高考数学函数1.
高考数学函数专题习题及详细答案
1.函数ye x1(xR)的反函数是()A．y1lnx(x0)B．y1lnx(x0)．y1lnx(x0)．y1lnx(x0)C D2.f(x)(3a1)x4a,x1是(,)上的减函数，那么a的取值范围是log a x,x1(A )(0,1)(B)(0,1)(C)[1,1)(D)[1,1)37373.在以下四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2)，|f(x1)f(x2)||x2x1|恒成立〞的只有()1(B)fx|x|(C)f(x)2x(D)f(x)x2Af(x)x4.f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设a f(6),bf(3),c f(5),那么522(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab5.函数f(x)3x2lg(3x1)的定义域是1xA .1B1C11D1 (,)(,1)(,),)..3.( 33336、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y x 3,x R B y sinx,x R C y x,x R D1xy(),x R ...y27、函数y f(x)的反函数y f1(x)的图像与y轴交于点4y f 1 (x)P(0,2 )(如右图所示)，那么方程f(x)0在[1,4]上的根是x2B.3C.28、设f(x)是R上的任意函数，那么以下表达正确的选项是1O3x(Af(x)f(x)是奇函数(Bf(x)f(x)是奇函数))(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数9、函数y e x的图象与函数y fx的图象关于直线y x对称，那么A．f2x e2x(x R)B．f2x ln2glnx(x0)C．f 2x2x(x)D．f2x lnx ln2(x0)e R2e x1,x＜2，那么f(f(2))的值为10、设f(x)2log3(x1)，x 2.(A)0(B)1(C)2(D)311、对a，ba,a bx R)的最R，记max{a，b}＝＜，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(,bba小值是(A)0(B)1(C)3(D)3 2212、关于x的方程(x21)2x21k0，给出以下四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是．A．0B．1C．2D．3〔一〕填空题(4个)1.函数f x对于任意实数x满足条件fx21，假设f15,那么f xff5_______________。
高考数学一次函数知识点总结
高考数学一次函数知识点总结高考数学一次函数知识点一次函数性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+bk≠0k不等于0，且k，b为常数2.当x=0时，b为函数在y轴上的交点,座标为0,b.当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为-b/k，03.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tana角a为一次函数图象与x轴正方向夹角,a≠90°4.当b=0时即y=kx，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.函数图象性质：当k相同，且b不成正比，图像平行;当k不同，且b相等，图象相交于y轴;当k互为正数倒数时，两直线横向;6.平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间一次函数图像性质1.y=kx时即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的减小而减小;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2.y=kx+bk,b为常数，k≠0时：当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限;当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限;当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点o0，0表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不能通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不能通过一、三象限。
3.直线y=kx+b中k、b的关系k>0,b>0：经过第一、二、三象限k>0,b<0：经过第一、三、四象限k>0,b=0：经过第一、三象限经过原点结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
高考数学历年函数试题及答案
1. 设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，]都有（Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求=（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。
2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+=（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.3． 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象4．（本小题满分12分）求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.5．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos C B A ++取得最大值，并求出这个最大值7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求a 的取值范围.8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值.(Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 9.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．x（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 10.在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程12. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围解答： 2. 解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433. 解x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是 4.解：xx x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41 5. 解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；（II ）当3-=a时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a时，函数))((R x x f ∈不是减函数.综上，所求a 的取值范围是 6. 解： 由,222,AC B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cos A C B =+当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π7. 解：其判别试.81212124222a a a -=+-=∆（ⅰ）若,26,08122±==-=∆a a 即 当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f ax x 所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f所以 ,232>a 即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a （ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令 解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a -解得 1≤.26<a由2x ≤1得,232a -≤3,a -解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a综上，a 的取值范围为),26,1[),26[]26, +∞-∞- 即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增； 当23a>，由()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在3a ⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛---+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增； （2）（法一）∵函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，⎝⎭递减，∴23313a ⎧---⎪⎪-，且23a>，解得：2a ≥。
高考数学1第二章基本初等函数考点汇总
