2016-2020年高考数学分类汇编不等式选讲
2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版原卷版)
专题23 不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-，当且仅当221a x a -≤≤时取等号，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12nn a a a n+++≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．2．（2020·四川省泸县第二中学高三二模）已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考）已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值.（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥.4．（2020·江西省高三）已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值. 5．（2020·山西省高三月考）已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值.6．（2020·吉林省高三）已知函数()12f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； （2）若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.7．（2020·山西省高三）已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围.8．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()1211f x x x =-+++ （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.9．（2020·全国高三）设函数()|2|f x x x =+-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.10．（2020·山西省高三）已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同．（1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值． 11．（2020·重庆高三）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M . （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311a b +=Mab ，证明：a 4b +ab 443≥. 12．（2020·福建省高三）已知函数()1f x x a x =-+-. （1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 13．（2020·福建省高三）已知函数()12f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333abb cc a++≤+++---.14．（2020·山西省高三）已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 15．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+．16．（2020·山西省高三）已知函数()()220f x x a x a a =-++>. （1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->17．（2020·陕西省西安中学高三）已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.（1）求证:22213a b c ++≥（2）求证 18．（2020·江苏省高三）已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 19．（2019·四川省高三月考）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤﹣1的解集M ；（2）结合（1），若m 是集合M 中最大的元素，且a +b ＝m （a ＞0，b ＞0），求+ 20．（2020·广东省高三月考） 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）已知()12f x x x =-+-. （1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 22．（2020·河南省高三三模）已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111abc++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥. 23．（2020·江西省高三三模）已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.24．（2020·河北省高三）已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 25．（2020·南昌市新建一中高三）已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围． 26．（2020·四川省高三三模）已知函数()||f x x a =-.（1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集； （2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 27．（2020·福建省高三）已知函数()212f x x x =--+，()221g x x m x =-++. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得()()120f x g x +=，求m 的取值范围. 28．（2020·青海省高三）设函数()21|1|f x x x =---. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，求a 的取值范围. 29．（2020·贵州省高三）设函数()16f x x x a =++--. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围.30．（2020·重庆高三）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 31．（2020·广州市天河外国语学校高三月考）已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 32．（2020·广东省高三）已知函数()1=-f x x . （1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.33．（2020·福建省高三）已知函数2()1,()|||21|,f x x g x x a x a R =+=---∈.（1）当12a =时，解不等式27()2g x <-；（2）对任意12,x x R ∈，若不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 34．（2020·湖北省高三）已知函数()|4||24|f x x x =--+． （1）解不等式()3f x ；（2）若()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，其中0a ，0b ，3c >，求(1)(1)(3)a b c ++-的最大值．35．（2020·辽宁省高三三模）已知a ，b ，c 均为正数，设函数f （x ）＝|x ﹣b |﹣|x +c |+a ，x ∈R ． （1）若a ＝2b ＝2c ＝2，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若函数f （x ）的最大值为1，证明：14936a b c++≥． 36．（2020·广西柳城县中学高三）设函数()133f x x x a a =-+-+，x ∈R ． （1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集； （2）对任意m R +∈，x ∈R 恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围． 37．（2020·安徽相山淮北一中高三月考）已知函数()|2|f x ax =-. （Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围. 38．（2020·河南高三月考）已知函数()21f x x x =--+.（1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 39．（2020·湖南衡阳市八中高三）已知实数正数x ，y 满足1x y +=.（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 40．（2020·湖南雨花雅礼中学高三）已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围. 41．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥. 42．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集M ； （2）若a M ∈，求证：10()3f x . 43．（2020·河北桃城衡水中学高三三模）已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．44．（2020·宁夏原州固原一中高三）已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 45．（2020·河南郑州一中高三）已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥； （2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3. 46．（2020·贵州贵阳一中高三）已知函数()3f x x x a =--．（1）当0a =时，求解关于x 的不等式2()10f x x +->的解集；（2）当[]2,3x ∈时，该不等式()1f x ≥-恒成立，求a 的取值范围．47．（2020·云南红河高三）已知函数()|1||1|f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()8f x ≤的解集M ；（Ⅱ）若m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足．12m a b +=，证明2142a b ab ++≥．48．（2020·重庆九龙坡高三）已知函数()f x =（1）求()f x 的最大值；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a -有解，求实数a 的取值范围.49（2019·河北辛集中学高三月考）已知函数()43f x x x =-++．（1）解不等式()9f x <；（2）若不等式()21f x a <-+在实数R 上的解集不是空集，求正数a 的取值范围.50．