控制约束满足如下不等式约束
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
最优控制的计算方法
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
最优控制笔记整理
1.性能指标按其数学形式可分为如下三类：1)积分型性能指标L[x(),(),]ft t J t u t t dt =⎰拉格朗日问题。
2）终值型性能指标[x(),]f f J t t ϕ=这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。
这样的最优控制问题为迈耶尔问题。
3）复合型性能指标[x(),]L[x(),(),]ft f f t J t t t u t t dt ϕ=+⎰这样的最优控制问题为波尔扎问题。
通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。
2.按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：1：最小时间控制01ft f t J t t dt =-=⋅⎰2：最小燃料消耗控制|()|ft t J u t dt =⎰控制量u(t)与燃料消耗量成正比3：最小能量控制2()ft t J u t dt =⎰控制函数u 2(t)与所消耗的功率成正比3. J(x)取极小值的充分条件为正定(>=0) ，反之则极大4. J(x)取极值的必要条件为：欧拉方程0Ld L xdtx∂∂∂∂-=横截条件5. t 0和t f 给定，x(t 0) 或x(t f )未给定时横截条件：（1）给定x(t 0) 或x(t f )222222L L x xx L L x xx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦横截条件为：x(t 0)=x 0或x(t f )=x f (2)自由x(t 0) 或x(t f )00L t x∂∂= 或0f Lt x∂∂= 那个自由（为给定），那个偏导为0.6. 始端时刻t 0给定， x(t 0)固定或约束；而终端时刻t f 自由，终端状态x(t f )自由或约束,x(t)不受任何方程约束时的横截条件：7.当x(t)受状态方程约束时，设系统状态方程：(,,)x f x u t = 性能指标：0[(),](,,)ft f f t J x t t F x u t dt ϕ=+⎰满足极值所需条件： H=L+T λ f（1）欧拉方程(伴随方程) H xλ∂=-∂ （2）状态方程H xλ∂=∂ （3）控制方程0Hu∂=∂ （4）横截条件：初始时刻t 0及始端状态x(t 0)给定t f 自由终端x(t f )自由或者约束 ； 若x(t f )自由则无N 方程，若x(t f )固定则无()f t λ方程8. 极小值原理设系统的状态方程为()[(),(),]xt f x t u t t = 控制u(t)满足不等式约束: [(),(),]0G x t u t t ≥ 末端约束：[(),]0ff N x t t =f()()[ff t t N H t t ϕμ=∂+=-∂()()[t f f t f N t x ϕμλ∂+=∂（）性能指标：0[(),]L [(),(),]ft f f t J x t t x t u t t dt ϕ=+⎰求解过程：(1).沿最优轨线满足正则方程()T H xH G x x λλ∂=∂∂∂=--Γ∂∂(2)横截条件及边界条件:(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H 函数取绝对极小值,即：9.设离散系统的状态方程为:)1,,2,1,0(]),(),([)1(-==+N k k k u k x f k xk 表示时刻t k ,终端时刻t f =t N .设初始状态x(0)=0,终端时刻t N 给定,终端状态x(N)自由.系统性能指标为: ∑-=+=1]),(),([]),([N k k k u k x L N N x J ϕ要求寻找最优控制u*(k),使性能指标J 为极小. 