高考数学1第二章基本初等函数考点汇总一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一样地，假如，那么叫做的次方根(n th root)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.现在，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，那个地点叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.现在，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根能够合并成±( >0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根差不多上0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一样地，函数叫做指数函数(exponential functio n)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>1 0图象特点函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一样地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作：( —底数，—真数，—对数式)说明：○1 注意底数的限制，且;○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数;○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化(二)对数的运算性质假如，且，，，那么：○1 ? + ;○2 - ;○3 .注意：换底公式( ，且; ，且; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，差不多上形式定义，注意辨别。
数学函数解析式高考真题
数学函数解析式高考真题解析式是数学函数的一种表示形式，通常以代数式的形式来表达函数的数学性质。
在高考数学中，解析式的应用十分广泛，尤其是在函数的相关知识点中。
让我们通过几道高考数学真题来深入了解数学函数解析式的具体应用。
1. （2018年高考真题·全国卷II）已知函数 y=f(x) 的解析式为f(x)=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，且 f(x) 在 x=1 处的切线方程为y=6x-2，则 a、b、c 的值分别为（）。
A. 3, -4, -1B. 5, -6, -1C. -3, 4, 1D. -5, 6, 1解析：首先根据题意可知，函数 f(x)=ax^2+bx+c 在 x=1 处的切线方程为 y=6x-2，即函数在 x=1 处的导数等于切线斜率为6。
求函数 f(x)在 x=1 处的导数，即求 f'(x) 在 x=1 处的值。
由于 f(x)=ax^2+bx+c，则f'(x)=2ax+b。
将 x=1 代入 f'(x) 中得到 2a+b=6。
又因为函数 f(x) 在 x=1处的函数值为 f(1)=6*1-2=4，则将 x=1 代入原函数 f(x) 得到 a+b+c=4。
联立求解方程组 2a+b=6，a+b+c=4，解得 a=3，b=-4，c=-1。
因此答案为 A. 3, -4, -1。
2. （2017年高考真题·全国卷I）已知函数 y=f(x) 的解析式为f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，且f(1)=1，f’(1)=4，则a、b、c 的值分别为（）。
A. 4, 3, -6B. 3, -4, 5C. -4, -3, 6D. -3, 4, -5解析：根据题意可知，函数 f(x)=x^3+ax^2+bx+c，在 x=1 处的函数值为 f(1)=1，导数值为 f'(1)=4。
首先将 x=1 代入 f(x) 得到 a+b+c=1，然后求函数 f(x) 的导数 f'(x)，得到 f'(x)=3x^2+2ax+b。
高考数学函数的极限1
2.3 函数的极限
课堂小结
本节学习了当 x 分别趋向于 + ∞, - ∞,∞时，函数
f ( x )中 f(x)的极限，以及常数函数的极限，并且注意 lim x
的∞和数列极限 lim a中的∞不同意义，以概念为依据， n
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
常用的函数的极限
1 1. lim 0 x x 2. lim C C
； .au/ 悉尼驾照翻译
也有
lim f ( x) C
x
2.3 函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大 x 取正值并且无限增大， x 取 负值并且绝对值无限增大
f ( x ) 值的变 化趋势 f ( x ) 无限趋
近于常数a f ( x ) 无限趋 近于常数a
极限表示
x
lim a n 0
n
lim an a
n
3、数列与函数的关系： 数列可以看作是定义在正整数集上的一种特殊函数。
1 观察函数y 的图象, 当x 时的变化趋势。 x
无论x+ 或x-
1 函数y 的值无限趋近于0. x
1 即 当x 时， 0. x
2.3 函数的极限
2.3 函数的极限
如果 lim f ( x ) a且 lim f ( x ) a 那就是说当x 趋向于 x x 无穷大时，函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a 也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
x
对于常数函数
f ( x) C ( x R)
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
高考数学函数专项训练
高考数学函数专项训练1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的定义域。
答案：全体实数2. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的图像是怎样的？答案：开口向上的抛物线3. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(2, -1)4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0，若f(x)的图像是开口向上的抛物线，求b的取值范围。
答案：b<05. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0，若f(x)的图像是开口向下的抛物线，求a的取值范围。
答案：a<06. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的导数。
答案：f'(x) = 2x - 27. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 38. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的导数，并判断其单调性。
答案：f'(x) = 2x - 4，单调递增区间为(2, +∞)9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a≠0，求f(x)的导数，并判断其单调性。
答案：f'(x) = 2ax + b，单调递增区间为a>0时，x>-b/2a；单调递减区间为a<0时，x>-b/2a10. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的反函数。
答案：f^(-1)(x) = x + 2 或 x = 2 - x11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的反函数。
答案：f^(-1)(x) = (x - 1)/3 或 x = 3(x - 1) + 112. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的反函数。
函数-高考数学常见题型大全
函数常见题型总结一．函数的概念及表达式题型一：函数的概念函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。
例1：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（1）)(x f ＝x ，)(x g ＝xx 2；（2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1；（3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1；（4）)(x f ＝2x ，)(x g ＝2(x ；题型二：函数的表达式1.解析式法例2：已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（）（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14-2.图象法例3：如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．题型三：求函数的解析式.1.换元法例4：已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f =例5：已知f（x 6）＝log 2x，那么f（8）等于2.待定系数法例6：已知二次函数f (x)满足条件f (0)=1及f (x+1)-f (x)=2x。
