矩阵位移法1

a31
a12
a22
a32
其转置矩阵为
AT
a11 a12
a21 a22
a31
a32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若
A=B C D
则
AT =DT CT BT
7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
若 AB=0，但不一定 A=0 或B=0。
8、对角矩阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
Fx1 EA l
Fx2 - EA l
e
v1 1
1 1
e
…………
M1 6EI l 2 Fy1 12EI l 3
M2 6EI l 2 Fy2 -12EI l 3
M1 4EI l
Fyi1 6EI l 2
M2 2EI l
Fy2 - 6EI l2
Fx1
EA l
u1
-
EA l
u2
Fy1
12EI l3
AB =C
则
此处A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
B=A-1 C
A A -1 = A -1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：
（1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而
a11
0
0
0
D=
0
a22
0
0
0
0
0
0
0
0
a
mm
9、单位矩阵 单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 0 0
I
=
0 0
1 0
0
0
0
0
0
0
1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即
AI =A
IA =A
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
EA
l
0
k
e
-
0 EA
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
- 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
- 6EI l2
2EI l
- EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI -
l3 - 6EI
l2
0
12EI l3 6EI
l2
0
6EI
l2
2EI
l
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
-
6EI l2
0
- 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
- 6EI l2
2EI l
- EA l 0
0 EA l 0
0
0
- 12EI l3 6EI
l2
0
12EI l3
- 6EI l2
0
6EI
l2 2EI
1
e
2
l 0
3
4
-
6EI l2
5 6
4EI
l
F e k e e
局部坐标下的单元刚度方程
第九章
矩阵位移法
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
2、方阵
a11 a12
A=
a21 M
a22
am1 am2
L a1n
L
a2n
OM
L amn
一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为 n 阶方阵。
v1
6EI l2
1
-
12EI l3
v2
6EI l2
2
M1
6EI l2
v1
4EI l
1
-
6EI l2
v2
2EI l
2
Fx 2
-
EA l
u1
EA l
u2
Fy1
-
12EI l3
v1
-
6EI l2
1
12EI l3
v2
-
6EI l2
2
M2
6EI l2
v1
2EI l
1
-
6EI l2
v2
4EI l
2
用
F1
e
当p = l时才能相乘
A B= a11 a21
a12 b11
a22
b21
2 × 2 2 ×1
B
A=
b11 b21
a11
a21
a12
a22
2×1 2 ×2
共形 非 共形
（2）不具有交换律，即
AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 原矩阵的转置矩阵，如：
a11 A= a21
F2 F3 F4
F
5
F
6
用
1
e
2
3
4
5
6
表示
Fx1 Fy1
e
M1
Fx2
Fy
2
M2
表示
u1 e
v1
u12
v2
2
EA
F1 e
l
0
F2
F3
F4
-
0 EA
F5
F6
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交
矩阵，则
A
=
cosa -sin a
sin a
cos
a
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A -1 = AT
9-1 结构的离散化与杆端位移、杆端力的符号
结构的离散化：等截面直杆单元
A
B
C
①
②
D
E
③
④
A①
B ②C ⑤ F
③ D
④ E
3. 特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知 为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚 度方程的特例。
（1）连续梁单元的刚度方程 单元两端只有转角位移
e
1 1
e
u1 0
v1 0
2 2
u2 0
v2 0
1 1
e
u1 0
e
Fx1
Fy1
M1
Fx
2
杆端力和杆端位移的符号
i E，I，A，l j
y
e
x
局部坐标系
■ x y：顺时针为正
i
j
M1
M2
ui vi
e
vj
u j Fx1
Fy1
e
Fy2
Fx2
杆端位移
杆端力
■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；
■其它：与坐标轴同向为正。
9-2 局部坐标系中自由单元的单元刚度矩阵
1.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
e
u1 1
3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
[ ] A= a11 a12 a13 · · · a1n
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
a11
A
a21
am1
4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法
两个规则：
（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
Am ´ p Bl ´n = Cm ´n
EA l 0
0 - EA
l
Fy2
0
M 2
0
v1 0
0
0
12EI 6EI
l3
l2
6EI 4EI
l2
l
0
0
-
12 l
EI
3
6EI
l2
-
6EI l2
2EI
l
- EA l 0
0 EA l 0
0
M1
M 2
4EI
l
局部坐标下的自由单元的单元刚度矩阵
2. 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义 单位杆端位移引起的杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵
反力互等定理
（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵
矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
Fe k e e
e k e -1 F e
解唯一
解不唯一
★由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移+变形）。