（2020·河南南阳高三二模）已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c =+-++的最小值为1.证明：（1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 51．（2020·河南高三）已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数()1y f x x =++的最小值为k ，求()220km m m+>的最小值. 52．（2020·安徽六安一中高三）已知()()2f x x m m m R =-+∈．（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的值； （2）在（1）的条件下，若a ，b ，c +∈R ，且4a b c m ++=，求证：4436ac bc ab abc ++≥． 53．（2020·辽宁实验中学高三）设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥． 54．（2020·安徽芜湖高三一模）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值.55．（2020·河南高三）已知函数()2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若0x R ∃∈，()03f x a ≤-，求实数a 的取值范围.56．（2020·河南开封高三二模）已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0a >，0b >，4a b M +=，求2221a b a b +++的最大值． 57．（2020·福建高三）已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.58．（2020·湖南雅礼中学高三月考）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ； （2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c ++=，求2993a b c ++的最小值.59．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 60．（2020·广东东莞高三）已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05 不等式)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题1．（2016北京理）若x，y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.2.（2016山东文、理）若变量x，y满足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点31A-（，）到原点距离最大，所以22max()10x y+=，选C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.3.（2016天津理）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4.（2016浙江理）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．22 B ．4 C ．32 D ．6 【答案】C 【解析】考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．5.（2016浙江文）若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A.35B.2C.32D.5【答案】B考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．6.（2016浙江理）已知实数a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100 【答案】D【解析】试题分析：举反例排除法：A.令10,110===-a b c ，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ． 考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．二、填空1.（2016全国Ⅰ文、理）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 ______ 元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么目标函数2100900z x y =+.取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x=,100y=时,max210060900100216000z=⨯+⨯=.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.2.（2016全国Ⅱ文）若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=-的最小值为__________ 【答案】5-考点：简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．3.（2016全国Ⅲ文）若,x y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y=+-的最大值为___________. 【答案】10-考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．4.（2016全国Ⅲ理）若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．5、（2016上海文\理）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(2,4) 【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法 .本题较为容易.6、（2016上海文）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值，且为2-.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.7. （2016上海文、理）设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by无解，则a b 的取值范围是 . 【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，b 为正数，所以22a b ab +>=（1a b ≠≠），即a b +取值范围是(2,)+∞.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】根据方程表示直线，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.三、解答题1. （2016天津文）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；OxyP(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO(2)考点：线性规划【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.。
2020届高考数学(理)算法初步、选讲部分、不等式考点15不等式的综合应用(含解析)
【答案】 C 3.求不等式－ 2x2＋ x＋ 3<0 的解集． 【解析】 化 － 2x2＋ x＋ 3<0 为 2x2－ x－ 3>0，解方程2x2Fra bibliotek x－ 3＝ 0
得
x1＝－
3 1， x2＝ 2，
∴不等式 2x2－ x－ 3>0 的解集为 (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ )， 2
3 即原不等式的解集为 (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)． 4.解关于 x 的不等式： x2－ (a＋ 1)x＋ a<0. 【解析】 由 x2－ (a＋1)x＋ a＝ 0，得 ( x－ a)(x－ 1)＝0，∴ x1＝ a， x2＝1， ①当 a>1 时， x2－ (a＋ 1)x＋ a<0 的解集为 {x|1< x<a}，
1.设 a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3，则（
）
A． a b ab 0
B． ab a b 0
C． a b 0 ab
D． ab 0 a b
1
1
11
【解析】 ∵ a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，
log 0.30.2, lo g0.3 2 ，
lo g0.3 0.4 ，
化为一元一次不等式，或一元二次不等式．
去绝对值符号常见的方法
(1) 根据绝对值的定义． (2)分区间讨论 (零点分段法 )． (3)图象法．
5．绝对值三角不等式 (1)| a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，
|a－ b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．
(2)| a＋ b|≤ |a|＋ |b|(a， b∈ R， ab≥ 0 时等号成立 )．
C． 0≤c≤ 30
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第十四章 不等式选讲 理