则f (x)的解析式____________3.构造方程法例7：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=11-x ,则f(x)=例8：若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有（）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<二．函数的定义域题型一：求函数定义域问题1.求有函数解析式的定义域问题例9：函数y =的定义域是（）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]32.求抽象函数的定义域问题例10：已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为()A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(3,1)-D ．((3)f -，f （1）)例11：若函数y ＝)13(-x f 的定义域是[1，2]，则y ＝)12(-x f 的定义域是．题型二：已知函数定义域的求解问题例12：如果函数34)(2++=kx kx x f 的定义域为R，则实数k 的取值范围是.例13：已知函数()f x =的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是_____________例14：已知函数()2()lg 2f x x x a =++，（1）若它的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若它的值域为R ，求实数a 的取值范围．三．函数的值域1.二次函数类型（图象法）:例19：函数()2f x x =-的最小值为．2.单调性法例20：求函数51)(--=x x x f []4,1∈x 的最大值和最小值。
2023届全国高考数学复习：专题(函数的极值)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（函数的极值）重点讲解与练习 1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一 根据函数图象判断极值【方法总结】(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12[例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．[例3] (2021ꞏ天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ꞏe x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 22．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝03．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．46．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1737．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 28．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为210．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x ．(1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． (4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞)(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2[例2] 已知曲线f (x )＝x e x －23ax 3－ax 2，a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )有三个极值点，求实数a 的取值范围．【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．03．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．54．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(e ，e)B ．(e ，2)C ．(2，e)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )＝x ln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14 D ．0，14 8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________． 答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2． (2)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e ，则f (x )的极大值点为( )A ．1eB ．1C ．eD ．2e答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析 因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值126．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1736．答案 B 解析 由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ．7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 27．答案 B 解析 由题意得，f ′(x )＝2x 2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52．8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值8．答案 BC 解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e 是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为29．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ꞏx ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x－1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．答案 11 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． 答案 1 解析 因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析 f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；答案 (－∞，－1] 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln x x (x >0)，∴φ′(x )＝－ln x x 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2答案 D 解析 法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．所以当a >e 2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞． 【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ．2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析 由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a ＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1 ＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞． 5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析 由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点，又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞)6．答案 B 解析 令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln x x 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e 2．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－x e x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表： x(－∞，1) 1 (1，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值 若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e C ．。
2023年高考数学一轮复习第二章函数1函数的概念及其表示练习含解析