求解过程：（1）列出哈密顿函数)1,,2,1,0(]),(),([)1(]),(),([]),1(),(),([-=++=+N k k k u k x f k k k u k x L k k k u k x H Tλλ（2）正则方程1,,2,1,0,)1(]),1(),(),([)1(1,,2,1,0,)(]),1(),(),([)(-=+∂+∂=+-=∂+∂=N k k k k k u k x H k x N k k x k k k u k x H k λλλλ（3）边界条件与横截条件:)(]),([)(0)0(N x N N x N x ∂∂==ϕλ（4）控制方程:00(()[]([(,,,)]0()[(),]0f f ft t t t f f N t xN H x u t t x t x N x t t ϕμλϕμλ==∂+=∂∂++=∂==））*****(,,,)(,,,)H x u t H x u t λλ≤()TH G u u ∂∂=-Γ∂∂无这个方程1,,2,1,0,0)(]),1(),(),([-==∂+∂N k k u k k k u k x H λ当u(k)有不等式约束时]),1(),(),([min ]),1(),(),([**)(***k k k u k x H k k k u k x H k u +=+Ω∈λλ。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种求解多元函数在一定约束条件下的极值的方法。
它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，并对扩展目标函数进行极值求解。
在介绍拉格朗日乘子法之前，我们先来了解一下不等式约束的基本概念。
不等式约束通常表示为g(x)≤0的形式，其中g(x)是一个函数，称为不等式约束函数。
而不等式约束的解集则是满足条件g(x)≤0的所有解的集合。
接下来我们将讨论如何通过拉格朗日乘子法，求解一个多元函数在一定不等式约束条件下的极值。
设有一个多元函数f(x₁, x₂, ..., xn)，并且存在不等式约束条件g(x)≤0。
我们的目标是找到使得f(x)在满足约束条件下取得极值的点x₀。
首先，我们将约束条件和目标函数进行如下的转化：定义拉格朗日函数L(x, λ) = f(x) + λg(x)，其中λ是拉格朗日乘子。
然后，我们构建一个新的函数Φ(x, λ) = max[L(x, λ)]，通过求解该函数的极值问题来求得原函数f(x)在约束条件下的极值。
Φ(x, λ)的求解可以通过以下步骤进行：1.计算函数L(x, λ)对x和λ的偏导数。
∂L/∂x = (∂f/∂x) + λ(∂g/∂x) = 0∂L/∂λ = g(x) = 02.将上述方程组与约束条件联立，得到一个方程组。
(∂f/∂x) + λ(∂g/∂x) = 0g(x) = 03.解此方程组，求得x₀和λ₀。
4.将x₀和λ₀代入f(x)中，计算出f(x₀)。
5.检验f(x₀)是否为约束条件下的极值。
若f(x₀)是一个局部最小值或最大值，并且满足约束条件g(x)≤0，则x₀为约束条件下的极值点。
通过以上步骤，我们可以求得多元函数在不等式约束条件下的极值点。
需要注意的是，拉格朗日乘子法只能求解约束条件为不等式的情况，对于等式约束条件的情况则需要使用KKT条件进行求解。
总结起来，拉格朗日乘子法是一种求解多元函数在约束条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，并通过求解扩展目标函数的极值问题来求得原函数在约束条件下的极值。
第十章_具有约束的最优控制问题
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
T
例2 解以下最优控制问题：
最大化 0 1 dt y yu 满足
y (0) 5 y ( T ) 11 T 自由
T
和
u ( t ) [ 1,1]
它具有一个受约束的控制变量，该控制集合可视为 两个不等式约束：
1 u (t ) 和 u (t ) 1
汉密尔顿函数： H 拉格朗日函数：
u
对于所有 t [ 0 , T ]
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
(t ) 常数
( T ) 0 [ 横截条件 ]
四、不等式积分约束 T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt y f (t, y , u ) 满足
y H H
u
F (t, y , u ) f (t, y , u ) G (t, y , u )