【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十四章 不等式选讲 理（全国通用）考点一 解绝对值不等式1.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |最小值为5，则实数a ＝________. 解析 由绝对值性质知f (x )最小值在x ＝－1或x ＝a 时取得，若f (－1)＝2|－1－a |＝5，a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6. 答案 4或－62.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5解集为________.解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}3.(2014·湖南，13)若关于x 不等式|ax －2|<3解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析 依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.答案 －34.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a取值范围是________.解析 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52⇔－1≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5.(2013·山东，14)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立概率为________.解析 当x ≤－1时，原不等式变为－(x ＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，不成立； 当－1<x <2时，原不等式变为x ＋1－(2－x )≥1， 即x ≥1，∴1≤x <2；当x ≥2时，原不等式变为(x ＋1)－(x －2)≥1，即3≥1，∴x ≥2. 综上所述，不等式解集是[1，＋∞).对于区间[－3，3]，只有在区间[1，3]取值时不等式才能成立，故在区间[－3，3]随机取值，使不等式成立概率是P ＝26＝13.答案 136.(2013·江西，15(2))在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1解集为________. 解析 由||x －2|－1|≤1得：－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， 所以－2≤x －2≤2，即0≤x ≤4， 故不等式解集是{x |0≤x ≤4}. 答案 {x |0≤x ≤4}7.(2013·重庆，16)若关于实数x 不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 取值范围是________.解析 法一 设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，－2x ＋2，x ≤－3，可求得f (x )值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 取值范围是(－∞，8]. 法二 由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解时，a 取值范围为(－∞，8].答案 (－∞，8]8.(2012·陕西，15A)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 取值范围是________.解析 由|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案 [－2，4]9.(2012·广东，9)不等式|x ＋2|－|x |≤1解集为________.解析 由题意知，－2和0将R 分成三部分.(1)当x ≤－2时，原不等式可化简为－(x ＋2)－(－x )≤1， 即－2≤1，∴x ≤－2.(2)当－2<x <0时，化简为(x ＋2)＋x ≤1，即2x ≤－1， ∴x ≤－12，∴－2<x ≤－12.(3)当x ≥0时，化简为x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时无解.综上可得不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1210.(2011·陕西，15A)若关于x 不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 取值范围是________.解析 法一 |x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)距离之和，而|BC |＝3.∴|AB |＋|AC |≥3，∴|a |≥3， ∴a ≤－3或a ≥3.法二 设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，（x <－1）3，（－1≤x ≤2）2x －1，（x >2）∴f (x )图象如图所示，∴f (x )≥3，∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3. 法三 ∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a |≥3.∴a ≤－3或a ≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)11.(2015·陕西，24)已知关于x 不等式|x ＋a |＜b 解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 值； (2)求at ＋12＋bt 最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.12.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1解集；(2)若f (x )图象与x 轴围成三角形面积大于6，求a 取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )图象与x 轴围成三角形三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 取值范围为(2，＋∞).13.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 取值范围.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.14.(2013·辽宁，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|解集；(2)已知关于x 不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2解集为{x |1≤x ≤2}，求a 值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|解集为{x |x ≤1或x ≥5}. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2， 解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.考点二 不等式证明1.(2012·湖北，6)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a ＋b ＋cx ＋y ＋z 等于( )A.14B.13C.12D.34解析 法一 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＋4c 2＝40， ①x 2＋y 2＋z 2＝40， ②4ax ＋4by ＋4cz ＝80. ③①＋②－③：(2a －x )2＋(2b －y )2＋(2c －z )2＝0，∴x ＝2a ，y ＝2b ，z ＝2c ， ∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.法二 由题设及柯西不等式得 |ax ＋by ＋cz |≤（a 2＋b 2＋c 2）（x 2＋y 2＋z 2）＝20， 当且仅当a x ＝b y ＝c z时取等号，此时令a x ＝b y ＝c z ＝k ，易知k ＝12，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝12，故选C.答案 C2.(2013·湖南，10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2最小值为________. 解析 由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，即最小值为12. 答案 123.(2013·湖北，13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.解析 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当x 1＝y 2＝z3时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14， ∴x ＝1414，y ＝21414，z ＝31414. ∴x ＋y ＋z ＝61414＝3147.答案31474.(2013·陕西，15A)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )最小值为________.解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时等号成立). 答案 25.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a .b .c .d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |充要条件.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |充要条件.6.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定大于1自然数.设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}.可得，A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}. (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)qn －2＋(a n －b n )qn－1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)·qn －2－qn －1＝（q －1）（1－qn －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以，s <t .。
2020版高考数学不等式选讲第1讲绝对值不等式课件
含绝对值不等式解法的常用方法
1．(2018· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时， 2x＋4，x≤－1， f(x)＝2，－1＜x≤2， －2x＋6，x＞2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等 价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.所以 a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1 的解集．
x－4，x≤－1， 3x－2，－1＜x≤3， 2 解：(1)f(x)＝ 3 －x＋4，x＞ ， 2 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象知， 当 f(x)＝1 时， 可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5. 3 故 f(x) ＞ 1 的 解 集 为 {x|1 ＜ x ＜ 3} ； f(x) ＜ － 1 的 解 集 为
1 xx＜ 或x＞5. 3
所以|f(x)|＞1
1 的解集为xx＜3或1＜x＜3或x＞5.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
3 1 设不等式|x－2|<a(a∈N )的解集为 A，且 ∈A， ∉A. 2 2
*
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
【汇编】近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编
近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编2016全国一卷理科（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.（I ）在答题卡第（24）题图中画出y= f (x )的图像；（II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。
