控制约束满足如下不等式约束

方法二：奇异最优控制
最优指标 状态变量x 可能存在奇异弧，即
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控制输入 u
H 中的
H 1 2 0 u
d H x 0 1 2 1 1 dt u
1 2 H x1 1 x 2 (1 2 )u C (常数 ) 2
题4-24 已知二阶受控系统 1 x2 (t ) u (t ) x 极小值原理 2 u (t ) x 控制约束满足如下不等式约束
u(t ) k
试分别求 t f 固定和自由的最优控制，使系统由已知 , x2 (0) x20 转移到坐标原点。且使性 初态 x1 (0) x10 能指标 1 tf 2
讨论固定情形
J
2
0
x1 (t )dt
取极小
方法一：讨论边界
状态方程
运动轨线
代入终端条件
由于
则
t f 自由？
最优相轨迹
u (t ) {k , k}
方法一缺陷
1.给定条件无法同时满足
2.假设bang-bang控制形式为本问题的最优控制，为此，必须保证系统无 奇异，则
3.bang-bang控制形式是否为本问题的最优控制？由极小值原理知：通过 选取c3,c4，实现相平面上的：R+和Y+有 ， R-和Y-有
确定哈密顿函数H的常数值C，进而确定转移状态
e H 2D 2t f 2 (1 e )
2
2t f
D x10 x20
2C x1 (0 ) 2 t f 1 e C x2 (0 ) tan Ht f
仿真验证
J min1 152
结论
J min 2 30.03
典型的最优控制包括Bang-Bang控制和奇异控制。初 态和末态可以是 x1 x2 相平面上的任何点，在这种 情况下还不能预断最优解中是否包括奇异弧。然而， 若末态指定为坐标原点，则对很多初态来说，最优 控制既包括Bang-Bang弧段，又包括奇异弧段。
典型的最优轨线由三段组成：
此处假设 k 讨论（控制的幅度为无穷大，持续时间为无穷小）
dx2 u dx1 x2 u dx2 lim 1 u dx 1 dx2 lim 1 u dx 1
在奇异孤上，由状态方程解得
x1 (t ) x1 (0 )e t 奇异弧在 t t f 时刻到达直线 x1 x2 0，由此条件
单参数曲线簇
现在进一步利用条件
d2 dt 2 H x u x 0 1 x 1 2 1 u
此即奇异弧上的最优控制，它是状态的线性反馈。
u ( x1 x2 )
t f 固定时，常数C取决于初态的非零值。奇异弧是
不通过原点双曲线，不是最优轨线的最后一段弧线。