[ y 的运动方程
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
( T ) 0 [ 横截条件 ]
上页的最大值原理可简化为：
Max H
]
]
( T ) 0 , ( T ) k 0 , ( T )[ ( T ) k ] 0 [ 的横截条件
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
典型例题
典型例题3、对图1所示网络，试采用Tinney-2编号方法重新进行编号，重新形成节点导纳矩阵。
并写出按行存储节点导纳矩阵的上三角非零元的三角检索存储格式。
解：半动态优化法5、、如图所示网络，支路电纳和各节点注入电流在图上标出。
试选节点2，3为边界节点，1为外部节点进行WARD等值，求出边界节点上的等值支路和等值注入电流。
解：1230.30.20.120.20.40.20.50.10.20.3 1.5V V V ⎡⎤---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]11440.40.20.2115150.20.10.20.30.1440.3151550.50.216(2)1.50.150.36BB BB BE EE EBBB BB BE EE E Y Y Y Y Y I I Y Y I --=-⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦6、最优潮流的数学模型如何表达，如何分类？基于内点法的最优潮流属于哪一类？可描述为确定一组最优控制变量ｕ，使目标函数取极小，并满足如下等式和不等式约束：min (,)..(,)0(,)0u c x u s t f x u h x u ⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩分类：按处理约束的方法分类，可分为罚函数类、ＫＴ罚函数类和ＫＴ类； 按修正的变量空间分类，可分为１）同时修正全空间变量，２）只修正控制变量；按变量修正的方向分类：１）梯度类；２）拟牛顿法；３）牛顿法。
基于内点法的最优潮流属于ＫＴ罚函数类，同时修正全空间变量，牛顿法。
9、将联络线连同两个端点一起作为边界，试设计这种分割模式的分解协调计算流程。
解：Ａ子系统 协调层如图，子系统A 和B 通过联络线AB l 互联，现将导纳矩阵按照内部节点在前，边界节点在后的格式写出节点电压方程。
AA AA A A BBBB B B A A A B A A B B B A B B Y Y V I Y Y VI Y Y VI V I Y Y αααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦消去内部节点，得A A A B A A B B A B B B YY I V V Y YI αααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（式７）为协调层等值网络的模型 这里， 11A A A A A A AA A AA A A A AA AY Y Y Y Y I I Y Y I ααααααααα--=-=- ，子系统Ｂ类似。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法摘要：一、拉格朗日乘子法简介1.拉格朗日乘子法的定义2.拉格朗日乘子法的基本思想二、不等式约束问题与拉格朗日乘子法1.不等式约束问题的定义2.拉格朗日乘子法解决不等式约束问题的基本步骤三、拉格朗日乘子法的性质与特点1.拉格朗日乘子法的优点2.拉格朗日乘子法的缺点四、应用案例1.应用背景2.应用过程3.应用结果正文：一、拉格朗日乘子法简介拉格朗日乘子法是一种求解条件最优化问题的方法，由法国数学家拉格朗日于18 世纪提出。
该方法的基本思想是在原目标函数的基础上，引入一组拉格朗日乘子，构成一个新的函数，通过求解新函数的最小值，得到原问题的最优解。
拉格朗日乘子法适用于一类具有约束条件的优化问题，即需要在满足一定约束条件下，使目标函数达到最小值或最大值。
这类问题在实际生活中非常常见，如在经济学、工程设计、物理等领域都有广泛应用。
二、不等式约束问题与拉格朗日乘子法不等式约束问题是一类具有广泛应用的优化问题，其一般形式可以表示为：在满足一定约束条件g(x)≤0 的情况下，寻找使目标函数f(x) 最小化的x 值。
