清华版《运筹学》(第三版)课后习题详解、...
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MaxZ = 1100x1 +1500x2 + 900x3 + 3000x4 + 8x5 +12x6 + 20x7
x1 + x2 +1.5x4 <= 100(土地限制) 8000x4 + 2x5 <= 250000(资金限制） 20x1 + 35x2 +10x3 +100x4 + 0.3x5 + x6 <= 4500(劳动力限制） 50x1 + 75x2 + 40x3 + 50x4 + 0.1x5 + x7 <= 4500(劳动力限制） x4 <= 50(牛栏限制） x5 <= 500（0 鸡栏限制） x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 >= 0
表1
A B C 加工费 售价
甲 60%以上
20%以下 0.50 3.40
乙 15%以上
60%以下 0.40 2.85
丙
50%以下 0.30 2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
解：以甲 A
表示甲产品中的
A
成分，甲 B
表示甲产品中的
B
成分，甲 C
表示甲产品中的
x2 +x5 + x8 <= 2500
x3 +x6 + x9 <= 1200
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 >= 0
我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。 目标函数为
MaxZ = 0.9x1 +1.4x2 +1.9x3 + 0.45x4 + 0.95x5 +1.45x6 − 0.05x7 + 0.45x8 + 0.95x9
x1 + x6 >= 3 x1 + x2 >= 9 x2 + x3 >= 12 x3 + x4 >= 5 x4 + x5 >= 18 x5 + x6 >= 4 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 ≥ 0
3、现要截取 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的元钢各 100 根，已知原材料的长度是 7.4 米，问应如 何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。
(0, 0, 0, 5, 2, 6)T ，Z＝5。
初始单纯行表为：
cj
2
-1
1
1
CB
XB
x1
x2
x3
x4
1
x4
-1
1
1
1
0
x5
1
1
0
0
0
0
b
x5
x6
0
0
5
1
0
2
0
x6
2
1
1
0
0
1
6
σj
3
-2
0
0
0
0 z=0
(2)非基变量 x2 , x3 仍然取零， x1 由 0 变为 1,即 x1 ＝1, x2 ＝0, x3 =0,代入约束条件得一个可 行解 X= (1, 0, 0, 6,1, 4)T 。其目标函数值为 Z＝8
C
成分，依此类推。据表 2-16，有：
甲 A
>= 3甲 5
，甲 C
<= 1甲 5
，乙 A
>=
3乙 20
，乙 C
<=
3乙 5
，丙 A
<=
1丙 2
．．．．．．①
其中：甲A +甲B +甲C =甲 ，乙A +乙B +乙C = 乙 ， 丙A +丙B + 丙C = 丙 ．．．．．．②
把②逐个代入①并整理得：
−
2 3
x1 + 2x2 + x3 + x4 >= 100 x1 + 2x3 + x5 + 2x7 + 3x8 >= 100 x1 + x2 + 3x4 + 3x5 + 4x6 + 2x7 >= 100 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0
4、某糖果厂用原料 A、B、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中 A、B、C 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌 号糖果的单位加工费及售价如表 1 所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能 使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。
7、用图解法求解下列线性规划问题
（1） max z = 2x1 + x2 4x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 + x2 ≤ 8 4x1 − x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0
（3） max z = 2x1 + 3x2 x1 − x2 ≤ 2
− 3x1 + x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0
（2） max z = 3x1 + 2x2 − x1 + 2x2 ≤ 4 3x1 + 2x2 ≤ 14 x1 − x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0
3、数学模型及其三要素 答：数学模型可以简单的描述为：用字母、数字和运算符来精确地反映变量之间相互关系的 式子或式子组。数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个要素构成。决策变量即问题 中所求的未知的量，约束条件是决策所面临的限制条件，目标函数则是衡量决策效益的数量 指标。
2 线性规划
1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。
x2
=甲B
，
x3
=甲C
，
x4
=乙A
，
x5
=乙B
，
x6
=乙C
，
x7
=
丙 A
，
x8
=
丙 B
