连续小波变换应用演示
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第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件
定理及傅里叶变换的性
质）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明（ Weyl ）：假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性，只证明该
t
定理对 u 0时成立。
连续小波变换和离散小波变换.ppt
和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样， 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 （对应高频段） 有更好的尺度分辨率 （即能更精确地确定尺度因子的值） ，大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下：
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波（1910 年由数学家 A. Harr 提出）
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else
2
h(t)=
8.4连续小波变换--案例
这一节主要掌握的知识点： 1、了解连续小波系数的表达形式。 2、掌握连续小波变换的计算方法。 3、掌握连续小波变换程序的编程方法。
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连续小波变换--案例
案例-2、有不同时段不同频率的信号组成了分时段信号，在t=0~1.28s时段， 频率为15Hz，t=1.28~2.56s时段，频率为30Hz，t=2.56~3.84s时段，频率为 60Hz，t=3.84~5.12s时段，频率为90Hz，振幅均为1cm，其时间的交接点分 别为1.28s，2.56s，3.84s，数学表达式为
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=500Hz，采样点数为N＝2560，则Δt=1/fs，采样 时长T=5.12s，生成的时间历程曲线如图所示：
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
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连续小波变换--案例
原时间历程曲线
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
连续小波变换--案例
局部放大图
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
0 < t < 0.25 0.25 < t < 0.5
分别对其进行傅里叶变换和小波变换，分析其结果有何不同。
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=4000Hz，采样点数为N＝2000，则Δt=1/fs，采样 时长T=0.5s，生成的时间历程曲线如图所示：
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连续小波变换--案例
案例-2、有不同时段不同频率的信号组成了分时段信号，在t=0~1.28s时段， 频率为15Hz，t=1.28~2.56s时段，频率为30Hz，t=2.56~3.84s时段，频率为 60Hz，t=3.84~5.12s时段，频率为90Hz，振幅均为1cm，其时间的交接点分 别为1.28s，2.56s，3.84s，数学表达式为
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=500Hz，采样点数为N＝2560，则Δt=1/fs，采样 时长T=5.12s，生成的时间历程曲线如图所示：
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
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连续小波变换--案例
原时间历程曲线
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
连续小波变换--案例
局部放大图
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
0 < t < 0.25 0.25 < t < 0.5
分别对其进行傅里叶变换和小波变换，分析其结果有何不同。
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=4000Hz，采样点数为N＝2000，则Δt=1/fs，采样 时长T=0.5s，生成的时间历程曲线如图所示：
第6章连续小波变换
2009-5-19
D4尺度函数与小波
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
清华大学计算机系 孙延奎
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器
bior2.2, bior4.4
请问二维高斯小波的定义是什么？画出其图形。
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
6. Marr小波 （也叫墨西哥草帽小波）
ψ (t) = 2 (1 − t2 )e−t2 / 2 3π
ψˆ (ω ) = 2 2 4 π ω e2 −ω2 /2
3
ψ (t)
ψˆ (ω)
特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
10. 二进样条小波
在第7章介绍。
11.Symlet (symN)小波 Symlet小波函数是Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是 对db函数的一种改进。 Symlets小波系通常表示为 symN(N=2,3,…,8)
12. Coiflet (coifN)小波 根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有 CoifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。 Coiflet的小波函数的2N阶矩 为零，尺度函数的2N-1阶矩为零。其小波函数与尺度函数的支撑 长度为6N-1, 具有比dbN更好的对称性。
连续小波变换
0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
连续小波变换CWT以及MATALB例程
2.4 尺度和频率之间的关系
Fc Fa a
a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心 频率； Fa为伪频率。
2.5 应用实例