拉格朗日乘子法解决不等式约束问题的基本步骤如下：1.构建拉格朗日函数：在原目标函数的基础上，引入一组拉格朗日乘子λ，构成一个新的函数L(x,λ)，其中x 为决策变量，λ为拉格朗日乘子。
2.求解拉格朗日函数的极小值：求解拉格朗日函数L(x,λ) 关于x 和λ的偏导数，并令其为0，得到一组方程组。
通过求解这组方程组，可以得到拉格朗日函数的极小值点。
3.判断极小值点是否为原问题的最优解：将求得的极小值点代入原目标函数和约束条件，判断是否满足约束条件。
如果满足，则该点为原问题的最优解；否则，继续调整拉格朗日乘子λ，重复上述过程，直到找到满足约束条件的最优解。
三、拉格朗日乘子法的性质与特点拉格朗日乘子法具有以下性质和特点：1.优点：拉格朗日乘子法能够处理一类具有广泛应用的不等式约束问题，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个新函数的极小值问题，从而得到原问题的最优解。
最优控制_2
u (t ) 为p维控制向量,在[t0,tf] 上分段连续
f ( x (t ), u (t ), t ) 为n维连续向量函数, 对x和t连续可微
⎡ f1(x(t),u(t),t)⎤ ⎡ f1(x1(t), x2 (t)Lxn (t),u1(t),u2 (t)Lup (t),t)⎤ ⎢ f (x(t),u(t),t)⎥ ⎢ f (x (t), x (t)Lx (t),u (t),u (t)Lu (t),t)⎥ 2 n 1 2 p ⎥ ⎥=⎢ 2 1 &(t) = f (x(t),u(t),t) = ⎢ 2 x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f x t x t L x t u t u t L u t t ( ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ) f x t u t t ( ( ), ( ), ) ⎥ 2 n 1 2 p ⎣ n ⎦ ⎢ ⎣ n 1 ⎦
无条件约束的泛函极值问题中的边界条件和横截条件列表(表10-1) x(t0)固定 x(tf)固定 x(t0)自由 x(tf)固定 tf固定 x(t0)固定 x(tf)自由 x(t0)自由 x(tf)自由 x(t0)固定 x(tf)自由 tf自由 x(t0)固定 x(tf)约束
x (t 0 ) = x 0
∂L ∂x d − dt ∂L & ∂x
=0
T t0
T ( ∂∂L ) & x t
f
L δx(t f ) − ( ∂ &) ∂x
δx(t0 ) = 0
& , λ , t ) = g ( x, x &, t ) + λT f ( x, x &, t ) L ( x, x
λ (t ) ∈ R n 称为拉格朗日乘子
范里安《微观经济学：现代观点》笔记和课后习题及强化习题详解(显示偏好)【圣才出品】
第7章显示偏好7.1 复习笔记1．总论显示性偏好理论是由P·萨缪尔森提出来的，其基本思路是：消费者在一定价格条件下的购买行为暴露了或显示了他内在的偏好倾向。
因此可以根据消费者的购买行为来推测消费者的偏好。
这是一种不基于“偏好关系（效用函数）→消费者选择”的逻辑思路，而是一个相反的过程，即“消费者选择→偏好关系”。
2．显示偏好原理设消费者在价格为（p1，p2）时购买的商品束为（x1，x2），如果另一个商品组合（y1，y2）满足如下条件：p1x1＋p2x2≥p1y1＋p2y2在这种情况下，若消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品束，即在既定预算下，能够购买商品组合（y1，y2），却最终选择了购买商品组合（x1，x2），则一定有：（x1，x2）≻（y1，y2），这就是显示偏好原理。
3．直接显示偏好假设（x1，x2）是消费者在收入为m时按价格（p1，p2）购买的商品束，并且消费者总是花尽所有的收入，因此有等式形式的预算约束p1x1＋p2x2＝m。
又设（y1，y2）是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这就意味着它满足如下不等式预算约束：p 1x 1＋p 2x 2≥p 1y 1＋p 2y 2。
