圆周角定理(公开课)
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《圆周角》公开课教学PPT课件
24.1.4 圆 周 角
A O
C B
A
O
C B
A O
B
C
教学目标
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理以及 推论，并应用它们进行证明和计算 2.通过圆周角定理的证明使学生理解分类讨 论以及转化的数学思想
教学重难点
教学重点：圆周角的概念及圆周角定理和
推论
教学难点：分类讨论证明圆周角定理
B
小 强
D
情境引入
圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，
这个圆叫做这个多边形的外接圆
A
D
思考:
.O
圆内接四边形的四
个角有什么关系？ B
C
探究四 圆内接四边形的对角互补
证明：连接OB,OD
1
∵A= 2 1
C=
1 2
2
A
且1+2=360 °
∴A+C=180 ° 同理：B+D=180 °
1
C
应用新知
如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线 上一点，若B=110 °，求ADE的度数
A
B
.O
ED
C
反思小结 1.知识点 C
(1)圆周角的概念： (2)圆周角的性质：
A
O
B
C
AD
O
A
B
O
B
C
反思小结 2、数学思想方法
(1)分类思想
A
O·
B
C
A
O·
B
C D
A
O·
D BC
∠BAC_=__∠BDC
一样有利
探究三
思考：半圆（或直径）所对的圆周角有
什么特殊性？
A O
C B
A
O
C B
A O
B
C
教学目标
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理以及 推论，并应用它们进行证明和计算 2.通过圆周角定理的证明使学生理解分类讨 论以及转化的数学思想
教学重难点
教学重点：圆周角的概念及圆周角定理和
推论
教学难点：分类讨论证明圆周角定理
B
小 强
D
情境引入
圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，
这个圆叫做这个多边形的外接圆
A
D
思考:
.O
圆内接四边形的四
个角有什么关系？ B
C
探究四 圆内接四边形的对角互补
证明：连接OB,OD
1
∵A= 2 1
C=
1 2
2
A
且1+2=360 °
∴A+C=180 ° 同理：B+D=180 °
1
C
应用新知
如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线 上一点，若B=110 °，求ADE的度数
A
B
.O
ED
C
反思小结 1.知识点 C
(1)圆周角的概念： (2)圆周角的性质：
A
O
B
C
AD
O
A
B
O
B
C
反思小结 2、数学思想方法
(1)分类思想
A
O·
B
C
A
O·
B
C D
A
O·
D BC
∠BAC_=__∠BDC
一样有利
探究三
思考：半圆（或直径）所对的圆周角有
什么特殊性？
圆周角定理(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB旳
度数．
C
60°
A
E
O
B
50°
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O旳直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为何？ （2）判断△FAB旳形状，并阐明理由．
( (
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O旳直径，D是⊙O上旳任
二、探究知识 证明猜测
我们来分析上页旳前两种情况，第三种情况请同学 们完毕证明．
（2）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它 所正确圆心角旳二分之一？
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 1 BOC． 2
B
C
二、探究知识 证明猜测
（3）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页
§24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 旳顶点和边有哪些特点？
顶点在圆上，而且两边都和圆相交旳角 C
O
A
B
二、探究知识
请说说我们是怎样给圆心角下定义旳，试回答？
顶点在圆心旳角叫圆心角。
顶点在圆上，而且两边都和
圆相交旳角叫做圆周角．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样旳关系？ 并证明你旳结论？
ACB 1 AOB 2
C
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
《圆周角》课件优秀(完整版)1
课堂小结
类比
圆心角
圆周角
∠BOD＝120°，则∠BCD为_________. 例5 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C,使AC=AB，BD与CD有什么关系. 例3 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60º, ∠ADC=70º. 例2 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. ∠BOD＝120°，则∠BCD为_________. （同一条弧所对的圆周角相等）
87
6
5
C
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线.
⌒ ⌒ 如图，四边形ABCD是☉O的
；
（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？ 求证：(1)∠DAC＝∠DBA；
则∠A的度数为____
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC的一边上
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连接CE.
∠A+ ∠C=1800 同理 ∠B+ ∠D=1800
圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补.
练习 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延 长线上一点，若∠A=110º，则∠DCB=_____,
∠DCE=____.
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中， ∠BOD＝120°，则∠BCD为_________.
∠BAC为圆周角.