函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0， 所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究 将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析 令1－2x>0， 即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析 要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________． 答案 [－1,0]解析 由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析 令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案 －x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析 令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________． 答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1； 当a ≤0时，a 2－4＝5， 解得a ＝－3或a ＝3(舍)． 综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析 当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析 若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析 令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案 (1,4]解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析 当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案 [2，＋∞) 解析 当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析 若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ， 所以a ＝2e b ＋1， 因为b 为正实数， 所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版
●命题角度三 分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所 以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一 函数解析式的求法 【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二 分段函数——多维探究 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段 函数与不等式问题．
●命题角度一 分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，
高考数学-函数的概念及其表示
函数的概念及其表示知识梳理（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④零（负）指数幂的底数不能为零．⑤若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的．⑤反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）分段函数：定义域不同对应法则不同的函数，解题方法-分段函数分段求。
高考数学基础函数知识点汇总
高考数学基础函数知识点汇总函数是高考数学中的重要内容，也是数学学习中的基础和核心。
掌握好函数的相关知识，对于解决数学问题、提高数学素养至关重要。
下面为大家详细汇总高考数学中基础函数的知识点。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系，设集合 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
其中，集合 A 叫做函数的定义域，集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域。
需要注意的是，定义域、值域和对应关系是函数的三要素，当且仅当定义域、对应关系都相同时，两个函数才是相同的函数。
二、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝f(x)。
2、列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，形象直观。
三、常见函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k≠0）的函数称为一次函数。
当 b ＝ 0 时，y ＝ kx 是正比例函数，其图象是过原点的直线。
一次函数的图象是一条直线，k 决定直线的倾斜程度，b 决定直线与 y 轴的交点位置。
2、二次函数一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a≠0）顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a≠0，顶点坐标为（h, k)）交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a≠0，x₁，x₂为函数与 x 轴交点的横坐标）二次函数的图象是一条抛物线，对称轴为 x ＝ b/2a，顶点坐标为（b/2a, （4ac b²)／4a) 。
a 的正负决定抛物线的开口方向，a ＞ 0 时开口向上，a ＜ 0 时开口向下。
3、反比例函数形如 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其图象是双曲线。
当 k ＞ 0 时，图象在一、三象限；当 k ＜ 0 时，图象在二、四象限。
高考数学复习专题知识梳理—函数的概念与性质
高考数学复习专题知识梳理—函数的概念与性质1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A 定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )，x ∈Q ，，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：8．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象如图所示：10．幂函数的性质11.常见的几类函数模型<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝1 12 .(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)，，，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．(3)－x≥0，－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x＋1≠0，－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x)＋1，x≤－2，2＋2x，－2<x<2，x－1，x≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴＋＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)12(x 1－x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2(x 1－x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x x N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y x 2＋32x －100，0<x ≤20，－x ，x >20(x ∈N *)．(2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)<B．f(1)<C．f(1)D．f(1)<[思路点拨]y＝f(x＋2)是偶函数―→[0，2]上f(x)的图象关于x＝2对称――→比较大小递增B[∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴又f(x)在[0,2]上单调递∴f(1)<f(1)<13.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为() A．0B．1C．2D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f________．(1)B(2)13[(1)∵y＝1x2＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)2f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
高考数学总复习考点知识讲解与练习1 函数的图象与性质
高考数学总复习考点知识讲解与练习第1讲函数的图象与性质[考情分析]1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等，主要考查求函数的定义域、求分段函数的函数值或分段函数中求参数问题及函数图象的识别，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．考点一函数的概念与表示核心提炼1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．例1(1)已知函数f(x)＝x1－2x，则函数f(x－1)x＋1的定义域为()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,1)答案D解析令1－2x >0， 即2x <1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f (x －1)x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f (x －1)x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．(2)已知实数a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x >1，若f (1－a )>f (1＋a )，则实数a 的取值范围是________．答案(－2，－1)∪(0，＋∞) 解析①当a <0时，1－a >1,1＋a <1， ∴－(1－a )>(1＋a )2＋2a ， 化简得a 2＋3a ＋2<0， 解得－2<a <－1，又a <0，∴a ∈(－2，－1)； ②当a >0时，1－a <1,1＋a >1，∴(1－a )2＋2a >－(1＋a )， 化简得a 2＋a ＋2>0，解得a ∈R ， 又a >0，∴a ∈(0，＋∞)，综上，实数a 的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．