，
x9
=
丙 C
由此约束条件可以表示为：
-
2 3
x1
+
x2
+
x3
<=
0
-x1-x2 + 4x3 <= 0
- 17 3
x4
+
x5
+
x6
<=
0
-x 4
-x 5
+
2 3
x6
<=
0
-x7 -x8 + x9 <= 0
x1+x4 + x7 <= 2000
解：用决策变量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 分别表示 2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：
00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。
其数学模型可以表述为： min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示：
2.9
2.1
1.5
θ
1' 1
1
1
0.9
2' 2
0
0
0.1
3' 1
2
0
0.3
4' 1
0
3
0
5' 0
1
3
0.8
6' 0
0
4
1.4
7' 0
2
2
0.2
8' 0
3
0
1.1
目标函数为求所剩余的材料最少，即
min Z = 0.9x1 + 0.1x2 + 0.3x3 + 0x4 + 0.8x5 +1.4x6 + 0.2x7 +1.1x8
2：00~6：00 3 人
6：00~10：00 9 人
10：00~14：00 12 人
14：00~18：00 5 人
18：00~22：00 18 人
22：00~ 2：00 4 人
设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务
员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。
的租借费）；则线性规划模型为：
4 4−i+1
∑ ∑ MinZ =
C j X ij
i=1 j=1
k 4−i +1
∑ ∑ Xij >= rk (k = 1, 2,3, 4)
i=1 j =k −i+1
Xij >= 0(i = 1, 2,3, 4; j = 1, 2...4 − i +1)
6、某农场有 100 公顷土地及 25 万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季 4500 人日，春夏季 6000 人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为 20 元／人日，秋冬 季 12 元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需 要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资 8000 元，每只鸡投资 2 元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季为 50 人日，年净收入 3000 元 ／每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.3 人日，春夏季 0.1 人日，年净收入 为每只 8 元。农场现有鸡舍允许最多养 5000 只鸡，牛栏允许最多养 50 头奶牛，三种作物每 年需要的人工及收入情况如表 4 所示。试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。
（2） 在保持 x2 和 x3 为零的情况下，给出非基变量 x1 增加一个单位时的可行解，并
指出目标函数的净增量是多少?
（3） 在模型约束条件的限制下， x1 的最大增量是多少？
（4） 在 x1 有其最大增量时，给出一个新的基可行解。
( ) 解：（1）因存在初始可行基 x4 , x5 , x6 T ，故可令 x1 , x2 , x3 全为 0,则可得初始可行解为
1 绪论
1、运筹学的内涵 答：本书将运筹学定义为：“通过构建、求解数学模型，规划、优化有限资源的合理利用， 为科学决策提供量化依据的系统知识体系。”
2、运筹学的工作过程 答：
现实系统
现实结论
构造模型 解释、修正
模型 求 解
模型结论
图 1-1 运筹学的工作过程
（1）提出和形成问题。即要弄清问题的目标、可能的约束、可控变量、有关的参数以及搜 索有关信息资料。 （2）建立模型。即要把问题中的决策变量、参数和目标、约束之间的关系用一定的模型表 示出来。 （3）求解模型。根据模型的性质，选择相应的求解方法，求得最优或者满意解，解的精度 要求可由决策者提出。 （4）解的检验和转译。首先检查求解过程是否有误，然后再检查解是否反映客观实际。如 果所得之解不能较好地反映实际问题，必须返回第（1）步修改模型，重新求解；如果所得 之解能较好地反映实际问题，也必须仔细将模型结论转译成现实结论。 （5）解的实施。实施过程必须考虑解的应用范围及对各主要因素的敏感程度，向决策者讲 清楚用法，以及在实施中可能产生的问题和修改的方法。
表2
月份
1
2
所需面积（100m2）
15
10
3
4
20
12
表3
合同租借期限 单位（100m2）租金（元）
1 个月 2800
2 个月 4500
3 个月 6000
4 个月 7300
解：设 xij （i＝1,2,3,4;j=1,2．．．4-i+1）为第 i 个月初签订的租借期限为 j 个月的合同租借面
积（单位：100 m2 ）；ri 表示第 i 个月所需的面积（j 表示每 100 m2 仓库面积租借期为 j 个月
甲 A
+甲B
+甲C
<= 0
， −甲A -甲B + 4甲C
<= 0
，
-
17乙 3A
+乙B
+乙C
<= 0
-乙A -乙B
+
2 3
乙C
<=
0
，
-丙A -丙B
+
丙C
<=
0
原材料的限制，有以下不等式成立：
甲 +乙
A
A
+
丙 A
<=
2000
，甲 +乙
B
B
+
丙 B
<=
2500
，甲 +乙
C
C
+
丙 C
<= 1200
在约束条件中共有 9 个变量，为方便计算，分别用 x1, x2 ．．． x9 表示，即令 x1 =甲A ，
