
e
-
0 EA
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
- 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
- 6EI l2
2EI l
- EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI -
l3 - 6EI
l2
0
12EI l3 6EI
l2
0
6EI
l2
2EI
l
0
-
6EI l2
F2 F3 F4
F
5
F
6
用
1
e
2
3
4
5
6
表示
Fx1 Fy1
e
M1
Fx2
Fy
2
M2
表示
u1 e
v1
u12
v2
2
EA
F1 e
l
0
F2
F3
F4
-
0 EA
F5
F6
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
EA l 0
0 - EA
l
Fy2
0
M 2
0
v1 0
0
0
12EI 6EI
l3
l2
6EI 4EI
l2
l
0
0
-
12 l
EI
3
6EI
l2
-
6EI l2
2EI
l
- EA l 0
0 EA l 0
0
M1
M 2
3. 特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知 为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚 度方程的特例。
（1）连续梁单元的刚度方程 单元两端只有转角位移
e
1 1
e
u1 0
v1 0
2 2
u2 0
v2 0
1 1
e
u1 0
e
Fx1
Fy1
M1
Fx
2
0
- 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
- 6EI l2
2EI l
- EA l 0
0 EA l 0
0
0
- 12EI l3 6EI
l2
0
12EI l3
- 6EI l2
0
6EI
l2 2EI
1
e
2
l 0
3
4
-
6EI l2
5 6
4EI
l
F e k e e
局部坐标下的单元刚度方程
所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交
矩阵，则
A
=
cosa -sin a
sin a
cos
a
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A -1 = AT
9-1 结构的离散化与杆端位移、杆端力的符号
结构的离散化：等截面直杆单元
A
B
C
①
②
D
E
③
④
A①
B ②C ⑤ F
③ D
④ E
第九章
矩阵位移法
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
2、方阵
a11 a12
A=
a21 M
a22
am1 am2
L a1n
L
a2n
OM
L amn
一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为 n 阶方阵。
a11
0
0
0
D=
0
a22
0
0
0
0
0
0
0
0
a
mm
9、单位矩阵 单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 0 0
I
=
0 0
1 0
0
0
0
0
0
0
1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即
AI =A
IA =A
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
a31
a12
a22
a32
其转置矩阵为
AT
a11 a12
a21 a22
a31
a32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若
A=B C D
则
AT =DT CT BT
7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
若 AB=0，但不一定 A=0 或B=0。
8、对角矩阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
[ ] A= a11 a12 a13 · · · a1n
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
a11
A
a21
am1
4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法
两个规则：
（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
Am ´ p Bl ´n = Cm ´n