例已知一信号f(t)＝3sin(100t)＋2sin(68t)＋5cos(72t)，且该信号 混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、 1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1， length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图所示。
为了在频域上有较好的局域性要求随a的减小而迅速减小所以这就要求连续小波变换的再生核尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过渡完全基小波展开系数之间有相关关系采用如下描述1cwt系数具有很大的冗余计算量比较大2
连续小波变换（CWT）
以及MATALB例程
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。 小波的可容许条件：
R
1 da f (t ) WT f (a, ) a , (t )d 逆变换公式： 2 0 C a 1 da 1 t WT ( a , ) ( )d f 2 C 0 a a a
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。 (t ) （2）在实际应用中，对基本小波的要求往 () 往不局限于满足容许条件，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 | WT f (a, ) | 出较好的局域性能。为了在频域上有较好 的局域性，要求 (t ) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0， p 且n值越高越好。 t (t )dt 0, p 1 ~ n, 且n值越大越好。 即：
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
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自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
第七章 连续小波变换
2 2 1 2 3 ˆ 2 1 cos v 3 1 2 4 2 3 3 2 2 4 0 3
t
ˆ ( )
常用的基本小波
f t 的高频成分需用尺度较小的分析小波。
这时时间窗会自动变窄，并在高频区域对 信号进行分析。
0 a1 a2
小波时频分析
• “恒Q性质”： 小波函数a,b(t)的频率具有带通特性，带通滤波 特性的品质因数Q为
Q
*/ a
2ˆ / a
*
2ˆ
各种变换的比较
小波变换的特性 Fourier变换变换的特性 分解种类：频率 分析函数：正弦函数，余弦函数 变量： 频率 信息：组成信号的频率 适应场合：平稳信号 分解种类：时间-尺度或时间-频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号
常用的基本小波
7. Meyer小波
它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：
sin v 3 1 2 4 2 2 3 3 1 i 3 4 8 ˆ 2 2 e 2 cos v 1 3 3 2 4 2 , 8 0 3 3 v t t 4 35 84t 70t 2 20t 3 t 0,1
连续小波变换的逆变换
逆变换存在的可能性： • 窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复 出信号的信息。 • 连续小波变换结果有很大的冗余度。 以a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： • 假设 f(t)、(t) L2(R)：
t
ˆ ( )
常用的基本小波
f t 的高频成分需用尺度较小的分析小波。
这时时间窗会自动变窄，并在高频区域对 信号进行分析。
0 a1 a2
小波时频分析
• “恒Q性质”： 小波函数a,b(t)的频率具有带通特性，带通滤波 特性的品质因数Q为
Q
*/ a
2ˆ / a
*
2ˆ
各种变换的比较
小波变换的特性 Fourier变换变换的特性 分解种类：频率 分析函数：正弦函数，余弦函数 变量： 频率 信息：组成信号的频率 适应场合：平稳信号 分解种类：时间-尺度或时间-频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号
常用的基本小波
7. Meyer小波
它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：
sin v 3 1 2 4 2 2 3 3 1 i 3 4 8 ˆ 2 2 e 2 cos v 1 3 3 2 4 2 , 8 0 3 3 v t t 4 35 84t 70t 2 20t 3 t 0,1
连续小波变换的逆变换
逆变换存在的可能性： • 窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复 出信号的信息。 • 连续小波变换结果有很大的冗余度。 以a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： • 假设 f(t)、(t) L2(R)：
第2讲 连续小波变换
现在用连续小波变换来处理同样的信号。 % 连续小波变换 figure % 用 db3 小波作母小波函数（如下图形） ，尺度 a 分别为 1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3. coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); figure % 连续小波变换的三维图形 coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); 下方左图是右图的俯视图。
Ylabel('幅值'); Xlabel('时间'); title('原始信号'); y=fft(f,1024); % DFT 有 1024 个采样点 p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度'); ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值 subplot(322);plot(ff,p(1:512)); Ylabel('功率谱密度'); Xlabel('频率'); title('信号功率谱图');
* *
是 的 Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。
2.1.5 定理 乘积 2t 2 是一个不依赖于 a 和 b 的常数。 证明：事实上， a , b 与 有相同的 L2 范数：
小波变换及其在图像处理中的典型应用PPT课件
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的某些特征， 如边缘、纹理等。