表4
每公顷秋冬季所需人日数 每公顷春夏季所需人日数
年净收入（元/公顷）
大豆 20 50 1100
玉米 35 75 1500
麦子 10 40 900
解：设 x1 , x2 , x3 分别代表大豆、玉米、麦子的种植数（公顷）； x4 , x5 分别代表奶牛和鸡的
饲养数； x6 , x7 分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力（人．日数）则有
2
4
此题为无界解
2
4
找不到可行域，此题为无 可行解
8、考虑线性规划： max z = 2x1 − x2 + x3 + x4
− x1 + x2 + x3 + x4
=5
x1 + x2
+ x5
=2
2 x1 + x2 + x3
+ x6 = 6
x1,Λ , x6 ≥ 0
（1） 通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表；
5、某厂在今后 4 个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表 2 所示。租 金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表 3。租借仓库 的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何 一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限 不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数 学模型。
线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； （2） 存在一定数量（m）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线
性等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。
百度文库2、一家餐厅 24 小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：
（4） max z = x1 + x2 x1 − x2 ≥ 0
3x1 − x2 ≤ −3 x1, x2 ≥ 0
解： （1）
8 4
Q*(9 ,1) 4
234 此题有唯一最有解，
X * = (9 ,1)T 4
（2）
8 4
234 此题有无穷多最有解，其
中一个是 X * = (4,1)T
（3）
（4）
4 3
x1 + x2 +1.5x4 <= 100(土地限制) 8000x4 + 2x5 <= 250000(资金限制） 20x1 + 35x2 +10x3 +100x4 + 0.3x5 + x6 <= 4500(劳动力限制） 50x1 + 75x2 + 40x3 + 50x4 + 0.1x5 + x7 <= 4500(劳动力限制） x4 <= 50(牛栏限制） x5 <= 500（0 鸡栏限制） x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 >= 0
表1
A B C 加工费 售价
甲 60%以上
20%以下 0.50 3.40
乙 15%以上
60%以下 0.40 2.85
丙
50%以下 0.30 2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
解：以甲 A
表示甲产品中的
A
成分，甲 B
表示甲产品中的
B
成分，甲 C
表示甲产品中的
x2 +x5 + x8 <= 2500
x3 +x6 + x9 <= 1200
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 >= 0
我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。 目标函数为
MaxZ = 0.9x1 +1.4x2 +1.9x3 + 0.45x4 + 0.95x5 +1.45x6 − 0.05x7 + 0.45x8 + 0.95x9
x1 + x6 >= 3 x1 + x2 >= 9 x2 + x3 >= 12 x3 + x4 >= 5 x4 + x5 >= 18 x5 + x6 >= 4 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 ≥ 0
3、现要截取 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的元钢各 100 根，已知原材料的长度是 7.4 米，问应如 何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。
(0, 0, 0, 5, 2, 6)T ，Z＝5。
初始单纯行表为：
cj
2
-1
1
1
CB
XB
x1
x2
x3
x4
1
x4
-1
1
1
1
0
x5
1
1
0
0
0
0
b
x5
x6
0
0
5
1
0
2
0
x6
2
1
1
0
0
1
6
σj
3
-2
0
0
0
0 z=0
(2)非基变量 x2 , x3 仍然取零， x1 由 0 变为 1,即 x1 ＝1, x2 ＝0, x3 =0,代入约束条件得一个可 行解 X= (1, 0, 0, 6,1, 4)T 。其目标函数值为 Z＝8
C
成分，依此类推。据表 2-16，有：
甲 A
>= 3甲 5
，甲 C
<= 1甲 5
，乙 A
>=
3乙 20
，乙 C
<=
3乙 5
，丙 A
<=
1丙 2
．．．．．．①
其中：甲A +甲B +甲C =甲 ，乙A +乙B +乙C = 乙 ， 丙A +丙B + 丙C = 丙 ．．．．．．②
把②逐个代入①并整理得：
−
2 3