辨析 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B
A
O·
C （1） √ A
O·
B
C
顶点不在圆上
圆周角定理课件(PPT 17页)
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
圆周角定理 课件
要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
圆周角定理
1.圆周角定理
文字语言
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的_一__半___
图形语言
符号语言 作用
在⊙O 中，B︵C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝_12_∠__B_O_C__
确定பைடு நூலகம்中两个角的大小关系
2.圆心角定理
文字语言
圆心角的度数等于它_所__对_弧___ 的度数
规律方法 此题充分利用了“直径所对的圆 周角是直角”这一特征，并在此基础上对前 面所学知识进行适当的综合.
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和 弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程 中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供 了一种新方法.
2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半 径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度 数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来， 弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
要点一 圆周角定理及其推论 例 1 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3cm 的弦 AB，求此
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
圆周角公开课PPT
•
10.剪纸艺术传达着人们美好的情感， 美化着 人们的 生活， 而且能 够填补 创作者 精神上 的空缺 ，使沉 浸于艺 术中的 人们忘 掉一切 烦恼。 或许这 便是它 能在民 间顽强 地生长 ，延续 至今而 生命力 旺盛不 衰的原 因吧。
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17．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延 长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D
(2)设 BC＝x，则 AC＝x－2，在 Rt△ABC 中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2
＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴
∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋ 7
18．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任意一点(点P不与点A，B 重合)，连接PA，PB，PC，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M. (1)填空：∠APC＝_____6_0_度，∠BPC＝______6_0_度； (2)求证：△ACM≌△BCP； (3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．
圆周角初中数学原创课件
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．
(2)∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠A+∠M=180 0
∵∠BMO=120°,∴∠A=60 0
∴∠ABO=30 0 ,∴AB=2AO
∵AO=4，∴AB=8,⊙C的半径为4.
例题分析
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，
A
A
A
A
B
B
D
C
D
C
△ABC
E
E
C
B
F
四边形ABCD
B
D
C
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
情境导入
观察下列图形与圆的位置关系
多边形的顶点都在圆上
新知探究
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A
A
O
B
B
C
△ABC为⊙O的内接三角形；
24.1.4 圆周角
教学目标
知识技能：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解掌握圆周角定理及其推理.
3.能应用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情感目标:
1.通过圆周角定理的证明及推论的得到向学生渗透由“特殊到一般”，再
由“一般到特殊”的研究问题方法，体会分类讨论、化归的思想方法。变
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(3)求圆心C的坐标．
(3)∵过点C作CE⟂BO，
∴
∵AC=CB,
E
∟
∴BE=EO
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．
(2)∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠A+∠M=180 0
∵∠BMO=120°,∴∠A=60 0
∴∠ABO=30 0 ,∴AB=2AO
∵AO=4，∴AB=8,⊙C的半径为4.
例题分析
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，
A
A
A
A
B
B
D
C
D
C
△ABC
E
E
C
B
F
四边形ABCD
B
D
C
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
情境导入
观察下列图形与圆的位置关系
多边形的顶点都在圆上
新知探究
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A
A
O
B
B
C
△ABC为⊙O的内接三角形；
24.1.4 圆周角
教学目标
知识技能：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解掌握圆周角定理及其推理.
3.能应用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情感目标:
1.通过圆周角定理的证明及推论的得到向学生渗透由“特殊到一般”，再
由“一般到特殊”的研究问题方法，体会分类讨论、化归的思想方法。变
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(3)求圆心C的坐标．
(3)∵过点C作CE⟂BO，
∴
∵AC=CB,
E
∟
∴BE=EO
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
九年级数学上册教学课件《圆周角》
【教材P88练习 第3题】
证明：∵ ∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∠AOB=2∠BOC， ∴ ∠ACB =2∠BAC.
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有 几种方法？与同学交流一下.
【教材P88练习 第4题】
解：根据90º的圆周角所对的弦是直径,两直径的交点即是圆心.
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
D
请同学们自己完成证明.
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
拓展延伸
⌒
⌒
解：(1)连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°- α.证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝ ∠AOB,∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 ．
证明：∵ ∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∠AOB=2∠BOC， ∴ ∠ACB =2∠BAC.
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有 几种方法？与同学交流一下.
【教材P88练习 第4题】
解：根据90º的圆周角所对的弦是直径,两直径的交点即是圆心.