2016全国二卷理科（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )= ∣x -21∣+∣x +21∣，M 为不等式f (x )＜2的解集.（I ）求M ；（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。
2016全国三卷理科24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a a=-+（I）当a=2时，求不等式()6f x≤的解集；（II）设函数()|21|,=-当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值g x x范围.2015全国一卷理科（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围2015全国二卷理科24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：（1）若ab >cd；（2>是||||a b c d -<-的充要条件。
2014全国一卷理科24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b+=(Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.2014全国二卷理科24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a ++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2013全国一卷理科（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3. （Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－a2，12)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.2013全国二卷理科（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a ++≥2012全国一卷理科（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x =++-。
2016年高考数学文真题分类汇编：不等式 Word版含答
2016年高考数学文试题分类汇编不等式一、选择题1、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）C.2【答案】B3、（2016年浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->【答案】D二、填空题1、（2016年北京高考）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】22、（2016江苏省高考） 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]53、（2016年上海高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】)4,2(4、（2016上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-5、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】2160006、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________ 【答案】5-7、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________. 【答案】10-8、（2016年浙江高考）11、（2016江苏省高考）函数y的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1- 三、解答题1、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3z取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以112243202max =⨯+⨯=z .答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.。
专题18 不等式选讲(专题)-2016年高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练(原卷版)
专题18 不等式选讲【2016年高考考纲解读】本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B 级要求．(2)不等式证明的基本方法；B 级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B 级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B 级要求.【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到． 7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【例1】(2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.【变式探究】 (2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．【解题思路】(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩，结合基本不等式即得证．(2)明确不等式后解关于a 的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．【感悟提升】1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，则a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，则a ≤f (x )min ”求字母参数的取值范围．【举一反三】(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值． 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．题型二 不等式的综合应用例2、(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【变式探究】(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．【变式探究】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f x －2f⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．【变式探究】 已知非负实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＋x ＋2y ＋3z ＝134，求x ＋y ＋z 的最大值．学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。
2016年高考数学试题分类解析考点47 不等式选讲
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考点47 不等式选讲1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T24)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图像.(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)如图所示:(2)f(x)=x 4,x 1,33x 2,1x ,234x,x ,2⎧⎪-≤-⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩|f(x)|>1,当x ≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,∴x ≤-1.当-1<x<32时,|3x-2|>1,解得x>1或x<13,∴-1<x<13或1<x<32.当x ≥32时,|4-x|>1,解得x>5或x<3, ∴32≤x<3或x>5.综上,x<13或1<x<3或x>5,∴|f(x)|>1的解集为1∞,3⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(1,3)∪(5,+∞). 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T24)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=11x +x 22-+,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M.(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.【解题指南】(1)函数解析式含有绝对值,需要讨论去掉绝对值符号后,再解不等式.(2)可以用分析法分析,用综合法证明.【解析】(1)当x<-12时,f(x)=12 -x-x-12=-2x<2,解得-1<x<-12;当-12≤x ≤12时,f(x)=12 -x+x+12=1<2恒成立;当x>12时,f(x)=2x<2,解得12<x<1.综上可得,M={x|-1<x<1}.(2)当a,b ∈(-1,1)时,有(a 2-1)(b 2-1)>0,即a 2b 2+1>a 2+b 2,则a 2b 2+2ab+1>a 2+2ab+b 2,则(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|ab+1|.3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T24)与(2016·全国卷3·理科·T24)相同选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)= |2x-2| +2,解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{}x 1x 3-≤≤.(2)当x ∈R 时, f(x)+g(x)=2x a - +a+12x - ≥2x a 12x -+-+a =1a -+a,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于1a -+a ≥3, ①当a 1时,①等价于 ≤1a 3,无解a -+≥当a 1时,①等价于 a 1a 3,解得a 2.>-+≥≥所以a 的取值范围是)2,∞.⎡+⎣4.(2016·江苏高考T21)D.[选修4-5:不等式选讲]设a>0, |x-1|<3a ,|y-2|<错误！未找到引用源。
高考数学真题分类十年(2014-2023)高考 专题27 不等式选讲(解析版)
(2)当 ∈ (−∞, 1)时，() < 0，求的取值范围．
【答案】 (1) (−∞, 1)； ( 2) 1, +∞)
【官方解析】
(1)当 = 1时，() = | − 1| + | − 2|( − 1).
当 < 1时，() = −2( − 1)2 < 0；当 ≥ 1时，() ≥ 0.