如果这一不等式成立，且（y 1，y 2）确实是不同于（x 1，x 2）的商品束，就称（x 1，x 2）直接显示偏好于（y 1，y 2），记作：()()1212,,D x x y y如图7-1所示。
可以看出，显示偏好是按某种预算约束下实际需求的消费束和按这种预算能够购买但并未购买的消费束之间的一种关系。
图7-1 直接显示偏好4．间接显示性偏好和无差异曲线（1）间接显示性偏好如果（x 1，x 2）直接显示偏好于（y 1，y 2），（y 1，y 2）直接显示偏好于（z 1，z 2），则称（x 1，x 2）间接显示偏好于（z 1，z 2），记作：()()1212,,I x x z z如图7-2所示。
图7-2 间接显示偏好（2）从显示性偏好到无差异曲线如果消费者的偏好是凸的和单调的，那么可以利用观察到的结果恢复出消费者的无差异曲线。
不等式链的原理及应用
不等式链的原理及应用一、不等式链的定义不等式链是一种数学表示形式，它由多个不等式组成，这些不等式之间通过逻辑运算符连接，形成一个关联的不等式序列。
不等式链常用于解决复杂的实际问题，例如优化、最大化、最小化等。
二、不等式链的基本形式不等式链的基本形式如下：不等式1 运算符A 不等式2 运算符B ... 运算符N 不等式N+1其中，不等式1、不等式2、…、不等式N+1为不等式表达式，运算符A、运算符B、…、运算符N为逻辑运算符，常用的逻辑运算符有“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）等。
三、不等式链的性质与操作规则不等式链具有以下几个性质和操作规则：1.传递性：若不等式1<=不等式2且不等式2<=不等式3，则有不等式1<=不等式3。
2.复合性：若不等式1<=不等式2且不等式2<=不等式3，则有不等式1<=不等式3。
3.加减乘除规则：对于不等式链中的每个不等式，可以进行加减乘除等基本运算，且运算结果不等式的关系符号不变。
4.取等规则：对于不等式链中的每个不等式，若两侧的数值相等，则可以在不等式关系符号上加上“=”。
四、不等式链的应用不等式链在各个领域中具有广泛的应用，以下列举几个实际问题的解决方法：1.最优化问题：通过建立适当的不等式链，可以求解最大值或最小值。
例如，在生产过程中，我们希望通过调整原材料的使用量来使得生产成本最小化，这就是一个最小化问题，可以通过建立一系列的约束条件不等式来进行优化解决。
–不等式1：原材料A的用量≥100–不等式2：原材料B的用量≥200–不等式3：原材料A的用量+原材料B的用量≤5002.约束条件问题：在一些问题中，我们需要满足一定的约束条件，不等式链可以用来描述这些约束条件。
例如，在设计水池时，我们需要控制水位在某个安全范围内，可以通过建立以下不等式链来满足约束条件：–不等式1：水位≥最低安全水位–不等式2：水位≤最高安全水位3.概率问题：在概率论中，我们常常需要处理不等式链来求解概率。
mpc控制器约束条件设计
mpc控制器约束条件设计MPC（Model Predictive Control）是一种重要的控制器设计方法。
在MPC控制器设计中，约束条件的设计是至关重要的，它们对于控制器的性能和稳定性具有重要影响。
首先，MPC控制器的设计目标是在满足系统动态响应和抑制噪声等要求的情况下，使控制对象的状态在约束条件下达到最优。
在MPC控制器中，约束条件是通过将其表示为线性或非线性不等式约束来限制控制变量的值。
其次，MPC控制器的约束条件设计需要考虑以下因素：1. 控制变量的实际操作范围：在确定约束条件时，需要考虑实际操作范围内控制变量的上下限。
这些上下限通常由设备厂家提供，并可以考虑传感器误差和控制器系统误差来进行调整。
2. 控制变量的可变性：控制对象的控制变量通常是随时间变化的，因此约束条件应该是可变的。
这意味着MPC控制器需要针对每个时间步长重新计算约束条件。
3. 约束条件的优先级：在某些情况下，约束条件可能会相互冲突。
例如，在控制温度时，过热和过冷的约束条件可能会冲突。
在这种情况下，可以为约束条件分配优先级，以确保最重要的约束条件始终得到满足。
4. 约束条件的复杂度：约束条件的复杂度会影响MPC控制器设计的难度和计算成本。
因此，应该尽可能简化约束条件的表达式，以便在实时控制中使用。
最后，需要注意MPC控制器约束条件的计算成本。
由于需要在每个时间步长重新计算约束条件，因此必须进行适当的计算和优化，以确保能够在实时控制中处理大量的约束条件，并实现多个目标的优化控制。