小波变换可以将图像分解为不同频率的子图像，通过调整 小波系数，可以突出或抑制某些特征。增强后的图像可以 通过小波逆变换进行重建，提高图像的可视效果。
感谢您的观看
THANKS
实现方式
通过将输入信号与一组小波基函 数进行内积运算，得到小波变换 系数，这些系数反映了信号在不 同频率和位置的特性。
特点
一维小波变换具有多尺度分析、 局部化分析和灵活性高等特点， 能够有效地处理非平稳信号，如 语音、图像等。
二维小波变换
定义
二维小波变换是一种处理图像的方法，通过将图像分解成不同频率和方向的小波分量， 以便更好地提取图像的局部特征。
实现方式
02
通过将小波变换系数进行逆变换运算，得到近似信号或图像的
原始数据。
特点
03
小波变换的逆变换具有重构性好、计算复杂度低等特点，能够
有效地恢复信号或图像的原始信息。
03
小波变换在图像处理中的 应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少 存储空间和传输带宽的需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率 的子图像，保留主要特征，去除冗余 信息，从而实现图像压缩。压缩后的 图像可以通过解压缩还原为原始图像。
图像融合
利用小波变换将多个源图像融合成一个目 标图像，实现多源信息的综合利用。
通过小波变换将多个源图像分解为不同频 率的子图像，根据一定的规则和权重对各个 子图像进行融合，再通过逆变换得到融合后 的目标图像。图像融合在遥感、医学影像、 军事侦察等领域有广泛应用，能够提高多源
信息的综合利用效率和目标识别能力。
连续小波变换定义与特性PPT课件讲义
“容许性”条件：
若： L2,且满足条件：
ˆ ( ) 2
c :
d
则称为基小波, c为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着：
ˆ（0）＝0
即： (t)dt 0 （振荡性）
对“容许性”条件的分析：
2.
为了“基小波”能提供一个局部的时频窗口， 我们还得要求满足：
t (t) L2,ˆ () L2
c1 2 1 ˆ 1() ˆ 2 () d
则：
－
[
－
f
,
1 b,a
2 b,a
,
g
da a2
db
c
1
,
21
f,g
对所有的f , g L2成立，并且对于f L2和f的连续点x R，有
f (x)
1 c 1 , 21
－
－
f
,
1 b,a
2 b,a
da a2 db
常见的基小波
Haar小波
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，它定义了一个连续小波变换W ( f )(b, a),则：
－
[W
－
(
f
)(b,
a)
________________
W (g)(b, a)
da a2
db
c
f,g
对所有的f , g L2成立，并且对于f L2和f的连续点x R，有
f
(x)
1 c
－
[W
－
c f , g
小波重构定理的证明：
对
－
[W
－
(
f
)(b,
现代信号处理第6章连续小波变换
分形
小波
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
设离散信号 是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度N Δ为Δ的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为 :
由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δ t，所以上式的极限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格，k∈Z+，令
6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。 小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度 由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。
6.1.4 谐波小波滤波
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m，当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析
谐波小波的定义及正交性
谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
谐波小波的定义及正交性
小波
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
设离散信号 是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度N Δ为Δ的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为 :
由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δ t，所以上式的极限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格，k∈Z+，令
6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。 小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度 由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。
6.1.4 谐波小波滤波
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m，当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析
谐波小波的定义及正交性
谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
谐波小波的定义及正交性
小波变换课件 第6章 连续小波变换
第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ，并且ˆ(0)0ψ=，既()0t dtψ+∞-∞=⎰，则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭（6-1） 称为,()a b t ψ小波函数，简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量：1） a 为尺度因子，b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度，b 反映了小波在t 轴上的平移位置，小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩，,a b 不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3）一般，尺度因子0a >，作用是使小波()t ψ做伸缩，a 越大，()t aψ越宽，既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等，既2,()a b t ψ2()t ψ=（保范性质）。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ，且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰（6-2） 则称()t ψ为允许小波，上式为允许条件。