2
【答案】(Ⅰ){| 3 < < 2} (Ⅱ)(2，+∞)
分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式 f(x)>1 化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()化
为分段函数，求出()与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题
意列出关于的不等式，即可解出的取值范围．
解析：(Ⅰ)当 a=1 时，不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|＞1，
( − 1)2 (当且仅当2 − 1 ≤ ≤ 2 时取等号)，
∴ ( − 1)2 ≥ 4，解得： ≤ −1或 ≥ 3，
a 的取值范围为−∞, −1 ∪ 3, +∞)．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于
常考题型．
3．(2020 江苏高考·第 23 题)设 ∈ ，解不等式2| + 1| + || ≤ 4．
1
【答案】{ | ≤ −5 或 ≥ − 3}
分可
3
解析：原不等式可化为{
1
解得 ≤ −5或 ≥ − 3．
3
< −2
≥ −2
或{
．
− − 3 ≥ 2 3 + 3 ≥ 2
1
2020年高考课标版高考理科数学 专题十六 不等式选讲
答案 D
4.(2018 山东泰安一模,23)已知函数 f(x)=|x+m|+|2x-3|(m∈R). (1)当 m=-3 时,解不等式 f(x)<9; (2)若存在 x∈[2,4],使得 f(x)≤3 成立,求 m 的取值范围. 解析 (1)f(x)=|x+m|+|2x-3|(m∈R),
{ 1 - ������,������ ≥ 0,
F(x)=|x+1|-2|x|= 3������ + 1, - 1 < ������ < 0, ������ - 1,������ ≤ - 1,
易得 F(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 所以当 x=0 时,F(x)取得最大值,最大值为 1. 故 a 的取值范围是(-∞,1].
=98,
原不等式得证.
备战 2020 高考
炼技法
【方法集训】
方法 1 含绝对值不等式的解法
1.(2018 安徽合肥第二次教学质量检测,23)已知函数 f(x)=|3x+m|. (1)若不等式 f(x)-m≤9 的解集为[-1,3],求实数 m 的值; (2)若 m>0,函数 g(x)=f(x)-2|x-1|的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于 60,求 m 的取值 范围.
或 9
3
-
������
3
������ ≤ 2, + 3 - 2������
<
高考数学第2讲 不等式选讲(大题细做)
大二轮复习 数学（文）
解：(1)f(x)>f(1)就是 2|x＋1|＋|2x－1|>5. ①当 x>12时，2(x＋1)＋(2x－1)>5，得 x>1. ②当－1≤x≤12时，2(x＋1)－(2x－1)>5，得 3>5，不成立． ③当 x＜－1 时，－2(x＋1)－(2x－1)>5， 得 x<－32. 综上可知，不等式 f(x)>f(1)的解集是－∞，－32∪(1，＋∞)．
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
热点三 不等式证明
——看“目标”，找“条件”，想“变形” [一题多解]设 f(x)＝－x＋|2x＋1|，不等式 f(x)＜2 的解集 是 M. (1)求集合 M； (2)设 a，b∈M，证明：2|ab|＋1＞|a|＋|b|.
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大二轮复习 数学（文）
[一题多变] 若 f(x)＝|x＋1|＋|ax－1|，当 a＝1 时，解不等式 f(x)＜4. 解析：由题意得|x＋1|＋|x－1|＜4. 即 x 到－1 的距离与到 1 的距离之和小于 4. 当 x＝±2 时，|x＋1|＋|x－1|＝4. ∴f(x)＜4 的解集为(－2，2)．
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大二轮复习 数学（文）
1．(2019·安庆二模)已知 f(x)＝2|x＋1|＋|2x－1|. (1)解不等式 f(x)>f(1)； (2)若不等式 f(x)≥m1 ＋n1(m>0，n>0)对任意的 x∈R 都成立，证明： m＋n≥43.
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2020年高考数学复习——不等式选讲(三)(2021年整理)
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2020年高考数学复习——不等式选讲（三)1.（1）已知1a b c ++=,证明：()()()222161113a b c +++++≥； （2)若对任意实数x ,不等式212x a x -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2.已知函数()()12f x ax a x =---。
（1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集;(2）若函数f (x )的图像与x 轴没有交点,求实数a 的取值范围.3.设函数()21f x x x =++-。
(1）求f (x )的最小值及取得最小值时x 的取值范围；(2）若关于x 的不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.4.已知函数()1f x x x =++。
（1）若x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，求实数λ的取值范围;（2）若m R ∃∈，使得()220m m f t ++=成立，求实数t 的取值范围.5.已知函数()|1||2|f x x x =++-。
（1)求函数f (x ）的最小值k ；（2)在（1）的结论下,若正实数a ,b 满足11k a b +=,求证：22122a b+≥.6.已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；(2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.7.已知函数()12f x x x =+--的最大值为t .（1）求t 的值以及此时x 的取值集合；(2)若实数a ，b 满足222a b t +=-,证明:22124a b +≥。
2020年高考课标版高考理科数学 专题十六 不等式选讲
专题十六不等式选讲挖命题【真题典例】【考情探究】分析解读从近五年的考查情况来看,选修4—5是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点【考点集训】考点一绝对值不等式1.不等式|x-2|-|x-1|>0的解集为()A.-B.--C. D.-答案A2.不等式|x+3|-|x-1|≥-2的解集为()A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.[-2,+∞)D.[0,+∞)答案C3.(2018河南南阳第一中学第一次月考,2)不等式|x-5|+|x+3|≥1的解集是()A.[-5,7]B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7,+∞)D.(-∞,+∞)答案D4.(2018山东泰安一模,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-3|(m∈R).(1)当m=-3时,解不等式f(x)<9;(2)若存在x∈[2,4],使得f(x)≤3成立,求m的取值范围.