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
D
请同学们自己完成证明.
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
拓展延伸
⌒
⌒
解：(1)连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°- α.证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝ ∠AOB,∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 ．
圆周角定理 课件
AE AB
2.(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°， ∴∠CAB=60° 又OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOD=60°，∴∠CAB=∠BOD．
(2)在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=1 AB，
2
又OB=1 AB，∴AC=OB．
2
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°．
2
2
答案：35°
对圆周角的两点认识 (1)圆周角的度数不等于它所对弧的度数.由圆周角定理和圆心 角定理综合知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. (2)圆上的一条弦所对的圆周角不一定相等.一般有两种情况： 相等或互补，弦所对的优弧与所对的劣弧上的点所成的圆周角 互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既 相等又互补.
2.如图，在⊙O中，弦AB=16，点C在⊙O上，且sin C= 4 . 求
5
⊙O的半径长.
【解析】1.连接CD, ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°. ∵BC=1,AB= 3, ∴AC=2, ∵BD平分∠ABC,∴ AD DC, ∴AD=CD,在Rt△ACD中,由勾股定理得,AD=2. 答案： 2
运用圆周角定理及推论进行证明
利用圆中角的关系证明时的关注点 (1)分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆 上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁去求解. (2)当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,然后在 直角三角形中处理相关问题.
【典例训练】
1.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,
在△ABC和△ODB中，
CAB BOD ACB OBD AC OB
∴△ABC≌△ODB.
2.对推论2的理解 (1)在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆. (2)利用上述性质便可得到直角三角形,然后利用直角三角形解 决相关问题.
2.(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°， ∴∠CAB=60° 又OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOD=60°，∴∠CAB=∠BOD．
(2)在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=1 AB，
2
又OB=1 AB，∴AC=OB．
2
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°．
2
2
答案：35°
对圆周角的两点认识 (1)圆周角的度数不等于它所对弧的度数.由圆周角定理和圆心 角定理综合知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. (2)圆上的一条弦所对的圆周角不一定相等.一般有两种情况： 相等或互补，弦所对的优弧与所对的劣弧上的点所成的圆周角 互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既 相等又互补.
2.如图，在⊙O中，弦AB=16，点C在⊙O上，且sin C= 4 . 求
5
⊙O的半径长.
【解析】1.连接CD, ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°. ∵BC=1,AB= 3, ∴AC=2, ∵BD平分∠ABC,∴ AD DC, ∴AD=CD,在Rt△ACD中,由勾股定理得,AD=2. 答案： 2
运用圆周角定理及推论进行证明
利用圆中角的关系证明时的关注点 (1)分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆 上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁去求解. (2)当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,然后在 直角三角形中处理相关问题.
【典例训练】
1.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,
在△ABC和△ODB中，
CAB BOD ACB OBD AC OB
∴△ABC≌△ODB.
2.对推论2的理解 (1)在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆. (2)利用上述性质便可得到直角三角形,然后利用直角三角形解 决相关问题.
圆周角课件(人教版)
(
(
D
144
( (
(
证明：(1)连接OF.∵F点为AB的中点，
∴OF⊥AB，且AF=BF. ∵CM⊥AB，∴OF∥CM， ∠ ∵MOCCF==O∠F，CF∴O.∠FCN=∠CFO，
∴∠MCF=∠FCN，即CF平分∠MCN (2)连接OM.∵OF∥CM，∴∠MOF=∠M，∠FON=∠MCN. ∵OC=OM,∴∠MCN=∠M,∴∠MOF=∠FON,∴FM=FN，
AB=CD,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是（ C ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
解析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， AB=CD，∠AOB=60°,利用在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对 的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数.
解：∵AB=CD，∠AOB=60° BDC 1 AOB 30 2 故选C.
⌒
探究3：如图所示图中，∠AOB=180°则∠C1, ∠C2, ∠C3等 于多少度呢？从中你发现了什么？
归纳：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所 对的弦是直径。圆内接四边形的对角互补。
知识点一 圆周角定理
A
A
知识点二 圆周角定理推论及其应用
2
C
知识点三 圆内接四边形
B
B
例1：如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A
则∠ABC的度数是( ) D
A．80°
B．160°
C．100°
D．80°或100°
解析：当点B在优弧AC上时， ABC 1 AOC 180；
当点B在劣弧上时,
2
∠AB’C＝180°-∠ABC＝180°-80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°．
2.4圆周角(第1课时)(课件)九年级数学上册(苏科版)
2.4 圆周角（1）
第1课时 圆周角的概念与性质
学习目标
1．理解圆周角的概念；
2．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角 定理，能运用圆周角定理解决相关问题.