规律方法(1)形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 跟踪演练1(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于()A ．－32 B.22 C.32 D. 2 答案B解析f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫⎪⎝⎭＝22.(2)(多选)设函数f (x )的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“H 函数”．下列为“H 函数”的是() A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝ln x ＋e x C ．y ＝2x D ．y ＝x 2－2x 答案AB解析由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin x cos x＝12sin2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋e x的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．考点二函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2(1)(2021·德州模拟)函数f(x)＝2sin x＋3xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案C解析∵f(－x)＝2sin(－x)＋3(－x)cos(－x)＋(－x)2＝－2sin x＋3xcos x＋x2＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，故A错误；∵f(π)＝2sin π＋3πcos π＋π2＝3ππ2－1>1，故B，D错误．(2)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案C解析要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．跟踪演练2(1)(2021·太原模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致是()答案A解析f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1sin(－x ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x－1sin(－x ) ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1＋e x )－21＋e x －1sin(－x ) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x－1sin x ＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C ，D ； 当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1sin 2<0，排除B ，故选A. (2)(2021·信阳检测)如图是函数f (x )的图象，f (x )的解析式可能是()A ．f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1B ．f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1＋1x －1D ．f (x )＝1x ＋1－1x －1答案C解析由图象可知f (0)＝0，若f (x )＝1x ＋1－1x －1，f (0)＝10＋1－10－1＝2，故可排除D ； 当x ＝2时，f (2)>0，若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1，f (2)＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12＋1＝ln 13<0，故可排除B ； 当x ＝－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋1－12－1＝ln 13<0，故可排除A. 考点三函数的性质 核心提炼 1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)； f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )，则函数y ＝f (x )的周期为2|a |.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．考向1单调性与奇偶性例3(2021·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x >0时，要满足xf (x －1)≥0，则f (x －1)≥0， 得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． 考向2奇偶性、周期性与对称性例4(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0 B ．f (－1)＝0C ．f (2)＝0D ．f (4)＝0 答案B解析因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )， 因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)， 所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)，即f (x )＝f (x ＋4)， 故函数f (x )是以4为周期的周期函数，又f (1)＝0，故f (－1)＝f (5)＝f (1)＝0，其他三个选项未知．二级结论(1)若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f (x ＋a )＝1f (x )，其中f (x )≠0，则f (x )的周期为2|a |.(2)若f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称，则f (x )的周期为2|a －b |. (3)若f (x )的图象关于点(a ,0)和直线x ＝b 对称，则f (x )的周期为4|a －b |.跟踪演练3(1)(2021·驻马店质检)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2，则f (2021)＋f (2022)等于() A ．－5 B ．－3 C ．3 D ．5 答案A解析∵f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x )的周期为8， ∴f (2 021)＝f (5)＝－f (1)＝－1， f (2 022)＝f (6)＝－f (2)＝－4， ∴f (2 021)＋f (2 022)＝－5.(2)(2021·全国Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题： ①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称； ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________． 答案②③解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f (x )<0，故④错误．专题强化练一、单项选择题1．(2021·宝鸡联考)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是() A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1答案D解析对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意； 对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意； 对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x >0，且3x ≠1， 故3x －1>－1，且3x －1≠0，故y <－1或y >0. 故值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．2．(2021·兰州模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增且图象关于坐标原点对称的是() A ．f (x )＝x ＋1x B ．f (x )＝2x ＋1 C ．f (x )＝log 2|x | D ．f (x )＝x 3 答案D解析 选项B 为非奇非偶函数，选项C 为偶函数，排除B ，C ，对于A ，函数f (x )＝x ＋1x 在(0，＋∞)上先减后增，不符合题意，故选D.3．(2021·赣州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －3)，x ≥0，log 2(－x )＋1，x <0，则f (2021)等于()A ．1B ．2C ．log 26D ．3 答案A解析 由题意知f (2 021)＝f (2 018)＝…＝f (2)＝f (－1)＝log 21＋1＝1. 4．