解析(1)f(x)=|x+m|+|2x-3|(m∈R),当m=-3时,f(x)=|x-3|+|2x-3|(m∈R),由于f(x)<9,则|x-3|+|2x-3|<9,所以--或--或--解得-1<x<5.故原不等式的解集为{x|-1<x<5}.(2)存在x∈[2,4],使得f(x)≤3成立,即存在x∈[2,4],使得|x+m|≤6-2x,所以存在x∈[2,4],使得-则-解得-4≤m≤0.所以m的取值范围为-4≤m≤0.方法总结带有限定区间的含绝对值的不等式有解和恒成立问题,先由限定区间去一部分(或全部)绝对值,再进行求解.考点二不等式的证明1.若|x-s|<t,|y-s|<t,则下列不等式中一定成立的是()A.|x-y|<2tB.|x-y|<tC.|x-y|>2tD.|x-y|>t答案A2.已知a,b∈R,则使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立的条件是()A.a+b>0B.a+b<0C.ab>0D.ab<0答案D3.设a,b为不等的正数,且M=(a4+b4)(a2+b2),N=(a3+b3)2,则有()A.M=NB.M<NC.M>ND.M≥N答案C4.(2018广东中山二模,23)已知函数f(x)=x+1+|3-x|,x≥-1.(1)求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)的最小值为n,正数a,b满足2nab=a+2b,求证:2a+b≥.解析(1)根据题意,若f(x)≤6,则有--或-解得-1≤x≤4,故原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.(2)证明:函数f(x)=x+1+|3-x|=--分析可得f(x)的最小值为4,即n=4,则正数a,b满足8ab=a+2b,即+=8,∴2a+b=(2a+b)=≥=,原不等式得证.炼技法【方法集训】方法1 含绝对值不等式的解法1.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,23)已知函数f(x)=|3x+m|.(1)若不等式f(x)-m≤9的解集为[-1,3],求实数m的值;(2)若m>0,函数g(x)=f(x)-2|x-1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60,求m的取值范围.解析(1)由题意得解①得m≥-9.②可化为-9-m≤3x+m≤9+m,解得--≤x≤3.∵不等式f(x)-m≤9的解集为[-1,3],∴--=-1,解得m=-3,满足m≥-9,∴m=-3.(2)依题意得g(x)=|3x+m|-2|x-1|.∵m>0,∴g(x)=------∴g(x)的图象与x轴围成的△ABC的三个顶点的坐标为A(-m-2,0),B-,C---,∴S△ABC=|AB|·|y C|=>60,解得m>12.∴实数m的取值范围为(12,+∞).2.(2017广东肇庆第三次统测,23)已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)若a=0,解不等式f(x)≥g(x);(2)若存在x∈R,使得f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.解析(1)当a=0时,由f(x)≥g(x),得|x+1|≥2|x|,两边平方,并整理得(3x+1)(1-x)≥0,解得-≤x≤1,所以所求不等式的解集为-.(2)解法一:由f(x)≥g(x),得|x+1|≥2|x|+a,即|x+1|-2|x|≥a.令F(x)=|x+1|-2|x|,依题意可得F(x)max≥a.F(x)=|x+1|-|x|-|x|≤|x+1-x|-|x|=1-|x|≤1,当且仅当x=0时,上述不等式的等号同时成立,所以F(x)max=1.所以a的取值范围是(-∞,1].解法二:由f(x)≥g(x),得|x+1|≥2|x|+a,即|x+1|-2|x|≥a.令F(x)=|x+1|-2|x|,依题意可得F(x)max≥a.F(x)=|x+1|-2|x|=----易得F(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以当x=0时,F(x)取得最大值,最大值为1.故a的取值范围是(-∞,1].方法2 与绝对值不等式有关的最值问题1.(2018河南豫南九校5月联考,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)若关于x的不等式f(x)<a有解,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为,求a+b的值.解析(1)不等式等价于a>f(x)min,f(x)=----绘制函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a的取值范围是(4,+∞).(2)由题意可得x=是方程|x+1|+|x-3|=a的解,据此有a=+-=5,求解绝对值不等式|x+1|+|x-3|<5可得:-<x<.故b=-,a+b=5-=.2.(2018山西高考考前适应性测试,23)已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.解析(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a≥3,解得a≤-3,即a max=-3.(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|.当a=-1时,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合题意;当a<-1时,g(x)=--------即g(x)=--------所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3,解得a=-4.当a>-1时,同理可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2.综上,a=2或-4.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一绝对值不等式1.(2018课标Ⅱ,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=---可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.2.(2018课标Ⅲ,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解析本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)=---y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.易错警示对“零点分段法”的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每一段区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号.解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题策略(1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解.(2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,然后再求参数的取值范围.3.(2017课标Ⅰ,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解析本题考查含绝对值的不等式的解法,考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的应用能力.(1)解法一(零点分段法):当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为--.