问题导学
观察与思考
1. 图中有圆心角吗？∠BAC与∠BOC的位置有什么不同？
∠BOC是圆心角.
A
∠BAC的顶点在☉O上，
O
∠ABD＝∠ACD， ∠ADB＝∠ACB，
D O
∠BAC＝∠BDC， ∠CBD＝∠CAD.
B
C
新知巩固
2. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°. 求∠BDC、∠BOC的度数.
A D
O
B C
新知巩固
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上， ∠ACB＝∠BDC＝60°， BC=3.
求△ABC的周长. AD
A
∵∠BAC＝∠BAD－∠CAD， B
O
归纳总结
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等.
因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可 以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
例题讲解
解： 在⊙O中 ，
A
∵∠AOD＝150°， ∴∠ABD＝75° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).
O
证明： ∵ OA＝OC，
∴ ∠OCA＝∠BAC.
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC＝∠BAC＋∠OCA.
∴ ∠BOC＝2∠BAC.
B
操作与思考
(2) 圆心O在∠BAC的内部
证明：作直径AD，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
A
B
第1课时 圆周角的概念与性质
学习目标
1．理解圆周角的概念；
2．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角 定理，能运用圆周角定理解决相关问题.
问题导学
观察与思考
1. 图中有圆心角吗？∠BAC与∠BOC的位置有什么不同？
∠BOC是圆心角.
A
∠BAC的顶点在☉O上，
O
∠ABD＝∠ACD， ∠ADB＝∠ACB，
D O
∠BAC＝∠BDC， ∠CBD＝∠CAD.
B
C
新知巩固
2. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°. 求∠BDC、∠BOC的度数.
A D
O
B C
新知巩固
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上， ∠ACB＝∠BDC＝60°， BC=3.
求△ABC的周长. AD
A
∵∠BAC＝∠BAD－∠CAD， B
O
归纳总结
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等.
因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可 以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
例题讲解
解： 在⊙O中 ，
A
∵∠AOD＝150°， ∴∠ABD＝75° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).
O
证明： ∵ OA＝OC，
∴ ∠OCA＝∠BAC.
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC＝∠BAC＋∠OCA.
∴ ∠BOC＝2∠BAC.
B
操作与思考
(2) 圆心O在∠BAC的内部
证明：作直径AD，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
A
B
圆周角公开课
解 因为∠MAN＜∠MCN，而 ∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙， 让乙射门.
小结: 小结:
１、圆周角定义 2、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半
１、分情况讨论 ２、由特殊到一般
O A C B
问题2 问题
同弧（ 同弧（弧AB）所对的圆周角∠ADB 与圆 ）所对的圆周角∠ 周角∠ 的大小关系是怎样的? 周角∠ACB的大小关系是怎样的 的大小关系是怎样的
• 圆周角定理(2):在同圆 圆周角定理(2): (2) 或等圆中， 或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角都相等
测量
例题
如图， 在同一个圆上， 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的 对角线把4个内角分成8个角， 对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等 的角？ 的角？ ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
A C
●
A C
●
A C
●
O
O B
O
B B
议一议
圆周角和圆心角的关系 圆周角和圆心角的关系
(1)当圆心(O)在圆周角 ∠ABC)的一边 当圆心 的一边(BC)上时 在圆周角(∠ 的一边 上时 求证: 求证 ∠ABC = 1 ∠AOC A 2 证明: 证明 C ∵OA=OB， ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∵ ∠AOC=∠B+∠A. ∴∠AOC=2∠B. 即
B C A
2 3 4 5 1 8 7
6
∠3 = ∠6
D
在足球比赛场上， 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合 向对方球门MN进攻，当甲带球冲到 点时，乙已 进攻， 点时， 向对方球门 进攻 当甲带球冲到A点时 跟随冲到B点 如图 如图2)．此时甲是自己直接射门好， 跟随冲到 点(如图 ．此时甲是自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
圆周角定理 课件
2．理解圆心角定理及其推论． 3．能正确应用以上定理解决几何问题．
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的________．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它 们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．
解析：如图所示，
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD 经过圆心，
所以 AD=BD= 5 3 (cm)．在 Rt△AOD 中，OD= OA2 AD2 2
= 5 (cm)，所以∠OAD=30，所以∠AOD=60.所以∠AOB= 2
2∠AOD=120，所以∠ACB= 1 ∠AOB=60.因为∠AOB=120， 2
答案：B
4．已知D、C是以AB为直径的圆弧上的两点，若 BC 所对的圆周角为25°，AD 所对的圆周角为35°，则 DC 所 对的圆周角为( C )
A．30°
B．40°
C．30°或80°
D．80°
5．如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相 交于点P，那么 CD 等于( B )
AB
A．sin∠BPD C．tan∠BPD
