直线平面简单几何体综合训练

直线、平面、简单几何体综合训练
教学内容：
直线、平面、简单几何体综合训练
模拟试题】
第I 卷（选择题共60 分）
. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线）
5.如图，ABCD为正方形，点P为平面AC外一点，PD丄平面
平面PAB的距离为d i，点B到平面PAC的距离为d2，则有（
A. l d1 d2
B. d1 d2 l
C. d1 l d2
A.异面
B. 相交
C. 平行
D.垂直
2.正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（）
A. ( 0 ，180 )
B. ( 0，60 )
C. ( 60 ，90 )
D.( 60，180 )
3.已知二面角l的大小为60，b和c 是两条异面直线，则
在下
不能使b和c所成的角为60的是（）
A. b// ，c//
B.b//，c
C. b ，c
D.b，c//列四个条件中，
4. 已知直线m、n和平面，则m〃n的一个必要不充分条件是
A. m// ，n//
B. m ，n
C. m// ，n
D. m 、n 与成等角
ABCD PD=AD=，设点C 至U
D. d2 d1 l
线B i C i 的距离相等，则动点 P 所在曲线的大致形状是（
A. 一条线段
B.
一段椭圆弧
C.
一段抛物线
D.
一段圆弧
6.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论:
①AC 丄BD ② ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60角；④AB 与平面BCD 成60角。

则其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个 7.若3个平面将空间分成 m 部分，则m 的值为（
A.4
B.4 ）
或6 C. 4 或6或7 D. 4 或6或7或8
8.正三棱锥P ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径
之比为（ ）
A. 1 : 3
B.
1：（3 J3）C . （73 1）: 3 D . （73 1）:3
9.设地球表面积为S ,则地球表面上从 A 地（北纬45，东经120 ）到B 地（北纬45 ， 东经30 ）的最短距离为（ A.碍 B.
C.
D.
1
3\ 2
10.设球O 的半径为R ，A ，
B, C 为球面上三点, A 与B A 与C 的球面距离都为 2 R, B
与C 的球面距离为
R
，则球O 在二面角B
OA C 内的那一部分的体积是（
A . 4
R 3
B.
4R 3
C .
D.
11.如下图，在正方体 A l B I C i D 1
ABCD 的侧面 ABBA 内有一点p 到直线AB 与到直
12.如图是一个正方体纸盒的展开图，若把 1, 2, 3, 4
, 5, 6分别填入小正方形后，按
虚线折成正方体，则所得正方体相对面上两个数的和都相等的概率是（
）
第II 卷（非选择题 共90 分）
13. 在正方体 ABCD AB1GD 1中，E F 分别是BB 1、DC 的中点，直线FD 1与平面ADE 所成的角是 __________ 。

14. 一直角梯形 ABCD AB 丄 AD, AD 丄 DC AB=2 BC^3 , CD=1, E 为 AD 中点，沿 CE BE 15.
如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形， 那么沿其正方形相邻
边折叠，能够围成正方体的是 _________ （要求：把你认为正确图形的序号都填上）。

1
A. 6
B.
1 1 1
15 C. 60 D. 120
D
C i
把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点 A 、D 重合，则这三棱锥的体积等
于 ________ 。

Bi
下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题: 三.解答题:
17.在矩形ABCD 中，AB=4, BC=3 E 为DC 边的中点，沿 AE 将 AED 折起，使二面角
及之外的两条不同直线，给出四
个论断：① m n :②
:③ n
m。

以其中三个论断作为条件，余
D AE
B 为 60。

(1) 求DE 与平面AC 所成角的大小 (2) 求二面角 D EC B 的大小
1
18•如图，直三棱柱ABC ABC 中，AB AC 2AA 1， BAC 90 ，D 为棱
BB 1
的中点。

(1)求异面直线C l D 与A i C 所成的角; (2)求证：平面A 1DC 平面ADC
16.
C
Ci
D
B
C
A
19.已知S是ABC所在平面外一点，0是边AC的中点，SOA SOB SOC,
点P是SA的中点。