解法二(图象法):由已知可得g(x)=---当a=1时,f(x)=-x2+x+4,两个函数的图象如图所示.易得图中两条曲线的交点坐标为(-1,2)和-,-1+,所以f(x)≥g(x)的解集为--.(2)解法一(等价转化法):当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].解法二(分类讨论法):当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于x∈[-1,1]时f(x)≥2,即-x2+ax+4≥2,当x=0时,-x2+ax+4≥2成立;当x∈(0,1]时,-x2+ax+4≥2可化为a≥x-,而y=x-在(0,1]单调递增,最大值为-1,所以a≥-1;当x∈[-1,0)时,-x2+ax+4≥2可化为a≤x-,而y=x-在[-1,0)单调递增,最小值为1,所以a≤1.综上,a的取值范围为[-1,1].思路分析(1)利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式;(2)根据题设可去掉绝对值,进而转化为不等式恒成立问题进行求解.方法总结含绝对值不等式问题的常见解法:(1)含绝对值的不等式求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解.(2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.4.(2016课标Ⅲ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)方法指导(1)将a=2代入不等式,化简后去绝对值求解;(2)要使f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可,利用|a|+|b|≥|a±b|可求最值.考点二不等式的证明1.(2017课标Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明本题考查不等式的证明.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.失分警示运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易因逻辑混乱而失分.2.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.解析(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.思路分析(1)证明(+)2>(+)2即可.(2)两不等式的两边都为非负数,可通过两边平方来证明.易错警示在证明充要条件时,既要证明充分性,也要证明必要性,否则会扣分.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一绝对值不等式1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案A2.(2015重庆,16,5分)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=. 答案-6或4考点二不等式的证明1.(2018江苏,21D,10分)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.解析本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2,因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4,当且仅当==时等号成立,此时x=,y=,z=.所以x2+y2+z2的最小值为4.2.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.C组教师专用题组1.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为.答案{x|x≤-3或x≥2}2.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案-3.(2016课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析 (1)f(x)= - - - -- (4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(2)解法一:由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为或 .(9分) 所以|f(x)|>1的解集为或 或 .(10分)解法二:根据y=f(x)的分段函数表达式,有:当x ≤-1时,|f(x)|>1的解集为{x|x ≤-1}; 当-1<x ≤时,|f(x)|>1的解集为 -∪;当x>-时,|f(x)|>1的解集为∪{x|x>5}.综上,|f(x)|>1的解集为或 或 . 4.(2015课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(5分)(2)由题设可得,f(x)=------所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A-,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).(10分)解后反思分类讨论解不等式应做到不重不漏;在某个区间上解不等式时一定要注意区间的限制性.5.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解析原不等式可化为---或-解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是-或-.6.(2014课标Ⅰ,24,10分)若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.解题关键利用已知条件及基本不等式得出ab≥2是解题的关键.考点二不等式的证明1.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.证明本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8.2.(2016江苏,21D,10分)设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.证明因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.3.(2014课标Ⅱ,24,10分)设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=+|x-a|≥--=+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.评析本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.4.(2014福建,21(3),7分)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解析(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,因为p2+q2≥2pq,q2+r2≥2qr,p2+r2≥2pr,所以2(p2+q2+r2)≥2pq+2qr+2pr,所以3(p2+q2+r2)≥(p+q+r)2=9,则p2+q2+r2≥3.5.(2014辽宁,24,10分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.解析(1)f(x)=---当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16-≤4,解得-≤x≤.因此N=-,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=--≤.6.