第六章工程材料课后习题

6-4 .........................................................................................................................................................2
=
2l 3
:
l 3
M 2 = 2M1
6-6 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试用奇异函数法计算截面 B 的转角与截面 C
的挠度。
(a)解：1.求支反力
题 6-6 图
∑ ∑ 由梁的平衡方程 M B = 0 和 Fy = 0 可得
FAy
=
Me 2a
(↑)，FBy
=
Me 2a
(↓)
2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
6-15 .....................................................................................................................................................13
q 6
<
x
−
a
>3
+C
(a)
EIw
=
qa 8
x3
−
q 24
x4
+
q 24
<
x
−
a
>4
+Cx
+
D
(b)
3．确定积分常数
该梁的位移边界条件为：
在 x = 0 处， w = 0
(c)
在 x = 2a 处， w = 0
(d)
将条件(c)、(d)分别代入式(b)，得
D
=
0， C
=
−
3qa 3 16
4．建立挠曲轴方程
6-12 .....................................................................................................................................................11
6-28 .....................................................................................................................................................24
6-8 .........................................................................................................................................................8
6-14 .....................................................................................................................................................11
第六章 弯曲变形
题号
页码
6-2 .........................................................................................................................................................1
6-24 .....................................................................................................................................................19
3
自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
M
=
Me 2a
x − Me
<
x−a
>0
挠曲轴的通用近似微分方程为
EI
d2w dx 2
=
Me 2a
x
− Me
<
x
−a
>0
将其相继积分两次，得
EI
dw dx
=
Me 4a
x2
− Me
<
x−a
>
+C
(a)
EIw
=
Me 12a
x3
−
Me 2
<
x − a >2
+
q 24
(
x
−
a)
4
3qa 3 − 16
x]
5．计算 wC 和 θB
将 x = a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
wC
=−
5qa 4 48EI
(↓)
将以上所得 C 值和 x = 2a 代入式（a），得截面 B 的转角为
θB
=
1 EI
[ 3q8a
(2a)2
−
q 6
(2a)3
6-18 .....................................................................................................................................................16
qa
(↑)
2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
M
=
3qa 4
x−
q 2
x2
+
q 2
<
x
−a
>2
挠曲轴的通用近似微分方程为
EI
d2w dx 2
=
3qa 4
x
−
q 2
x2
+
q 2
<
x
−
a
>2
将其相继积分两次，得
EI
dw dx
=
3qa 8
x2
−
q 6
x3
+
6-9 .......................................................................................................................................................10
6-29 .....................................................................................................................................................25
wC = 0
4
将以上所得 C 值和 x = 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为
θB
=
1 EI
( 4M ea2 4a
−
M ea
−
M ea ) 12
=
−
Mea 12EI
(3)
(b)解：1.求支反力
∑ ∑ 由梁的平衡方程 M B = 0 和 Fy = 0 可得
FAy
=
3 4
qa
(↑)，
FBy
=
1 4
6-16 .....................................................................................................................................................14
+
3Fa 2
<
x−a
>0
+F
<
x
− 2a
>
挠曲轴的通用近似微分方程为
EI
d2w dx 2
=
Fa 2
−
Fx +
3Fa 2
<
x
−a
>0
+F
<
x
− 2a
>
将其相继积分两次，得
EI
dw dx
=
Fa 2
x−
F 2
x2
+
3Fa 2
<
x−a
>
+
F 2
<
x − 2a
>2
+C
(a)
EIw
=
Fa 4
x2
−
F 6
6-22 .....................................................................................................................................................18
6-6 .........................................................................................................................................................3
解：解法 1，常规解法 1．建立弯矩方程
左端 A 的支反力为
题 6-4 图
FAy
=
M1
+ M2 l
(↑)
自左端向右取坐标 x ，弯矩方程为
M (x)
=
M1
+ l
M2
x
−
M1
2．建立挠曲轴近似微分方程
EI
d2w dx 2
=
M (x)
=
M1
+ l
M2
x−
M1
2
依题意，在 x = l / 3 处有拐点，即 w′′ = 0 ，于是，
(M1
+ l
M2
)
l 3
−
M1
=
0
由此得
M 2 = 2M1
解法 2，简便解法
分析本题的弯矩图:左端为 − M1 ，右端为 + M 2 ，将这两个端值点连线，即得到 M 图，
示如图 6-4。 M (x) = 0 的点为拐点，依题意，此点应在 x = l / 3 处，由几何上的比例关系
直接得到
M2
:
M1
6-26 .....................................................................................................................................................20
6-20 .....................................................................................................................................................17
x3
−
Me 2
<
x−a
>2
−
Mea 12
x]
由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为
w1
=
1 EI
(Me 12a
x3
−
来自百度文库
M ea 12
x)
和
w2
=
1 EI
[Me 12a
x3
−
Me 2
(x − a)2
−
M ea 12
x]
5．计算 wC 和θ B
将 x = a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)
6-2 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的
大致形状。
题 6-2 图 解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图 6-2。
1
6-4 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为 M1 与 M2 的力偶。如欲使挠曲
轴的拐点位于离左端 l/3 处，则力偶矩 M1 与 M2 应保持何种关系。
将所得 C 、 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
w
=
1 EI
[
qa 8
x3
−
q 24
x4
+
q 24
<
x
−a
>4
−
3qa 3 16
x]
由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为
w1
=
1 EI
(
qa 8
x3
−
q 24
x4
−
3qa 3 16
x)
和
5
w2
=
1 EI
[ qa 8
x3
−
q 24
x4
6-25 .....................................................................................................................................................19
+
q 6
(2a
−
a)3
−
3qa3 16
]
=
7qa3 48EI
(4)
(c)解：1.求支反力
∑ ∑ 由梁的平衡方程 Fy = 0 和 M A = 0 可得
FAy = F (↓)，
MA
=
1 2
Fa
( 3)
2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
M
=
Fa 2
−
Fx
+Cx + D
(b)
3．确定积分常数
该梁的位移边界条件为：
在 x = 0 处， w = 0
(c)
在 x = 2a 处， w = 0
(d)
将条件(c)代入式(b)，得
D =0
将条件(d)代入式(b)，得
C
=
−
Mea 12
4．建立挠曲轴方程
将所得 C、D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
w=
1 [Me EI 12a
6-27 .....................................................................................................................................................22