由c ψ<+∞知，ˆ(0)0ψ=，既()0t dt ψ+∞-∞=⎰，因此允许小波一定是基本小波；反之，若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>，且ˆ(0)0ψ=，其中c 是一个常数，则式（6-2）成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波，,()b a t ψ是连续小波函数，对于()f t 2()L R ∈，其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= （6-3）其中，0a ≠,b 、t 均为连续变量，*()t ψ表示()t ψ的共轭。
第2章2.6连续小波变换应用演示2015秋修
函数的连续小波变换
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
（2）正弦函数的连续小波变换
1
0.5
0
-0.5
-1
0
100
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 20 30 40 50 60 ... 80 70 60
Wf (a，b－τ)
(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)， 则f(ct)的小波变换为
1 c
W f (ca, cb)
c>0
(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平 移参数b的连续小波变换之间是自相似的。 (5)冗余性：连续小波变换把一维信号变换 到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表 述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公 式不是唯一的。
小波变换在不同的ab之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难因此小波变换的冗余度应尽可能减小它是小波分析中的主要问题之一
第2章 §2.6连续小波变换应用演示 1.连续小波变换性质
(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各 个分量的小波变换之和。 (2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)， 则f(t－τ)的小波变换为
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(4)探地信号的连续小波变换
尺度
50 40 30 20 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
第十一章连续小波变换剖析精品PPT课件
3
Digital Signal Processing
✓Meyer小波
0 8 / 3 or 0 2 / 3
ˆ ()
e j / 2
1
exp
32 3
(
2
1/ 2
8 / 3 )2 ( 4 / 3 )2
e j / 2
4 / 3
e j / 2
1
exp
4 3
▪时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
Digital Signal Processing
▪小波变换的发展 •地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念 •数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
Digital Signal Processing
✓Matlab工具箱中常用小波及其特性比较
Digital Signal Processing
11．3连续小波变换的性质
▪线性性
y(t) x1(t) x2 (t)
▪时移不变性
WTy (a, ) WTx1 (a, ) WTx2 (a, )
✓尺度伸缩平移窗函数的特性 ▪尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小 ▪尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大 ▪分析窗的时间——带宽乘积等于常数 ˆa, 常数
Digital Signal Processing
例， (t) (1 t 2 )et2 / 2
a ,
(t)
1
(t
a
)2
( t
ea
Digital Signal Processing
小波基本理论及应用PPT课件
小波变换通过选取不同的小波基函数， 对信号进行多尺度分解，得到信号在 不同尺度和频率上的系数，这些系数 可以反映信号在不同时间和频率上的 特征。
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用广泛，可 以用于信号的降噪、压缩、识别和分类
等。
模式识别
小波变换可以用于模式识别中的特征 提取和分类器设计，如人脸识别、语
小波基本理论及应用ppt课 件
目录
• 小波理论概述 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换在其他领域的应用
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的函数，其时间窗和频率窗都可以改变，且在时间域和频率域 都具有很好的局部化特性。
在信号处理中，通过调整小波变换的尺度和平移参数，可 以得到信号在不同时间和频率下的局部信息，从而更好地 理解信号的特征和性质。
03
小波变换的算法实现
一维小波变换算法
一维小波变换算法是实现小波变换的基本方法之一，它通过对一维信号进行多尺度分析，将信号分解 成不同频率和不同时间分辨率的成分。
一维小波变换算法可以分为连续小波变换和离散小波变换两种，其中离散小波变换在实际应用中更为广 泛。
量子纠缠的检测
小波变换可以用于检测量子纠缠，有 助于理解和应用量子纠缠的性质。
量子计算中的优化问题
小波变换可以用于优化量子计算中的 某些问题，提高量子计算的效率。
量子模拟中的近似方法
小波变换可以用于近似求解某些量子 模拟问题，提供一种有效的近似方法。
在金融领域的应用
金融数据分析
小波变换可以用于金融数据分析，如股票价 格、外汇汇率和商品价格等的分析。
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用广泛，可 以用于信号的降噪、压缩、识别和分类
等。
模式识别
小波变换可以用于模式识别中的特征 提取和分类器设计，如人脸识别、语
小波基本理论及应用ppt课 件
目录
• 小波理论概述 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换在其他领域的应用