证:
P Q AA| D i D A, B-i BB i DD i BH B EF
1 —6 DDCDDC 7 —1
2 DDCBCB
(1)求证：SO 平面ABC
(2)求证：SC// 平面BOP
(3)若ABC是等腰直角三角形，且AB BC
6 a a，又SC与平面BOP的距离为6求二面角B SC P的大小。

20.在棱长为1的正方体ABCD A B i C1D1 中
(1) P、Q分别是B i D i、A i B上的点且
B i P -B i D i BQ
3AiB(如图甲)。

求图甲
i
图丙
6
12 15. ①③⑥16. ②③④ ①或①③④②
13. 2 14.
17.如图甲所示，过点 D 作DM L AE 于M 延长DM 与 BC 交于N,在翻折过程中 DML AE MNL AE 保持不变，翻折后，如图乙，
DMN 为二面角D AE B 的平面角,
(1) 在平面DMh 内，作DOL MN 于 O -平面 AC 丄平面 DNM ••• DO 丄平面 AC 连结OE DC L OE
DEO 为DE 与平面AC 所成的角
如图甲，在直角三角形 ADE 中, AD=3 DE=2
AE . AD 2 DE 2 . 32 22
.13
DO DM sin60
如图乙，在直角三角形 DOM 中,
DO 3 3
sin DEO ------ —=
在直角三角形DOE 中, DE
2 13
3 39
. 3 39
DEO arcs in ----------
arcs in -------
则
26 ••• DE 与平面AC 所成的角为 26
(2) 如图乙，在平面 AC 内，作OF L EC 于F ,连结DF 如图甲，作OF
DC 于 F ,则 Rt EMD s Rt OFD
OF EM
DO EM
OF
DO DE
DE
3
OM DM cos DMO DM cos60 ---------------------
如图乙，在Rt DOM
中，
v J 13
DMN
AE
平面AC ，则平面 AC 平面DMN
DM
AD DE AE
DE 2 AE
4 ,13
3、3 13 ,
•/ DO 丄平面AC • DF 丄EC DFO 为二面角D
EC B 的平面角
N B
图乙
18.解法一：
(1) 建立如下图所示的平面直角坐标系。

(2)v AD (a ,0,
a)
,
AD (a , 0 , a) , AC
(0 ,a , 0)
••• AD AD a 2 0
2
a 0, A ,D AC 0
则A 1D AD AD AC
A D
丄平面ADC 又
A 1D
平面 A 1
DC
•平面 A 1DC 平面ADC
解法二
DO DM
如图甲，
MO 9
J13 ,
tan 在Rt DFO 中，
DFO 竺 OF
面角D EC
B 的大小为
arctan 旦
6 设 AB a ，则 A 1 (0, 0, 2a ) , C( 0,
a
，0)，C i
(0, a , 2a )，D( a , 0，a ),
于是 C i D (a, a, a), A i C (0,a, 2a)。

cosQD , A 1C)
0 .3a 5a
•••异面直线C i D 与A i C 所成的角为
<15 arccos —
15
19.
A
(1)连结 A C 1交AC 于点E ,取AD 中点F ,连结EF ,则EF// CD •直线EF 与AC 所成的角就是异面直线 C 1D 与A 1C 所成的角 设AB a 则C i D
-JC 1 B 1 B 1D AC
AC 2 AA 12 、5a
AD .AB 2 BD 2 2a CEF
中,
CE
1
AC 2
EF ^C ,D
2
.3 a
2
直三棱柱中,
DB 面 ABC BAC 90 ，则AD
AC
CF AC 2 AF 2
. a 2
(爭
2 2
cos CEF CE 」F_
CF 2
2CE EF
.15
15
•••异面直线C 1D 与A 1C 所成的角为 P15
arccos —
15
(2)直三棱柱中，
BAC 90 AC 平面 ABB , A 则 AC A D
又AD
2a ,则AD 2
A 1D 2
AA ,2
是AD
AD
AD 平面 ADC ，又 AD
平面A 1DC
平面A ,DC 平面ADC
(1)在平面 SAC 中， SOA SOC 180 又 SOA SOB SOC
SOA SOC 90
SOB 即 SO AC , SO OB
20.
••• SO 平面 ABC (2) v P 是SA 的中点，O 是AC 的中点
•OP // SC 而OP 平面BOP
SC 平面 BOP • SC //平面 BOP
(3) 由SC ±平面 ABC 知平面SACL 平面 ABC 又等腰直角 ABC 中，BO X AC • BO 丄平面SAC 在Rt SOC 中，作OM 丄SC 于M 连BM ,贝y BM 丄SC
BMO 为二面角B SC P 的平面角
由 OM OP , OM L OB 知，OM 丄平面 BOP
、6
OM
a • OM 是SC 与平面 BOP 的距
离,
6
_ i 小
、2
BO —AC a 又 2
2
tan BMO
BO 3
在Rt BOM 中，
OM
BMO 60
即二面角B SC
P 的大小为 60 。