函数f (x )＝3|x |·cos2xx的部分图象大致是()答案D解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，故排除A ；f (－x )＝3|－x |·cos (－2x )－x＝3|x |·cos 2x－x＝－f (x )，故函数为奇函数，排除B ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，cos 2x >0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝3|x |·cos 2x x >0，排除C ，故选D.5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是()A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1 答案B解析方法一因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (x －1)＝1－(x －1)1＋(x －1)＝2－x x ，f (x ＋1)＝1－(x ＋1)1＋(x ＋1)＝－xx ＋2.对于A ，F (x )＝f (x －1)－1＝2－x x －1＝2－2xx ，定义域关于原点对称，但不满足F (x )＝－F (－x )；对于B ，G (x )＝f (x －1)＋1＝2－x x ＋1＝2x ，定义域关于原点对称，且满足G (x )＝－G (－x )；对于C ，f (x ＋1)－1＝－x x ＋2－1＝－x －x －2x ＋2＝－2x ＋2x ＋2，定义域不关于原点对称；对于D ，f (x ＋1)＋1＝－x x ＋2＋1＝－x ＋x ＋2x ＋2＝2x ＋2，定义域不关于原点对称．方法二f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x －1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.6．(2021·银川模拟)已知f (x )是定义在R 上的满足f (1＋x )＝f (－1－x )的函数，且f (x )的图象关于点(1,0)对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2－2x ，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)的值为() A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案D解析∵f (1＋x )＝f (－1－x )⇒f (x )＝f (－x )， 又f (x )的图象关于点(1,0)对称，∴f (x ＋2)＝－f (－x )＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为4，由函数解析式及性质易知，f (0)＝1，f (1)＝0，f (2)＝－1，f (3)＝0，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)＝505[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 020)＋f (2 021)＝0＋f (0)＋f (1)＝1.7．(2021·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )() A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减答案D 解析f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， ∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减．8．(2021·南通模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 2－x 1>0，记a ＝f (0.23)0.23，b ＝f (sin1)sin1，c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13ln3，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a答案D解析设x 1<x 2∈(0，＋∞)，则x 2－x 1>0，则由x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 2－x 1>0，得x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，化简得f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，令函数g (x )＝f (x )x ，即得g (x 1)>g (x 2)， 则得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单递调减， 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13ln 3＝－f (－ln 3)ln 3＝f (ln 3)ln 3， 因为0<0.23＝153<12<sin 1<1,1＝ln e<ln 3， 即得0.23<sin 1<ln 3，所以g (0.23)>g (sin 1)>g (ln 3)，即c <b <a . 二、多项选择题9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数y ＝f (|x |)在区间[a ，b ]上的图象如图，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是()答案AD解析 函数y ＝f (|x |)是偶函数，所以它的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项AD 正确．10．(2021·湘潭模拟)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，则下列结论正确的是() A ．|f (x )|≥2B.当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3 C ．直线x ＝1是f (x )图象的一条对称轴 D ．f (x )在(－∞，－1)上单调递增 答案ABD解析当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋2x ＋3＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x －3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，－x 2－2x －3，x <0，作出f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 所以|f (x )|≥2，故A 正确；当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3，故B 正确；由图象可知直线x ＝1显然不是f (x )的对称轴，故C 错误； 由图象可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增，故D 正确．11．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是() A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x B ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0)D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2答案ACD解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f (x 1)＋f (x 2)2.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质，故选ACD.12．(2021·青岛模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：x 为整数时，f (x )＝2021；x 不为整数时，f (x )＝0，则()A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．∀x ∈R ，f (f (x ))＝2021D ．f (x )的最小正周期为1 答案BCD解析A 中，对于函数f (x )，有f (1)＝2 021，f (－1)＝2 021，所以f (－x )＝－f (x )不恒成立，则函数f (x )不是奇函数，所以A 不正确；B 中，对于函数f (x )，若x 为整数，则－x 也是整数，则有f (x )＝f (－x )＝2 021，若x 不为整数，则－x 也不为整数，则有f (x )＝f (－x )＝0，综上可得f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以B 正确；C 中，若x 为整数，则f (x )＝2 021，若x 不为整数，则f (x )＝0，综上，函数f (x )是整数，则f (f (x ))＝2 021，所以C 正确；D 中，若x 为整数，则x ＋1也是整数，若x 不为整数，则x ＋1也不是整数，总之有f (x＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为1，若t (0<t <1)也是f (x )的周期，则x 和x ＋nt 可能一个为整数，另一个不是整数，则有f (x )≠f (x ＋nt )，所以函数f (x )的最小正周期为1，所以D 正确．三、填空题13．(2021·唐山模拟)有以下两个条件：①定义域不是R ；②偶函数．写出一个同时满足以上条件的函数f (x )＝________. 答案1|x |(答案不唯一)14．(2021·石嘴山模拟)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x ＋m (m 为常数)，则f (－ln5)的值为________． 答案 －4解析∵∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数，f (0)＝0， ∵当x ≥0时，f (x )＝e x ＋m ， ∴f (0)＝e 0＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.15．