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的函数，其时间窗和频率窗都可以改变，且在时间域和频率域 都具有很好的局部化特性。
在信号处理中，通过调整小波变换的尺度和平移参数，可 以得到信号在不同时间和频率下的局部信息，从而更好地 理解信号的特征和性质。
03
小波变换的算法实现
一维小波变换算法
一维小波变换算法是实现小波变换的基本方法之一，它通过对一维信号进行多尺度分析，将信号分解 成不同频率和不同时间分辨率的成分。
一维小波变换算法可以分为连续小波变换和离散小波变换两种，其中离散小波变换在实际应用中更为广 泛。
量子纠缠的检测
小波变换可以用于检测量子纠缠，有 助于理解和应用量子纠缠的性质。
量子计算中的优化问题
小波变换可以用于优化量子计算中的 某些问题，提高量子计算的效率。
量子模拟中的近似方法
小波变换可以用于近似求解某些量子 模拟问题，提供一种有效的近似方法。
在金融领域的应用
金融数据分析
小波变换可以用于金融数据分析，如股票价 格、外汇汇率和商品价格等的分析。
连续小波变换
mk t (t )dt
k
d
k
0
（重新审视）
连续小波变换
小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类
小波及连续小波变换
设函数 ，则称
ˆ (0) 0 ，即 (t )dt 0 t L1 (R) L2 (R) ，并且
(5)(奇偶性) WP [ Pf ](a, b) (W f )(a,b) 其中P是反射算子(奇偶算子) ( Pf )(t ) f (t ) (6)(反线性性)
(7)(小波平移) (8)(小波伸缩)
(W f )(a, b) (W f )(a, b) (W f )(a, b)
1
2
3
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 （7-5）小波滤波器:
4 q2 3 p 0 8 q2 2 2 4 q2 5 q2 1 p1 8 q2 2 4 q2 1 p2 16q2 4 2 4 q q2 2 p 3 2 8 q2 q0 1 2q2 1 q1 2
bior2.2, bior4.4
h
1 1 1 3 1 1 , , , , 2 8 2 4 2 8
1 3 3 5 5 5 3 3 , , , , , , 2 16 4 16 2 16 4 16
h
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
pn 2 hn , qn 2hn
ˆ (0) 0 几乎是等价条件. 允许条件与
1 f (t ) c
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2. 例子
例3.5.1 已知一信号f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋ 5cos(72pt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小 波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、…、 3。其MATLAB程序如下：
t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图1.11所示。
40
50
60
70
80
100
200
300
400
500
600
time (or space) b
尺度
(4)探地信号的连续小波变换
图3.5.1
小波变换的系数用图3.5.1所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换系数 的系号，纵坐标表示尺度，灰度颜色 越亮，表示系数的值越大。
3.连续小波变换应用演示
（1）函数的连续小波变换
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
（1）
0
100
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 ...
第2章 §2.6连续小波变换应用演示 1.连续小波变换性质
(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各
个分量的小波变换之和。
(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，
则f(t－t)的小波变换为
Wf (a，b－t)
(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，
则f(ct)的小波变换为
100
200
300
400
500
600
time (or space) b
尺度
(3)白噪声的连续小波变换
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 80 70 60 50 40 ... 20
30
1 c
Wf
(ca, cb)
c0
(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平 移参数b的连续小波变换之间是自相似的。
(5)冗余性：连续小波变换把一维信号变换 到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表 述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公 式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接 反映，它主要表现在以下两个面：
①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是 唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构 不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变 换是一一对应的。
②小波变换的核函数即小波函数ya，b(t)存在许
多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交 小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。
小波变换在不同的(a，b)之间的相关 性增加了分析和解释小波变换结果的 困难，因此，小波变换的冗余度应尽 可能减小，它是小波分析中的主要问 题之一。在MATLAB中，可以用cwt 函数实现对信号的连续小波变换。
20
函数的连续小波变换
30
40
50
60
70
80
100
200
300
400
500
600
time (or space) b
尺度
（2）正弦函数的连续小波变换
1
0.5
0
-0.5
-1 0
80 70 60 50 40 30 20
100
200
400
500
600
700
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 20 30 40 50 60 ...