(2014江苏,21D,10分)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.证明因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)≥33【三年模拟】解答题(共80分)1.(2019届广东佛山顺德第二次教学质量检测,21)已知函数f(x)=|ax+1|+|2x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>3的解集;(2)若0<a<2,且对任意x∈R,f(x)≥恒成立,求a的最小值.解析(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|,即f(x)=----解法一:作函数f(x)=|x+1|+|2x-1|的图象,它与直线y=3的交点坐标为A(-1,3),B(1,3),所以f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).解法二:原不等式f(x)>3等价于--或--或解得x<-1或无解或x>1,所以f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)∵0<a<2,∴-<-,a+2>0,a-2<0.则f(x)=|ax+1|+|2x-1|=----所以函数f(x)在--上单调递减,在-上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,f(x)取得最小值,f(x)min=f=1+.因为∀x∈R,f(x)≥恒成立,所以f(x)min=1+≥.又因为a>0,所以a2+2a-3≥0,解得a≥1(a≤-3不合题意),所以a的最小值为1.解题指导本题第一问是将原函数利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的,求解的过程既可用数形结合,也可以用不等式组,属于简单题;第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题,因为本题的参数不容易分离,所以,选择最值分析法进行讨论求解,难度属于中等.2.(2019届河北衡水中学高三第一次摸底,21)已知函数f(x)=|x-2|.(1)求不等式f(x+1)<xf(x+3)的解集;(2)若函数g(x)=log2[f(x+3)+f(x)-2a]的值域为R,求实数a的取值范围.解析(1)由已知不等式,得|x-1|<x|x+1|,易知x>0,所以原不等式又可化为-或-解得-1<x≤1或x>1,所以不等式f(x+1)<xf(x+3)的解集为(-1,+∞).(2)因为函数g(x)=log2[f(x+3)+f(x)-2a]的值域为R,所以f(x+3)+f(x)-2a≤0有解,即|x-2|+|x+1|≤2a.因为|x-2|+|x+1|≥3,所以2a≥3,即a≥,所以实数a的取值范围是.3.(2019届湖南岳阳第一中学高三第二次质检,21)已知f(x)=|2x-3|+ax-6(a是常数,a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=|2x-3|+x-6=---则原不等式等价于-或--解得x≥3或x≤-3,则原不等式的解集为{x|x≥3或x≤-3}.(2)由f(x)=0,得|2x-3|=-ax+6,令y=|2x-3|,y=-ax+6,在同一直角坐标系下作出它们的图象,可以知道,当-2<a<2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,所以函数y=f(x)恰有两个不同的零点时,a的取值范围是(-2,2).方法总结本题考查绝对值不等式与函数零点的个数问题的解法,考查数形结合思想和计算能力,属于中档题.4.(2019届重庆第一中学高三期中,21)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(1)解不等式f(x)≤1;(2)记函数f(x)的最大值为m,若++=(a,b,c>0),证明:++≥1.解析(1)f(x)=----易得f(x)≤1的解集为{x|x≥0}.(2)证明:由(1)知f(x)max=3=m,于是++=1,因为+++++≥2·+2·+2·=2+2+2,所以++≥++=1(当且仅当a=b=c时取等号).思路分析(1)去绝对值转化为分段函数即可求解.(2)由(1)知f(x)max=3=m,根据++=1,利用基本不等式即可.5.(2018河北邯郸一模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解析(1)由f(x)≤2,得-或或-解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=--作出函数f(x)的图象,如图所示,直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k∈(-∞,-2)∪.6.(2018广东肇庆二模,23)已知f(x)=|x+3|+|x-1|,g(x)=-x2+2mx.(1)求不等式f(x)>4的解集;(2)若对任意的x1,x2,f(x1)≥g(x2)恒成立,求m的取值范围.解析(1)解法一:不等式f(x)>4即|x+3|+|x-1|>4.可得-或--或----(3分)解得x<-3或x>1,所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.(5分)解法二:|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4,(2分)当且仅当(x+3)(x-1)≤0,即-3≤x≤1时,等号成立.(4分)所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.(5分)(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max,(6分)由(1)知f(x)min=4,因为g(x)=-x2+2mx=-(x-m)2+m2,所以g(x)max=m2.(8分)由m2≤4得m的取值范围是-2≤m≤2.(10分)7.(2017安徽江淮十校第三次联考,23)已知函数f(x)=|x+4|-|x-1|.(1)解不等式f(x)>3;(2)若不等式f(x)+1≤4a-5×2a有解,求实数a的取值范围.解析(1)f(x)=---当x≤-4时,无解;当-4<x<1时,由2x+3>3,解得0<x<1;当x≥1时,5>3恒成立,故原不等式的解集为{x|x>0}.(2)将f(x)+1≤4a-5×2a,即f(x)≤4a-5×2a-1有解转化为f(x)min≤4a-5×2a-1.易知f(x)的最小值为-5,∴4a-5×2a-1≥-5,即4a-5×2a+4≥0,即2a≥4或2a≤1,∴a≥2或a≤0.故实数a的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞).8.(2018山西晋中二模,23)已知函数f(x)=|x+1|.(1)若∃x0∈R,使不等式f(x0-2)-f(x0-3)≥u成立,求满足条件的实数u的集合M;(2)已知t为集合M中的最大正整数,若a>1,b>1,c>1,且(a-1)(b-1)(c-1)=t,求证:abc≥8.解析(1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|=--则-1≤f(x)≤1,由于∃x0∈R,使不等式|x0-1|-|x0-2|≥u成立,所以u≤1,即M={u|u≤1}.(2)证明:由(1)知t=1,则(a-1)(b-1)(c-1)=1,因为a>1,b>1,c>1,所以a-1>0,b-1>0,c-1>0,则a=(a-1)+1≥2->0(当且仅当a=2时等号成立),b=(b-1)+1≥2->0(当且仅当b=2时等号成立),c=(c-1)+1≥2->0(当且仅当c=2时等号成立),则abc≥8---=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立).。