已知函数f (x )＝e x －e －x －sin2x ，若f (a －2)＋f (2a )>0，则实数a 的取值范围是________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析∵f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＋sin 2x＝－(e x －e －x －sin 2x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝e x ＋e －x －2cos 2x ≥2e x ·e －x －2cos 2x ＝2－2cos 2x ≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，又不等式f (a －2)＋f (2a )>0可化为f (2a )>－f (a －2)＝f (－a ＋2)，∴2a >－a ＋2，解得a >23，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)答案①②④解析令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，得f(－2)＝0，由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，故①正确；由于函数f(x)为偶函数，故f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故②正确；根据前面的分析，结合函数在区间[0,2]上单调递增，可画出函数的大致图象如图所示．由图可知，函数在[－6，－4]上单调递减，故③错误；根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，所以f(x)在[0,100]上共有25个零点，故④正确，综上所述，正确的命题有①②④.。
高考数学(简单版)-1函数的定义及表示 - 简单 - 讲义
函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x =，x A Î其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =，所有函数值构成的集合{()}y y f x x A =?，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零；5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x x k k Z ππ??，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]y f x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域． 注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射定义：设A B ，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x 在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射，这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是()y f x =x 称为y 的原象，映射f 也可记为：:f A B ®()x f x ®其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域．通常记作()f A ．映射三要素：集合A B 、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B ®，集合A 中每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，从A 到B 的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B 中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c =++(0)a ¹或2()[()]()F x a f x bf x c =++(0)a ¹类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y =，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数t=[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018春•东安区校级期末）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．：B．f：x→y=2﹣xC．：D．：【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．2．（2018春•青山区校级期末）已知函数y=的值域为[0，+∞），求a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＞1C．a≤1 D．a＜1【解答】解：要使函数y=的值域为[0，+∞），则（a﹣1）x2+ax+1能够取到大于0的所有实数．若a﹣1=0，即a=1，函数化为y=，值域为[0，+∞）；若a﹣1≠0，则＞，解得a＞1．综上，a的取值范围为a≥1．故选：A．3．（2016秋•芗城区校级期末）下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，而D符合．故选：D．4．（2016秋•宁城县期末）下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．5．（2016秋•湖北期末）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵函数的定义域为[﹣1，5]，∴根据函数的定义得当x=1时，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为1个，故选：B．6．（2016秋•天门期末）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵1∈[﹣2，2]，∴由函数的定义可得：函数f（x）在定义域[﹣2，2]上，任一x均有唯一的函数值与之对应，则在同一坐标系中，y=f（x）的图象与直线x=1的交点的个数为1个．故选：B．7．（2018•乌鲁木齐二模）若集合，，则（）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A【解答】解：集合，，可得A={x|x≥0或x≤﹣1}；B={y|y≥0}．可知：B⊆A．故选：D．8．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={y|y=x2}，则（）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A【解答】解：集合A={x|x（x﹣1）＜0}={x|0＜x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}．可知：A⊆B．故选：B．9．（2018•河南模拟）已知函数f（x）=5﹣1og3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（）A．（2，4]B．[2，4）C．[﹣4，4）D．（6，9]【解答】解：因为3＜x≤27，所以1＜1og3x≤3，﹣3≤﹣1og3x＜﹣1，则5﹣3≤5﹣1og3x＜5﹣1，即2≤f（x）＜4．则函数的值域为[2，4），故选：B．10．（2018•济宁一模）已知函数，＞，，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．，，D．，，【解答】解：当x＞1时，由f（x）=，得f′（x）=，∴当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，∵当x→1+时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→0，且f（e）=，∴f（x）在（1，+∞）上的值域为（0，]；当x≤1时，f（x）=e x+1为增函数，∴1＜e x+1≤e+1，即f（x）在（﹣∞，1]上的值域为（1，e+1]．综上，函数f（x）的值域为，，．故选：D．11．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4 B．3lnx+4C．3lnx D．3e x【解答】解：设lnx=t则x=e t∴f（t）=3e t+4∴f（x）=3e x+4故选：A．12．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（）A．1 B．﹣1C．﹣D．【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，∴，，，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．二．填空题（共4小题）13．（2017秋•杨浦区校级期末）设，，则f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞）．【解答】解：∵，，∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），故答案为：x，x∈（1，+∞）．14．（2018春•海安县校级月考）若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．【解答】解：f（2x）=3x2+1=，可得．故答案为：．15．（2018•徐汇区二模）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为（0，+∞）．【解答】解：函数f（x）=lg（3x﹣2x），∴3x﹣2x＞0，∴3x＞2x，∴＞1，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．16．（2017秋•海陵区校级期中）若g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为{0，2}．【解答】解：∵g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}，∴g（﹣1）=（﹣1）2﹣1=0，g（1）=12+1=2．∴g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为{0，2}．故答案为：{0，2}．三．解答题（共2小题）17．求函数y=e x+值域．【解答】解：y=e x+=2+e x+﹣2∵2+e x＞2，且y=x+﹣2在（2，+∞）上是增函数，故y=2+e x+﹣2＞2+﹣2＞；故函数y=e x+的值域为（，+∞）．18．求下列函数的值域．（1）y=；（2）y=2x﹣3+；（3）y=．【解答】解：（1）；；∴；∴；∴该函数的值域为，；（2）令，t≥0，则x=；∴；该函数的对称轴为t=1；∴t=1时，y max=4；∴y∈（﹣∞，4]；即原函数的值域为（﹣∞，4]；（3）该函数的定义域为[﹣1，1]，；∴x∈[﹣1，0）时，y′＞0，x∈（0，1]时，y′＜0；∴x=0时原函数取最大值2，且x=﹣1，x=1时，y=；∴原函数的值域为，．。