总之，MPC控制器约束条件设计是控制器性能和稳定性的关键因素，应该基于实际操作范围、控制变量的可变性、约束条件的优先级和复杂度来进行设计和优化。
同时，还需要考虑计算成本，以确保性能和实时性的平衡。
不等式约束问题
类型
线性不等式约束问题
这类问题的不等式条件是线性不等式，如x + y ≤ 10，x - y ≥ 2等。
非线性不等式约束问题
这类问题的不等式条件是非线性不等式，如x^2 + y^2 ≤ 100，xy ≥ 5等。
不等式约束优化问题
这类问题是在满足不等式约束条件下，寻找一组解使得目标函数达到最优值。
不等式约束极值问题
动态规划方法
动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学优化方法。在不等式约束问题中，动 态规划方法将问题分解为相互关联的子问题，通过求解子问题的最优解得到原问 题的最优解。
动态规划方法适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。常用的动态规划 算法包括递归方法和记忆化搜索方法等。
梯度下降法
梯度下降法是一种基于梯度信息的优 化算法，用于求解无约束优化问题。 在不等式约束问题中，梯度下降法通 过迭代更新搜索方向和步长，逐步逼 近最优解。
详细描述
在资源分配问题中，通常存在一组资源（如人力、物资、资金等）和一组需求或任务，每个任务都有一定的资源 需求，而总的资源量是有限的。目标是根据一定的约束条件（如时间、数量、质量等）和优化目标（如成本、效 益、满意度等）来分配资源，使得整体效益最大化或满足特定条件。
路径规划问题
总结词
路径规划问题是指通过寻找一系列的路径或移动方式，使得满足某些条件或达到某种目标。
参数调整问题
总结词
详细描述
解决方案
参数调整问题是指不等式约束问题的 参数需要进行调整和优化的问题。
在许多实际问题中，不等式约束问题 的参数（如权重、阈值等）需要根据 实际情况进行调整和优化。这需要耗 费大量时间和精力进行实验和调整。
采用实验设计方法，如正交实验、均 匀实验等，快速找到参数调整的范围 和最优值；或采用智能优化算法，如 粒子群算法、遗传算法等，自动调整 参数并寻找最优解。
不等式约束条件解法
不等式约束条件解法不等式约束条件是指在某些情况下，被优化变量需要满足一定的不等式条件。
在一个经济模型中，某些变量的值必须大于等于零，或者小于等于某个固定值。
这些条件称为不等式约束条件。
在数学建模中，经常会出现这样的问题：求某种函数在给定限制条件下的最优解，通常在限制条件下加入不等式约束，以使问题更加真实和现实。
常见的不等式约束条件求解方法有多种，常用的包括线性规划、非线性规划、梯度投影法和拉格朗日乘数法等。
1. 线性规划线性规划是在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解的数学方法。
线性规划在经济学、工程学、管理学、运筹学等领域都有广泛的应用。
线性规划的约束条件通常是不等式约束，其数学表达形式为:$$\left\{\begin{aligned}&\quad Ax\le b \\&\quad x\ge 0\end{aligned}\right.$$A为系数矩阵，b为常数向量，x为变量向量，这些变量需要满足x>=0。
此处约束条件中的不等式为小于等于号。
线性规划的目标函数通常为：c为系数向量，表示要最大化的线性函数。
线性规划求解的基本思想是将问题转化为一个凸优化问题，然后采用各种求解算法进行求解。
f(x)为优化的目标函数，g(x)和h(x)分别为不等式约束和等式约束的约束函数。
非线性规划求解的基本思想是利用数值方法，对目标函数和约束函数进行求解，以获得最优解。
3. 梯度投影法梯度投影法是一种常用的处理带不等式约束的目标函数问题的方法，该方法通过将优化变量的取值范围限制在一定的合理区间内，以确保优化目标函数的最优解满足约束条件。
梯度投影法的基本思想是先对不带不等式约束的目标函数进行求导，在该点处求得函数的梯度，然后将该点的梯度向量投影到合理条件集合S上，得到一个新的点，然后再进行继续求导，并重复上述过程，最终求得目标函数的最小值。
这个过程类似于梯度下降法，在每个步骤中分别处理约束条件，以确保最后得到的解满足约束条件。
最优控制第六章极小值原理
以 w u，w * u*代入上式，便得
H x*, *,u,t H x*, *,u*,t
(35)