x1 + 2x2 + x3 + x4 >= 100 x1 + 2x3 + x5 + 2x7 + 3x8 >= 100 x1 + x2 + 3x4 + 3x5 + 4x6 + 2x7 >= 100 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0
4、某糖果厂用原料 A、B、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中 A、B、C 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌 号糖果的单位加工费及售价如表 1 所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能 使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。
7、用图解法求解下列线性规划问题
（1） max z = 2x1 + x2 4x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 + x2 ≤ 8 4x1 − x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0
（3） max z = 2x1 + 3x2 x1 − x2 ≤ 2
− 3x1 + x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0
（2） max z = 3x1 + 2x2 − x1 + 2x2 ≤ 4 3x1 + 2x2 ≤ 14 x1 − x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0
3、数学模型及其三要素 答：数学模型可以简单的描述为：用字母、数字和运算符来精确地反映变量之间相互关系的 式子或式子组。数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个要素构成。决策变量即问题 中所求的未知的量，约束条件是决策所面临的限制条件，目标函数则是衡量决策效益的数量 指标。
2 线性规划
1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。
x2
=甲B
，
x3
=甲C
，
x4
=乙A
，
x5
=乙B
，
x6
=乙C
，
x7
=
丙 A
，
x8
=
丙 B
，
x9
=
丙 C
由此约束条件可以表示为：
-
2 3
x1
+
x2
+
x3
<=
0
-x1-x2 + 4x3 <= 0
- 17 3
x4
+
x5
+
x6
<=
0
-x 4
-x 5
+
2 3
x6
<=
0
-x7 -x8 + x9 <= 0
x1+x4 + x7 <= 2000
解：用决策变量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 分别表示 2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：
00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。
其数学模型可以表述为： min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示：
2.9
2.1
1.5
θ
1' 1
1
1
0.9
2' 2
0
0
0.1
3' 1
2
0
0.3
4' 1
0
3
0
5' 0
1
3
0.8
6' 0
0
4
1.4
7' 0
2
2
0.2
8' 0
3
0
1.1
目标函数为求所剩余的材料最少，即
min Z = 0.9x1 + 0.1x2 + 0.3x3 + 0x4 + 0.8x5 +1.4x6 + 0.2x7 +1.1x8
2：00~6：00 3 人
6：00~10：00 9 人
10：00~14：00 12 人
14：00~18：00 5 人
18：00~22：00 18 人
22：00~ 2：00 4 人
设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务
员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。
的租借费）；则线性规划模型为：
4 4−i+1
∑ ∑ MinZ =
C j X ij
i=1 j=1
k 4−i +1
∑ ∑ Xij >= rk (k = 1, 2,3, 4)
i=1 j =k −i+1
Xij >= 0(i = 1, 2,3, 4; j = 1, 2...4 − i +1)
6、某农场有 100 公顷土地及 25 万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季 4500 人日，春夏季 6000 人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为 20 元／人日，秋冬 季 12 元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需 要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资 8000 元，每只鸡投资 2 元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季为 50 人日，年净收入 3000 元 ／每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.3 人日，春夏季 0.1 人日，年净收入 为每只 8 元。农场现有鸡舍允许最多养 5000 只鸡，牛栏允许最多养 50 头奶牛，三种作物每 年需要的人工及收入情况如表 4 所示。试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。
（2） 在保持 x2 和 x3 为零的情况下，给出非基变量 x1 增加一个单位时的可行解，并
指出目标函数的净增量是多少?