S /K
y /
A 、 /■
P J 1
X
1 ■、
M y / \ r
O
A
*1 I 、A \
C
X li J
J
B
SOA SOC 90 SOB 即SO AC , SO OB
20.(1)证法一：在A i D i上取点P, AA i上取点Q使
A i P i
AQ i
由已知得B i P: PD i A I P i : P-i D i i: 2
i
QQ 1 在平面AA i BiB 中同理可证 QQ// AB 且
••• PQ 〃 平面 AA i DD
证法二： 以D 为原点，建立空间直角坐标系，使下列各点的坐标为
D, （ 0, 0, i ） , B （i , i ,
i ）, 2 2 2 I
A i （ i ，0，i ），
B （ i ，i ，0），又已知 P （ 3， 3 , i ）,Q （ i ， 3，3 ），在 A i D i > AA i 上 取点P i 、Q,使满足A i R ：A i D i i ：3, AQ i : AA i ：3，则由定比分点公式得
PQ RQ i PQ // 平面 AADD
（2）解法一:
（i ，i ，2 ），C （ 0，i ，0）
PR // A ] B-\ 且
PP i
AB
PP i //QQ i PQ // P i Q 又PQ i 平面AA i D i D
AB 哺0'1），
i
Q I
（1，°，PQ （】,0, -） PQ i 3 3 ， ,0, 2）
取AB 中点M ，CG 中点N 连B i M 、M N B i ，则 AM // B i M CN // B i N
M B i N 即为AM 与CN 所成的角
在B i M N 中,
B i M B i N _5
2 M N CN 2 CM 2 — 2 ，由余弦定理得
cos M B i N 2 arccos-
• AM 与CN 所成的角为
5
解法二: 以D 为原点建立空间直角坐标系，使下列各点坐标为
丄
A （ i ，0，0），M （ i ，2，i ），N
5 ,5 5
（3）解法一:
面BEF,贝U HB 丄BiF 必成立。

设 H 在BBCC 内射影为 H , EF Rt B CH CH 1 BF ^BC -CC 1
易证 Rt B 1EF Rt BCH 1 2 2 ,即 H 是 CC 中点。

• H 也必是DD 中点，• 这样的点存在且是 DD 之中点。

解法二： 以D 为原点建立空间直角坐标系， 设H 坐标为 1 , 0）, BH 丄EF 恒成立（如解法一）
AM (0,丄，1) 2 CN (1 , 0 , ^)
2
cos AM , CN AM CN
AM CN 02
••• AM 与CN 所成的角为 2
arccos- 5
能找到点HoV H DD 1 BH 在底面的射影为 BD 贝U BH L EF 恒成立，若 BF U 平 BH 1 B 1F 必成立。

（0，0，t ），B i （ 1, 1，0），B （1, 1，0）
, BH!平面 B 1EF ,贝U BH1BF 。

即卩 BH B 1F
BH ( 1, —、 1
1,t) , B 1F ( 1)
2( 1) 0 ( 1) ( 1) t 0
故存在点H是DD之中点。