上式表明，如果哈密尔顿函数H看成 utU 的
函数，那么最优轨迹上与最优控制u*(t)相对应的
H将取绝对极小值(即最小值)。这是极小值原理的
一个重要结论。
定理 设系统状态方程为
xt0 x0
Nxt f ,t f 0
(48)
这就是著名的极小值原理。
下面对定理作些说明： 1) 定理的第一、第二个条件，即式(41)～式
(44)，普遍适用于求解各种类型的最优控制问题， 且与边界条件形式或终端时刻自由与否无关。其
中，第二个条件：min H x*, *,u,t H x*, *,u*,t uU
(45)
u u
3) H函数在最优轨迹终点处的值决定于
H
Φ
T
N
0
(46)
t f
t f tt f
4) 协态终值满足横截条件
t f
Φ
x
t
f
N T
x t f
tt f
(47)
5) 满足边界条件
J1
Ψ
x T
Ψ x
Φ t f
N T t f
tt f
t f
d xT
tf
Φ
x
N T x
Ψ x
t t
f
wT
Ψ w tt f
zT
Ψ z
tt f
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法【最新版】目录一、引言二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.拉格朗日乘数法的基本思想2.不等式约束与等式约束的差异三、不等式约束的拉格朗日乘数法求解步骤1.构建拉格朗日函数2.梯度方程3.分情况讨论四、总结正文一、引言拉格朗日乘数法作为一种优化算法，主要用于解决条件极值问题。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样适用。
本文将介绍不等式约束的拉格朗日乘数法的基本原理和求解步骤。
二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.拉格朗日乘数法的基本思想拉格朗日乘数法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将条件极值问题转化为求解无约束问题的极值。
在求解过程中，拉格朗日乘子充当了约束条件的替代品，使得求解过程更加灵活。
2.不等式约束与等式约束的差异与等式约束相比，不等式约束在可行域内可能存在多个极值点。
因此，在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法的求解过程需要分情况讨论。
三、不等式约束的拉格朗日乘数法求解步骤1.构建拉格朗日函数首先，根据原始问题，构建拉格朗日函数。
拉格朗日函数包含两部分：目标函数和约束条件的拉格朗日乘子。
2.梯度方程其次，求解梯度方程。
梯度方程描述了目标函数在各个方向上的变化率，是拉格朗日乘数法的核心。
在不等式约束的情况下，梯度方程需要考虑约束条件的影响，分为以下两种情况讨论：（1）极值点在可行域内：此时，极值点满足所有约束条件，梯度方程可以按照无约束问题的求解方法进行求解。
（2）极值点在可行域外：此时，极值点不满足至少一个约束条件，需要根据 KKT 条件求解梯度方程。
KKT 条件是拉格朗日乘数法的重要理论基础，它描述了拉格朗日乘子与梯度之间的关系。
3.分情况讨论根据极值点在可行域内还是可行域外，分别采用不同的求解方法，可以得到拉格朗日乘数法在不等式约束下的解。
四、总结不等式约束的拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的有效方法。
通过引入拉格朗日乘子，将不等式约束转化为求解无约束问题的极值。
现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型
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min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微 难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；
概率密度演化理论差值加密
回忆我们在学习概率论时的经历，随机事件是第一个核心的概念，它定义为可能发生也可能不发生的事件，因此是否发生具有随机性。
例如，抛一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，正面朝上或者反面朝上都是随机事件。