（3） 在模型约束条件的限制下， x1 的最大增量是多少？
（4） 在 x1 有其最大增量时，给出一个新的基可行解。
( ) 解：（1）因存在初始可行基 x4 , x5 , x6 T ，故可令 x1 , x2 , x3 全为 0,则可得初始可行解为
1 绪论
1、运筹学的内涵 答：本书将运筹学定义为：“通过构建、求解数学模型，规划、优化有限资源的合理利用， 为科学决策提供量化依据的系统知识体系。”
2、运筹学的工作过程 答：
现实系统
现实结论
构造模型 解释、修正
模型 求 解
模型结论
图 1-1 运筹学的工作过程
（1）提出和形成问题。即要弄清问题的目标、可能的约束、可控变量、有关的参数以及搜 索有关信息资料。 （2）建立模型。即要把问题中的决策变量、参数和目标、约束之间的关系用一定的模型表 示出来。 （3）求解模型。根据模型的性质，选择相应的求解方法，求得最优或者满意解，解的精度 要求可由决策者提出。 （4）解的检验和转译。首先检查求解过程是否有误，然后再检查解是否反映客观实际。如 果所得之解不能较好地反映实际问题，必须返回第（1）步修改模型，重新求解；如果所得 之解能较好地反映实际问题，也必须仔细将模型结论转译成现实结论。 （5）解的实施。实施过程必须考虑解的应用范围及对各主要因素的敏感程度，向决策者讲 清楚用法，以及在实施中可能产生的问题和修改的方法。
表2
月份
1
2
所需面积（100m2）
15
10
3
4
20
12
表3
合同租借期限 单位（100m2）租金（元）
1 个月 2800
2 个月 4500
3 个月 6000
4 个月 7300
解：设 xij （i＝1,2,3,4;j=1,2．．．4-i+1）为第 i 个月初签订的租借期限为 j 个月的合同租借面
积（单位：100 m2 ）；ri 表示第 i 个月所需的面积（j 表示每 100 m2 仓库面积租借期为 j 个月
甲 A
+甲B
+甲C
<= 0
， −甲A -甲B + 4甲C
<= 0
，
-
17乙 3A
+乙B
+乙C
<= 0
-乙A -乙B
+
2 3
乙C
<=
0
，
-丙A -丙B
+
丙C
<=
0
原材料的限制，有以下不等式成立：
甲 +乙
A
A
+
丙 A
<=
2000
，甲 +乙
B
B
+
丙 B
<=
2500
，甲 +乙
C
C
+
丙 C
<= 1200
在约束条件中共有 9 个变量，为方便计算，分别用 x1, x2 ．．． x9 表示，即令 x1 =甲A ，
表4
每公顷秋冬季所需人日数 每公顷春夏季所需人日数
年净收入（元/公顷）
大豆 20 50 1100
玉米 35 75 1500
麦子 10 40 900
解：设 x1 , x2 , x3 分别代表大豆、玉米、麦子的种植数（公顷）； x4 , x5 分别代表奶牛和鸡的
饲养数； x6 , x7 分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力（人．日数）则有
2
4
此题为无界解
2
4
找不到可行域，此题为无 可行解
8、考虑线性规划： max z = 2x1 − x2 + x3 + x4
− x1 + x2 + x3 + x4
=5
x1 + x2
+ x5
=2
2 x1 + x2 + x3
+ x6 = 6
x1,Λ , x6 ≥ 0
（1） 通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表；
5、某厂在今后 4 个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表 2 所示。租 金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表 3。租借仓库 的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何 一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限 不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数 学模型。
线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； （2） 存在一定数量（m）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线
性等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。
百度文库2、一家餐厅 24 小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：
（4） max z = x1 + x2 x1 − x2 ≥ 0
3x1 − x2 ≤ −3 x1, x2 ≥ 0
解： （1）
8 4
Q*(9 ,1) 4
234 此题有唯一最有解，
X * = (9 ,1)T 4
（2）
8 4
234 此题有无穷多最有解，其
中一个是 X * = (4,1)T
（3）
（4）
4 3