2．通过圆周角定理的分析、证明，我们可以看到，在几 何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为在特殊情况下 问题往往容易解决，如下图中，中间一种情况为圆周角的一 边经过圆心，此时∠AOB＝2∠C很容易证明．特殊情况下的 问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情 况下的问题，如下图左图和右图的情况，通过辅助线，把它 们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的 结论，便可使一般情况下的结论得证．
所以 AEB 的度数为 120， ACB 的度数为 240.所以∠AEB= 1 240=120.所以此弦所对的圆周角为 60或 120. 2
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的________．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它 们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．
解析：如图所示，
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD 经过圆心，
所以 AD=BD= 5 3 (cm)．在 Rt△AOD 中，OD= OA2 AD2 2
= 5 (cm)，所以∠OAD=30，所以∠AOD=60.所以∠AOB= 2
2∠AOD=120，所以∠ACB= 1 ∠AOB=60.因为∠AOB=120， 2
答案：B
4．已知D、C是以AB为直径的圆弧上的两点，若 BC 所对的圆周角为25°，AD 所对的圆周角为35°，则 DC 所 对的圆周角为( C )
A．30°
B．40°
C．30°或80°
D．80°
5．如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相 交于点P，那么 CD 等于( B )
AB
A．sin∠BPD C．tan∠BPD
2．通过圆周角定理的分析、证明，我们可以看到，在几 何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为在特殊情况下 问题往往容易解决，如下图中，中间一种情况为圆周角的一 边经过圆心，此时∠AOB＝2∠C很容易证明．特殊情况下的 问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情 况下的问题，如下图左图和右图的情况，通过辅助线，把它 们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的 结论，便可使一般情况下的结论得证．
所以 AEB 的度数为 120， ACB 的度数为 240.所以∠AEB= 1 240=120.所以此弦所对的圆周角为 60或 120. 2
《圆周角和圆心角的关系1》教案 (公开课)2022年北师大版数学
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
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O
B
三、应用新知
例、如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． C 解：连接 OD，AD，BD， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB=ADB=90°． O A B 在 Rt△ABC 中， BC= AB 2 AC 2 = 102 62 =8（cm）
二、探究知识 探究2
思考： 一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧 所对的圆周角之间有什么关系？ 同弧或等弧所对的圆周角相等．
A D
O B
C
二、探究知识
定 理
C
D
A O
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
·
B
E
推
论
A
C2 C1 C3
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？ 并证明你的结论？
C
1 ACB AOB 2
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A O O B C B C B C A A O
分情况讨论的思想方法
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周 角的位置关系有几种情况？
二、探究知识
证明猜想
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学 们完成证明． （2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？ A ∵ OA=OC， ∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， 1 ∴ BAC BOC． 2 O B
（2）判断△FAB的形状，并说明理由．
(
(
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任
意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使
DC＝BD，判断△ABC的形状：
A O
．
B
D
C
D
四、巩固新知
问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任 一点，你能确定∠BAC的度数吗? 问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经
A O
过心O吗？为什么？ A B O 图1 C
B
●
C
图2
四、巩固新知
1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°， 则∠ABC＝________．
C A O B
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页 §24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 C
O A B
二、探究知识
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
C
二、探究知识
证明猜想
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？ 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． A ∵ OA=OB， ∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B， 1 O ∴ BAD BOD． 2 1 同理， CAD COD． B 2 C D 1 ∴ BAC BAD CAD BOC． 2
四、巩固新知
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于 点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的 度数． C
60°
A
E O
50°
B
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，
AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？