掷骰子，1到6这6种点数都可能朝上，每种点数朝上，都是随机事件。
与每个随机事件a关联的有一个概率值，它表示该事件发生的可能性：p(a)这个概率值必须在0到1之间，22即满足下面的不等式约束：0<=p(a)<=1另外，对于一次实验中所有可能出现的结果，即所有可能的随机事件，它们的概率之和必须为1：这些随机事件不会同时发生，但必须有一件会发生。
例如，对于抛硬币，不是正面朝上就是反面朝上，不会出现其他情况（这里假设硬币抛出去后不会立着），因此有：p(正面朝上)+p(反面朝上)=1很多时候，我们假设这些基本的随机事件发生的概率都是相等的，因此，如果有n个基本的随机事件，要使得它们发生的概率之和为1，则它们各自发生的概率都为：对于抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率各为1/2，对于掷骰子，每个点朝上的概率各为1/6。
对于这种只有有限种可能的情况，我们通过枚举各种可能的情况，可以算出每个事件发生的概率。
例如，如果我们要计算掷骰子出现1点或者2点的概率，只需要将这两点至少有一点出现的情况数，比上所有可能的情况数，就得到概率值：上面的例子中，随机事件所有可能的情况只有有限种，而且可以用整数对这些随机事件进行编号，如。
然而，有有限就有无限，对于可能有无限种情况的随机事件，我们该如何计算它发生的概率？考虑一个简单的问题，有一个长度和高度都为1的正方形，如果我们随机的扔一个点到这个正方形里，这个点落在右上方也就是红色区域里的概率是多少？你可能已经想到了，直接用红色三角形的面积，比上整个正方形的面积，应该就是这个概率：在这里，随机点所落的位置坐标(x, y)的分量x和y都是[0, 1]区间内的实数，这有无限多种情况，不能再像之前那样把所有的情况全部列出来，统计出这些情况的数量，然后和总情况数相除得到概率值。
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现在进一步利用条件
d2 dt 2 H x u x 0 1 x 1 2 1 u
此即奇异弧上的最优控制，它是状态的线性反馈。
u ( x1 x2 )
t f 固定时，常数C取决于初态的非零值。奇异弧是
不通过原点双曲线，不是最优轨线的最后一段弧线。
确定哈密顿函数H的常数值C，进而确定转移状态
e H 2D 2t f 2 (1 e )
2
2t f
D x10 x20
2C x1 (0 ) 2 t f 1 e C x2 (0 ) tan Ht f
仿真验证
J min1 152
结论
J min 2 30.03
典型的最优控制包括Bang-Bang控制和奇异控制。初 态和末态可以是 x1 x2 相平面上的任何点，在这种 情况下还不能预断最优解中是否包括奇异弧。然而， 若末态指定为坐标原点，则对很多初态来说，最优 控制既包括Bang-Bang弧段，又包括奇异弧段。
讨论固定情形
J
2
0
x1 (t )dt
取极小
方法一：讨论边界
状态方程
运动轨线
代入终端条件
由于
则
t f 自由？
最优相轨迹
u (t ) {k , k}
方法一缺陷
1.给定条件无法同时满足
2.假设bang-bang控制形式为本问题的最优控制，为此，必须保证系统无 奇异，则
3.bang-bang控制形式是否为本问题的最优控制？由极小值原理知：通过 选取c3,c4，实现相平面上的：R+和Y+有 ， R-和Y-有
典型的最优轨线由三段组成：
此处假设 k 讨论（控制的幅度为无穷大，持续时间为无穷小）
dx2 u dx1 x2 u dx2 lim 1 u dx 1 dx2 lim 1 u dx 1
在奇异孤上，由状态方程解得
x1 (t ) x1 (0 )e t 奇异弧在 t t f 时刻到达直线 x1 x2 0，由此条件
题4-24 已知二阶受控系统 1 x2 (t ) u (t ) x 极小值原理 2 u (t ) x 控制约束满足如下不等式约束
u(t ) k
试分别求 t f 固定和自由的最优控制，使系统由已知 , x2 (0) x20 转移到坐标原点。且使性 初态 x1 (0) x10 能指标 1 tf 2
方法二：奇异最优控制
最优指标 状态变量x 可能存在奇异弧，即
控制输入 u
H 中的
H 1 2 0 u
d H x 0 1 2 1 1 dt u
1 2 H x1 1 x 2 (1 2 )u C (常数 ) 2