高考数学函数知识点
高考数学函数知识点【篇一：高考数学函数知识点】来自：要学习网一次函数[l]一、定义与定义式：[/l][l]自变量x和因变量y有如下关系：[/l][l] y=kx+b[/l][l]则此时称y是x的一次函数。
[/l][l]特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
[/l][l]即：y=kx （k为常数，k≠0）[/l][l]二、一次函数的性质：[/l][l] 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k[/l][l]即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）[/l][l] 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
[/l][l]三、一次函数的图像及性质：[/l][l]1．作法与图形：通过如下3个步骤[/l][l]（1）列表；[/l][l]（2）描点；[/l][l]（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）[/l][l] 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
[/l][l] 3．k，b与函数图像所在象限：[/l][l]当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；[/l] [l]当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
[/l] [l]当b＞0时，直线必通过一、二象限；[/l][l]当b=0时，直线通过原点[/l][l]当b＜0时，直线必通过三、四象限。
[/l][l]特别地，当b=o时，直线通过原点o（0，0）表示的是正比例函数的图像。
[/l][l]这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
[/l][l]四、确定一次函数的表达式：[/l][l]已知点a（x1，y1）；b（x2，y2），请确定过点a、b的一次函数的表达式。
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[单选]利用浮标导航，下列哪些方法可判断本船是否行驶在航道内或计划航线上（）。A．查看前后浮标法B．前标舷角变化法C．舷角航程法D．以上都是 [单选,A1型题]儿童脑发育速度开始减慢、脑的大小达到成人的80%的年龄期是（）A.新生儿期B.婴儿期C.幼儿期D.学龄前期E.学龄期 [单选,A2型题,A1/A2型题]缺铁性贫血患者给予补充铁剂治疗时，血红蛋白正常后，仍需继续补充铁剂（）A.1～3个月B.3～6个月C.6～9个月D.9～12个月E.一年以上 [单选]上部为柔性结构但基础本身刚度较大的条形基础，其基础梁纵向内力计算方法应选取()。A.静定分析法B.倒梁法C.弹性地基梁法D.有限单元法 [单选,A1型题]下列哪项不是黄连的主治病证（）A.肺热咳嗽B.血热吐血C.胃热呕吐D.湿热泻痢E.痈疽疮毒 [问答题,案例分析题]背景材料： [单选]下列表述中正确的是（）。A.市场有效性要求所有投资人都是理性的，当市场发布新的信息时所有投资者都会以理性的方式调整自己对股价的估计B.市场有效性要求乐观的投资者和悲观的投资者人数大体相同，他们的非理性行为就可以互相抵消C.理性的投资人、独立的理性偏差和套利行为 [单选]某五金公司保存有大量五金产品档案，根据五金产品档案的特点，适宜的分类方法是（）。A.项目分类法B.型号分类法C.专业分类法D.时间分类法 [单选]非凹陷性水肿见于A．特发性水肿B．药物性水肿C．营养不良性水肿D．肝原性水肿E．黏液性水肿 [单选,A1型题]下列哪种检查，不适合于泌尿系统新鲜损伤（）A.大剂量静脉肾盂造影B.逆行肾盂造影C.B超检查D.CT检查E.肾动脉造影 [单选]行政行为成立后才能产生法律效力，而（）是行政行为成立的要件。A.行政主体B.行政法人C.主体合格D.行政组织 [单选]既能收敛化瘀止血，又能利尿的药物是（）A.栀子B.血余炭C.小蓟D.棕榈炭E.藕节 [单选]荧光抗体染色技术的检测方法特异性最好，敏感度最差的方法是（）A.直接法B.间接法C.补体法D.双标记抗体法E.流式细胞技术 [单选]“在台风严重威胁中”，系指船舶于未来（）h以内，遭遇风力可能达到6级以上。A.24B.12C.48D.6 [单选]将二维曲线的段进行等份加点用哪个命令：（）A．DivideB．AttachC．DeleteD．Weld [单选,A1型题]下列哪项脾虚泄泻的特点错误（）。A.食后作泻，时泻时止B.久泻不愈C.肌肉消瘦D.面色红润E.神疲倦怠 [问答题,案例分析题]某拟建工业项目建设投资3000万元，建设期2年，生产运营期8年。其他有关资料和基础数据如下：1．建设投资预计全部形成固定资产，固定资产使用年限为8年，残值率5％，采用直线法折旧。2．建设投资来源为资本金和贷款。其中贷款本金为l800万元，贷款年利率为6％， [单选]含膳食纤维最多的食物是()A．木耳B．魔芋C．海带D．豆渣E．洋葱 [单选]英国经济学家庇古于20世纪初在其《福利经济学》书中建立了一种（）模型，这一模型讨论了劳动关系双方关于工资的集体谈判范围。A.收入分配幅度B.短期工资决定C.效率合约D.帕累托改进 [单选,A型题]属于胞内寄生菌的肠道杆菌是（）A.痢疾杆菌B.大肠杆菌C.伤寒杆菌D.肺炎杆菌E.变形杆菌 [单选]多发的T期膀胱癌，治疗后多次复发并且恶性程度增高，应选择（）A.经尿道肿瘤切除B.经膀胱肿瘤切除C.膀胱部分切除D.膀胱全切除术E.膀胱灌注抗癌药 [单选]下列不属于涉烟案件调查取证方案作用的是（）。A、有利于为决策提供依据，辅助决策，支持处罚B、有利于保证调查取证工作的依法进行C、有利于提高调查取证的效率D、有利于保障执法人员和相对人的人身和财产安全 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关假性甲状旁腺功能减退症与特发性甲状旁腺功能减退症的治疗方法，下列说法正确的是（）。A.假性甲状旁腺功能减退症应给予大量维生素D治疗B.假性甲状旁腺功能减退症不用治疗C.治疗基本相同D.假性者以药物治疗为主，特发性者以手术治疗为主E.以上都不对 [单选,A型题]产气荚膜梭菌区别于其他厌氧菌最有特点的生物学性状是（）A.革兰阳性粗大杆菌B.远端芽胞C.厌氧性D.菌落光滑，有溶血E.分解糖大量产气 [单选]颅底部横轴位MR扫描，图像前部出现半环形无信号区，可能为（）。A.化学位移伪影B.金属异物伪影C.卷褶伪影D.截断伪影E.搏动伪影 [多选]施工现场选择水源的基本原则是（）。A.就近选用企业废水B.选用天然水源C.企业、工厂的正式供水管道D.就近选用海水E.利用附近居民区或正式供水管道 [单选]以下招聘方法中不属于外部招聘的是（）。A.员工推荐B.猎头公司C.职位转换D.就业机构介绍 [填空题]铬酸洗液的主要成分是（）（）和（），用于去除器壁残留（），洗液可重复使用. [单选]在OSI模型中，传输层为第（）层A.3B.4C.6D.7 [单选,A1型题]婚前医学检查，对确诊患有严重遗传病不宜生育者正确的处理方法是（）A.不能结婚B.可以结婚，但需要采取长效避孕措施或者实施结扎手术C.可以结婚，但需提交书面声明，保证不生育D.可以结婚，但必须符合晚婚规定E.《婚姻法》未明确规定禁止结婚的，可以结婚 [单选]患者，女性，56岁，半月前出现左肩外侧疼痛，疼痛时与活动有明显关系，半个月来疼痛逐渐加重，范围扩大，不能外展及前屈，后伸，牵涉到上臂中段，体检时，可见三角肌轻度萎缩，肩部有明显的压痛点，肩关节活动明显受限。最可能的诊断是（）A.胸廓上口综合征B.肩周炎C.肩关节 [单选,A1型题]NK细胞通过ADCC作用杀伤靶细胞需要（）A.补体B.抗体C.细胞因子D.MHC分子E.TCR [单选]溃疡性结肠炎维持治疗的正确方案是()A．最小剂量的激素1～2年；B．最小剂量的激素半年C．SASP1～2g/d或相当剂量的5-ASA，2年D．SASP1～2g/d或相当剂量的5-ASA，半年E．Inf1iximab3个月 [问答题,简答题]电力机车牵引缓冲装置的主要作用是什么？ [单选]以下哪种行为可以称为项目？（）A．开班会B．给新计算机安装操作系统及相关软件C．设计一种新型的自行车D．生产一批新型的自行车 [单选]公共产品具有的鲜明特点，包括：非排他性和（）。A.非竞争性B.竞争性C.信息不对称性D.信息不完全性 [单选,A型题]X线钡餐检查发现胃小弯侧胃壁圆形高密度影，下列哪项提示为良性（）A.位于胃底部B.半月征C.溃疡龛影周围有光滑的环行低密度带D.合并十二指肠壶腹部溃疡E.溃疡位于胃大弯 [单选]关于校异同和校是非，说法错误的是（）。A.校异同在于保证原稿的真实性不被损害B.校是非要求校对者有广博的知识C.校是非和校异同都是为了消灭出版物中的差错D.校是非的功能在于发现并直接改正原稿差错 [单选]《建筑设计防火规范》规定，老年人建筑及托儿所、幼儿园的儿童用房和儿童游乐厅等儿童活动场所宜设置在()。A.公共建筑内B.独立的建筑内C.民用建筑内 [单选,A1型题]能解毒杀虫止痢，消肿，健脾的是（）A.白矾B.硫黄C.大蒜D.雄黄E.蟾酥